第03讲 一线三等角模型（学霸秘籍，压轴题专项训练）2026年中考数学（江苏专用）

第三讲 一线三等角模型『压轴题之经典模型培优方案』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【原卷版】 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题几何模型，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 一线三等角构造全等模型与手拉手模型（旋转型全等），是初中几何中依托图形特征与变换规律构造全等的核心模型，均源于全等三角形判定定理（ASA、AAS、SAS等），是解决角度、线段关系难题的高频工具。一线三等角模型以“同一直线上存在三个相等的角”为核心特征，常见于等腰三角形、矩形、坐标系等背景题，通过角的和差推导得出两组对应角相等，再结合公共边或题目给出的相等线段，快速满足全等判定条件，核心作用是转化分散的线段与角度，搭建解题桥梁； 通过精准捕捉图形结构共性，简化辅助线添加思路，大幅降低复杂几何题的解题难度。垂直平分线模型和等腰三角形的“三线合一”模型源于垂直平分线定理和等腰三角形的性质定理；垂直平分线定理源于欧几里得《几何原本》中对对称性和等距点的研究，其核心性质与逆定理通过全等三角形证明。 模块二 技巧点拨 方法揭秘 在直线AB上有一点P，以A，B，P为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB上，另一条边在AB同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C，D． 1．当点P在线段AB上，且∠3两边在AB同侧时． （1）如图，若∠1为直角，则有△ACP∽△BPD． （2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP∽△BPD． 2．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB同侧时． 如图，则有△ACP∽△BPD． 3．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB异侧时． 如图，则有△ACP∽△BPD． 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】【模型构建】如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， ①点A坐标为_______；点B坐标为_______； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，则的最小值是_______； （2）如图2，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点．将直线绕点B顺时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】（3）如图3，直线的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴交于点D．点，Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【典例精讲二】在中，，，直线经过点C，于D，于E．    (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时， 求证： ①； ②． (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出，，之间的数量关系． 模块四 考题预测 满分训练 一、选择题 1．如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．如图，是的直径，，弦交于点，半径，点，位于两侧，作交于点，连接交于点．若的面积为5，则的面积为（   ） A．6 B． C．7 D． 3．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，、、、是四根长度均为的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的顶点，将正方形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，、、上，且、之间的距离为1，、之间的距离为3，则的长是（   ） A． B． C． D．7 二、填空题 7．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 __________ ． 8．如图3，在平面直角坐标系中，已知点，（，），，且，则点C坐标为_________． 9．如图，在中，，，点D在线段上运动点D不与点B，C重合，连接，作，交线段于点若是等腰三角形，则______． 10．在中，，，，点在射线上，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、．当时，的长为___________． 11．如图，在正方形中，，E为对角线上一点，F为延长线上一点，满足，平分，则的长为________． 12．如图，直线l：与 反 比 例 函 数的 图 象 交 于 点A， 与 x 轴交于点B， 将 线 段 绕 点B逆时针旋转至线段，若点C恰好也在反比例函数图象上，则k的值为_______ · 三、解答题 13．如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 14．如图，是线段的中点，，过点作直线交、于点、． (1)证明：； (2)若，的垂直平分线交线段、于点、，，，求线段的长． 15．综合与实践 在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足 (1)如图1，当时，猜想线段、、之间满足的数量关系，并进行证明； (2)如图2，当 时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请进行证明； (3)如图3，在△中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，△的面积是，请求出△与△的面积之和． 16．一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型． (1)如图1，在中，，点在直线上，过点作于点，过点作于点，由得___________．又知道，可以推理得到，进而得到___________． (2)当图1中的直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． (3)当图1中的直线绕点旋转到图3的位置时，请直接写出．之间的数量关系：___________． (4)如图4，若将（1）中的条件改为：在中，， D，A，E三点都在直线上，且满足，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 17．问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 18．某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程： 【问题解决】 （1）如图①，在矩形中，点E为边上一点，将绕点E顺时针旋转后得，若点F恰好落在边上，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点E为的中点，将绕点E顺时针旋转后得，连接．若，求点F到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图③，在菱形中，点E为边上任意一点，点F在上，，交于点O．若，，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 19．（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 20．通过对“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】如图①，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：； 【模型应用】如图②，且，且，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、4，则五边形面积为 ； 【深入探究】如图③，，，，连结，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲 一线三等角模型『压轴题之经典模型培优方案』 〔考法综述+技巧点拨+典例剖析+预测达标练〕 【解析版】 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 讲义说明 资料简介 本讲义专为江苏省中考考生定制，聚焦数学压轴题几何模型，帮助学生掌握解题方法、强化答题技巧，轻松攻克压轴题，助力中考数学取得优异成绩。 讲义设置四大核心模块，层层递进助力备考： 模块一 考情透视，考法综述—深度剖析江苏中考压轴题命题趋势，明晰考情考点； 模块二 技巧点拨，方法揭秘—梳理核心解题思路，传授实用答题技巧，破解解题难点； 模块三 核心精讲，典例剖析—针对高频考点细致讲解，结合典型例题拆解解题步骤； 模块四 考题预测，满分训练—立足考情精准预测考题，搭配专项训练题，强化实战能力。 全程立足江苏中考考情，讲练结合，全方位提升学生压轴题解题能力，夯实数学高分基础。 模块一 考情透视 考法综述 一线三等角构造全等模型与手拉手模型（旋转型全等），是初中几何中依托图形特征与变换规律构造全等的核心模型，均源于全等三角形判定定理（ASA、AAS、SAS等），是解决角度、线段关系难题的高频工具。一线三等角模型以“同一直线上存在三个相等的角”为核心特征，常见于等腰三角形、矩形、坐标系等背景题，通过角的和差推导得出两组对应角相等，再结合公共边或题目给出的相等线段，快速满足全等判定条件，核心作用是转化分散的线段与角度，搭建解题桥梁； 通过精准捕捉图形结构共性，简化辅助线添加思路，大幅降低复杂几何题的解题难度。垂直平分线模型和等腰三角形的“三线合一”模型源于垂直平分线定理和等腰三角形的性质定理；垂直平分线定理源于欧几里得《几何原本》中对对称性和等距点的研究，其核心性质与逆定理通过全等三角形证明。 模块二 技巧点拨 方法揭秘 在直线AB上有一点P，以A，B，P为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB上，另一条边在AB同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C，D． 1．当点P在线段AB上，且∠3两边在AB同侧时． （1）如图，若∠1为直角，则有△ACP∽△BPD． （2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP∽△BPD． 2．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB同侧时． 如图，则有△ACP∽△BPD． 3．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB异侧时． 如图，则有△ACP∽△BPD． 模块三 核心精讲 典例剖析 【典例精讲一】【模型构建】如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， ①点A坐标为_______；点B坐标为_______； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，则的最小值是_______； （2）如图2，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点．将直线绕点B顺时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】（3）如图3，直线的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴交于点D．点，Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）①；；②4；（2）；（3）或 【思路引导】（1）①分别令和求解即可； ②过A作于，证明，得到，利用勾股定理求得，根据垂线段最短得的最小值是的长，进而可求解； （2）过点A作交直线l于C，过点C作轴于D，证明是等腰直角三角形，则，证明得到，，进而求得，然后利用待定系数法求解即可； （3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可． 【规范解答】解：（1）①当时，，当时，由，解得， ∴点A坐标为，点B坐标为； ②过A作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，； ∵D是正比例函数图象上的动点， ∴根据垂线段最短，得的最小值是的长， 故的最小值是； （2）如图，过点A作交直线l于C，过点C作轴于D， 则， ， ， 直线绕点B逆时针旋转得到直线l， ， 是等腰直角三角形，则， 同（1）可证明：， ，， 一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点， 当时，， 当时，由得， ，， ，， ， ， 设直线l对应的函数表达式为， 将、代入， 得，解得， 直线l对应的函数表达式为； （3）点Q的坐标为或． 解：把代入直线得：， 把代入直线得：， 解得：， ∴，， ①当时，如图2，过点P作轴于E，过点Q作，交延长线于F， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入得，， 解得， ，， 点Q的坐标为； ②当时，如图3，过点P作轴于E，过点Q作，交延长线于F， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入得，， 解得， ，， 点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 【考点剖析】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． 【典例精讲二】在中，，，直线经过点C，于D，于E．    (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时， 求证： ①； ②． (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【思路引导】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论． （1）①利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等，即可解题；②利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明； （2）由（1）①同理可证，利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明： （3）解题方法与（2）类似． 【规范解答】（1）证明：①在中，， ， 于D ，于E， ， ， ， ， ； ② ， ，， ． （2）证明：由（1）①同理可证， ，， ． （3）解：，理由如下： 由（1）①同理可证， ，， ． 模块四 考题预测 满分训练 一、选择题 1．如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】先证即可判断①，利用及三角形内角和定理与对顶角即可判断②，点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理得到，从而得出，证明，从而得到，即可判断③④，即可得到答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， 如图，记交于点，的交点为， ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③正确，④正确． 2．如图，是的直径，，弦交于点，半径，点，位于两侧，作交于点，连接交于点．若的面积为5，则的面积为（   ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． 根据“一线三垂直”易证，再根据垂径定理和圆周角定理，易得，，从而易证和为等腰直角三角形，易求，最后根据勾股定理，可求，计算面积即可． 【规范解答】解：， ，即， ，， ，即， ， ， ， ， 是的直径，， ，则， ， ， 为等腰直角三角形， 的面积为5， ，解得，则， 在中，， 则， ，即为等腰直角三角形， ． 故选：D． 3．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了旋转的性质以及构造全等三角形求线段的长度，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键． 过B作于，过作轴于，构建，由勾股定理求出，进而可得出答案． 【规范解答】过B作于，过作轴于， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图，、、、是四根长度均为的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股定理，等腰三角形三线合一，全等的性质与判定综合（），解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据等腰三角形三线合一得出，，再利用勾股定理求得，然后根据证明，从而可利用全等三角形的性质得出，进而求得， 【规范解答】解：过点作于点，过点作于点， 则， ∴， ∵、、、是四根长度均为的火柴棒， ∴， ∴为边的中线，为边的中线， ∴，， ∴， ， ∴， ∵点A、C、E共线， ∴， ∴， ， 在与中， ， ， ， ， 故选：B． 5．如图，正方形的顶点，将正方形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】过点C作轴，过点作轴，则，连接，，可证“一线三等角”全等，，由全等三角形的性质及勾股定理求得，再求得可得了，从而可得，由等腰直角三角形即可求解． 【规范解答】过点C作轴，过点作轴，则，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴点C的对应点的坐标为， 故选：D． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，旋转的性质，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 6．如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，、、上，且、之间的距离为1，、之间的距离为3，则的长是（   ） A． B． C． D．7 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，三角形的全等的判定和性质，证得是解答本题的关键．作于D，作于E，再证明，因此可得，再结合勾股定理求得，然后再根据勾股定理求出的长即可． 【规范解答】解：如图：作于D，作于E，    ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：． 故选：A． 二、填空题 7．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 __________ ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系中全等三角形的判定与性质；解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等求出点坐标；作轴于点，作轴于点，证明，得出对应边相等，进而求出点坐标． 【规范解答】解：作轴于点，作轴于点，如图所示， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴，，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为． 8．如图3，在平面直角坐标系中，已知点，（，），，且，则点C坐标为_________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型证明三角形全等是解题的关键．根据题意，分别作轴，轴，根据“一线三等角”模型证明，由此即可求解． 【规范解答】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，，（，）， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴点的横坐标为， ∴ 故答案为：． 9．如图，在中，，，点D在线段上运动点D不与点B，C重合，连接，作，交线段于点若是等腰三角形，则______． 【答案】6或 【思路引导】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论是解题的关键． 由，，求得，，再分三种情况讨论，一是，因为，所以，则，可证明 ，得；二是，则，所以平分，则；三是由点D不与点B重合，可知，可推导出，则，所以不存在的情况，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：，， ，， 如图1，是等腰三角形，且， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 如图2，是等腰三角形，且，则， ， ，平分， ； 点D不与点B重合， ， ， ， ， 不存在是等腰三角形，且的情况， 综上所述，的长为6或， 故答案为：6或 10．在中，，，，点在射线上，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、．当时，的长为___________． 【答案】或 【思路引导】本题结合旋转的性质考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，关键是利用旋转的性质(，)，通过构造全等三角形来求解的长度．解题时需分两种情况讨论：点在线段上，或点在的延长线上． 【规范解答】解：分两种情况： ①如图，点在线段上，过点作，交的延长线于，此时． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中： ， ∴， ∴，． ∵，， ∴． 在中，； ②如图，点在的延长线上，此时． 同理可得， ∴，． ∵，， ∴． 在中，． 综上，的长为或． 11．如图，在正方形中，，E为对角线上一点，F为延长线上一点，满足，平分，则的长为________． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等边对等角等知识点，作，由题意得：，推出，证，得，推出，即是等腰直角三角形，根据平分，得，推出，，即可求解； 【规范解答】解：作，如图所示： 则四边形为矩形， ∴ ， 由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, 故答案为：． 12．如图，直线l：与 反 比 例 函 数的 图 象 交 于 点A， 与 x 轴交于点B， 将 线 段 绕 点B逆时针旋转至线段，若点C恰好也在反比例函数图象上，则k的值为_______ · 【答案】 【思路引导】设，求解，过作轴于，过作轴于，证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【规范解答】解：∵直线l：与 反 比 例 函 数的 图 象 交 于 点A， 与 x 轴交于点B， 设， 当时，则， ∴， 过作轴于，过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵在上， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴， 故答案为： 【考点剖析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数与一次函数的综合应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题 13．如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【思路引导】（1）利用“”，可得，从而，，根据，等量代换即可说明； （2）利用“”，可得，从而，，再根据，等量代换即可． 【规范解答】（1）解： ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ； （2）解：成立，理由如下， ， ， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ． 【考点剖析】注意识别题中的“一线三等角”模型和类比的数学思想． 14．如图，是线段的中点，，过点作直线交、于点、． (1)证明：； (2)若，的垂直平分线交线段、于点、，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据证明，进而可得； （2）连接，证明都是等腰直角三角形，得出，证明，得出，．由（1）知，，从而，可得，然后根据即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴． ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵的垂直平分线交线段、于点、， ∴． ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 由（1）知，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 15．综合与实践 在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足 (1)如图1，当时，猜想线段、、之间满足的数量关系，并进行证明； (2)如图2，当 时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请进行证明； (3)如图3，在△中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，△的面积是，请求出△与△的面积之和． 【答案】(1)，证明见解析 (2)成立，理由见解析 (3)4 【思路引导】此题考查三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意得，可得 ，有和，即可证明结论； （2）根据，得，即可证明 ，则有和，即有成立； （3）根据全等三角形的判定和性质定理以及三角形的面积的计算即可得到结论． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， ，， 则． （2）解：仍然成立， 理由：， ， ， ， ， ，， ； （3）解：同（2）可得 ， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， 即 ， 16．一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型． (1)如图1，在中，，点在直线上，过点作于点，过点作于点，由得___________．又知道，可以推理得到，进而得到___________． (2)当图1中的直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． (3)当图1中的直线绕点旋转到图3的位置时，请直接写出．之间的数量关系：___________． (4)如图4，若将（1）中的条件改为：在中，， D，A，E三点都在直线上，且满足，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4)成立，理由见解析 【思路引导】本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键，在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论． （1）由垂直得，由同角的余角相等得，因此根据可以证明，结合全等三角形的对应边相等证得结论； （2）根据全等三角形的判定定理推知，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得； （3）同理（2）可得，，进而即可得出； （4）同理（1）可以证明，根据全等三角形的判定定理推知． 【规范解答】（1）证明：， 在和中 ，， （2）证明： 在和中 ，， （3）， 同理（2）可得： ，， ． （4）成立，理由如下： 在和中 17．问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）存在；理由见解析；（3）或 【思路引导】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）过点作交于点，同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【规范解答】解：（1）如图，过点作，交的延长线于点， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）存在， 理由如下：如图，过点作交于点， 由旋转得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，当在的延长线上（点在点的右侧）时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ， ； 当在的延长线上（点在点的左侧）时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ，， ， ； 综上：或． 18．某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程： 【问题解决】 （1）如图①，在矩形中，点E为边上一点，将绕点E顺时针旋转后得，若点F恰好落在边上，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点E为的中点，将绕点E顺时针旋转后得，连接．若，求点F到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图③，在菱形中，点E为边上任意一点，点F在上，，交于点O．若，，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由旋转可知：，推出，即可； （2）作，证，得；根据四边形是矩形，得，即可求解； （3）若，则点与点重合，点与点重合，此时；若，证，得，即可求解 【规范解答】（1）证明：由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作，如图所示： 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴； ∵点E为的中点，， ∴； ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即点F到的距离为； （3）解：若，则点与点重合，点与点重合，此时； 若， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴ 19．（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）为等边三角形 【思路引导】（1）只需要证明，根据已知条件，结合全等三角形的判定定理即可解答； （2）运用类比的方法，同样可以证明； （3）结合（2）及已知条件，利用可以证明； 接下来根据全等三角形的性质可以得到，，至此问题即可解答． 【规范解答】（1）证明：直线l，直线l， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 【考点剖析】根据“一线三等角”模型，准确证明三角形全等是正确解答此题的关键． 20．通过对“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】如图①，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：； 【模型应用】如图②，且，且，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、4，则五边形面积为 ； 【深入探究】如图③，，，，连结，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为 ． 【答案】【模型呈现】证明见解析；【模型应用】50；【深入探究】63 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，不规则面积的求解，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【模型呈现】根据角角边的证明方法证明与全等即可得证； 【模型应用】由上一问同理可证，，，由此可求解边的长度，再由五边形的面积为梯形的面积减去四个三角形的面积求解即可； 【深入探究】添加辅助线，构造全等三角形，再证明与全等，由此可得，再根据边长的关系求解边长，代入三角形面积公式求解即可． 【规范解答】【模型呈现】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【模型应用】解：由【模型呈现】可知，，， ∴，，，， ∴， ∴梯形的面积为， ，， ∴五边形面积为； 故答案为：50； 【深入探究】解：过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，如图④， 由【模型呈现】可知，，， ∴，，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：63． 2 / 2 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