专题10.3 分式的加减（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题10.3 分式的加减（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【基础篇】 1 【知识点】分式的加减运算法则 1 【题型 1】同分母的分式相加减 2 【题型 2】异分母的分式相加减 3 【题型 3】整式与分式相加减 6 【题型 4】分式加减混合运算 8 【培优篇】 12 【题型 5】利用求差法比较分式的大小 12 【题型 6】分式加减的应用 15 【题型 7】分式加减法中规律探究 17 【题型 8】利用分式加减法进行证明 21 二.中考模拟真题 26 （一）单选题（6题） 26 （二）填空题（6题） 29 （三）解答题（4题） 32 一.知识梳理与题型精析 【基础篇】 【知识点】分式的加减运算法则 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减 用符号表示为： 异分母的分式相加减，先通分，再加减。 用符号表示为： 【题型 1】同分母的分式相加减 解题步骤：（1）分母不变，直接将分子相加减；（2）分子相减时要加括号，注意每一项都要变号，再合并同类项；（3）对分子进行因式分解，约分，化为最简分式。 【例题1】（根据苏科版八下132页例题1改编）（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）2 【分析】分母不变，将分子相减，再约分即可． 解：（1）解：； （2）解：． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的减法，熟记“同分母分式的减法法则”是解答本题的关键． 两个分式分母相同，直接合并分子后因式分解并约分即可. 解：∵ ∴ 当时， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）__________； （2）__________； （3）__________． 【答案】 【分析】依据同分母分式加减法法则，先将分子相加减、分母不变，然后再把结果化为最简分式即可． 解：（1）； （2）； （3）（约去公因式a，）． 【点拨】掌握同分母分式的加减运算法则，分母不变，分子相加减是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式的加减运算，平方差公式： （1）分母不变，分子相减，再用平方差公式对分子进行因式分解，约分化简； （2）分母不变，分子相加． （1）解： ； （2）解： ． 【易错点小结】（1）分子相减时忘记加括号，导致符号出错；（2）只加减分子部分项，漏项、漏变号；（3）错误将分母也相加减；（4）算出结果后不约分、不化简，未化为最简分式。 【题型 2】异分母的分式相加减 解题步骤：（1）通分：找最简公分母，把异分母化为同分母分式；（2）加减：按同分母分式加减，分母不变，分子相加减，减式分子要加括号；（3）化简：合并分子，因式分解，约分，化为最简分式。 【例题2】（根据苏科版八下132页例题2改编）（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可； （2）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·天津·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握分式加减运算法则是解题的关键．先通分，然后根据同分母分式加减运算法则，进行计算即可． 解： ． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了异分母分式加减，将所求分式通分后，利用已知条件代入化简． 解：， ， 原式 故答案为：2 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算，掌握先对分母因式分解确定最简公分母，再通分，分子相加减后化简约分是解题的关键． （1）先对分母因式分解，确定最简公分母，将异分母分式化为同分母，再分子相加减，最后整理结果； （2）先对分母因式分解，确定最简公分母，通分后分子相加减，再化简约分． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【易错点小结】（1）找错最简公分母，只乘分母不找最小公倍数，导致计算复杂易错；（2）通分漏乘分子，只改分母、分子不变，这是最常见错误；（3）分子相减不加括号，减号后只变第一项符号，后面项不变号；（3）通分后计算出错，分子展开、合并同类项时漏项、符号错；（4）结果不约分，算出答案不化简，未化成最简分式。 【题型 3】整式与分式相加减 解题步骤：（1）把整式看成分母为1的式子，转化为异分母分式加减；（2）通分，找到最简公分母，统一分母；（3）按同分母分式加减计算，分子相加减（减式加括号），最后约分、化简为最简分式。 【例题3】（根据苏科版八下132页例题3改编）（24-25八年级下·江苏泰州·月考）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的加减运算，正确掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先通分，再运算分式的减法，即可作答； （2）先通分，再运算分式的加法，即可作答． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26九年级上·河南三门峡·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算． 解：∵原式=， ∴将化为分母为的分式，得， ∵同分母分式相加，分母不变，分子相加， ∴分子计算：， ∴原式． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·山东济南·期末）计算______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则进行计算即可求解． 解：， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·江苏连云港·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）根据分式的加法法则相加，再约分即可； （2）先通分，再根据分式的加法法则相加，即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【点拨】本题考查了分式的加法，熟知计算法则是解题的关键． 【易错点小结】（1）忘记把整式写成分母为 1 的形式，直接和分子加减；（2）通分时只给分母乘，分子漏乘；（3）整式减分式时，不加括号导致符号错误；（4）结果不化简、不约分。 【题型 4】分式加减混合运算 解题步骤：（1）先算括号内：括号里按同分母与异分母法则先进行运算；（2）再算括号外：统一成同分母后，分子相加减，减式整体加括号，注意变号；（3）合并化简：分子合并同类项、因式分解，最后约分，化为最简分式。 【例题4】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式加减法的混合运算，理解通分的运算法则，分式的加减法运算法则是解答关键． （1）（2）（3）先通分，再利用分式减法运算法则求解；（4）先变号，再通分，再利用分式减法运算法则求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）如果，那么________，________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，利用分式的加法法则变形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：，． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）（2）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （3）括号内先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （4）括号内先通分，分子分母分解因式，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】（2024七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减； （2）把第二项的分母提取负号，化成同分母分式； （3）通分，最简公分母为； （4）把看成是一项，为，再通分； （5）前两项先通分，再依次计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 【点睛】本题考查了平方差公式，因式分解，分式的加减混合运算，熟练掌握分式的加减混合运算法则及因式分解是解题的关键． 【易错点小结】（1）运算顺序错：先括号，后外面，不能随便乱去括号；（2）去括号时符号出错，减号后面每一项都要变号；（3）通分只乘分母、分子漏乘；（4）结果不约分、不化简。 【培优篇】 【题型 5】利用求差法比较分式的大小 解题步骤：（1）作差：将两个分式相减，写成的形式。（2）通分计算：按分式加减法则算出结果，化为一个最简分式或整式。（3）判断符号：若，则；若，则；若，则。 【例题5】（根据苏科版八下134页例题4改编）（24-25八年级下·江苏泰州·期末）课堂上，老师提出了下面的问题：若，试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采取“作差法”．例如比较与的大小．因为，所以． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ （1）请用“作差法”完成老师提出的问题； （2）比较大小：___________． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法． （1）根据作差法求的值即可得出答案； （2）根据作差法求的值即可得出答案． 解：（1）解：， ， ， ； （2）解：， ． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）如果，，那么代数式与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先利用异分母分式的加减运算法则化简，再对比与的关系即可得出结论. 解：∵ ∴ 对通分，公分母为 ∴ 又∵ ∴ ， 故选：C. 【变式2】（2024八年级·全国·竞赛）比较大小： _______0（填“”、“”或“”）． 【答案】> 【分析】本题考查了实数的比较大小，异分母分式的运算．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 设，根据作答即可． 解：设， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）先阅读，再回答问题： 阅读：“要比较代数式A、B的大小，可以作差，比较差的取值．当时，有；当时，有；当时，有．”例如，当时，比较与的大小，可以观察．因为当时，，所以当时，． 当时，比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算和代数式作差法比较大小，关键是运用相应的运算法则正确计算． 计算，先通分再加减得，再根据判断出，从而判断出结论． 解： = = = ∵ ∴ ∴ ∴ 【易错点小结】（1）作差时顺序不能乱，与和结果相反；(2)通分后分子相减一定要加括号，防止符号错误；（3）必须化简到最简再判断正负，不能中途下结论。 【题型 6】分式加减的应用 常见题型：（1）行程问题：速度、时间的差与和；（2）价格或浓度问题：单价、百分比的加减；（3）代数式求值：先化简分式加减，再代入数值合并同类项、因式分解，最后约分，化为最简分式。 【例题6】（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？ 【答案】甲：（元）；乙：（元） 【分析】根据平均单价＝ 总钱数 两次购买的质量和 ，求出甲、乙所购饲料的平均单价即可； 解：设两次购买的饲料单价分别为元和元（，是正数，且）， 则甲两次购买饲料的平均单价为（元）， 乙两次购买饲料的平均单价为（元）． 【点拨】本题考查的是分式的混合运算，解决本题的关键是读懂题意，熟知分式混合运算的法则． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期末）两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了______千米/小时．（结果化为最简形式） 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减运算的应用、列代数式等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 先根据题意表示出提速前后火车的速度，然后作差并运算即可解答． 解：由题意可得： 提速前火车速度为：，提速前火车速度为：， 提速后火车比原来速度快了． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以的速度行走，另一半时间以的速度行走；而乙用的速度走了一半的路程，另一半的路程以的速度行走（a，b均大于0，且），则（    ） A．甲先到达 B．乙先到达 B地 C．甲、乙同时到达B地 D．甲、乙谁先到达B地不确定 【答案】A 【分析】本题考查分式的应用．设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为，根据题意，分别表示出甲、乙所用时间的代数式，然后再作比较即可． 解：设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为， 由题意得，， 解得，， a，b均大于0，且， ， ， 甲先到达， 故选A． 【变式3】（25-26八年级上·广东广州·期中）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． （1）用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． （2）判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 【答案】（1），，，；（2）小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【分析】本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题的关键； （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可； （2）根据题意利用作差法进行分析比较即可． 解：（1）解：小军爸爸白天加油花费元，夜间加油花费， ∴小军爸爸一天加2次油共花费元， 小慧爸爸一天加2次油共花费元， 小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）， 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）． 故答案为：，，，． （2）解：， 而，，，所以 从而，即． 因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【易错点小结】（1）运算顺序错：先括号，后外面，不能随便乱去括号；（2）去括号时符号出错，减号后面每一项都要变号；（3）通分只乘分母、分子漏乘；（4）结果不约分、不化简。 【题型 7】分式加减法中规律探究 解题步骤：（1）观察算式结构：找分子、分母的变化规律，看是否是相邻数、差固定、乘积型、裂项型。（2）计算前 2～3 项：写出具体结果，总结符号、分子、分母的规律，写出通项公式。（3）代入规律计算：若是裂项相消，中间项抵消，只剩首项和末项，再化简结果。 【例题7】（2025·安徽滁州·一模）观察下列各式的规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… （1）根据上述规律，直接写出第4个等式：______． （2）猜想满足上述规律的第个等式，并证明其成立． 【答案】（1）；（2），见分析 【分析】本题考查了数字类的规律以及分式的加减混合运算． （1）模仿题意，直接写出第4个等式即可． （2）结合（1）的结论，得，再把等式左边和右边进行变形整理，即可作答． 解：（1）根据题意得，第4个等式：； （2）猜想第个等式为． 证明：等式左边， 等式右边， 左边右边， 第个等式为． 【变式1】（25-26八年级上·广西来宾·期中）已知，将分别用和代入计算后，再根据所得结果规律，计算的结果是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】此题考查分式的加法计算，利用已知等式将每个分式拆项，通过通分求和简化表达式，即可得到答案 解：∵ = ， = ， ⋯ = ， ∴ 原式 = ， 中间项相互抵消， ∴ 原式 = = ， 通分得： = ， 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·江苏常州·期中）已知，，，，，，…（即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，）．按此规律，当时，______． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，以及分式的加减运算，根据数值的变化找出的值，每6个一循环是解题的关键．根据的变化找出的值每6个一循环，结合，即可得出，此题得解． 解：， ， ， ， ， ， ， …， ∴的值每6个一循环． ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）观察下列各式： ，，，，， （1）由此可推导出____________； （2）请猜想能表示（1）的特点的一般规律，用含字母m的等式表示出来，并证明（m表示整数）； （3）请直接用（2）中的规律计算：的结果． 【答案】（1）；（2），见分析；（3）0 【分析】本题考查了分式的加减，关键是观察已知条件中的分式的特点，总结规律是解题的关键． （1）根据例子可以得到42可以分解成两个相邻的整数6和7的乘积，即可写出； （2）分母是两个相邻的整数的积，因而是，分子是1，根据（1）即可写出最后的结果； （3）第一个和第二个分式符和（2）的特点，可以验证，代入即可得到结果． 解：（1） 故答案为：， （2）一般规律为： 证明：右边 左边， 左边右边， 猜想成立； （3）原式 ． 【易错点小结】常见模型：裂项相消，易错点：（1）裂项时系数忘记除；（2）抵消后剩头漏尾或剩尾漏头；（3）项数算错，导致最后结果错误；（4）规律只看表面，不验证第 3 项是否成立。 【题型 8】利用分式加减法进行证明 【例题8】（根据苏科版八下135页例题5改编）（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知． (1)若，求证：； (2)若，，判断与的大小并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了分式的加减计算，不等式的性质，证明是解题的关键． （1）利用作差法得到，再判断出的符号即可证明结论； （2）利用分式的加法计算法则得到，根据（1）可证明，据此可得结论． 【详解】（1）证明： ， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）阅读材料： “糖水不等式”的证明 小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多． 糖水的甜度取决于糖水浓度（）． 小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？ ——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料” 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． (1)【特例验证】假设，，，则_____．（填“、或”） (2)【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． (3)【应用拓展】若、、为三边的长，证明： 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查分式的加减运算，三角形的三边关系，熟练掌握“糖水不等式”，是解题的关键： （1）将字母的值代入，比较分数的大小即可； （2）利用作差法进行计算即可； （3）利用糖水不等式进行证明即可． 【详解】（1）解：当，，时， ，， ∴， ∴； 故答案为： （2） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴，，， 由“糖水不等式”可知：， ， ， ． 【变式2】（24-25八年级下·福建宁德·期末）代数推理是指通过代数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方法．代数推理基于代数的基本运算规律和逻辑推理，与几何证明相比，其最大特点是“以算代证”． 例如：已知，为实数，且，求证： 证明：①______， ，，． 又，．（②______） ．③______ ． (1)请将例题中的证明补充完整；（提示：②写依据） (2)已知，且，求证：． 【答案】(1)①；②不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变（或“不等式的性质1”，或“不等式的性质”）；③ (2)见解析 【分析】本题考查了等式的基本性质、不等式的基本性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据不等式的性质补全过程即可； （2）将式子变形为，再结合以及等式的基本性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：， ，， ． 又， ．（不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变） ． ， ， 故答案为：①；②不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变（或“不等式的性质1”，或“不等式的性质”）；③； （2）证明：， ． ． ①． ， ． 等式①的两边同时除以，得， ． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）综合与实践 【实践主题】探究比例的性质． 数学活动课上，老师提出了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，试猜想各组中的两个分式之间的关系，并证明． ①和；②和；③和（）． 【探究问题】小明同学就和进行了探究． （1）写出一组能使分式成立的数：_______，_____，_______，_______； （2）在（1）的条件下，计算：___________，___________； （3）猜想：和之间的关系； （4）证明（3）中的猜想． 【答案】（1）2，5，4，10（答案不唯一）；（2），；（3）若，则；（4）见解析 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质以及分式的化简计算是解题的关键． （1）根据比例的性质，找出满足的一组数即可． （2）将（1）中所取的数代入和进行计算． （3）通过（2）的计算结果，猜想两个分式的关系． （4）利用比例的基本性质，对进行化简，证明其结果为，从而得出两个分式相等． 【详解】解：（1）当，，，时，， 故取，，，（答案不唯一）． （2）当，，，时： ， （3）若，则； （4）证明：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加法运算，将分母化为同分母，再根据同分母分式的运算法则，进行计算即可． 解：； 故选B． 2．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可． 解：原式 ； 故选A． 3．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案． 解： ． 故选D． 【点拨】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则． 4．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2023·天津·中考真题）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可． 解： ； 故选：C． 【点拨】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算． 6．（2025·山东威海·一模）定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的加法运算，先根据给定的式子，推出，再根据异分母的分式的加法法则，进行计算即可． 解：当时， ， ， ， ∴， ∴ ； 故选A． （二）填空题（6题） 7．（2024·青海西宁·中考真题）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则成为解题的关键． 先通分，然后再按同分母分式加减法计算即可． 解： ． 故答案为：． 8．（2025·湖北·中考真题）计算的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加减运算，先通分，再计算即可. 解：； 故答案为： 9．（2023·福建·中考真题）已知，且，则的值为___________． 【答案】1 【分析】根据可得，即，然后将整体代入计算即可． 解：∵ ∴， ∴，即． ∴． 【点拨】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到是解答本题的关键． 10．（2024·四川广安·模拟预测）已知，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查求分式的值，其解题的关键是合理的变形及整体代入；由变形得，再对所求代数式进行变形，并整体代入求值即可； 解：， ， ． 故答案为：3. 11．（2024·山东滨州·二模）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的就应用了黄金分割数．设，，记，，……，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了数式的变化规律，从题目中找出式子间的变化规律是解题的关键． 根据题意可得：，利用分式的加减法求出各的值后，相加即可． 解：∵ ∴，， ， ∴； 故答案为：． 12．（2023·河北邯郸·一模）甲、乙两人都去同一家超市购买大米各两次，甲每次购买10kg的大米，乙每次购买50元的大米，这两人第一次购买大米时售价为m元/kg，第二次购买大米时售价为每千克n元（），解答： （1）甲两次购买的总费用=______元； （2）乙两次购买的平均单价=______元/kg； （3）若规定两次购买大米的平均单价较低者，称为合算的购买方式，则更合算的购买方式是______． 【答案】 乙 【分析】（1）用单价乘以数量，分别计算出甲每次的费用求和即可； （2）求出乙两次的数量和，然后用总费用除以总数量即可； （3）用甲的平均单价减去乙的平均单价，比较大小即可； 解：（1）第一次的费用为：，第二次的费用为：， 总费用为：， 故答案为： （2）乙两次总费用为：100元， 第一次的数量为：，第二次的数量为：， 两次总数量为：， 则乙两次购买的平均单价为：． 故答案为： （3）甲的平均单价为：， ， 乙的平均单价更低． 故答案为：乙 【点拨】本题考查了分式的应用、分式的加减运算等知识点，准确列出分式是解题关键． （三）解答题（4题） 13．（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减的应用，因式分解应用，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．先求出，根据，得出，，，即可得出，从而得出． 解：∵ ， ∵， ∴，，， ∴， ∴． 14．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算的解题过程： 解：① ② ③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 【答案】从第②步开始出现错误，正确过程见分析 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最简分式即可．掌握相应的计算法则，是解题的关键． 解：从第②步开始出现错误． 正确的解题过程为： 原式． 15．（2023·山东潍坊·中考真题）（1）化简： （2）利用数轴，确定不等式组的解集． 【答案】（1）；（2）画图见分析，不等式组的解集为：． 【分析】（1）先通分计算括号内的分式的减法，再通分计算分式的加法运算即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分即可． 解：（1） ； （2）， 由① 得：， 解得：， 由② 得：， 解得：， 两个不等式的解集在数轴上表示如下： ∴不等式组的解集为：． 【点拨】本题考查的是分式的加减运算，一元一次不等式组的解法，熟记分式的加减运算的运算法则与解不等式组的方法与步骤是解本题的关键． 16．（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题： 已知，，，试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”. 老师：比较与的大小． 小华：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． （2）比较大小：__________．（填“”“”或“”） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据作差法求的值即可得出答案； （2）根据作差法求的值即可得出答案． 解：（1）解：， ， ， ； （2）解：， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.3 分式的加减（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【基础篇】 1 【知识点】分式的加减运算法则 1 【题型 1】同分母的分式相加减 2 【题型 2】异分母的分式相加减 2 【题型 3】整式与分式相加减 3 【题型 4】分式加减混合运算 3 【培优篇】 4 【题型 5】利用求差法比较分式的大小 4 【题型 6】分式加减的应用 5 【题型 7】分式加减法中规律探究 6 【题型 8】利用分式加减法进行证明 7 二.中考模拟真题 8 （一）单选题（6题） 8 （二）填空题（6题） 9 （三）解答题（4题） 10 一.知识梳理与题型精析 【基础篇】 【知识点】分式的加减运算法则 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减 用符号表示为： 异分母的分式相加减，先通分，再加减。 用符号表示为： 【题型 1】同分母的分式相加减 解题步骤：（1）分母不变，直接将分子相加减；（2）分子相减时要加括号，注意每一项都要变号，再合并同类项；（3）对分子进行因式分解，约分，化为最简分式。 【例题1】（根据苏科版八下132页例题1改编）（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）__________； （2）__________； （3）__________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【易错点小结】（1）分子相减时忘记加括号，导致符号出错；（2）只加减分子部分项，漏项、漏变号；（3）错误将分母也相加减；（4）算出结果后不约分、不化简，未化为最简分式。 【题型 2】异分母的分式相加减 解题步骤：（1）通分：找最简公分母，把异分母化为同分母分式；（2）加减：按同分母分式加减，分母不变，分子相加减，减式分子要加括号；（3）化简：合并分子，因式分解，约分，化为最简分式。 【例题2】（根据苏科版八下132页例题2改编）（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级上·天津·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若，则______． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【易错点小结】（1）找错最简公分母，只乘分母不找最小公倍数，导致计算复杂易错；（2）通分漏乘分子，只改分母、分子不变，这是最常见错误；（3）分子相减不加括号，减号后只变第一项符号，后面项不变号；（3）通分后计算出错，分子展开、合并同类项时漏项、符号错；（4）结果不约分，算出答案不化简，未化成最简分式。 【题型 3】整式与分式相加减 解题步骤：（1）把整式看成分母为1的式子，转化为异分母分式加减；（2）通分，找到最简公分母，统一分母；（3）按同分母分式加减计算，分子相加减（减式加括号），最后约分、化简为最简分式。 【例题3】（根据苏科版八下132页例题3改编）（24-25八年级下·江苏泰州·月考）计算： （1） （2） 【变式1】（25-26九年级上·河南三门峡·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·山东济南·期末）计算______． 【变式3】（23-24八年级下·江苏连云港·期中）计算： （1）； （2）． 【易错点小结】（1）忘记把整式写成分母为 1 的形式，直接和分子加减；（2）通分时只给分母乘，分子漏乘；（3）整式减分式时，不加括号导致符号错误；（4）结果不化简、不约分。 【题型 4】分式加减混合运算 解题步骤：（1）先算括号内：括号里按同分母与异分母法则先进行运算；（2）再算括号外：统一成同分母后，分子相加减，减式整体加括号，注意变号；（3）合并化简：分子合并同类项、因式分解，最后约分，化为最简分式。 【例题4】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）如果，那么________，________． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】（2024七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5)． 【易错点小结】（1）运算顺序错：先括号，后外面，不能随便乱去括号；（2）去括号时符号出错，减号后面每一项都要变号；（3）通分只乘分母、分子漏乘；（4）结果不约分、不化简。 【培优篇】 【题型 5】利用求差法比较分式的大小 解题步骤：（1）作差：将两个分式相减，写成的形式。（2）通分计算：按分式加减法则算出结果，化为一个最简分式或整式。（3）判断符号：若，则；若，则；若，则。 【例题5】（根据苏科版八下134页例题4改编）（24-25八年级下·江苏泰州·期末）课堂上，老师提出了下面的问题：若，试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采取“作差法”．例如比较与的大小．因为，所以． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ （1）请用“作差法”完成老师提出的问题； （2）比较大小：___________． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）如果，，那么代数式与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级·全国·竞赛）比较大小： _______0（填“”、“”或“”）． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）先阅读，再回答问题： 阅读：“要比较代数式A、B的大小，可以作差，比较差的取值．当时，有；当时，有；当时，有．”例如，当时，比较与的大小，可以观察．因为当时，，所以当时，． 当时，比较与的大小． 【易错点小结】（1）作差时顺序不能乱，与和结果相反；(2)通分后分子相减一定要加括号，防止符号错误；（3）必须化简到最简再判断正负，不能中途下结论。 【题型 6】分式加减的应用 常见题型：（1）行程问题：速度、时间的差与和；（2）价格或浓度问题：单价、百分比的加减；（3）代数式求值：先化简分式加减，再代入数值合并同类项、因式分解，最后约分，化为最简分式。 【例题6】（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？ 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期末）两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了______千米/小时．（结果化为最简形式） 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以的速度行走，另一半时间以的速度行走；而乙用的速度走了一半的路程，另一半的路程以的速度行走（a，b均大于0，且），则（    ） A．甲先到达 B．乙先到达 B地 C．甲、乙同时到达B地 D．甲、乙谁先到达B地不确定 【变式3】（25-26八年级上·广东广州·期中）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． （1）用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． （2）判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 【易错点小结】（1）运算顺序错：先括号，后外面，不能随便乱去括号；（2）去括号时符号出错，减号后面每一项都要变号；（3）通分只乘分母、分子漏乘；（4）结果不约分、不化简。 【题型 7】分式加减法中规律探究 解题步骤：（1）观察算式结构：找分子、分母的变化规律，看是否是相邻数、差固定、乘积型、裂项型。（2）计算前 2～3 项：写出具体结果，总结符号、分子、分母的规律，写出通项公式。（3）代入规律计算：若是裂项相消，中间项抵消，只剩首项和末项，再化简结果。 【例题7】（2025·安徽滁州·一模）观察下列各式的规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… （1）根据上述规律，直接写出第4个等式：______． （2）猜想满足上述规律的第个等式，并证明其成立． 【变式1】（25-26八年级上·广西来宾·期中）已知，将分别用和代入计算后，再根据所得结果规律，计算的结果是（   ） A． B．0 C． D．1 【变式2】（23-24七年级上·江苏常州·期中）已知，，，，，，…（即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，）．按此规律，当时，______． 【变式3】（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）观察下列各式： ，，，，， （1）由此可推导出____________； （2）请猜想能表示（1）的特点的一般规律，用含字母m的等式表示出来，并证明（m表示整数）； （3）请直接用（2）中的规律计算：的结果． 【易错点小结】常见模型：裂项相消，易错点：（1）裂项时系数忘记除；（2）抵消后剩头漏尾或剩尾漏头；（3）项数算错，导致最后结果错误；（4）规律只看表面，不验证第 3 项是否成立。 【题型 8】利用分式加减法进行证明 【例题8】（根据苏科版八下135页例题5改编）（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知． (1)若，求证：； (2)若，，判断与的大小并证明． 【变式1】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）阅读材料： “糖水不等式”的证明 小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多． 糖水的甜度取决于糖水浓度（）． 小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？ ——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料” 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． (1)【特例验证】假设，，，则_____．（填“、或”） (2)【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． (3)【应用拓展】若、、为三边的长，证明： 【变式2】（24-25八年级下·福建宁德·期末）代数推理是指通过代数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方法．代数推理基于代数的基本运算规律和逻辑推理，与几何证明相比，其最大特点是“以算代证”． 例如：已知，为实数，且，求证： 证明：①______， ，，． 又，．（②______） ．③______ ． (1)请将例题中的证明补充完整；（提示：②写依据） (2)已知，且，求证：． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）综合与实践 【实践主题】探究比例的性质． 数学活动课上，老师提出了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，试猜想各组中的两个分式之间的关系，并证明． ①和；②和；③和（）． 【探究问题】小明同学就和进行了探究． （1）写出一组能使分式成立的数：_______，_____，_______，_______； （2）在（1）的条件下，计算：___________，___________； （3）猜想：和之间的关系； （4）证明（3）中的猜想． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 2．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 3．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 4．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 5．（2023·天津·中考真题）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东威海·一模）定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（   ） A． B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（2024·青海西宁·中考真题）计算：______． 8．（2025·湖北·中考真题）计算的结果是______． 9．（2023·福建·中考真题）已知，且，则的值为___________． 10．（2024·四川广安·模拟预测）已知，则的值为________． 11．（2024·山东滨州·二模）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的就应用了黄金分割数．设，，记，，……，，则的值为______． 12．（2023·河北邯郸·一模）甲、乙两人都去同一家超市购买大米各两次，甲每次购买10kg的大米，乙每次购买50元的大米，这两人第一次购买大米时售价为m元/kg，第二次购买大米时售价为每千克n元（），解答： （1）甲两次购买的总费用=______元； （2）乙两次购买的平均单价=______元/kg； （3）若规定两次购买大米的平均单价较低者，称为合算的购买方式，则更合算的购买方式是______． （三）解答题（4题） 13．（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 14．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算的解题过程： 解：① ② ③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 15．（2023·山东潍坊·中考真题）（1）化简： （2）利用数轴，确定不等式组的解集． 16．（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题： 已知，，，试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”. 老师：比较与的大小． 小华：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． （2）比较大小：__________．（填“”“”或“”） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $