4.3《探索三角形全等的条件》课后巩固练习2025-2026学年北师大版七年级数学下册

2026年春季北师大版七年级（下） 第四章全等三角形 4.3探索三角形全等的条件 一、选择题 1.(25-26·安微月考)如图，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，这里所运用 的几何原理是() A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.三角形具有稳定性 D.垂线段最短 【答案】 【解析】 本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解.熟知三角形的稳定性是解题关 键。 【解答】 解：工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，这里所运用的几何原理是三角形具有稳 定性. 故选C 2.(25-26期末)如图，已知∠ABC=∠DCB,下列所给条件不能证明△ABC兰△DCB的是 () A.∠A=∠DB.AB=DC C.∠ACB=∠DBCD.AC=BD 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 A·添加∠A=∠D可利用AAS定理判定△ABC兰△DCB,故此选项不合题意；B.添加 AB=DC可利用SAS定理判定△ABC兰△DCB,故此选项不合题意； C,添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC兰△DCB,故此选项不合题意； D.添加AC=BD不能判定△ABC兰△DCB,故此选项符合题意. 故此题答案为D 3.(25-26·广东期中)如图，小谊将两根长度不等的木条AC,BD的中点连在一起，记中点 为O,即AO=CO,BO=DO.测得C,D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花 瓶内壁上A,B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是() A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 【答案】 B 【解析】 本题考查了全等三角形的判定，由SAS即可判定求解，掌握全等三角形的判定方法是解题 的关键， 【解答】 在△AOB与△COD, A0=C0 ∠AOB=∠COD ( BO=DO :△AOB≌△COD(SAS), :△AOB与△COD全等的依据是SAS, 故选：B 4.(25-26·山东期中)如图，在△ABC和△CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知 ∠ACB=∠E,AC=CE,添加以下条件后，仍不能判定△ABC兰△CDE的是() D A.∠A=∠DCE B.ABII DE C.BC=DE D.AB=CD 【答案】 D 【解析】 本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法.根据全等三角形 的判定方法逐一判断即可. 【解答】 解：A、∠A=∠DCE,AC=CE,∠ACB=∠E,由“ASA”能判定△ABC兰△CDE,不符 合题意； B、ABII DE,则∠B=∠DCE,再结合∠ACB=∠E,AC=CE,由“AAS”能判定 △ABC兰△CDE,不符合题意； C、BC=DE,∠ACB=∠E,AC=CE,由“SAS”能判定△ABC兰△CDE,不符合题意； 3 D、AB=CD,AC=CE∠ACB=∠E,由“SSA”不能判定△ABC兰△CDE,符合题意； 故选：D 5.(24-25·广东期末)如图，点A、D在线段BC的同侧，连接AB、AC、DB、DC,已知 ∠ABC=∠DCB,老师要求同学们补充一个条件使△ABC兰△DCB.以下是四个同学补充的条 件，其中错误的是() A.AC=DB B.AB=DC C.∠A=∠D D.∠ABD=∠DCA 【答案】 A 【解析】 因为∠ABC=∠DCB,BC是公共边，结合选项条件对选项逐一进行分析判断即可. 【解答】 A、补充AC=DB,SSA不能判定△ABC兰△DCB,故A错误；B、补充AB=DC,可根据SAS 判定△ABC兰△DCB,故B正确； C、补充∠A=∠D,可根据AAS判定△ABC兰△DCB,故C正确： D、补充∠ABD=∠DCA,可根据ASA判定△ABC兰△DCB,故D正确. 故此题答案为A 6.(25-26·上海期末)如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD.从下列条件中补充一 个条件，不一定能推出△APC兰AAPD的是() A.AC=AD B.BC=BD C.∠ACB=∠ADBD.∠CAB=∠DAB 【答案】 A 【解析】 此题考查了全等三角形的判定.根据全等三角形的判定和性质逐个选项进行判断即可. 【解答】 解：A、补充AC=AD,不能推出△APC兰△APD，故此选项符合题意； B、补充BC-=BD,先证出△ABC兰△ABD，后能推出△APC兰△APD,故此选项不符合题 意； C、补充∠ACB=∠ADB,先证出△ABC兰△ABD,后能推出△APC兰△APD,故此选项 不符合题意 D、补充∠CAB=∠DAB,先证出△ABC兰△ABD,后能推出△APC兰△APD,故此选项 不符合题意： 故选：A. 7.(25-26·全国同步)(3分)一副三角尺如图放置，D为BC中点，将△DEF绕点D旋转， 边DF,DE分别与边ABAC分别交于点GH,若SAc=1,则阴影部分面积为() G D A.0.5B.0.6C.0.75D.0.8 【答案】 A 【解析】 本题考查了等腰直角三角形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质等，连接AD,由 等腰三角形的性质可得AD=BD=CD=专BC,∠DAH=∠B=45,∠ADB=90°，进而由余 角性质得∠ADH=∠BDG,即得△ADH兰△BDG(ASA),即可得S△ADH=S△BDG,得到 5 S阴影=S△ADB,利用中线性质求出S△ADB即可求解，正确作出辅助线是解题的关键. 【解答】 解：连接AD,如图， O :△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边BC的中点， :AD=BD=CD=BC,∠DAH=∠B=45,AD⊥BC, ÷∠ADB=90°， 即∠BDG+∠ADG=90, 又：∠ADH+ADG=90, ·∠ADH=∠BDG, :△ADH兰△BDG(ASA), iS△ADH=S△BDG? ·S阴影=SAADB, BD=CD=BC, SADB=S△ABc=克×1=0.5， S阴影=S△ADB=0.5, 故选：A 8.(25-26·广西期中)如图，在等边三角形ABC,BC边上的高AD=6,E是AD上的一个 动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，EB+EF的最小值是() A.5B.6C.7D.8 【答案】 6 B 【解析】 此题考查等边三角形的性质、轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线；先连接CE, 再根据EB=EC,将FE+EB转化为FE+CE,最后根据两点之间线段最短，根据等边三角形 的各边上的高相等，求得CF的长，即为FE+EB的最小值 【解答】 连接CE, E :等边△ABC中，AD是BC边上的高 :AD垂直平分BC :EB=EC, 当C,F,E三点共线时，EF+ECEF+BE=CF, :等边△ABC中，F是AB边的中点， :CF是等边三角形AB边上的高， △ABD和△CBF中 I∠ADB=∠CFB AB=BC N∠ABD=∠CBF ·△ABD兰△CBF(ASA) :AD=CF=6, :EF+BE的最小值为6， 故选：B. 二、 填空题 7 9.(25-26·江苏月考)如图、手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三 角形具有 稳定 性。 【答案】 稳定 【解析】 根据三角形的稳定性即可求解 【解答】 解：手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性. 故答案为：稳定 10.(25-26·宁夏月考)如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去 配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带 ③ 去（填序号） 【答案】 ③ 【解析】 本题是一道利用全等三角形解决实际问题的题目，解题的关键是掌握全等三角形的判定定 理； 利用三角形全等的判定定理“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”，即可确定； 8 【解答】 解：第③块玻璃含有两个角，能确定整块玻璃的形状.第一块和第二块只保留了原三角形的 一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留 了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据“ASA”来配一块一样的玻璃.应带③ 去 故答案为：③. 11.(24-25·河南期中)请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠AOB等于已知角∠A0B的示意 图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠AOB=∠AOB的依据是 sss 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠AOB=∠AOB 【答案】 sss 【解析】 本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是 正确解答本题的关键. 由作法易得OD=OD,OC=OC,CD=CD,依据SSS定理得到△DOC兰△DOC,由全等三 角形的对应角相等得到∠A'OB=∠AOB 【解答】 解：由作图方法可知OD=OD,OC=OC,CD=CD, 在△D0C与△D0C中， OD=OD 0C=0c CD=CD 9 :△DoC兰△D0d(SSS, :∠AOB=∠AOB, 故答案为：SSS 12.(25-26·全国同步)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC和∠BAC的平分线相交于 点O,OD L OA交AC于D,OE⊥OB交BC于E,AC=7,BC=24,AB=25,则△CDE周长 为 6 B D 【答案】 6 【解析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的意义，构造辅助线证明三角形全等是解题 的关键 延长EO交AB于N,延长DO交AB于M,可证△BOE兰△BON,有BE=BN,OE=ON;同理 可证明△AOM兰△AOD,有AM=AD,OD=OM,再证明△MON兰△DOE,则有 DE=MN;由CE+CD+DE=AC+BC-AB即可求解. 【解答】 解：如图，延长EO交AB于N,延长DO交AB于M M N D OE L BO, ÷∠BOE=∠BON=90°； 10 :BO平分∠ABC, :∠EBO=∠NBO: 在△BOE与△BON中， |∠BOE=∠BON OB=OB N∠EBO=∠NBO :△BOE兰△BON(ASA), :BE=BN,OE=ON; 同理可证明△AOM兰△AOD,有AM=AD,OD=OM: 在△MON与△DOE中， OM=OD ∠MON=∠DOE ON=OE :△MON≌△DOE(SAS, DE=MN; CE=BC-BE=BC-BN=BC-BM-MN,CD=AC-AD=AC-AM ·CE+CD+DE =BC-BM-MN+AC-AM+MN =AC+BC-AB =7+24-25 =6 故答案为：6 13.(25-26·江苏期中)如图所示，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25， ∠2=30°，则∠3= 55 D B 【答案】 55/55度 11 【解析】 本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性 质是解题的关键. 根据∠BAC=∠DAE,得出∠1=∠EAC,即可证明△BAD兰△CAE(SAS),根据三角形全等 的性质得∠2=∠ABD,最后利用∠3=∠1+∠ABD可求解. 【解答】 解：：∠BAC=∠DAE, ·∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ·∠1=∠EAC 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE :△BAD≥△CAE(SAS), ·∠2=∠ABD=30°， :∠1=25， &∠3=∠1+∠ABD=25+30°=55， 故答案为：55. 14.(25-26·全国期中)如图，在△ABC中，AB=BC,BE、CF分别是AC、AB边上的高， 在BE上取点D,使BD=CA,在射线CF上取点G,使CG=BA,连接AD、AG,若 ∠DAE=38°，∠EBC=20°，则∠GAB=58。. F D B 【答案】 58 【解析】 Y 首先证明△ABD兰△GCA可得∠AGC=∠BAD,然后根据直角三角形两个锐角互余可得 ∠GAF=∠ABD+∠DAE=20°+38°=58°，进而可以解决问题. 【解答】 解：：BE、CF分别是AC、AB两边上的高，：∠BEA=∠CFA=90, ·∠ABE+∠BAC=90°，∠ACF+∠BAC=90°， ·∠ABE=∠ACF, 在△ABD和△GCA中 BD=AC ∠ABE=∠ACF AB=CG ·△ABD兰△GCA(SAS, ·∠AGC=∠BAD, 'AB=BC,BE⊥AC, ·∠ABE=∠EBC=20°， :∠AGF+∠GAF=90°，∠ABE+∠BAD+∠DAE=90°， ·∠GAF=∠ABD+∠DAE=20°+38=58， 即∠GAB=58, 故答案为58. 三、解答题 15.(25-26·全国同步)如图，AB=AC,AB1AC,AD1AE,且LABD=∠ACE 求证：BD=CE. 【答案】 见解析. 13 【解析】 先求出∠CAE=∠BAD再利用ASA证明△ABD兰△ACE,即可解答 【解答】 :AB⊥AC,AD⊥AE, :∠BAE+∠CAE=90°，∠BAE+∠BAD=90°， ·∠CAE=∠BAD 又AB=AC,∠ABD=∠ACE, ·△ABD≌△ACE(ASA. ·BD=CE. 16.(24-25·河南期中)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=DB,BE平分∠ABC, 交AC边于点E,连接DE, D (1)求证：△ABE兰△DBE; (2)若A=100°，∠C=50°，求∠AEB的度数.。 【答案】 见解答： 65 【解析】 (1)由角平分线定义得出∠ABE=∠DBE,由SAS证明△ABE兰△DBE即可； (2)由三角形内角和定理得出∠ABC=30°，由角平分线定义得出 ABE=∠DBE=专∠ABC=15,在△ABE中，由三角形内角和定理即可得出答案. 【解答】 (1)证明：：BE平分∠ABC,÷∠ABE=∠DBE, 14 AB=DB 在△ABE和ADBE中， ∠ABE=∠DBE BE=BE :△ABE兰△DBE(SAS); (2)(2:A=100°，∠C=50,÷∠ABC=30, :BE平分∠ABC, :∠ABE=∠DBE=ABC=15, 在△ABE中，∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15=65. 17.(25-26·全国同步)如图，点B,F,C,E在直线1上，点A,D在直线1的异侧，且 AB//DE,∠A=∠D,AC=DF. E-1 (1)△ABC与△DEF全等吗？请说明理由； (2)若BE=22,BF=7,求FC的长度. 【答案】 全等，理由见解析 8 【解析】 (1)由AB/DE,得∠ABC=∠DEF,而AC=DE,A=∠D,即可证明 △ABC兰△DEF; (2)根据全等三角形的性质得BC=EF,则BF=CE=7,根据FC=BE-BF-CE计算即可. 【解答】 (1)解：证明：：AB//DE, :∠ABC=∠DEF, 15 在△ABC与△DEF中 I∠ABC=∠DEF ∠A=∠D AC=DF ·△ABC≌△DEF(AAS): (2)解：：△ABC≥△DEF, :BC=EF, :.BF+FC=EC+FC, ·BF=EC=7, :BE=22 .FC=BE-BF-CE=22-7-7=8 18.(25-26·安徽期末)如图，AE//BC且AE=AC,∠EFA=∠ABC B (1)求证：△ABC兰△EFA; (2)若∠E=15,∠EAB=35,求∠C的度数. 【答案】 见解析 【解析】 利用AAS即可证明结论： (2)由全等三角形的性质求出∠BAC的度数，再求出∠EAF的度数即可得到答案. 【解答】 证明： AE/BC, ·∠FAE=∠BCA .△ABC兰△EFA(AAS: (2)解：由(1)得△ABC兰△EFA,∠C=∠EAF, 16 .∠BAC=∠E=15 ·∠EAF=∠EAB-∠BAC=35-15=20, :∠C=20 19.(25-26·全国同步)如图，在△ABC中，点D,E分别在AC,BC边上，连接AE,BD交 于点F,且BD垂直平分AE,连接DE (1)若△ABC的周长为22，△DEC的周长为8，求AB的长. (2)若∠ABC=30'°，∠C=50,求∠CDE的度数. 【答案】 7 50° 【解析】 (1)根据轴对称的性质得到AB=BE,AD=DE,根据三角形的周长公式计算，得到答案： (2)根据三角形内角和定理求出∠BAC,证明△BAD兰△BED,根据全等三角形的性质得 到∠ADB=∠EDB,∠ABD=∠EBD,求出∠BAC=1O0°，再根据三角形内角和定理求出 ∠ADB=∠EDB=180°-100°-15=65，最后求出结果即可. 【解答】 (1)解：：BD是线段AE的垂直平分线， :点A与点E关于BD对称， ·AB=BE,AD=DE, :△ABC的周长为22，△DEC的周长为8， AB+BE +EC+CD+AD=22 CD+EC+DE=CD+CE+AD=8, ·AB+BE=22-8=14, ÷AB=支×14=7. 17 BA=BE (2)解：在△BAD和△BED中， BD=BD DA=DE ·△BAD兰△BED(SSS), ·∠ADB=∠EDB∠ABD=∠EBD, :∠ABC=30°， .∠ABD=15, :∠C=50, ÷∠BAC=180°-30°-50=100°， ·∠ADB=∠EDB=180°-100°-15=65， ÷∠CDE=180°-2×65=50. 20.(25-26·上海期末)如图，∠MOA=90°，△0AB是等边三角形，点P在射线OM上，连 接AP,以AP为边作等边三角形APC,边AC与边BO相交于点D,连接BC. M (1)求证：AB⊥BC. (2)连接OC,当△OBC是等腰三角形时，求∠ODC的度数. 【答案】 见解析 ∠0DC的度数为75o或90o 【解析】 (1)首先由等边三角形的性质得到∠PAC=∠OAB=60°AP=AC,AO=AB,然后证明出 △PAO≌△CABSAS即可得到∠ABC=∠AOP=90°； 18 【解答】 (1)解：：△APC,△OAB是等边三角形， ∠OBC=∠ABC-∠AB0=30° ÷∠PAC=∠0AB=60,AP=AC,A0=AB ·∠PAO=∠CAB ·△PAO兰ACAB(SAS :∠ABC=∠AOP=90 ·AB⊥BC: (2)解：：△OAB是等边三角形， :∠AB0=60,AB=OB :∠ABC=90 ·∠OBC=∠ABC-∠AB0=30 :△OBC是等腰三角形 ·①如图，当B0=BC时， M ◇ B ·AB=CB .∠BCA=∠BAC=45 ·∠0DC=∠BCD+∠CBD=45+30=75; ②如图，当B0=C0时， 19 M P (D)O A B .∠OCB=∠OBC=30° ·∠C0B=180°-∠0CB-∠0BC=120° ·∠C0B+∠A0B=180 :点0在AC上，即点0和点D重合，不存在∠ODC,不符合题意； ③如图，当CO=CB时， M 0 B OA=AB :AC垂直平分OB :∠0DC=90° 综上，∠0DC的度数为75°或90 20 2026 年春季北师大版七年级(下) 第四章 全等三角形 4.3探索三角形全等的条件 一、选择题   1.（25-26·安徽月考）如图，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，这里所运用的几何原理是（       ） A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.三角形具有稳定性 D.垂线段最短 2.（25-26期末）如图，已知，下列所给条件不能证明的是（       ） A. B. C. D. 3.（25-26·广东期中）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（       ） A. B. C. D. 4.（25-26·山东期中）如图，在和中，点、、在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（       ） A. B. C. D. 5.（24-25·广东期末）如图，点、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是(       ) A. B. C. D. 6.（25-26·上海期末）如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（       ） A. B. C. D. 7.（25-26·全国同步）（3分）一副三角尺如图放置，为中点，将绕点旋转，边分别与边分别交于点，若，则阴影部分面积为（       ） A. B. C. D. 8.（25-26·广西期中）如图，在等边三角形，边上的高， 是 上的一个动点，是边 的中点，在点运动的过程中，的最小值是 （     ） A.5 B.6 C.7 D.8 二、 填空题   9.（25-26·江苏月考）如图、手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有______________性． 10.（25-26·宁夏月考）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带_____________去（填序号）． 11.（24-25·河南期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是______________ 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明 12.（25-26·全国同步）如图，在中，，和的平分线相交于点，交于，交于，，，，则周长为____________． 13.（25-26·江苏期中）如图所示，，，，，，则______________． 14.（25-26·全国期中）如图，在中，，、分别是、边上的高，在上取点，使，在射线上取点，使，连接、，若，，则＝    ． 三、 解答题   15.（25-26·全国同步）如图，，，，且 求证： 16.（24-25·河南期中）如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 17.（25-26·全国同步）如图，点，，，在直线上，点，在直线的异侧，且，，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）若，，求的长度．  18.（25-26·安徽期末）如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 19.（25-26·全国同步）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． （1）若的周长为，的周长为，求的长． （2）若，，求的度数． 20.（25-26·上海期末）如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． （1）求证：． （2）连接，当是等腰三角形时，求的度数． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $