专项10 三角形相似的证明与计算（多模型）8大题型（大题专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项10 三角形相似的证明与计算（多模型） 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年考情，三角形相似的证明与计算是中考数学解答题的中档至压轴的核心主干内容，分值约 8–14 分（常为第 18–23 题，常与圆、二次函数、动点问题结合，在压轴题中作为关键推理步骤）。 ### 命题趋势 - 解答题：稳定考查三角形相似的判定与性质应用，核心为： 1. 相似判定：根据已知条件，选择 AA（两角对应相等）、SAS（两边成比例且夹角相等）、SSS（三边成比例） 或 HL（斜边与一直角边成比例，仅直角三角形） 证明两个三角形相似； 2. 相似计算：在证明相似的基础上，利用对应边成比例列比例方程（或结合勾股定理、等面积法、三角函数）求线段长度、周长比、面积比； 3. 多模型融合：题目中出现多个相似模型（A 字型、X 字型（8 字型）、K 型（一线三等角）、母子型、双垂直型、手拉手型等），需要灵活识别并多次运用相似传递； 4. 与几何图形深度结合：相似常在圆（圆周角定理、弦切角定理、相交弦定理）、二次函数（坐标系下的相似三角形存在性）、四边形（矩形、菱形中的相似）中考查； 5. 动态几何中的相似：动点运动过程中，某时刻两个三角形相似，需要分类讨论对应顶点，列比例方程求时间或坐标。 - 命题特点：“模型识别是前提，比例计算是关键”。相似相比全等更加灵活，因为只要求形状相同而不要求大小相等，因此判定条件更宽松（只需要角等或边成比例），对应的分类讨论和计算量更大。近年趋势： - 全等与相似嵌套考查：先证全等得角等，再证相似得比例；或先证相似得比例，再结合其他条件证全等； - K 型（一线三等角） 成为绝对热门，尤其在坐标系中构造相似求点坐标或函数解析式； - 圆中的相似 考查频率稳定（如直径所对圆周角为 90°，通过等弧或等角证相似）； - 相似三角形存在性问题 在二次函数压轴题中成为“标配”，考查分类讨论思想； - 面积比与相似比的平方 的运用考查增加，要求熟练记忆并灵活转化。 ### 2026 年预测 - 解答题极大概率会出现三角形相似的证明与计算，形式稳定； - K 型（一线三等角模型） 仍然是最高频模型，在坐标系背景下常通过构造“K 型相似”求点坐标或解析式； - 手拉手相似模型（两个等腰三角形或任意三角形共顶点旋转，出现相似三角形对）考查热度上升，常与旋转、最值问题结合； - 母子型相似（直角三角形斜边上的高） 依然是直角三角形背景下的经典模型，常结合射影定理进行快速计算； - 相似三角形存在性问题（在二次函数图象上找一点使与已知三角形相似）仍为压轴题热点，需要熟练掌握“对应顶点分类 → 比例方程 → 求解并检验”的通法； - 圆中的相似 会稳定考查，特别是与切线、割线结合（切割线定理、相交弦定理的推导本质上就是相似）； - 难度趋势上，图形更复杂，模型嵌套更深，计算量适度增大（比例方程出现分式、根号或参数），但对基本相似模型的准确识别仍是得分突破口。 题型01 相似模型之“A”字模型 析典例·建模型 1．（2026·上海虹口·一模）如图，、分别是边、上的点，且，． (1)求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，把数值代入进行计算，即可作答． （2）结合，证明，又因为，故，把数值代入，得（负值已舍去），即，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 由（1）得，， ∴， 则， ∴， ∴ ∴（负值舍去）， ∴ 解得． 研考点·通技法 1. 识别模型特征：在△ABC中，DE∥BC（或∠ADE=∠ABC），形成“A”型相似（△ADE∽△ABC）。常见于梯形、平行四边形或动态几何中。 2. 比例转化技巧：由相似得对应边成比例，如 = = 。注意利用平行线分线段成比例定理 = 快速计算。 3. 求值或证关系：已知两段长求第三段；或证线段积相等（如AD×BC = AB×DE）。若为斜“A”型（共角不共边），需先证两角相等。常用于求高或内截矩形边长。 破类题·提能力 1．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，点在边上，过点作交边于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，由得出，再结合已知条件，利用 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 证明四边形是平行四边形； （2）根据菱形的四条边相等的性质，设菱形的边长为，表示出的长度，再由证明，利用相似三角形对应边成比例列方程求解，得到菱形的边长． 【详解】（1）证明：， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当四边形是菱形时， 设，由得：， ， ， ， ， 解得：， 即：菱形的边长为． 2．（2026·安徽合肥·一模）按问题背景、进行迁移、拓展应用完成下列问题： (1)【问题背景】如图，在中．点D，E分别在边，上，，点F为线段上一点，连接并延长交于点G，求证：． (2)【迁移应用】如图，在中，，，，点D，E分别在边，上，，点F为线段上一点，，延长交于点G，连接，，过点A作,垂足为H，求的长． (3)【拓展提高】 如图,在中，点D，E分别在边，上，，，点F为的中点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，过点C作，分别交，的延长线于点M，N若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证,,得即可解答； （2）由得，利用勾股定理求出，证，得，再证，依据求解即可； （3）设,,则,,,,证，依据求解即可． 【详解】（1）证明：∵, ∴,. ∵,, ∴,, ∴, ∴. （2）解：∵, ∴. ∵, , , ∴, ∴, , ∴, ∵,, ∴, ∴, ∴,, ∴,. ∵,, ∴, ∴, ∴, ∴. （3）解：∵ ∴,. ∵, ∴, ∴, ∴. ∵, ∴,, ∵点F为的中点, ∴. 由（1）知,, ∴, ∴, ∴. 设,, 则,, ,, ∴. ∵, ∴, ∴, ∴, ∴. 题型02 相似模型之“X”字模型（“8”字模型） 析典例·建模型 1．（2026·上海闵行·一模）如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且． (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据已知易证，，由直角三角形的性质可得，进而得到，即可证明结论； （2）由题意得，易证，由直角三角形的性质可得，推出，，易证，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 又在中，点为中点， ， ， ； （2）证明：平分， ， ， ， 又点是中点，， ， ， ∵ ， ， ． 研考点·通技法 1. 识别模型特征：两线段相交于中点或任意点，形成对顶角，且另一组角相等（通常由平行或已知角相等得到），构成“X”型相似（△AOB∽△COD）。 2. 平行时的比例：若AB∥CD，则 = = ，且线段成比例。常与梯形、平行四边形结合，利用中位线或延长线构造模型。 3. 非平行时证角等：若已知两角相等（如公共角、对顶角加已知角），先证相似，再转化边比例关系。常用于圆中相交弦、三角形中线、角平分线问题。注意分清楚对应边。 破类题·提能力 1．（2025·安徽池州·一模）如图，在矩形中，点在边上，连接，交对角线于点，且． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)的长为 (3) 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）如图，连接，交对角线于点，根据矩形的性质得到，，则，由等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）根据矩形的性质得到，，则，设，则，，所以，由此列式求解即可； （3）设，，由矩形的性质，结合题意得到，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，整理得，所以，即，由（2）知，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交对角线于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为． （3）解：设，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴，即， 整理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴． 2．（2026·四川成都·一模）如图，在中，点E是线段的中点，点F在的延长线上，且，连接交线段于点G． (1)求的值； (2)当时． i）如图1，若的面积是，求k的值； ⅱ）如图2，连接，若，求的长（用含k的代数式表示）． 【答案】(1) (2)i）；ⅱ） 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，则可证明，证明得到，据此可得答案； （2）：i）如图所示，连接，由相似三角形的性质得到，，同理可得，则；可求出，证明；求出，则，，由勾股定理得到，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可；ⅱ）如图所示，连接，设交于点M，证明，得到；设，证明，可推出；设，则，由勾股定理可得，即，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：i）如图所示，连接， 由（1）可得， ∴，， ∴同理可得， ∵的面积是8， ∴； ∵点E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）； ⅱ）如图所示，连接，设交于点M， 由（1）（2）得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 设， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； 设，则， 由（2）i）得，则（平行线的性质）， 在和中，由勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 题型03 相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型） 析典例·建模型 1．（2026·新疆·一模）问题解决：（1）如图①，在中，分别是边上的一点，，，若，，求的长； 类比探究：（2）如图②，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，与交于点．求出与的位置关系，并说明理由； 拓展延伸：（3）如图③，在四边形中，，点分别在边上，，若，，求的值． 【答案】（1）3；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）过点作，交延长线于点，设交于点，易得四边形是平行四边形，，在中，由求解即可； （2）结合角平分线的定义可知，，再根据平行四边形的性质可得，进而可得，然后证明，易得，即可证明； （3）过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，过点作，交于点，交于点，连接，设交于点，易得四边形是矩形，首先证明，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，设，，则，，结合，，可列二元一次方程组并求解，进而可得，，，；证明四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质证明，可得，结合，即可解得的值． 【详解】解：（1）如下图，过点作，交延长线于点，设交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 在中，； （2），理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； （3）如下图，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，过点作，交于点，交于点，连接，设交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∵，， ∴，， 联立，解得， ∴，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 研考点·通技法 1. 识别模型特征：是“A”字与“X”字的复合图形。常见于四边形中，一组对边平行（如AD∥BC），连接对角线或腰的延长线相交于一点，形成多个相似三角形（如△EAD∽△EBC、△EOA∽△COB等）。 2. 利用平行导比例：由平行线得两组对应角相等，进而证△EAD∽△EBC。结合对顶角证△EOA∽△COB，通过比例传递（如 = = ）求线段长。 3. 整体与局部切换：关注整个图形中的等比代换（如中间比 = ）。常与梯形、平行四边形证明结合，用于求面积比或判断线段关系（如 + = ）。注意分辨对应顶点顺序。 破类题·提能力 1．（2025·安徽铜陵·一模）如图，四边形中，，，、相交于点，，垂足为点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求的值； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）如图，过点作于点，证明四边形是矩形，得，进一步证明垂直平分，即可得证； （2）证明得，推出，证明，由相似三角形的性质可得结论； （3）证明得，设，则，得，进一步推出，得，推出，得，再推出，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∴垂直平分， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：由（2）知，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（2025·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由，可证，则，同理可得：，则，两边同时除以，可得． （2）由，，，，可得，，证明，则，同理，，则，两边同时除以得，，进而可得；（3）由（1）可知，，，则，解得，，则，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 题型04 相似模型之“母子型”模型（共边共角模型） 析典例·建模型 1．（2026·上海金山·一模）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）等边对等角，得到，三角形的外角的性质结合角的和差关系求出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴，即， ∴． 研考点·通技法 1. 识别模型特征：在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分成两个小直角三角形，它们分别与原三角形相似（△ACD∽△ABC∽△CBD），形成“母子”关系。 2. 比例中项结论：由相似得重要结论：AC2 = AD×AB，BC2 = BD ×AB，CD2 = AD×DB（射影定理）。常用于已知两段求第三段，或证明等积式。 3. 一般三角形推广：若∠1=∠2=∠3（如角平分线或公共角），也可得△ABD∽△ACB，推出AB2= AD× AC。常见于圆中切割线定理、角平分线模型。注意找准对应边。 破类题·提能力 1．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连结．过点C作，交边于点D，交线段于点F． (1)边的长为____； (2)当时，求的长； (3)当时，求的值； (4)连结，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长． 【答案】(1)4； (2)； (3)； (4)的长为或． 【知识点】用勾股定理解三角形、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、已知余弦求边长 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）分、两种情况，利用相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质求解即可； （3）过点E作，交于点H ，根据勾股定理求出，，由，即，求出，得到，根据，得到，，即可得到． （4）分以为对称轴、以为对称轴讨论，利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴． 故答案为：4． （2）解：∵， 当时， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 综上，的长为． （3）解： 如图，过点E作，交于点H ， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）解：当四边形为轴对称图形时， ①如图，以为对称轴时，则， ∴； ②如图，以为对称轴时，则， ∴点D到的距离相等， 设点D到的距离为h，点C到的距离为m， ∴， ∴，即， 综上，的长为或． 2．（2025·湖北武汉·一模）（）【提出问题】如图，是的边上一点，且．求证：； （）【探究问题】在四边形中，，，是边上一点，连接交于点，且． ①如图，若，，，求的长； ②如图，若为的中点，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可证明结论； （2）①导角证明，得到；求出，得到，证明，得到，设，由勾股定理得，解方程即可得到答案；②如图所示，延长交于F，连接，证明，得到，则可证明，再证明，得到，设，则，可得，则，即． 【详解】（）证明：∵，， ∴， ∴； （）①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ②如图所示，延长交于F，连接， ∵，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， ∴，即． 题型05 相似模型之一线三等角模型 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）已知，过点A作直线，使点B和点C在直线的两侧，在直线上取点E和点F，连接，． (1)如图①，当，，时，求证：； (2)如图②，当，，，，时，求线段的长； (3)如图③，当，，，，，时， ①求线段的长； ②设与相交于点G，直接写出线段的长； 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)①；② 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，进而得到，从而证明； （2）过点作线段，使，交延长线于点，易得到，根据平角的性质得到，证明，从而得到； （3）①过点作交于点、过点作于点，易证明，则，进而得到、，在中，、，设、，则，根据列方程求出的值，从而求出的长； ②过点作交于点，根据平行线和等腰三角形的性质得到是等边三角形，进而得到，证明，进而得到，根据求出的长，再利用求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图2，过点作线段，使，交延长线于点， 在中，， ， ， 、， ， 、， 、， 在和中， ， ， ； （3）①解：如图，过点作交于点、过点作于点， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， 在中，， ， 设、，则， ， ， ， 解得：， ， ； ②解：如图，过点作交于点， 由①知，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 由①知，， ． 研考点·通技法 1. 识别模型特征：一条直线上有三个相等的角（通常为锐角或直角），顶点均在该直线上。常见于矩形折叠、等边三角形背景或坐标系中，利用外角性质证另一组角相等。 2. 证相似：由已知等角（如∠B=∠C=∠EDF）和外角定理得∠BED=∠CDF，从而△BDE∽△CFD。若为直角（K型图），则△BDE∽△CEF。 3. 转化比例求值：由相似得对应边成比例，如 = = 。若图形中含等腰三角形或中点，可推出两边相等，进一步建立方程求未知线段。常用于全等与相似的判定。 破类题·提能力 1．（2025·安徽淮北·一模）如图1，在四边形中，，点E是上一点，且． (1)求证：． (2)①如图2，若，当时，求证： ②如图3，当，，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，结合即可得证； （2）证明：由相似三角形的性质可得，证明为直角三角形，结合，即可得证；②由相似三角形的性质可得，，作于，于，求出，得到，，，由勾股定理可得，，作于的延长线，交延长线与，由，，知，在中，，求得，在中，求得的长． 即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：由（1）可知：， ∴， ∵，， ∴为直角三角形， ∵， ∴， ∴； ②解：由（1）可知：， ∴， ∵，，， ∴，， 如图，作于的延长线，交延长线与， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ，， ， 在中，，， ，已知， ， 中，． 2．（2025·广东深圳·二模）在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】（1）如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】（2）如图2，，，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图3，与交于点，，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）证明，由为中点得到，则，得到，，即可得到答案； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，证明都是等腰直角三角形，则，证明，即可得到答案； （3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，利用解直角三角形和相似三角形的判定和性质进行证明即可． 【详解】（1）∵四边形为正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为中点 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵， ∴， ∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ （3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于， 不妨设，则，由，得 由 ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴，相似比为 ∴ ∵ ∴ ∴ 题型06 相似模型之手拉手模型 析典例·建模型 1．（2026·湖北襄阳·一模）中，，将绕点A旋转得到，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，交于点N，点N为的中点，，，求线段的长； (3)如图3，点N为的中点，延长分别交于H、F． ①求证：，②当时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，再证明，即可证明； （2）可证明；由直角三角形的性质得到，则，则可证明；过点A作于点H，则四边形是矩形，则，由三线合一定理可得； （3）①可证明，进而证明，则可证明，即可推出；②过点A作于点T，同理可得四边形是矩形，，则；设；可证明，得到，则，，进而得到，，则；由相似三角形的性质可得；过点A作于点S，则，，过点H作于点R，设，解直角三角形得到，，，则，据此可得，则，，由此可得答案． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴； ∵点N为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，过点A作于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①∵点N为的中点，， ∴， ∴； 由（2）得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，过点A作于点T， 同理可得四边形是矩形，， ∴， 同理可得； ∵， ∴可设； ∵， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴； ∵点N为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴； 如图所示，过点A作于点S，则， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，过点H作于点R，设， ∴， ∴； 在中，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 研考点·通技法 1. 识别模型特征：两个一般三角形（或等腰三角形、相似三角形）共顶点，顶角相等，对应边成比例。常见于动态几何中，旋转其中一个三角形，连接对应端点形成新图形。 2. 相似传递与旋转：由共顶点的两个三角形相似，通过“边角边”（SAS）证明另一对三角形相似（如△AOC∽△BOD）。旋转中心为公共顶点，旋转角等于顶角。 3. 结论与应用：相似推出对应边成比例、对应角相等。常得两连线夹角等于顶角，且连线所在直线相交所成锐角等于顶角。用于求角度、证明线段积相等或存在性。注意相似与全等模型的区别（全等是特殊的相似）。 破类题·提能力 1．（2026·河南周口·一模）综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用证明，即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边成比例，令，利用勾股定理求出，即可求解； （3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的数量关系，证明，确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴令， 由勾股定理得， ∴； （3）解：①如图所示，，，三点共线， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ②如图所示，，，三点共线， 此时，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上，的长为． 2．（2026·江苏宿迁·一模）按要求解答问题： (1)【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． (2)【迁移应用】如图，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段和始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． (3)【创新应用】如图：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；；② (3) 【分析】（1）利用两边成比例夹角相等的两个三角形相似及相似三角形的性质； （2）①利用相似三角形的性质证明与之间的关系，本题即可求解； ②连接，利用相似三角形的性质求出，再利用三角形的中位线的性质，求解即可； （3）过点作，过点作，连接，证明，求出与本题即可求解． 【详解】（1）解：如图，， ， ， ， 又， ， ； （2）解：①如图，在中， ， ， ， 又， ． 如图，延长与相交于点，与相交于点， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， 即，． 故答案为：；； ②如图，连接， ， ， 又， ， ， 又∵M是的中点，N是的中点， ； ； （3）解：如图，过点作，过点作，连接， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 即． 题型07 相似模型之半角模型 析典例·建模型 1．（24-25九年级上·江苏南京·月考）【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型—“半角模型”：如图1，在正方形中，E、F在边上，，连接．请你写出线段、、的数量关系：_______； 【探索发现】如图2，小明连接对角线，与、交于点M、N，图中与相似的三角形共有___________个，请你选择其中一组证明； 【深入研究】正方形边长为1，设的长为x，的长为，求与的函数关系式． 【答案】（1）；（2）5，见解析；（3） 【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明，得出，，证明，得出，则可得出结论； （2）根据正方形的性质和相似三角形的判定方法即可得到结论； （3）由（1）知，，根据相似三角形的性质得到，作于O，过A作于P，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，由（1）知，，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）； 理由：延长到点G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）与相似的三角形有． 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 将绕点A顺时针旋转得到， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相似的三角形有， 故答案为：5； （3）由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于O，过A作于P， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 研考点·通技法 1. 识别半角特征：一个大角（90°或120°）内包含其半角（45°或60°），顶点重合。通常通过旋转或翻折将分散的两条边集中到同一个三角形中。 2. 旋转构造相似：将含半角的三角形旋转至与大角另一边重合，构造手拉手相似。例如正方形中，旋转△ABE至△ADG，则△AEF∽△AGF，利用对应边比例推导数量关系。 3. 结论与求值：常见结论：半角所对边的平方等于两邻边平方和（勾股型）或线段倍数关系。利用相似建立比例方程，可求线段长或证明等积式。常用于折叠问题、最值问题。注意全等与相似版本的差异。 破类题·提能力 1．（2026·江苏盐城·一模）主题式学习：实验初中九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动． 如图1，E、F分别为正方形的边上的动点，连接，且满足． (1)【常规探究】在图1中，线段之间的数量关系为____． (2)【变式思考】如图（2），正方形的边长为6，点E为边上的点，连接，取的中点G，F为边上的点，且，若，求的长． (3)【拓展应用】如图（3），点E，F为正方形的边所在直线上的动点，点E在点F的左侧，且满足，求的最大值，请直接写出结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）【常规探究】延长至G，使，连接，可证得，从而，，进而证得，从而，进一步得出结果； （2）【变式思考】延长，交的延长线于W，作于V，可得出，从而得出的值及，可证得，从而得出，根据勾股定理等知识求得，可证得，根据得出的值，进而得出的值，进一步得出结果； （3）【拓展应用】可判断当点E在的延长线上，点F在上时，存在最大值，作，交于G，作于W，则，，可证得，从而，从而得出，作的外接圆O，作于，交于，当G点在处时，最大，进一步得出结果 【详解】（1）解：【常规探究】如图1，，理由如下： 延长至G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：【变式思考】如图2， 延长，交的延长线于W，作于V， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，G是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：【拓展应用】如图3， 当点E在的延长线上，点F在上时，存在最大值， ， 作，交于G，作于W，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆O，作于，交于， 当点在处时，最大， 由得， ∴，，， ∴， ∴， ∴最大值． 题型08 相似模型之对角互补模型 析典例·建模型 1．（2025·河南焦作·一模）【操作判断】 如图1，为两条互相垂直的射线，为的平分线上任意一点，过点作，分别交射线于点．此时在的两侧，试探究之间的数量关系． 以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答． 解：，理由如下： 过点作于点于点，则四边形为矩形． 平分，．① ，． ，② ．… （1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______； 【迁移探究】 （2）如图2，若过点作的两条垂线在的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明； 【拓展应用】 （3）如图3，若为内部一点，且，请直接写出与之间的数量关系（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，；（2）不发生变化，依旧是，理由见解析；（3） 【知识点】角平分线的性质定理、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据解析过程即可求解； （2）过点作于点，作于，则四边形是矩形，根据角平分线性质得到，再证明即可； （3）过点作于点，作于，证明，则，而在中，，则． 【详解】（1）解：①的依据是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；②中所填的关系表达式为； （2）解：不发生变化，依旧是，理由如下： 过点作于点，作于， ∵为两条互相垂直的射线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点作于点，作于， ∵为两条互相垂直的射线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 研考点·通技法 1. 识别模型特征：四边形（或三角形）中，一对对角互补（和为180°）。常见于含60°、120°或90°、90°的图形，常与圆内接四边形、角平分线结合。 2. 构造旋转相似：以互补角的顶点为旋转中心，旋转一个三角形，将分散的边集中。通过“边角边”证相似，得对应边成比例。若含直角，可作双垂线构造“K”型相似。 3. 转化比例关系：由相似得 = ，可利用此求线段长或证明等积式。常与四点共圆结合，圆中同弧所对圆周角相等，得另一组角等。注意区分全等与相似情形。 破类题·提能力 1．（2025·辽宁大连·一模）如图1，在四边形中，，． (1)用等式写出和的数量关系是______； (2)如图2，连接，．求证：平分； (3)当，时，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到． ①如图3，当点恰好在上时，判断并说明四边形的形状； ②如图4，当交于点时，若，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①正方形，见解析；② 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据四边形内角和即可解答； （2）过点作交延长线于点，证明即可解答； （3）①先证明四边形为矩形，由（2）可得，平分，即可解答； ②过点作于点，交于点，则四边形是矩形，证明，，利用相似三角形的性质得到，即可得到，再根据题意得到，设，，则，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：根据四边形内角和为， 可得， 故答案为：； （2）解：如图，过点作交延长线于点， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ，， ， 即平分； （3）解：①由（1）得，， ， ， ， 四边形是矩形， 绕点旋转得到， ， 如图，过点作交延长线于点， ，， ，， ， ， ， ， ， 即平分， ， ， ， ， 矩形是正方形． ②如图，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ，， ， 设，，则， 在中，， ， 同理，， ， 解得，， ． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·辽宁丹东·一模）随着健康中国理念深入人心，全民健身需求日益增长，某小区物业决定在一块空地上修建运动场地．如图所示，为这块空地，已知空地的面积为，的长为，现计划在这块空地上修建一个矩形的运动场地，使在边上，点、点分别在边、边上． (1)求的边上的高； (2)为了充分利用空地，要使矩形运动场地的面积最大，求出其最大面积． 【答案】(1)的边上的高为 (2)矩形的面积最大为 【分析】（1）过点作，垂足为点，利用三角形的面积求解即可． （2）设交于点，的长为，由矩形的性质证明，由相似三角形的性质得出，再根据线段的和差得出，再根据矩形的面积公式列出关于x的二次函数，最后利用二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， ∵空地的面积为，长为210m ∴ ∴ ∴ 答：的边上的高为120m． （2）解：设交于点，的长为， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴拋物线开口向下， ∴当时，四边形面积最大，即 答：矩形的面积最大为． 2．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，是边上的中线，是上一点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，，求面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作与的延长线交于点，，，然后根据相似三角形的性质以及三角形的中线的性质证明即可； （2）可得，则，故当最大时，面积最大，而则点在以为直径的圆上运动，过点作于点，那么，即可求解面积的最大值，即可求解面积的最大值． 【详解】（1）证明：过点作与的延长线交于点， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴当最大时，面积最大， ∵，是边上的中线， ∴ ∴点在以为直径的圆上运动， 过点作于点， ∴， ∴的面积最大值为， ∴面积的最大值为． 3．（2026·河南开封·一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． 【拓展探究】如图1，在中，，，垂足为D． (1)兴趣小组的同学得出．理由如下： ①________ ②________ 请完成填空：①________；②________； (2)如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． (3)【学以致用】如图3，是直角三角形，，，，平面内一点D，满足，连接并延长至点E，且，当线段的长度取得最小值时．请直接写出线段的长． 【答案】(1)①；② (2)直角三角形，见解析 (3) 【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，求出，以点为圆心，1为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是直角三角形；理由如下： ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （3）解：， ， ， ， ∵， 如图，以点为圆心，1为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接， 则， ∵为的直径， ∴， ， ∴， ， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 4．（2026·安徽合肥·一模）矩形中，E为边上一点，F为矩形内一点，且，，延长与直线交于点Q，与直线交于点H，延长与直线交于G点． (1)如图1，当E为中点时， ①求证：； ②若，，求长； (2)如图2，若，当G恰好为中点时，求证：． 【答案】(1)①见解析；② (2)见解析 【分析】（1）①先证明，，进一步可得结论． ②证明，以及．设，则，则，，进一步求解即可． （2）由（1）可知，，证明，进一步可得．设，则，，进一步求解即可． 【详解】（1）证明：①E为BC中点， ． 又， ． ，，且， ∴， ， ． 又∵， ， ∴，． ②由①可知，，， ， ∵，， ， ，． ， ∴， ∴． 设，则，则， ， ，， ， 解得，（负根舍去） ． （2）证明：由（1）可知，，， ∴， ， ∵，， ∴， ． ， ． 设，则，， ∴， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ∴， ，， ． 5．（2026·湖南株洲·一模）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为负值，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，叫做旋转角． (1)填空： ①如图1，将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为A（_____，_____）； ②如图2，是边长为的等边三角形，，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为__________． (2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，求证：． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 【分析】（1）①直接根据定义作答即可；②根据旋转相似变换，得到，再通过勾股定理解答即可； （2）根据经过得到，得到，得到，；根据经过得到，得到，得到从而得到；由得即结合得到得到，继而得到得到． 【详解】（1）解：①根据新定义的意义，得答案为； ②根据旋转相似变换，得到，， 是边长为的等边三角形， ，， ． （2）证明：∵经过得到， ∴． ∴，； ∵经过得到， ∴． ∴ ∴； ∵， ∴即， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 6．（2026·四川达州·一模）如图1，在矩形中，已知，点E，F分别是的中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为，连接，． (1)【问题发现】 ①当时，___；②当时，___； (2)【拓展探究】 在绕点C的旋转过程中，的值有无变化？若无变化，请就图2的情形给予证明；若变化，请说明理由； (3)【问题解决】 当旋转至A，F，E三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】(1)； (2)的大小无变化．证明见解析 (3)的长度为或． 【分析】（1）①根据矩形中，，，，运用勾股定理得到，当时，根据E、F分别是、的中点，即可求解；②当时，由，即可求解； （2）根据旋转性质得到，结合，推出，推出； （3）根据，求出，根据，得到，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，如图， ∵矩形中，，，， ∴， ∵点E、F分别是、的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴； （2）解：由旋转知，， ∵， ∴， ∴； （3）解：A、F、E三点共线时，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当点F在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴； 当点F在线段延长线上时，如图， ， ∴； 故的长度为或． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专项10三角形相似的证明与计算（多模型) ee。e●ee●。●。。。。●。●。●。。。●e●0e●●00●00●。●●●e●●●。●●●●●●●●e●●●e。●。e●●●e●●●。●●9。。。●●●。●。●●●。●●●●● 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 PART 命题解码•定方向 根据近五年考情，三角形相似的证明与计算是中考数学解答题的中档至压轴的核心主干内容，分值约 8-14分（常为第18-23题，常与圆、二次函数、动点问题结合，在压轴题中作为关键推理步骤）。 ##命题趋势 ·解答题：稳定考查三角形相似的判定与性质应用，核心为： 1.相似判定：根据己知条件，选择AA(两角对应相等)、SAS(两边成比例且夹角相等)、SSS(三 边成比例)或HL(斜边与一直角边成比例，仅直角三角形)证明两个三角形相似： 2.相似计算：在证明相似的基础上，利用对应边成比例列比例方程（或结合勾股定理、等面积法、三 角函数)求线段长度、周长比、面积比： 3.多模型融合：题目中出现多个相似模型(A字型、X字型(8字型)、K型（一线三等角）、母 子型、双垂直型、手拉手型等)，需要灵活识别并多次运用相似传递； 4.与几何图形深度结合：相似常在圆（圆周角定理、弦切角定理、相交弦定理）、二次函数（坐标系 下的相似三角形存在性)、四边形（矩形、菱形中的相似）中考查； 5.动态几何中的相似：动点运动过程中，某时刻两个三角形相似，需要分类讨论对应顶点，列比例方 程求时间或坐标。 ·命题特点：“模型识别是前提，比例计算是关键”。相似相比全等更加灵活，因为只要求形状相同而 不要求大小相等，因此判定条件更宽松（只需要角等或边成比例），对应的分类讨论和计算量更大。近 年趋势： ~全等与相似嵌套考查：先证全等得角等，再证相似得比例；或先证相似得比例，再结合其他条件证 全等； -K型（一线三等角）成为绝对热门，尤其在坐标系中构造相似求点坐标或函数解析式； ·圆中的相似考查频率稳定（如直径所对圆周角为90°，通过等弧或等角证相似）； ·相似三角形存在性问题在二次函数压轴题中成为“标配”，考查分类讨论思想； -面积比与相似比的平方的运用考查增加，要求熟练记忆并灵活转化。 1/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ##2026年预测 ·解答题极大概率会出现三角形相似的证明与计算，形式稳定； -K型（一线三等角模型）仍然是最高频模型，在坐标系背景下常通过构造“型相似”求点坐标或解 析式： ·手拉手相似模型（两个等腰三角形或任意三角形共顶点旋转，出现相似三角形对)考查热度上升，常 与旋转、最值问题结合： ·母子型相似（直角三角形斜边上的高）依然是直角三角形背景下的经典模型，常结合射影定理进行快 速计算； ·相似三角形存在性问题（在二次函数图象上找一点使与已知三角形相似)仍为压轴题热点，需要熟练 掌握“对应顶点分类→比例方程→求解并检验”的通法； ·圆中的相似会稳定考查，特别是与切线、割线结合（切割线定理、相交弦定理的推导本质上就是相似）： -难度趋势上，图形更复杂，模型嵌套更深，计算量适度增大（比例方程出现分式、根号或参数），但 对基本相似模型的准确识别仍是得分突破口。 ☑ PART 02 解题建模•通技法 >题型01相似模型之“A”字模型<《〈 析典侧建摸型 1.(2026上海虹口一模)如图，D、E分别是ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC, DE=4,BC=12.AE=3 B (1)求CE的长； (2)如果LACD=LABC,求CD的长. ♪考点通技法 2/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 厂一一-一一-一-一- 1.识别模型特征：在△MBC中，DE∥BC(或∠ADE=∠ABC),形成“A”型相似（△ADE∽△ABC)。 常见于梯形、平行四边形或动态几何中。 2比例转化技巧：由相似得对应边成比例，如器=能器。注意利用平行线分线段成比例定理铝 = AB DB AE快速计算。 |3.求值或证关系：己知两段长求第三段；或证线段积相等（如AD×BC=AB×DE)。若为斜“A”型（共 」角不共边)，需先证两角相等。常用于求高或内截矩形边长。 破送题提能力 1,(2026贵州遵义一模)如图，在ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC交边AC于点E, LB=ZEFC B (I)求证：四边形DEFB是平行四边形； (2)当四边形DEFB是菱形时，AB=10,BC=8,求菱形的边长 2.(2026安徽合肥一模)按问题背景、进行迁移、拓展应用完成下列问题： (I)【问题背景】如图，在ABC中.点D,E分别在边AB,AC上，DE∥BC,点F为线段DE上一点， 连接F并延长交BC于点G,求证： DF BG EF CG (2)【迁移应用】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6,点D,E分别在边AB,AC上， DE∥BC,点F为线段DE上一点，2-子延长F交BC于点C,连接Cr,CP1AG,过点4作 AH⊥BC,垂足为H,求CF的长. 3/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B (3)【拓展提高】 如图，在ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，BE=BD,AC=DC,点F为AE的中点，连接DE并 延长，交CF的延长线于点G,连接AG,过点C作MN∥AB,分别交GD,GA的延长线于点M,N若 DE=5,EG=4,求AG的长， >题型02相似模型之“X”字模型（“8”字模型)<《 析典侧建摸型 1.(2026上海闵行一模)如图，线段AD、BC相交于点E,点F是线段ED的中点，连接AB、BD、CD, 分别延长B从、FC交于点G.已知∠BAD=90,且5=BE CE DE B D (I)求证：LABE=LFCD; (2)如果DA平分∠BDC,求证： BG BC BD 2CF 考点通技法 4/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.识别模型特征：两线段相交于中点或任意点，形成对顶角，且另一组角相等（通常由平行或已知角相等 得到)，构成“X”型相似（△4OB∽△COD)。 2平行时的比例：若AB/CD,则架器二，且线段成比例。常与梯形、平行四边形结合，利用 OC 中位线或延长线构造模型。 3.非平行时证角等：若己知两角相等（如公共角、对顶角加已知角），先证相似，再转化边比例关系。常！ 用于圆中相交弦、三角形中线、角平分线问题。注意分清楚对应边。 破类题提能力 1. (2025安徽池州：一模)如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，连接CE,交对角线BD于点F,且 AE CE. D (1)若LADB=35°，求∠DCE的度数； (2)若EF=1,CF=4,求DE的长； (3)若DE=DF,求 票的雀 2.(2026四川成都一模)如图，在口ABCD中，点E是线段CD的中点，点F在BA的延长线上，且 AF=AB,连接EF交线段AD于点G. D D E G A A 图1 图2 03答约能： (2)当CE=EG=k时， D如图1，若△AFG的面积是&，4B=54D,求太的值： 3 ii)如图2，连接BG、AC,若∠BAC=∠AGB,求BC的长（用含k的代数式表示）· 5/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 >题型03 相似模型之“AX”字模型（“A8”: 字模型)<《 析典例：建模型 1.(2026新疆一模)问题解决：(1)如图①，在ABC中，D、E分别是AB、AC边上的一点， BE⊥CD,DE∥BC,若BC+DE=5,CD=4,求BE的长； 类比探究：(2)如图②，在口ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F,∠DCB的平分线CE交AD于 点E,BF与EC交于点N,求出BF与CE的位置关系，并说明理由； 拓展延伸：(3)如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E、F分别在边BC、AB上，AE⊥DF,若 AB=AD=10,BC=CD=5,求DF的值 AF D B 图① 图② 图③ 砑考点通技法 识别瓶型特：是A字与字的复合图形.希见于四边形中，一组对边平行（如D/BC)，连】 】接对角线或腰的延长线相交于一点，形成多个相似三角形（如△EAD∽△EBC、△EOA∽△COB等）。 !2.利用平行导比例：由平行线得两组对应角相等，进而证△EAD∽△EBC。结合对顶角证△EOA∽△COB 1, 通过比例传递（如器=畏=噐）求线段长。 13. 整体与局部切换：关注整个图形中的等比代换（如中间比殷=。）。常与梯形、平行四边形证明结合， BO !用于求面积比或判断线段关系（如品+立声）。注意分辨对应顶点顺序。 破类题提能力 1.(2025安徽铜陵.一模)如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠DCB=90°，CD=2AB,AC、BD相交于 点E,EF⊥BC,垂足为点F,连接DF交AC于点G,连接BG. 6/19 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (1)求证：AD=AC; 2求EF 的值； CD (3)求证：BG∥AD. 2.(2025湖北模拟预测)(1)【问题背景】如图1，AB∥EF∥CD,AD与BC相交于点E,点F在BD 上.求证：+1-1 AB CD EF E A B D 图1 图2 图3 小雅同学的想法是将结论转化为EF+EF=1来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程. AB CD (2)【类比探究】如图2，AE⊥AB,BD⊥AB,GH⊥AB,DE与BC相交于点G,点H在AB上， 4E4c.求成衣0 (3)【拓展运用】如图3，在AC四边形ABCD中，AB∥CD,连接，BD交于点M,过点M作EF∥AB, 交AD于点E,交BC于点F,连接EC,FD交于点N,过点N作GH∥AB,交AD于点G,交BC于点H, 若AB=3,CD=5,直接写出GH的长 >题型04相似模型之“母子型”模型（共边共角模型）<《 析典侧建模型 1.(2026上海金山一模)如图，在ABC中，AB=AC,点E、D分别在边BC、AC上，∠AED=∠B 7/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (I)求证：△ABE∽△ECD; (2)若AB=10,BC=16,BE=12,求CD的长. 研哮点通技法 |1.识别模型特征：在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分成两个小直角三角形，它们分别与原三角形 |相似（△ACD∽△ABC∽△CBD),形成“母子”关系。 I2.比例中项结论：由相似得重要结论：AC2=ADXAB,BC2=BD xAB,CD2=ADxDB(射影定理)。常用I [于已知两段求第三段，或证明等积式。 |3.一般三角形推广：若∠1=∠2=∠3（如角平分线或公共角），也可得△ABD∽△4CB,推出AB2=AD×AC 常见于圆中切割线定理、角平分线模型。注意找准对应边。 破送题提能力 1.(2025吉林长春.一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2√5，AC=2,点E是边BC上一 点（且点E不与点B、C重合），连结AE,过点C作CD⊥AE,交边AB于点D,交线段AE于点F. E B (1)边BC的长为一： (2)当△CAF∽△ABC时，求AD的长； 同当CE=3时，求品的， (4)连结DE,当四边形ACED为轴对称图形时，直接写出BD的长 2.(2025湖北武汉.一模)(1)【提出问题】如图1，M是ABC的边BC上一点，且LMAB=∠ACB.求 证：M、AB AC BC (2)【探究问题】在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC,E是边CD上一点，连接BE交AC于点 P,且∠CBE=LACD. 8/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①如图2，若AB=3,BC=4,BE⊥CD,求BE的长； ②如图3，若E为CD的中点，直接写出9 的在 图1 图2 图3 >题型05相似模型之一线三等角模型<《 析典侧建模型 1.(2026辽宁沈阳一模)己知ABC,过点A作直线I,使点B和点C在直线1的两侧，在直线1上取点 E和点F,连接BE,CF. 图① 图② 图③ (1)如图①，当AB=AC,LBAC=60°，∠AEB=∠AFC=120°时，求证：ABE≌CAF; (2)如图②，当AB=AC,∠BAC=120°，∠AEB=∠AFC=60°，CF=2,AF=5时，求线段BE的长； 跏图③，当AB)AC,LBAC=120°，LAEB=60°，LAPC=75,BE=1,AEE4 ①求线段AF的长； ②设BC与EF相交于点G,直接写出线段FG的长； 研考点通技法 「1.识别模型特征：一条直线上有三个相等的角（通常为锐角或直角），顶点均在该直线上。常见于矩形折 「叠、等边三角形背景或坐标系中，利用外角性质证另一组角相等。 I2.证相似：由己知等角（如∠B=∠C=∠EDF)和外角定理得∠BED=∠CDF,从而△BDE∽△CFD。若为 直角(K型图)，则△BDE∽△CEF。 9/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 厂一一-一一一-一-一-一 3。转化比例求值：由相似得对应边成比例，如罡=器=器。若图形中含等腰三角形或中点，可推出 CD 两边相等，进一步建立方程求未知线段。常用于全等与相似的判定。 破送题提能力 1.(2025安微淮北.一模)如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C,点E是BC上一点，且∠AED=∠B, E 图1 图2 图3 (I)求证：△ABE∽△ECD, (2D如图2，若an∠ADE=,当∠B=∠C=90°时，求证：4AB=3CE ②如图3，当∠B=∠C=120°，CE=2,BE=6,CD=4时，求AD的长. 2.(2025广东深圳二模)在平行四边形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上. D E 图1 图2 图3 【尝试初探】(1)如图1，若平行四边形ABCD是正方形，E为BC的中点，LAEF=90°，求CE的值： DE 【深入探究】(2)如图2，∠B=45°，LAEF=90,E=EF,求CE的值： DE 【拓展延神】（8)如割，sr与DE交于点0，m∠B0E=mA-手8号·能-县票的位。 DF >题型06相似模型之手拉手模型<〈 析典侧：建摸熙 1.(2026湖北襄阳一模)ABC中，∠ABC=90°，将ABC绕点A旋转得到ADE,连接CE、BD. 10/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D H 图 图2 图3 (1)如图1，求证：△ABD~△ACE; (2)如图2，BD交AC于点N,点N为AC的中点，AB=3,BC=4,求线段CE的长； (3)如图3，点N为AC的中点，延长ED分别交AC、BC于H、F. ①求证：BD∥4B,②当C-时，直接写出 N N 的值. 考点通技法 1.识别模型特征：两个一般三角形（或等腰三角形、相似三角形）共顶点，顶角相等，对应边成比例。常 见于动态几何中，旋转其中一个三角形，连接对应端点形成新图形。 2.相似传递与旋转：由共顶点的两个三角形相似，通过“边角边”(S4S)证明另一对三角形相似（如△ AOC∽△BOD)。旋转中心为公共顶点，旋转角等于顶角。 3.结论与应用：相似推出对应边成比例、对应角相等。常得两连线夹角等于顶角，且连线所在直线相交所 成锐角等于顶角。用于求角度、证明线段积相等或存在性。注意相似与全等模型的区别（全等是特殊的相 似) 破类题提能力 1.(2026河南周口一模)综合探究 D 图1 图2 图3 (I)ABC和ADE的位置如图1所示，己知ABC和ADE都是等边三角形，连接BD,CE,则BD与CE 之间的数量关系是 ； (2)ABC和ADE的位置如图2所示，ABC和ADE都是直角三角形，且∠ABC=∠ADE=90°， 11/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BC-DE-IS,连接BD,CE,求BD AB AD 8 的值： CE (3)如图3，ABC和ADE都是等腰直角三角形，LABC=LADE=90°，AB=5,AD=3,连接BD,CE, 将ADE绕点A旋转，在旋转过程中，当B,D,E三点共线时，直接写出CE的长 2.(2026江苏宿迁一模)按要求解答问题： (I)【问题背景】已知D、E分别是ABC的AB边和AC边上的点，且DE∥BC,则△ABC∽△ADE,把 ADE绕着点A逆时针方向旋转，连接BD和CE.如图2，找出图中的另外一组相似三角形 并加以证明， 图1 图2 (2)【迁移应用】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=V5,AC=√5，D、E、M分别是AB、AC、 BC中点，连接DE. D M ①如图，把RtAADE绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系 和数量关系： B ②把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转到如图所在的位置，连接CD和CE,取CD中点N,连接MN,若 MN=V,求CE的长. M (3)【创新应用】如图：AB=AC=AE=√5，BC=2,ADE是直角三角形，∠DAE=90°，将ADE绕着 12/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 恩A旋转，连接BE,F是BE上一点，E=,连接CF，请直接写出CP的取值范围 D F B >题型07相似模型之半角模型<《 析典例：建模理 1.(24-25九年级上·江苏南京·月考)【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型一“半角 模型”：如图1，在正方形ABCD中，E、F在边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF,请你写出线段BE、 EF、DF的数量关系： ； 【探索发现】如图2，小明连接对角线BD,与AE、AF交于点M、N,图中与△AMN相似的三角形共有 个，请你选择其中一组证明； 【深入研究】正方形ABCD边长为1，设BE的长为x,MN的长为y,求y与x的函数关系式. 4 N B 图1 图2 研考点通技法 厂-一一-一- !1.识别半角特征：一个大角(90°或120°)内包含其半角(45°或60°)，顶点重合。通常通过旋转或！ ·翻折将分散的两条边集中到同一个三角形中。 ·2.旋转构造相似：将含半角的三角形旋转至与大角另一边重合，构造手拉手相似。例如正方形中，旋转△ ·ABE至△ADG,则△AEF∽△AGF,利用对应边比例推导数量关系。 13.结论与求值：常见结论：半角所对边的平方等于两邻边平方和（勾股型）或线段倍数关系。利用相似建· 1立比例方程，可求线段长或证明等积式。常用于折叠问题、最值问题。注意全等与相似版本的差异。 13/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 破类题提能力 1.(2026江苏盐城一模)主题式学习：实验初中九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动. 如图1，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的动点，连接AE、AF、EF,且满足∠EAF=45°. D G E B B 图1 图2 图3 (I)【常规探究】在图1中，线段BE、DF、EF之间的数量关系为 (2)【变式思考】如图(2)，正方形ABCD的边长为6，点E为边BC上的点，连接AE,取AE的中点G, F为CD边上的点，且∠EGF=45°，若BE=2,求CF的长， (3)【拓展应用】如图(3)，点E,F为正方形ABCD的BC边所在直线上的动点，点E在点F的左侧，且 满足∠E4P=45”,求BE的最大值，请直接写出结果， EF >题型08相似模型之对角互补模型<〈 析典侧建模型 1.(2025河南焦作.一模)【操作判断】 M M M A B D B 图1 图2 图3 如图1，OM,ON为两条互相垂直的射线，C为∠MON的平分线上任意一点，过点C作CA⊥CB,分别交 射线OM,ON于点A,B.此时CB,CA在OC的两侧，试探究CA,CB之间的数量关系. 以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答. 解：CA=CB,理由如下： 过点C作CD⊥ON于点D,CE⊥OM于点E,则四边形ODCE为矩形. :OC平分∠MON,CD⊥OB,CE⊥OA,:CD=CE.① 1419 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :CA⊥CB,.∠ACD+∠DCB=90°. ∠ACD+∠ECA=90°，：②-·… (1)①的依据是 ，②中所填的关系表达式为 【迁移探究】 (2)如图2，若过点C作的两条垂线在0C的同侧.题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理 由；如果变化，请写出新结论并给出证明； 【拓展应用】 (3)如图3，若C为∠MON内部一点，且∠COB=a,CA⊥CB,请直接写出CA与CB之间的数量关系（结 果用含的式子表示)· 研考点通技法 !1.识别模型特征：四边形（或三角形）中，一对对角互补（和为180°)。常见于含60°、120°或90°、！ !90°的图形，常与圆内接四边形、角平分线结合。 12. 构造旋转相似：以互补角的顶点为旋转中心，旋转一个三角形，将分散的边集中。通过“边角边”证相！ 似，得对应边成比例。若含直角，可作双垂线构造“K”型相似。 3. 转化比例关系：由相似得号=号，可利用此求线段长或证明等积式。常与四点共圆结合，圆中同弧所 1对圆周角相等，得另一组角等。注意区分全等与相似情形。 破类题，提能力 1.(2025辽宁大连.一模)如图1，在四边形ABCD中，∠A=Q,∠C=180°-a. G (图1) (图2) (图3) (图4) (1)用等式写出∠B和∠D的数量关系是 (2)如图2，连接CA,AB=AD.求证：CA平分∠BCD; (3)当a=90°，∠ABC=∠ADC时，点E是BD上一点，将EC绕点E逆时针旋转90°得到EF. ①如图3，当点F恰好在AD上时，判断并说明四边形ABCD的形状； 15/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②如图4，当Er交AD于点G时，若an∠ADB-},SgBn=45c,求C的值 3 DA ☑PART 03 实战刷题•冲高分 (建议用时：45分钟) 刷模拟 1. (2026辽宁丹东·一模)随着健康中国理念深入人心，全民健身需求日益增长，某小区物业决定在一块 空地上修建运动场地.如图所示，ABC为这块空地，已知空地的面积为12600m?,BC的长为210m,现 计划在这块空地上修建一个矩形的运动场地DEFG,使EF在边BC上，点D、点G分别在边AB、边AC上. A D B E (1)求ABC的边BC上的高； (2)为了充分利用空地，要使矩形运动场地的面积最大，求出其最大面积. 2.(2026江苏无锡模拟预测)如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延 长交AC于点F. D ()求证：AF=AE FC2ED (2)若AE=2,ED=3,BC=10,求△ABF面积的最大值. 3.(2026河南开封一模)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入 研究. 16/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【拓展探究】如图1，在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D. D D E 图1 图2 图3 (1)兴趣小组的同学得出AC2=AD·AB.理由如下： :∠ACB=90° .∠A+∠B=909 ∠A=∠A :CD⊥AB ∴△ABC∽△ACD AB .∠ADC=90° =② AC .∠A+∠ACD=90° AC2=AD·AB ∠B=① 请完成填空：① ② (2)如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E,连接CE,当LACE=∠AFC时，请判断△AEB的 形状，并说明理由 (3)【学以致用】如图3，ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=1,BC=√6，平面内一点D,满足 AD=AC,连接CD并延长至点E,且∠CEB=∠CBD,当线段BE的长度取得最小值时.请直接写出线段 CE的长. 4.(2026安徽合肥一模)矩形ABCD中，E为BC边上一点，F为矩形内一点，且AB=AF,EB=EF, 延长AF与直线CD交于点Q,与直线BC交于点H,延长EF与直线CD交于G点. 图1 图2 (1)如图1，当E为BC中点时， ①求证：EG=EH; ②若QD=2,DG=3,求AB长； 17/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，若CE=2BE,当G恰好为CD中点时，求证：BE=CQ 5.(2026湖南株洲一模)在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原 多边形对应线段的比为k,并且原多边形上的任一点P,它的对应点P在线段OP或其延长线上；接着将所 得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度O,记为O(k,),如果是顺时针旋转一个角度Θ，则日记 为负值，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比， Θ加叫做旋转角. D E 图1 图2 图3 (1)填空： ①如图1，将ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到ADE,这个旋 转相似变换记为A（,); ②如图2，ABC是边长为2cm的等边三角形，LBAC=60°，将它作旋转相似变换A√2,90），得到ADE ,则线段BD的长为 cm」 (2)如图3，ABC经过B(k,a)得到△EBD,又将ABC经过C(k2,-B)得到△FDC,连接AE,AF,求证： AE=DF 6.(2026四川达州一模)如图1，在矩形ABCD中，己知AD=3AB=12,点E,F分别是AC,BC的中 点，连接EF.将△EFC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a0°≤a<360）,连接AE,BF. 图1 图2 备用图 ()【问题发现】 ①当a=0°时， AE =;②当a=180°时， AE BE =: (2)【拓展探究】 18/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在△EFC绕点C的旋转过程中， AE 的值有无变化？若无变化，请就图2的情形给予证明；若变化，请说明 BE 理由； (3)【问题解决】 当△EFC旋转至A,F,E三点共线时，直接写出线段BF的长. 19/19