精品解析：福建长龙岩市汀县2025-2026学年第二学期期中质量监测 八年级数学试题

2025-2026年第二学期期中质量监测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6 4. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，下列结论不一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，是一幅中式墙体窗格设计图，该窗格的外边框为正六边形，则该正六边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 7. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，3，4 C. 2，2，5 D. 12，5，13 8. 若，则可化简为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为数轴原点，，两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数为（ ） A. B. C. D. 10. 在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 12. 化简 的结果为________． 13. 在中，，则的度数为________． 14. 已知a，b，c是的三边长且，a，b满足关系式，则的最大内角为____________． 15. 在中，，如果点P在边上，并且为等腰三角形．那么的长为_____． 16. 谢尔宾斯基三角形是一种经典的分形图形．初始三角形（分形次数为0）是1个边长为1的等边三角形，每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形．如图，经过第一次分形得到3个边长为的黑色等边三角形，经过第二次分形得到9个边长为的黑色等边三角形…按此规律，第5次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为_____________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 当，时，求代数式的值. 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，连接． （1）平移线段，使的对应点为，在图上画出平移后的线段，并写出点的坐标； （2）连接并延长，过点画出直线的垂线段，垂足为； （3）连接，得到一个平行四边形，请求出它的面积． 20. 如图，在平行四边形中，O是对角线上的中点，过点O作，垂足为E且，求证：四边形是矩形． 21. 如图，在△ABC中，∠C=90°，若CD=1.5，BD=2.5； (1)∠2=∠B，求AC的长； (2)，求的长． 22. 分角仪是一种把角分成若干份的绘图仪器，在工程、测量、设计等活动中经常用到．某同学制作了一个简易的形分角仪来二等分任意一个角．如图，该形分角仪是由互相垂直的两根细组成，是的中点．寻找角的平分线时，需要调整位置，使得所分角的顶点在上，同时保证形分角仪的两点正好落在所分角的两条边上． （1）求证：； （2）延长至点，使，连接，请判断四边形的形状，并证明． 23. 【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 （1）请你说明方案一的合理性； （2）请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 24. [定义]：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”．如图，在四边形中，对角线平分和，那么对角线叫“美妙线”，四边形就称为“美妙四边形”． [问题]：（1）下列四边形：平行四边形，矩形，菱形，正方形，其中是“美妙四边形”的是_____；（填写名称） （2）四边形是“美妙四边形”， ，，，求美妙四边形的面积．（请画出图形，并写出解答过程） 25. 回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于__________． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于__________． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：__________． （知识补充：如图5，含角的直角三角形，对边：斜边定值．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年第二学期期中质量监测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．的被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．是最简二次根式，故本选项符合题意； D．的被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握知识点是解题的关键； 根据平方的运算性质，负数平方后结果为正数，且根号的平方等于根号内的数． 【详解】解： ， 故选：D． 4. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，下列结论不一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的边、对角线的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 根据平行四边形性质：平行四边形的对边平行且相等， 有，，故B、D选项一定成立； 平行四边形的对角线互相平分，则，故A选项一定成立； 平行四边形的对角线不一定互相垂直，只有菱形的对角线才互相垂直，即不一定成立，C不一定成立． 5. 如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判断与性质，说明是的中位线是解题的关键． 先证明是的中位线，再根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，D，E分别是边的中点． ∴是的中位线， ∴． 故选C． 6. 如图，是一幅中式墙体窗格设计图，该窗格的外边框为正六边形，则该正六边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是求正六边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键．根据多边形的内角和，其中n为正多边形的边数，计算即可. 【详解】解：正六边形的内角和为 故选：B 7. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，3，4 C. 2，2，5 D. 12，5，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理以及构成三角形的条件进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，能构成直角三角形，符合题意； 故选D． 8. 若，则可化简为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质，绝对值化简，再合并同类项即可； 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：． 9. 如图，为数轴原点，，两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．先利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后利用画法可得到，于是可确定点对应的数． 【详解】解：为等腰三角形，， ， 在中，， 以为圆心，长为半径画弧交数轴于点， ， 点对应的数为． 故选：D． 10. 在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答． 以点为直角顶点时，根据勾股定理的逆定理得出符合条件的有2个点；以点为直角顶点时有3个点，以点为直角顶点时有3个点，共8个． 【详解】解：如图所示： 其中，，AB=2， ∵， ∴为直角三角形， 同理：为直角三角形， 网格中其他点C如图所示， 所以格点C的个数是8， 故选：D． 二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， x的取值范围是． 12. 化简 的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，直接利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 在中，，则的度数为________． 【答案】##115度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补． 根据平行四边形的性质可知，再有，可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， 两式相加可得， ∴． 故答案为：． 14. 已知a，b，c是的三边长且，a，b满足关系式，则的最大内角为____________． 【答案】90度## 【解析】 【分析】根据算术平方根和平方式的非负性求得a和b值，再根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：由得：，， 解得：，， ∵， ∴， ∴的形状为直角三角形，且， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、算术平方根和平方式的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理，正确求出a和b值是解答的关键． 15. 在中，，如果点P在边上，并且为等腰三角形．那么的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，根据为等腰三角形，，可知为等腰直角三角形，且为两直角边，故可得到． 【详解】解：如图，在中，， ， 为等腰三角形，， ， ， 故答案为：6． 16. 谢尔宾斯基三角形是一种经典的分形图形．初始三角形（分形次数为0）是1个边长为1的等边三角形，每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形．如图，经过第一次分形得到3个边长为的黑色等边三角形，经过第二次分形得到9个边长为的黑色等边三角形…按此规律，第5次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据中位线定理推出第次分形的等边三角形的边长是，再通过规律得到第次分形图形中黑色三角形的个数，从而得结论． 【详解】解：∵每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形， ∴根据中位线定理可知每进行一次分形得到的三角形边长是上一次分形三角形边长的， ∴第一次分形图形中等边三角形的边长是，第二次分形图形中等边三角形的边长是，第三次分形图形中等边三角形的边长是，第次分形图形中的等边三角形的边长是， ∵每进行一次分形，黑色三角形的个数是上一次分形中黑色三角形个数的三倍， ∴第一次分形图形中黑色的三角形的个数为3个，第二次分形图形中黑色的三角形的个数为个，第三次分形图形中黑色的三角形的个数为个，第次分形图形中黑色的三角形的个数为个， ∴第次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为 ， ∴第5次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 当，时，求代数式的值. 【答案】4+2. 【解析】 【分析】先根据已知得出x+y、x-y、xy的值，再利用平方差公式，把x、y的值代入即可． 【详解】∵，， ∴x+y=,，， ∴． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，连接． （1）平移线段，使的对应点为，在图上画出平移后的线段，并写出点的坐标； （2）连接并延长，过点画出直线的垂线段，垂足为； （3）连接，得到一个平行四边形，请求出它的面积． 【答案】（1） 如图所示，线段为所求： 点的坐标为． （2）如图，线段为所求． （3）6 【解析】 【分析】本题主要考查了平移作图，作垂线，平行四边形面积计算，解题的关键是熟练掌握平移的性质． （1）根据平移的特点画出平移后的线段，写出点的坐标即可； （2）根据网格特点画出直线的垂线段即可； （3）根据平行四边形的面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：平行四边形的面积， 20. 如图，在平行四边形中，O是对角线上的中点，过点O作，垂足为E且，求证：四边形是矩形． 【答案】 ∵O是对角线上的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，三角形中位线定理熟练掌握矩形的判定和勾股定理是解题的关键．根据中位线定理得到，结合，得到即可证明四边形 是矩形． 【详解】略 21. 如图，在△ABC中，∠C=90°，若CD=1.5，BD=2.5； (1)∠2=∠B，求AC的长； (2)，求的长． 【答案】（1）2；（2）3． 【解析】 【分析】（1）根据∠2=∠B可得AD=BD=2.5，再根据勾股定理即可求出AC的长； （2）过D作DE⊥AB，垂足为E，由角平分线的性质可知CD=DE，根据勾股定理可得出BE的长，再判断出Rt△ACD≌Rt△AED，进而可得出AC=AE，根据勾股定理即可解答． 【详解】解：（1）∵∠2=∠B，BD=2.5， ∴AD=BD=2.5， 在RtACD中，， ∵CD=1.5， ∴； （2）过D作DE⊥AB，垂足为E， ∵∠1=∠2， ∴CD=DE=1.5， 在Rt△BDE中，BE=， ∵CD=DE，AD=AD， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)， ∴AC=AE， ∴AB=AE+BE=AC+2， ∴AB2=AC2+BC2，即（AC+2）2=AC2+（1.5+2.5）2， 解得AC=3． 【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质及勾股定理、直角三角形全等的判定定理与性质，熟知角平分线的性质是解答此题的关键，难度适中． 22. 分角仪是一种把角分成若干份的绘图仪器，在工程、测量、设计等活动中经常用到．某同学制作了一个简易的形分角仪来二等分任意一个角．如图，该形分角仪是由互相垂直的两根细组成，是的中点．寻找角的平分线时，需要调整位置，使得所分角的顶点在上，同时保证形分角仪的两点正好落在所分角的两条边上． （1）求证：； （2）延长至点，使，连接，请判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1） 证明：由题意得，，点是的中点， ，． 在和中， ， ． （2） 解：四边形是菱形． 证明：由题意作图如下， ，， 四边形是平行四边形． ，即， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用“”判定即可； （2）先判定四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形判定为菱形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 （1）请你说明方案一的合理性； （2）请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【答案】（1） 证明：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2） 如图，在大山外取一点O，连接， 延长到D，使，延长到E，使，测量D、E两点之间线段的长度，即为A、B两点的距离． 在和中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查的是平行四边形的判定和性质，全等三角形的应用． （1）证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得到结论； （2）在大山外取一点O，连接，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. [定义]：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”．如图，在四边形中，对角线平分和，那么对角线叫“美妙线”，四边形就称为“美妙四边形”． [问题]：（1）下列四边形：平行四边形，矩形，菱形，正方形，其中是“美妙四边形”的是_____；（填写名称） （2）四边形是“美妙四边形”， ，，，求美妙四边形的面积．（请画出图形，并写出解答过程） 【答案】（1）菱形、正方形 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了四边形中新定义问题、全等三角形的性质与判定以及等腰三角形的性质与判定，理解新定义以及掌握平行四边形和特殊平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据对角线平分一组对角的性质逐个分析即可解答； （2）当四边形是“美妙四边形”时，分两种情况：对角线是“美妙线”或对角线是“美妙线”，证相应的三角形全等，结合，，，即可求出美妙四边形的面积． 【详解】解：（1）根据“美妙四边形”的定义可知，在平行四边形，矩形，菱形，正方形这四个四边形中，其中是“美妙四边形”的是菱形、正方形； （2）当四边形是“美妙四边形”时，分两种情况： ①当对角线是“美妙线”时，如图， 平分和，， ， 在中，，， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ； ②当对角线是“美妙线”时，如图，过点作于点， ，平分， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ； 综上所述，美妙四边形的面积为或． 25. 回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于__________． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于__________． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：__________． （知识补充：如图5，含角的直角三角形，对边：斜边定值．） 【答案】（1）；（2）19；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明和应用、含30度角的直角三角形的性质，根据图形得出面积关系是解题的关键． （1）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积，构建关系式即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴小正方形面积：大正方形面积， 故答案为：； （2）根据题意得 ， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． 故答案为：19； （3）如图， ， 根据题意得 ，． 设，则，． 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； （4）． 理由：设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的边a上的高为． 由图可知大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积， ， 大等边三角形的面积， ， 小等边三角形的面积， ， ， 三个这样的三角形面积之和为， ， 即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $