精品解析：浙江嘉兴八校联盟2025-2026学年第二学期高一期中联考数学试题

2025学年第二学期嘉兴市八校联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效 4.考试结束后，只需上交答题纸选择题部分 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ） A. 是棱台 B. 是圆台 C. 不是棱柱 D. 是棱锥 4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2﹣c2+bc＝0，则∠A等于（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 5. 已知平面向量，，则与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，分别为棱的中点，有以下四个结论：①直线与是相交直线；②直线与是平行直线；③直线与是异面直线；④直线与是异面直线.其中正确的结论为（ ） A. ③④ B. ①② C. ①③ D. ②④ 7. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. 的实部为1 B. 的共轭复数为 C. D. 10. 已知向量，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为钝角，则且 D. 在上的投影向量为 11. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trulli，于1996年被收入世界文化遗产名录.现测量一个Trulli的屋顶，得到圆锥SO（其中S为顶点，为底面圆心），已知圆锥的侧面积和表面积分别为和，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的母线长为 B. 圆锥的体积为 C. 圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为 D. 若是的中点，过点且与圆锥底面平行的平面将圆锥分成两部分，这两部分的体积分别为，则 非选择题部分 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，与的夹角为60°，则________. 13. 如下图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，那么的面积是______. 14. 已知关于的实系数方程有一个模为1的虚根，则实数的值为______． 四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值. （2）设，向量与的夹角为，求的大小. 16. 已知复数，． （1）若是纯虚数，求； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，b，c，． （1）求∠B； （2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积． 18. 如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为的中点. （1）求三棱锥的表面积； （2）求三棱锥的体积； （3）求证：四点共面. 19. 在中，角的对边分别为已知 （1）求角 （2）过作，交线段于D，且，求角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期嘉兴市八校联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效 4.考试结束后，只需上交答题纸选择题部分 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的虚部概念即可求得结果. 【详解】因为复数，则的虚部是， 故选：B 2. 已知，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助平面向量坐标运算法则计算即可得. 【详解】由，则. 3. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ） A. 是棱台 B. 是圆台 C. 不是棱柱 D. 是棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱台，圆台，棱柱，棱锥的概念即可判断． 【详解】对A，侧棱延长线不交于一点，不符合棱台的定义，所以A错误； 对B，上下两个面不平行，不符合圆台的定义，所以B错误； 对C，将几何体竖直起来看，符合棱柱的定义，所以C错误； 对D，符合棱锥的定义，正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查棱台，圆台，棱柱，棱锥的概念的理解，属于基础题． 4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2﹣c2+bc＝0，则∠A等于（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】结合余弦公式即可求解 【详解】由，又，解得， 故选：B 【点睛】本题考查由余弦定理求角，属于基础题. 5. 已知平面向量，，则与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量夹角公式直接求解即可. 【详解】设与的夹角为，则， ，. 故选：B. 6. 如图，在正方体中，分别为棱的中点，有以下四个结论：①直线与是相交直线；②直线与是平行直线；③直线与是异面直线；④直线与是异面直线.其中正确的结论为（ ） A. ③④ B. ①② C. ①③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线的判定定理逐一判断. 【详解】因为平面，平面，且， 故直线与是异面直线，故①错误； 因为平面平面，平面，平面， 所以没有公共点， 又，不平行， 故不平行，即为异面直线， 即四点不共面， 所以直线与也是异面直线，故②错误； 因为平面，平面，， 所以直线BN与是异面直线，故③正确； 因为平面，但平面，， 所以直线AM与是异面直线，故④正确． 7. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 8. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由余弦定理得， 又，所以，所以， 所以由正弦定理得． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. 的实部为1 B. 的共轭复数为 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，的实部为1，正确； 对于B，的共轭复数为，正确； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 10. 已知向量，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为钝角，则且 D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，根据数量积的运算律得到，再由数量积的坐标表示判断B，根据向量夹角公式计算并排除共线情况判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为，所以，解得，故A错误； 对于B：若，则， 即， 所以，即，解得，故B正确； 对于C：因为与的夹角为钝角，所以， 且与不共线，解得且，故C正确； 对于D：因为，，所以在上的投影向量为，故D正确. 11. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trulli，于1996年被收入世界文化遗产名录.现测量一个Trulli的屋顶，得到圆锥SO（其中S为顶点，为底面圆心），已知圆锥的侧面积和表面积分别为和，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的母线长为 B. 圆锥的体积为 C. 圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为 D. 若是的中点，过点且与圆锥底面平行的平面将圆锥分成两部分，这两部分的体积分别为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】求出圆锥的底面半径、高、母线长后，结合圆锥体积和圆台体积公式逐项判断可得答案. 【详解】设圆锥底面半径为，高为，母线长为， 则，解得，则； 对A：圆锥的母线长为，故A正确； 对B：圆锥的体积，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，则圆锥的高为，底面半径为， 则，故， 即，故D错误. 非选择题部分 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，与的夹角为60°，则________. 【答案】10 【解析】 【分析】 由数量积的定义直接计算. 【详解】. 故答案为：10. 13. 如下图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，那么的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】把直观图还原为原图形，再计算对应图形的面积即可得. 【详解】将直观图还原后，如图所示： 由，则，， 故. 14. 已知关于的实系数方程有一个模为1的虚根，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据实系数一元二次方程有虚根的性质，结合判别式、根与系数关系、复数与其共轭复数乘积的关系，可以求出结果. 【详解】因为关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根， 所以方程的判别式小于零，即或， 由已知两根是互为共轭的虚根，设为，而由题意可知：， 由根与系数的关系可得：，而， 因此有，解得.或，舍去，满足题意. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值. （2）设，向量与的夹角为，求的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两向量共线的充要条件坐标表示式计算即得； （2）利用数量积运算律化简等式求出的值，再利用向量夹角的坐标表示式即可求得. 【小问1详解】 由可得，解得，； 【小问2详解】 由可得，，即，解得， 此时，，，， 则，因，故. 16. 已知复数，． （1）若是纯虚数，求； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义列方程求出，再利用复数的模长公式计算即可； （2）根据复数的几何意义列不等式组，求解即可. 【小问1详解】 因为是纯虚数，所以，解得， 则，所以，故． 【小问2详解】 由题意可得，解得， 所以的取值范围为． 17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，b，c，． （1）求∠B； （2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理即可求得，进而可求B； （2）由余弦定理及已知条件可求的值，进而利用三角形面积公式求得答案. 【小问1详解】 在△ABC中，由正弦定理，因为， 所以，又， ∴，所以，即， 因为，所以； 【小问2详解】 因为b＝2，c＝2a，由余弦定理得， ∴，解得，则， 所以△ABC的面积. 18. 如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为的中点. （1）求三棱锥的表面积； （2）求三棱锥的体积； （3）求证：四点共面. 【答案】（1）16 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出侧面与底面三角形的面积即可得解； （2）根据棱锥的体积公式求解； （3）利用两条平行线确定一个平面，证明四点共面即可. 【小问1详解】 由题意，， 在三角形中，， 所以， 所以. 【小问2详解】 , 因为三棱锥的高， 所以. 【小问3详解】 连接， 因为分别为的中点，所以且. 因为是直四棱柱，且底面是正方形， 所以，且，即四边形是平行四边形， 所以，所以， 所以四点共面. 19. 在中，角的对边分别为已知 （1）求角 （2）过作，交线段于D，且，求角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用内角和为变换角，最后进行三角恒等变化即可求解； （2）利用，结合定比分点向量公式，用向量法来运算垂直关系，即可解得. 【小问1详解】 由正弦定理得：． ∵，∴， ∴ ∴， 又，∴，又为三角形内角，∴． 【小问2详解】 因为在边上，且，所以． 因为，所以， 即， 所以． 在中，由，，可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $