4.4 利用三角形全等测距离 课后巩固练习2025-2026学年北师大版七年级数学下册

2026 年春季北师大版七年级(下) 第四章 全等三角形 4.4利用三角形全等测距离 一、选择题   1.（25-26·贵州期中）根据下列条件，能画出唯一的是（       ） A. B. C. D. 2.（25-26·山东月考）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 3.（25-26·全国同步）如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（       ） A. B. C.或 D.或 4.（25-26·全国同步）如图，中，，，，，则下列结论不正确的是 A. B. C. D. 5.（25-26·全国同步）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，，交于点．则下列说法错误的是（       ） A. B. C.若，则 D. 6.（25-26·全国同步）如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（       ） A. B. C. D. 7.（25-26·山东月考）如图，在中，，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为，则与的面积之差是（       ） A. B. C. D. 8.（25-26·全国同步）如图，已知中， 厘米， 厘米，点 为的中点．如果点 在线段 上以 厘米/秒的速度由 点向 点运动， 同时，点 在线段 上, 由 点向 点运动．若点 的运动速度为 厘米/ 秒，则当与全等时，的值为（        ） A. B. C. 或 D. 或 二、 填空题   9.（25-26·江苏月考）已知，，，则_________度．  10.（24-25·广东期中）如图，，若，，则的度数为_________度． 11.（24-25·广东期末）如图,请写出一组图中平行的线段________。 12.（25-26·江苏期中）如图所示，，，，，，则____________． 13.（25-26·全国同步）如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当____________时，为直角三角形． 14.（25-26·山东月考）如图，中，，，，点从点出发沿路径运动，终点为点；点从点出发沿路径运动，终点为点．点和点分别以和的速度同时开始运动，两点到达相应的终点时分别停止运动．若分别过点和作于，于．当与全等时，点的运动时间为 _______________． 三、 解答题   15.（24-25·广东期末）如图，在中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点． 求证： 16.（25-26·山东月考）如图，，点在边上（不与点，重合），与交于点． （1）若，，求的度数； （2）若，，求与的周长和． 17.（25-26·陕西期中）如图，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE． （1）求证：BC＝DE+CE． （2）若∠ACB＝90°，求证：BC∥DE． 18.（25-26·山东月考）如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； （2）点的运动速度为，其它条件不变，当_______时，与全等． 19.（24-25·贵州复习）如图，在中， ，为上一点，且，过作，连接，，且. （1）求证： ； （2）若，求的长． 20.（25-26·全国同步）老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图）： ①延长中线至点，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： （1）直接写出的取值范围是___________； （2）解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年春季北师大版七年级（下） 第四章全等三角形 4.4利用三角形全等测距离 一、选择题 1.(25-26·贵州期中)根据下列条件，能画出唯一△ABC的是( A.∠A=50°，AB=3,BC=4B.∠C=90°，AB=7 C.AB=6,AC=5,∠A=40°D.AB=5,BC=6,AC=12 【答案】 【解析】 本题考查的是全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定条件逐一分析 各选项，判断是否能唯一确定△ABC. 【解答】 解：A.已知∠A=50°，AB=3,BC=4,但SSA在非直角或钝角时无法唯一确定三角形，可 能存在两种不同形状，故排除： B.己知∠C=90°，AB=7(直角三角形斜边)，但未给出另一条边或角，无法确定直角边 长度，条件不足，排除： C.已知AB=6,AC=5,∠A=40°(SAS),符合边角边全等判定定理，能唯一确定三角形，符 合条件： D.AB=5,BC=6,AC=12,因5+6=11<12，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，排 除： 故选C 2.（25-26·山东月考)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图 痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有( y &念 A.1个B.2个C.3个D.4个 【答案】 D 【解析】 本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的 性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可. 【解答】 解：第一个图为尺规作角平分线的方法，OP为∠AOB的平分线： 第二个图，由作图可知：OC=OD,OA=OB, ∴.AC=BD, ,∠AOD=∠BOC, ∴.△AOD兰△BOC, .∴.∠OAD=∠OBC, ,'AC=BD,∠BPD=∠APC, ∴.△BPD兰△APC, .AP=BP, .OA=OB,OP=OP, ∴.△AOP=△BOP, ∴.∠AOP=∠BOP, ∴.OP为∠AOB的平分线： 第三个图，由作图可知∠ACP=∠AOB,OC=CP, ∴.CP‖BO,∠COP=∠CPO, ∴.∠CPO=∠BOP ∴.∠COP=∠BOP, .OP为∠AOB的平分线： 第四个图，由作图可知：OP⊥CD,OC=OD, ∴.OP为∠AOB的平分线： 故选D 3.(25-26·全国同步)如图，在△ABC中，AB=AC=24cm,∠B=∠C,BC=16cm,点D 为AB的中点，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由C点向A点运动.若在某一时刻能使△BPD与△CQP全等.则点Q的运动速度为 A.4cm/s B.3cm/s C.4cm/s或3cm/sD.4cm/s或6cm/s 【答案】 D 【解析】 本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是 本题的难点， 设点P、Q的运动时间为s,分别表示出BD、BP、PC、CQ,再根据全等三角形对应边相 等，分①BD、PC是对应边，②BD、CQ是对应边两种情况讨论求解即可. 【解答】 解：，AB=24cm,BC=16cm,点D为AB的中点， BD=×24=12cm, 设点P、Q的运动时间为ts, .∴.BP=4t, .PC=(16-4t)cm 若△BPD与△CQP全等.则有： ①当BD=CP时，16-4t=12, 解得：t=1, 则BP=CQ=4, 故点Q的运动速度为：4÷1=4cm/s: ②当BP=PC时， .'BC=16cm, ∴.BP=PC=8cm, ∴.t=8÷4=2. 故点Q的运动速度为12÷2=6cm/s. 所以，点Q的运动速度为4cm/s或6cm/s 故选：D 4.(25-26·全国同步)如图，△ABC中，AB⊥BC,BE⊥AC,∠1=∠2，AD=AB,则下 列结论不正确的是 D B A.BF=DF B.∠1=∠EFD C.BF>EF D.FD/iBC 【答案】 B 【解析】 4 根据余角的性质得到ㄥC=∠ABE,∠EBC=∠BAC.根据SAS推出△ABF=△ADF,根据全 等三角形的性质得到BF=DF,故A正确：由全等三角形的性质得到∠ABE=∠ADF,等量代 换得到LADF=∠C,根据平行线的判定得到DF1iBC,故D正确：根据直角三角形的性质 得到DF>EF,等量代换得到BF>EF;故C正确；根据平行线的性质得到 ∠EFD=∠EBC=∠BAC=2∠1，故B错误. 【解答】 ,'AB⊥BC,BE⊥AC,∴.∠C+∠BAC=∠ABE+∠BAC=90°，∴.∠C=∠ABE.同理： LEBC=∠BAC. AD=AB 在△ABF与△ADF中， i∠1=∠2 ∴.△ABF兰△ADF,∴.BF=DF,故A正确， AF=AF ,△ABF兰△ADF,∴.∠ABE=∠ADF,∴.∠ADF=∠C,∴.DF/UBC,故D正确： ,∠FED=90°，.DF>EF,∴.BF>EF;故C正确： .'DF/UBC,.∠EFD=∠EBC..'∠EBC=∠BAC=∠BAC=2∠1，.∠EFD=2∠1，故B 错误. 故选B 5.(25-26·全国同步)如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D,CE 平分∠ACB交AB于点E,AD,CE交于点F.则下列说法错误的是( A.∠AFC=120° B.△AEF=△CDF C.若AB=2AE,则CE⊥ABD.CD+AE=AC 【答案】 B 【解析】 A、根据三角形内角和定理可得可得∠ACB+∠CAB=120°，然后根据AD平分∠BAC,CE平 分∠ACB,可得∠FCA=)∠ACB,∠FAC=号LCAB,再根据三角形内角和定理即可进行判 断；B、用反证法即可判断；C、延长CE至G,使就=CE,连接BG,根据AB=2AE,证明 △ACE=△BGE,得∠ACE=∠G,然后根据等腰三角形的性质进而可以进行判断：D、作 ∠AFC的平分线交AC于点G,证明△AEF=△AGF,△CDF=△CGF,可得AE=AG,CD=CG, 进而可以判断 【解答】 解：A、在△ABC中，∠ABC=60°， .∴.∠ACB+∠CAB=120°， ·AD平分∠BAC,CE平分∠ACB, :∠FCA=号∠ACB,∠FAC=号LCAB, .∴.∠AFC=180°-（∠FCA+∠FAC) 元180°-1(LACB+∠CAB)=120°， 故正确，不符合题意： B、若△AEF=△CDF, ∴.AF=CF, ∴.∠CAF=∠ACF, ∴.∠ACB=∠CAB, 而由已知条件无法证明∠ACB=∠CAB, 故错误，符合题意： C、如图，延长CE至G,使(=CE,连接BG, 6 B .'AB=2AE, ∴.AE=BE, 在△ACE和△BGE中， AE=BE ∠AEC=∠BEG, =CE .∴.△ACE=△BGE SAS, ∴.∠ACE=∠G, .CE为角平分线， ∴.∠ACE=∠BCE, ∴.∠BCE=∠G, ∴.BC=BG, .CE=, .CE⊥AB, 故正确，不符合题意； D、如图，作∠AFC的平分线交AC于点G, B O 由选项A得∠AFC=120°， &∠ArG=∠CFG=}∠AFC=60,∠APE=∠CFD=60, .∴.∠AFG=∠CFG=∠AFE=∠CFD=60°， ,∠EAF=∠GAF,∠DCF=∠GCF, .∴.△AEF=△AGF ASA,△CDF=△CGFASA, ∴.AE=AG,CD=CG, ∴.CD+AE=CG+AG=AC, 故正确，不符合题意： 故选B 6.(25-26·全国同步)如图，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注 的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是( B D 3 4 A G H A.50B.62C.65D.68 【答案】 A 【解析】 由AE⊥AB,EF⊥FH,BG⊥AG,可以得到∠EAF=∠ABG,而AE=AB,∠EFA=∠AGB, 由此可以证明△EFA兰△ABG,所以AF=BG,AG=EF:同理证得△BGC=△DHC, GC=DH,CH=BG,故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16,然后利用面积的割补法和 面积公式即可求出图形的面积. 【解答】 .'AE⊥AB且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥FH, ∴.∠EAB=∠EFA=∠AGB=90°， 8 ,∠EAF+∠AGB=90°，∠ABG+∠BAG=90°， .∴.∠EAF=∠ABG, ∴.AE=AB,∠EFA=∠AGB,∠EAF=∠ABG, ∴.△EFA≌△ABG, ∴.AF=BG,AG=EF, 同理证得△BGC≌△DHC,GC=DH,CH=BG, FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16, 故5=号(6+4)×16-3×4-6×3=50. 故选：A. 7.(25-26·山东月考)如图，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,点D在边BC上，CD=2BD, 点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC,若△ABC的面积为24，则△DFC与△BDE的面积 之差是( A B D A.9 B.8 C.7D.6 【答案】 B 【解析】 本题主要考查的是三角形外角性质、全等三角形的判定(AAS)与性质、三角形面积的比例关 系，熟练掌握相关知识是解题的关键。 先利用三角形外角性质和角的和差关系推出∠ABE=∠FAC、∠AEB=∠CFA,结合AB=AC, 通过AAS证明△ABE△FAC,得到两者面积相等：再根据CD=2BD及△ABC的面积，求出 S△AD和S△ACD,进而得出△DFC与△BDE的面积之差. 【解答】 '∠1=∠ABE+∠BAE,∠1=∠BAC, ∴.∠BAC=∠ABE+∠BAE, .∠BAC=∠BAE+∠FAC, ∴.∠ABE=∠FAC, .∠1=∠2， ∴.∠AEB=∠CFA, 在△ABE和△FAC中， ∠AEB=∠CFA ∠ABE=∠FAC, AB=AC ∴.△ABE=△FAC(AAS), .SAABE=S△FAC, '.△DFC与△BDE的面积之差SAACD-SAABD, .CD=2BD,△ABC的面积为24， _1×24=8, 3 5m号5号×24=16， 2 ∴.16-8=8， 故选：B 8.（25-26·全国同步)如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C,BC=8厘米， 点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， 同时，点Q在线段CA上，由C点向A点运动.若点Q的运动速度为v厘米/秒， 则当△BPD与△CQP全等时，v的值为( 10 A.2B.3 C.2或3 D.1或5 【答案】 C 【解析】 此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论，不要漏解，此题要分两种情况： ①当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求V: ②当BD=CQ时，△BDP≌△QCP,计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求V. 【解答】 解：当BD=PC时，△BPD与△CQP全等， ,点D为AB的中点， BD=号AB=6cm. .BD=PC, ∴.BP=8-6=2cm, ,点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， .运动时间是1s, △DBP兰△PCQ, ∴.BP=CQ=2cm, 11 .v=2÷1=2: 当BD=CQ时，△BDP=△CQP, .BD=6cm,PB=PC, ∴.QC=6cm, .'BC=8cm, ∴.BP=4cm, .运动时间为4÷2=2(s), ∴.v=6÷2=3 m 故选：C, 二、 填空题 9.(25-26·江苏月考)已知△ABC=△DEC,∠A=50°，∠B=30°，则∠E=元 30 度 【答案】 30 【解析】 本题主要考查了三角形全等的性质，根据全等三角形对应角相等，进行求解即可. 【解答】 解：∠A=50°，∠B=30°， 又.△ABC=△DEC, .∴.∠E=∠B=30°. 故答案为：30 10.(24-25·广东期中)如图，△ABD=△CBD,若∠A=70°，∠ABD=45°，则∠BDC的 度数为 65度. 12 【答案】 65 【解析】 先根据三角形的内角和的性质求出∠ADB,再根据全等三角形的性质即可求出∠BDC的度数. 【解答】 解：，∠A=70°，∠ABD=45, ∴.∠ADB=180°-70°-45°=65 .'△ABD≌△CBD .∠BDC=∠ADB=65° 故答案为：65 11.(24-25·广东期末)如图△ABC=△EFD,请写出一组图中平行的线段AB1iEF(答 案不唯一) 13 【答案】 AB/iEF(答案不唯一) 【解析】 利用全等三角形的性质得∠B=∠F,然后根据平行线的判定即可得出答案 【解答】 ,ABC≈FD ∴.∠B=∠F .'AB uEF 故答案为：AB/iEF(答案不唯一)· 12.(25-26·江苏期中)如图所示，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°， ∠2=30°，则∠3=( 55° 17 D 【答案】 14 55155度 【解析】 本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性 质是解题的关键 根据∠BAC=∠DAE,得出∠1=∠EAC,即可证明△BAD=△CAE SAS),根据三角形全等的 性质得∠2=∠ABD,最后利用∠3=∠1+∠ABD可求解. 【解答】 解：.'∠BAC=∠DAE, .∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, .∴.∠1=∠EAC, 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD-AE ∴.△BAD=△CAE SAS, ∴.∠2=∠ABD=30°， ∠1=25°， .∴.∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°， 故答案为：55. 13.(25-26·全国同步)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=100°，点D为三角形内部一 点且∠BDC=140°，点E为BC中点，连接AD,DE,作∠FDC=∠EDC,且DF=2DE,当 ∠ADB=(130°或90 时，△DFC为直角三角形. 6 【答案】 130°或90/90°或130 【解析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等内容，作出 合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键 分类讨论，当∠DFC=90时或∠FDC=90时，延长DE到点G,使DG=2DE,连接CG、AF, 先证△DFC兰△DGC(SAS),再证△BDE兰△CGE(SAS),最后证△ABD=△ACF(SAS),得 ∠ADF=40°，即可得解. 【解答】 解：①当∠DFC=90时，如图，延长DE到点G,使DG=2DE,连接CG、AF, .DF=2 DE ∴.DF=DG, 在△DFC和△DGC中， DF=DG ∠FDC=LEDC, DC=DC ∴.△DFC=△DGC(SAS), ∴.CG=CF,∠DFC=∠G=90°， 16 E是BC中点， ∴.BE=CE, 在△BDE和△CGE中， BE=CE ∠BED=∠CEG, DE= ∴.△BDE=△CGE(SAS), ∴.∠BDE=∠G=90,∠DBE=∠GCE,BD=CG, ∴.BD=CF, .∠BDC=140°， ∴.∠EDC=∠BDC-∠BDE=50°=∠FDC, .∴.∠DCG=∠DCF=90°-50°=40°， ∴.∠FCG=80°， .·∠BAC=100°，AB=AC, .∴.∠ABC=∠ACB=40°， ∴.∠ABD+∠DBE=40°，∠ACF+∠GCE=40°， .∠DBE=∠GCE, .∴.∠ABD=∠ACF, 在△ABD和△ACF中， AB=AC ∠ABD=∠ACF BD=CF 11 .∴.△ABD=△ACF(SAS), ∴.∠BAD=∠CAF,AD=AF, .∴.∠DAF=∠BAC=100°， .∴.∠ADF=40°， ∴.∠ADB=360°-∠BDC-∠FDC-ADF 元360°-140°-50°-40° 130°； ②当∠FDC=90时，如图，延长DE到点G,使DG=2DE,连接CG、AF, -- D 同①理可得∠ADF=40°， .∠ADB=360°-∠BDC-∠FDC-∠ADF 乙360°-140°-90°-40° 90°： 综上，∠ADB的度数为130°或90°， 故答案为：130°或90°. 14.(25-26·山东月考)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,点P从A点 出发沿A→C→B路径运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径运动，终点为A点. 点P和点Q分别以1cm/s和3cm/s的速度同时开始运动，两点到达相应的终点时分别停止运动. 若分别过点P和Q作PE⊥I于E,QF⊥I于F.当△PEC与△QFC全等时，点P的运动时间t为 18 1或2或12 B A Q P E CF 【答案】 1或或2 【解析】 根据点的运动规律，设点P运动t秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的 三角形全等，分类讨论，①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC=(6-t)cm, QC=(8-3t)cm:②如图2，P在BC上，Q在AC上，则PC=(t-6)cm,QC=(3t-80)cm;③ 如图3所示，当P、Q都在AC上时：④当Q到A点停止，P在BC上时，AC=PC;⑤P和Q都 在BC上的情况；图形结合，根据三角形全等的判定方法即可求解. 【解答】 解：设点P运动t秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等，分 为五种情况： ①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC=(6-t)cm,QC=(8-3t)cm, 19 B .PE⊥1QF⊥1 图1 .∠PEC=∠QFC=90°， .∠ACB=90°， ∴.∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°， ∴.∠EPC=∠QCF, .△PCE△CQF, ∴.PC=CQ,即6-t=8-3t, .t=1: ②如图2，P在BC上，Q在AC上，则PC=(t-6)cm,QC=(3t-80)cm, B y PC=CQ 图2 由①知： ∴.t-6=3t-8, .t=1: .此时t-6<0, ∴.此种情况不符合题意： 20 ③当P、Q都在AC上时，如图3， B P(O) PC=6-t=3t-8 h E(F)C 图3 ④当Q到A点停止，P在BC上时，AC=PC, ∴.t-6=6时，解得t=12: ⑤，P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3， tpc=6,toc=3 8 .tpc>toc, ∴.P和Q都在BC上的情况不存在； 综上所述，点P运动1或或12秒时，△PEC与△QFC全等. 故答案为：1或2或12. 三、解答题 15.(24-25·广东期末)如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作 CF/心AB交DE的延长线于点F. 之 求证：△ADE=△CFE. D B 【答案】 证明见解析. 【解析】 根据AAS或ASA证明△ADE=△CFE即可. 【解答】 证明：，E是边AC的中点， AE=CE 又CFAB A=∠ACF,∠ADF=iF ∠ADF=∠F 在△ADE与△OFE中， ∠A=∠ACF AE=CE △ADE=△CFE AA 16.(25-26·山东月考)如图，△ABC=△ADE,点E在边BC上（不与点B,C重合），DE 与AB交于点F. 22 D B E (1)若∠CAD=110°，∠BAE=30°，求∠BAD的度数： (2)若AD=10,BE=CE=4.5,求△ADF与△BEF的周长和. 【答案】 409 33.5 【解析】 (1)利用全等三角形的性质、等式的性质可得出∠CAE=∠BAD,然后利用角的和差关系求 解即可： (2)利用全等三角形的性质可求出AB=AD=10,BC=DE=9,然后利用三角形的周长公式 求解即可， 【解答】 (1)解：，△ABC=△ADE, ∴.∠BAC=∠DAE, ∴.∠CAE=∠BAD, .·∠CAD=110°，∠BAE=30°， ∴.∠CAE+∠BAD=∠CAD-∠BAE=80°， ..∠BAD=∠CAE=40°： 23 (2)解：.'AD=10,BE=CE=4.5,△ABC=△ADE, .AB=AD=10,BC=DE=BE+CE=9, △ADF与△BEF的周长和为AD+DF+AF+BF+EF+BE i AD+(DF+EF)+(AF +BF+BE 乙AD+DE+AB+BE 10+9+10+4.5 33.5. 17.(25-26·陕西期中)如图，A,C,E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE. (1)求证：BC=DE+CE. (2)若∠ACB=90°，求证：BC∥DE. 【答案】 见解析 见解析 【解析】 (1)根据全等三角形的性质得AC=DE,BC=AE,由AE=AC+CE即可得证： (2)根据全等三角形的性质得∠ACB=∠DEA=90°，由内错角相等两直线平行即可得证. 【解答】 (1).'△ABC=△DAE, ∴.AC=DE,BC=AE, .AE=AC+CE, ∴.BC=AC+CE=DE+CE; (2)'△ABC=△DAE, 24 .∴.∠ACB=∠DEA=90°，∠BCE=180°-∠ACB=90°， ∴.∠BCE=∠DEA, ∴.BC/iDE. 18.(25-26·山东月考)如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm,BC=4cm,点D为AB的中 点.如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向 点A运动. D (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与CQP是否全等，请说 明理由； (2)点Q的运动速度为xcm/s,其它条件不变，当x=(时，△BPD与△CQP全等. 【答案】 全等，证明过程见解析 1房 【解析】 (1)先根据路程就速度×时间分别计算出BP和CQ的长度，再根据点D是AB的中点，求出BD 的长，利用线段的和差关系求出PC的长，最后，在△BPD和△CQP中，利用条件判断即可： (2)利用三角形全等可根据对应边相等分开讨论，分别讨论当△BPD兰△CQP和 △BPD=△CPQ时，求x的值即可； 【解答】 25 (1)解：△BPD=△CQP,理由如下： 经过1s后，PB=1cm,PC=4-1=3cm,CQ=1cm, .△ABC中，AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB, 在△BPD和△CQP中， BD=CP ∠PBD=∠QCP BP=CQ ∴.△BPD=△CQP SAS. (2)设点Q的运动速度为xcm/s,经过ts后，△BPD与△CQP全等，则可知PB=tcm, PC=(4-t)cm,CQ=xtcm, 当△BPD=△CQP时，即BD=CP且BP=CQ时，4-t=3且t=xt, 解得：x=1: 当△BPD=△CPQ时，即BD=CQ且BP=CP时，3=xt且t=4-t, 3 解得：x= 故答案是：1域是 19.(24-25·贵州复习)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为BC上一点，且AC=BD, 过D作DE⊥BC,连接BE,CE,且BE=AB. E D B 26 (1)求证：△ABC兰△BED: (2)若S△BcE=18,CD=2,求AC的长. 【答案】 证明： DE⊥BC, .∠BDE=90°， 在Rt△ABC和Rt△BED中， AB=BE AC=BD' ∴.Rt△ABC≌Rt△BED HL. 解：.△ABC兰△BED,∴.BC=DE, .SABCE=18,CD=2, 3Bc-DE=18. BC=9, CB=3(负值舍去)， BD=BC-CD=3-2=1, AC=1. 【解析】 此题暂无解析 【解答】 (1)证明：，DE⊥BC, .∠BDE=90, AB=BE 在Rt△ABC和Rt△BED中，AC=BD ,Rt△ABC =Rt△BEDHL. (2)解：，△ABC=△BED,∴.BC=DE, 'S△BC=18,CD=2, BC.DE=18, 27 BC2=9, CB=3(负值舍去)， BD=BC-CD=3-2=1, AC=1. 20.（25-26·全国同步)老师在某节数学课上提出了如下问题：在△ABC中，AB=8, AC=6,求边BC上的中线AD的取值范围.某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方 法（如图1）： B D 图1 图2 ①延长中线AD至点Q,使得DQ=AD: ②连接BQ,把AB,AC,2AD集中在△ABQ中； ③利用三角形的三边关系，可得2<AQ<14. 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出AD的取值范围是 (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构 造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中. 如图2，AD是△ABC的中线，AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°，用等式表示EF和 AD的数量关系并证明. 【答案】 1<AD<7 EF=2AD,理由见解析 【解析】 (1)延长中线AD至点Q,使DQ=AD:连接BQ,得到AQ=2AD,判定△BDQ=△CDA, 28 推出BQ=AC=6,由三角形三边关系定理得AB-BQ<AQ<AB+BQ,即可得到1<AD<7, (2)延长AD到K,使DK=AD,连接BK,得到AK=2AD,判定 △BDK兰△CDA,△BAK=△AEF,即可解决问题. 【解答】 (1)解：如图1，延长中线AD至点Q,使DQ=AD:连接BQ, 图1 .'AQ=2 AD, ,'AD是△ABC的中线， ∴BD=CD, .'DQ=DA,∠BDQ=∠ADC, .∴.△BDQ≌△CDA SAS, .∴.BQ=AC=6, 由三角形三边关系定理得：AB-BQ<AQ<AB+BQ, .∴.8-6<2AD<8+6, ∴.1<AD<7, 故答案为：1<AD<7. (2)如图2，EF=2AD,理由如下： 延长AD到K,使DK=AD,连接BK, 29 D 图2 ∴.AK=2AD, ,AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD, ,DE=DA,∠BDK=∠ADE, ∴.△BDK=△CDA, ∴.BK=AC,∠K=∠CAD, .AC‖BK, ∴.∠ABK+∠BAC=180°， ,∠BAE=∠CAF=90°， .∴.∠EAF+∠BAC=180°， ∴.∠ABK=∠EAF, .AF=AC, ∴.BK=AF, ∠ABK=∠EAF,AB=AE, ∴.△BAK=△AEF, .EF=AK, ∴.EF=2AD 30