第十章 二元一次方程组 单元测试-2025-2026学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版新教材）

**基本信息** 第十章二元一次方程组单元测试（120分），覆盖方程定义、解法及应用，融合文化情境（如《孙子算经》问题）、生活实践（体育锻炼、冷柜车运送）与创新题型（共轭方程、纸板裁切），适配单元复习，提升数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|10/30|二元一次方程定义（1）、解的意义（2）、代入消元（4）、几何图形应用（9）|文化情境（5题《孙子算经》）、跨学科思维（7题物体重量推理）| |填空题|8/24|构造方程组（11）、参数求解（12）、正整数解（13）、整体思想（14）|开放探究（11题自编方程组）、符号意识（15题新定义运算）| |解答题|8/66|解方程组（19）、实际应用（22体育锻炼、24冷柜车运送）、新定义（25共轭方程）、综合实践（26纸板裁切）|模型意识（22题能量消耗建模）、创新意识（25题概念迁移）|

第十章 二元一次方程组 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列方程为二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数为1，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； B、方程中，未知数x的次数不是1，不是二元一次方程，不符合题意； C、方程不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； D、方程是二元一次方程，符合题意； 2．以为解的二元一次方程组是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将给定的解代入各选项的方程组，能使两个方程左右两边都相等的方程组即为所求． 【详解】解：把依次代入各选项的方程组验证： A选项∵代入得，∴A不符合题意； B选项∵代入得，∴B不符合题意； C选项∵代入得，左右两边相等，代入得，左右两边相等，两个方程都成立，∴C符合题意； D选项∵代入得，∴D不符合题意． 3．由可以得到用x表示y的式子是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等式的基本性质，将y单独放在等式一侧，整理即可得到结果. 【详解】解：∵原方程为． 移项得． 等式两边同时乘，得． 4．解方程组时，把①代入②，得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：①代入②，得，即. 5．《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺，屈绳量之，不足五寸，木长几何？”其意为：用一根绳子去量一根长木，绳子比长木长4尺，将绳子对折再量长木，则比长木短0.5尺，问木长多少尺？设绳子长尺，木长尺，可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“用一根绳子去量一根长木，绳子比长木长4尺，将绳子对折再量长木，则比长木短0.5尺”列出正确的方程组即可． 【详解】解：设绳子长尺，木长尺， ∵绳子比长木长尺， ∴； ∵将绳子对折后量长木，绳子比长木短尺，即木长比对折后的绳长多尺， ∴； 因此可得方程组． 6．已知是关于的二元一次方程组，则的值是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】把方程组的两个方程相加可得，从而得到，再求出的值即可． 【详解】解：， 由，得， 解得，， ∴． 7．有三种不同重量的物体“”“”“”，若图1中左、右手中盘内物体的重量相同，则图2中左、右盘内物体的重量（   ） A．左盘内物体重 B．右盘内物体重 C．左右盘内物体重量相同 D．左盘内物体重量是右盘内物体重量的倍 【答案】B 【分析】 设物体“”“”“”的重量为x，y，z，根据题意得：图1中左盘内物体重量为，右盘内物体重量为，图2中左盘内物体重量为，右盘内物体重量为，再由图1中左、右手中盘内物体的重量相同，可得，再作差，即可． 【详解】 解：设物体“”“”“”的重量为x，y，z， 根据题意得：图1中左盘内物体重量为，右盘内物体重量为，图2中左盘内物体重量为，右盘内物体重量为， ∵图1中左、右手中盘内物体的重量相同， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即图2中右盘内物体重． 8．若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 【答案】A 【分析】若两个方程组解相同，则公共解满足所有方程，将已知的x、y代入含a、b的方程，即可求出的值． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴公共解为， 将代入，得， 将两个方程左右分别相加，得， 两边同除以7，得． 9．如图，将8块相同长方形木板拼成一个长方形，则每块木板的长和宽分别是（   ） A．， B．， C．， D．， E．， 【答案】A 【分析】设每块木板的长为，宽为，根据长方形的对边相等及大长方形的宽为，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每块木板的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， ∴每块木板的长为，宽为． 10．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化为，可知，即可求解． 【详解】解：可化为， ∵关于，的方程组的解是， ∴， 即． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．写出一个解为的二元一次方程组______．（写一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据二元一次方程组解的定义，利用给定的解构造两个二元一次方程，即可得到符合要求的方程组. 【详解】解：∵方程组的解为， ∴，， ∴可得二元一次方程组 （答案不唯一）. 12．已知是关于的方程的一个解，则的值为______． 【答案】 【分析】先由二元一次方程解的定义得到关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：是关于的方程的一个解， ， 解得． 13．写出方程的任意一个正整数解________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵方程 ∴当时， 解得 ∴写出方程的任意一个正整数解为（答案不唯一）． 14．如果实数，满足方程组，那么________． 【答案】 【分析】将方程组两个方程相减，计算出的值即可求解． 【详解】解：， 得， 则． 15．若规定，若，，则的值是_____． 【答案】 【分析】由题意可得，解二元一次方程组得出，，先计算出，再计算出的值即可． 【详解】解：∵规定，，， ∴， 解得：， ∴， ∴ ． 16．已知方程组的解满足，则的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，观察方程组两个方程的系数，将两个方程相减即可构造出表达式，结合已知条件即可求出k的值． 【详解】解： 得：， ， ， 解得． 17．方程组的解是______． 【答案】 【分析】观察方程组系数特点，先将两个方程相加化简得到，再利用加减消元法求解二元一次方程组即可 【详解】解： ①+②，得， 整理得， ③×2010，得， ①−④，得， 解得， 将代入③，得， 解得， 因此原方程组的解为 18．已知关于、的二元一次方程组，解均为正整数，且为整数，则______． 【答案】或4 【详解】解：解方程组，得，， 因为x、y均为正整数，且k为整数，所以必须是22和33的正公因数， 22 的正因数：1，2，11，22， 33 的正因数：1，3，11，33， 两者的正公因数是：1，11， 当时，解得，此时，，均为正整数； 当时，解得，此时，，均为正整数； 综上，或4． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解法是关键； 根据解二元一次方程组的步骤，进行计算即可． 【详解】解：（1）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得， 故原方程组的解为．（3分） （2）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得， 故原方程组的解为．（6分） 20．（8分）如果三角形的三个内角分别是，，，求： (1)x，y满足的关系式； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理建立等式解答即可； （2）把代入（1）关系式求解即可； （3）把代入（1）关系式求解即可． 【详解】（1）解：根据三角形内角和定理，得， 故．（2分） （2）解：， 当时，．（5分） （3）解：， 当时，．（8分） 21．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组（k为常数），求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：， 得， 解得： 得：， 解得：，（4分） 所以原方程组的解为．（8分） 22．（8分）某学校推行“健康第一的理念”，组织学生参加体育锻炼活动．已知男生和女生分开进行训练，男生组每小时消耗能量千卡，女生组每小时消耗能量千卡．若某次活动男生组训练时间比女生组长小时，且两组消耗的总能量为千卡．问女生组和男生组训练时间分别是多少小时？ 【答案】 女生组训练时间为小时，男生组训练时间为小时． 【分析】设女生组的训练时间为小时，男生组的训练时间为小时，根据题意列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设女生组的训练时间为小时，男生组的训练时间为小时， 则根据题意得， 解得， 答：女生组的训练时间为小时，男生组的训练时间为小时．（8分） 23．（8分）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得的解为，求原方程组的解． 【答案】 【分析】根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：甲看错了b，把甲求得的解代入①得，, 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②得，, 得， ∴， 得：， 解得， 把代入②得：， ∴原方程组的解为．（8分） 24．（8分）某公司计划租用甲乙两种型号的冷柜车运送80吨水果，甲型冷柜车每天运送量为6吨，乙型冷柜车每天运送量为8吨．甲型冷柜车先运送了若干天之后退出，剩余的水果由乙型冷柜车负责运送直至完成，整个运送过程总共用时12天．求甲乙两种型号的冷柜车各运送多少天？ (1)思路1：直接设未知数法．若设甲型冷柜车运送天，乙型冷柜车运送天，请根据题意直接列出方程组（无需求解）： (2)思路2：间接设未知数法．若设甲型冷柜车运送吨水果，乙型冷柜车运送吨水果，请列方程组并解答． 【答案】(1) (2)甲型冷柜车运送8天，乙型冷柜车运送4天 【分析】（1）根据总运送天数为12天，总运送水果重量为80吨列方程组即可； （2）根据总运送天数为12天，总运送水果重量为80吨列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵总运送时间共12天，总运送水果共80吨， ∴根据题意，得 ，（4分） （2）解：根据题意，得 ， 解得， 甲型冷柜车运送天数为 （天） ， 乙型冷柜车运送天数为 （天） ， 答：甲型冷柜车运送8天，乙型冷柜车运送4天．（8分） 25．（10分）我们把关于x，y的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组叫作共轭二元一次方程组． (1)若关于x，y的二元一次方程组为共轭二元一次方程组，则 ， ； (2)若二元一次方程中x，y的值满足表格：则这个方程的共轭二元一次方程是 ； x 2 0 y 0 1 (3)发现：若共轭二元一次方程组的解是，则m，n之间的数量关系是 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）由定义得到方程组，再解方程组即可； （）将，； ，，代入方程中，求出这个二元一次方程，即可写出这个方程的共轭二元一次方程； （）将方程组的解代入，再由加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：是共轭二元一次方程组， 则， 解得；（3分） （2）解：将，； ，，代入方程中， ，， ∴， ∴二元一次方程是， ∴共轭二元一次方程是；（6分） （3）解：∵的解为， ∴， 得， ∴， ∵， ∴， 即．（10分） 26．（10分）已知市场上一种型大纸板的长为，宽为，某工厂计划购进这种型大纸板加工成图1所示的甲种纸板和乙种纸板． (1)一张型大纸板现按下列三种方法裁切，若要不造成大纸板浪费，请分别求出裁出的甲、乙纸板的数量(裁切时不计损耗)： 方法一：全部裁切成甲种纸板，则可裁切出____________张； 方法二：全部裁切成乙种纸板，则可裁切出____________张； 方法三：裁切成甲、乙两种纸板各若干张，则可裁切出甲种纸板___________张，乙种纸板________张． (2)若工厂要用图1所示的甲和乙两种纸板，做成如图2所示的竖式长方体的无盖纸盒，①在（1）的方案下，工厂现购进型号的大纸板共张，其中5张大纸板按照方法一裁切，张大纸板按照方法二裁切，其余的按照方法三裁切．若要不造成纸板浪费，则能制作成竖式纸盒多少个？ ②在（1）的方案下，工厂现购进型号的大纸板共张，其中5张大纸板按照方法一裁切，张大纸板按照方法二裁切，其余的按照方法三裁切．若要不造成纸板浪费，求与之间的关系． 【答案】(1)6；4；3，2 (2)①个；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，关键是根据裁切方法求出甲、乙纸板的数量，再结合无盖纸盒所需纸板的数量关系建立方程求解． （1）全部裁切成甲种纸板或乙种纸板时，用型大纸板的长、宽分别除以甲、乙种纸板的长、宽，得到每行、每列可裁的张数，两者相乘即为总张数；设裁出甲种纸板张、乙种纸板张，根据“裁切后无浪费”即甲、乙纸板的总面积等于型大纸板的面积，列二元一次方程，化简后求非负整数解． （2）①先分别计算5张按方法一、张按方法二、张按方法三裁切后得到的甲、乙纸板总数量，再根据竖式无盖纸盒“1张甲种纸板张乙种纸板”的配套关系，列一元一次方程，解出后，代入甲种纸板的数量得到纸盒数量； ②把总张数换成，同理先表示出甲、乙纸板的总数量，再根据配套关系列方程，化简后得到与的关系式． 【详解】（1）解：方法一：A型大纸板长，宽，甲种正方形纸板边长， ∵，， ∴可裁出甲种纸板（张）； 方法二：乙种纸板长，宽， ∵，， ∴可裁出乙种纸板（张）； 方法三：设裁出甲种纸板张，乙种纸板张， 由题意得，化简得， ∵、为非负整数， ∴当时，， 故可裁出甲种纸板3张，乙种纸板2张； 故答案为：6；4；3，2．（4分） （2）解：①由题意，5张按方法一裁切，可得甲种纸板（张）， 张按方法二裁切，可得乙种纸板张， 张按方法三裁切，可得甲种纸板张，乙种纸板张， ∵竖式无盖纸盒需要1张甲种纸板和4张乙种纸板， ∴， 解得， ∴纸盒数量为（个）； 答：能制作成竖式纸盒个．（7分） ②由题意，甲种纸板的总数量为， 乙种纸板的总数量为， ∵竖式无盖纸盒需要1张甲种纸板和4张乙种纸板， ∴， 化简得：．（10分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第十章 二元一次方程组 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列方程为二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．以为解的二元一次方程组是（        ） A． B． C． D． 3．由可以得到用x表示y的式子是（） A． B． C． D． 4．解方程组时，把①代入②，得（   ） A． B． C． D． 5．《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺，屈绳量之，不足五寸，木长几何？”其意为：用一根绳子去量一根长木，绳子比长木长4尺，将绳子对折再量长木，则比长木短0.5尺，问木长多少尺？设绳子长尺，木长尺，可列方程组（    ） A． B． C． D． 6．已知是关于的二元一次方程组，则的值是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．有三种不同重量的物体“”“”“”，若图1中左、右手中盘内物体的重量相同，则图2中左、右盘内物体的重量（   ） A．左盘内物体重 B．右盘内物体重 C．左右盘内物体重量相同 D．左盘内物体重量是右盘内物体重量的倍 8．若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 9．如图，将8块相同长方形木板拼成一个长方形，则每块木板的长和宽分别是（   ） A．， B．， C．， D．， E．， 10．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．写出一个解为的二元一次方程组______．（写一个即可） 12．已知是关于的方程的一个解，则的值为______． 13．写出方程的任意一个正整数解________． 14．如果实数，满足方程组，那么________． 15．若规定，若，，则的值是_____． 16．已知方程组的解满足，则的值是______． 17．方程组的解是______． 18．已知关于、的二元一次方程组，解均为正整数，且为整数，则______． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）解下列方程组： (1) (2) 20．（8分）如果三角形的三个内角分别是，，，求： (1)x，y满足的关系式； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的值． 21．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组（k为常数），求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）． 22．（8分）某学校推行“健康第一的理念”，组织学生参加体育锻炼活动．已知男生和女生分开进行训练，男生组每小时消耗能量千卡，女生组每小时消耗能量千卡．若某次活动男生组训练时间比女生组长小时，且两组消耗的总能量为千卡．问女生组和男生组训练时间分别是多少小时？ 23．（8分）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得的解为，求原方程组的解． 24．（8分）某公司计划租用甲乙两种型号的冷柜车运送80吨水果，甲型冷柜车每天运送量为6吨，乙型冷柜车每天运送量为8吨．甲型冷柜车先运送了若干天之后退出，剩余的水果由乙型冷柜车负责运送直至完成，整个运送过程总共用时12天．求甲乙两种型号的冷柜车各运送多少天？ (1)思路1：直接设未知数法．若设甲型冷柜车运送天，乙型冷柜车运送天，请根据题意直接列出方程组（无需求解）： (2)思路2：间接设未知数法．若设甲型冷柜车运送吨水果，乙型冷柜车运送吨水果，请列方程组并解答． 25．（10分）我们把关于x，y的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组叫作共轭二元一次方程组． (1)若关于x，y的二元一次方程组为共轭二元一次方程组，则 ， ； (2)若二元一次方程中x，y的值满足表格：则这个方程的共轭二元一次方程是 ； x 2 0 y 0 1 (3)发现：若共轭二元一次方程组的解是，则m，n之间的数量关系是 ． 26．（10分）已知市场上一种型大纸板的长为，宽为，某工厂计划购进这种型大纸板加工成图1所示的甲种纸板和乙种纸板． (1)一张型大纸板现按下列三种方法裁切，若要不造成大纸板浪费，请分别求出裁出的甲、乙纸板的数量(裁切时不计损耗)： 方法一：全部裁切成甲种纸板，则可裁切出____________张； 方法二：全部裁切成乙种纸板，则可裁切出____________张； 方法三：裁切成甲、乙两种纸板各若干张，则可裁切出甲种纸板___________张，乙种纸板________张． (2)若工厂要用图1所示的甲和乙两种纸板，做成如图2所示的竖式长方体的无盖纸盒，①在（1）的方案下，工厂现购进型号的大纸板共张，其中5张大纸板按照方法一裁切，张大纸板按照方法二裁切，其余的按照方法三裁切．若要不造成纸板浪费，则能制作成竖式纸盒多少个？ ②在（1）的方案下，工厂现购进型号的大纸板共张，其中5张大纸板按照方法一裁切，张大纸板按照方法二裁切，其余的按照方法三裁切．若要不造成纸板浪费，求与之间的关系． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列方程为二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．以为解的二元一次方程组是（        ） A． B． C． D． 3．由可以得到用x表示y的式子是（） A． B． C． D． 4．解方程组时，把①代入②，得（   ） A． B． C． D． 5．《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺，屈绳量之，不足五寸，木长几何？”其意为：用一根绳子去量一根长木，绳子比长木长4尺，将绳子对折再量长木，则比长木短0.5尺，问木长多少尺？设绳子长尺，木长尺，可列方程组（    ） A． B． C． D． 6．已知是关于的二元一次方程组，则的值是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．有三种不同重量的物体“”“”“”，若图1中左、右手中盘内物体的重量相同，则图2中左、右盘内物体的重量（   ） A．左盘内物体重 B．右盘内物体重 C．左右盘内物体重量相同 D．左盘内物体重量是右盘内物体重量的倍 8．若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 9．如图，将8块相同长方形木板拼成一个长方形，则每块木板的长和宽分别是（   ） A．， B．， C．， D．， E．， 10．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．写出一个解为的二元一次方程组______．（写一个即可） 12．已知是关于的方程的一个解，则的值为______． 13．写出方程的任意一个正整数解________． 14．如果实数，满足方程组，那么________． 15．若规定，若，，则的值是_____． 16．已知方程组的解满足，则的值是______． 17．方程组的解是______． 18．已知关于、的二元一次方程组，解均为正整数，且为整数，则______． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）解下列方程组： (1) (2) 20．（8分）如果三角形的三个内角分别是，，，求： (1)x，y满足的关系式； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的值． 21．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组（k为常数），求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）． 22．（8分）某学校推行“健康第一的理念”，组织学生参加体育锻炼活动．已知男生和女生分开进行训练，男生组每小时消耗能量千卡，女生组每小时消耗能量千卡．若某次活动男生组训练时间比女生组长小时，且两组消耗的总能量为千卡．问女生组和男生组训练时间分别是多少小时？ 23．（8分）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得的解为，求原方程组的解． 24．（8分）某公司计划租用甲乙两种型号的冷柜车运送80吨水果，甲型冷柜车每天运送量为6吨，乙型冷柜车每天运送量为8吨．甲型冷柜车先运送了若干天之后退出，剩余的水果由乙型冷柜车负责运送直至完成，整个运送过程总共用时12天．求甲乙两种型号的冷柜车各运送多少天？ (1)思路1：直接设未知数法．若设甲型冷柜车运送天，乙型冷柜车运送天，请根据题意直接列出方程组（无需求解）： (2)思路2：间接设未知数法．若设甲型冷柜车运送吨水果，乙型冷柜车运送吨水果，请列方程组并解答． 25．（10分）我们把关于x，y的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组叫作共轭二元一次方程组． (1)若关于x，y的二元一次方程组为共轭二元一次方程组，则 ， ； (2)若二元一次方程中x，y的值满足表格：则这个方程的共轭二元一次方程是 ； x 2 0 y 0 1 (3)发现：若共轭二元一次方程组的解是，则m，n之间的数量关系是 ． 26．（10分）已知市场上一种型大纸板的长为，宽为，某工厂计划购进这种型大纸板加工成图1所示的甲种纸板和乙种纸板． (1)一张型大纸板现按下列三种方法裁切，若要不造成大纸板浪费，请分别求出裁出的甲、乙纸板的数量(裁切时不计损耗)： 方法一：全部裁切成甲种纸板，则可裁切出____________张； 方法二：全部裁切成乙种纸板，则可裁切出____________张； 方法三：裁切成甲、乙两种纸板各若干张，则可裁切出甲种纸板___________张，乙种纸板________张． (2)若工厂要用图1所示的甲和乙两种纸板，做成如图2所示的竖式长方体的无盖纸盒，①在（1）的方案下，工厂现购进型号的大纸板共张，其中5张大纸板按照方法一裁切，张大纸板按照方法二裁切，其余的按照方法三裁切．若要不造成纸板浪费，则能制作成竖式纸盒多少个？ ②在（1）的方案下，工厂现购进型号的大纸板共张，其中5张大纸板按照方法一裁切，张大纸板按照方法二裁切，其余的按照方法三裁切．若要不造成纸板浪费，求与之间的关系． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组 单元测试 总分：120分（参考答案） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C B D C D B A A B 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11.（答案不唯一） 12. 13. （答案不唯一） 14. 15. 16.1 17. 18. 或4 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解法是关键； 根据解二元一次方程组的步骤，进行计算即可． 【详解】解：（1）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得， 故原方程组的解为．（3分） （2）由①，得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，得， 故原方程组的解为．（6分） 20．（8分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理建立等式解答即可； （2）把代入（1）关系式求解即可； （3）把代入（1）关系式求解即可． 【详解】（1）解：根据三角形内角和定理，得， 故．（2分） （2）解：， 当时，．（5分） （3）解：， 当时，．（8分） 21．（8分） 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：， 得， 解得： 得：， 解得：，（4分） 所以原方程组的解为．（8分） 22．（8分） 【答案】 女生组训练时间为小时，男生组训练时间为小时． 【分析】设女生组的训练时间为小时，男生组的训练时间为小时，根据题意列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设女生组的训练时间为小时，男生组的训练时间为小时， 则根据题意得， 解得， 答：女生组的训练时间为小时，男生组的训练时间为小时．（8分） 23．（8分） 【答案】 【分析】根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：甲看错了b，把甲求得的解代入①得，, 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②得，, 得， ∴， 得：， 解得， 把代入②得：， ∴原方程组的解为．（8分） 24．（8分） 【答案】(1) (2)甲型冷柜车运送8天，乙型冷柜车运送4天 【分析】（1）根据总运送天数为12天，总运送水果重量为80吨列方程组即可； （2）根据总运送天数为12天，总运送水果重量为80吨列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵总运送时间共12天，总运送水果共80吨， ∴根据题意，得 ，（4分） （2）解：根据题意，得 ， 解得， 甲型冷柜车运送天数为 （天） ， 乙型冷柜车运送天数为 （天） ， 答：甲型冷柜车运送8天，乙型冷柜车运送4天．（8分） 25．（10分） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）由定义得到方程组，再解方程组即可； （）将，； ，，代入方程中，求出这个二元一次方程，即可写出这个方程的共轭二元一次方程； （）将方程组的解代入，再由加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：是共轭二元一次方程组， 则， 解得；（3分） （2）解：将，； ，，代入方程中， ，， ∴， ∴二元一次方程是， ∴共轭二元一次方程是；（6分） （3）解：∵的解为， ∴， 得， ∴， ∵， ∴， 即．（10分） 26．（10分） 【答案】(1)6；4；3，2 (2)①个；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，关键是根据裁切方法求出甲、乙纸板的数量，再结合无盖纸盒所需纸板的数量关系建立方程求解． （1）全部裁切成甲种纸板或乙种纸板时，用型大纸板的长、宽分别除以甲、乙种纸板的长、宽，得到每行、每列可裁的张数，两者相乘即为总张数；设裁出甲种纸板张、乙种纸板张，根据“裁切后无浪费”即甲、乙纸板的总面积等于型大纸板的面积，列二元一次方程，化简后求非负整数解． （2）①先分别计算5张按方法一、张按方法二、张按方法三裁切后得到的甲、乙纸板总数量，再根据竖式无盖纸盒“1张甲种纸板张乙种纸板”的配套关系，列一元一次方程，解出后，代入甲种纸板的数量得到纸盒数量； ②把总张数换成，同理先表示出甲、乙纸板的总数量，再根据配套关系列方程，化简后得到与的关系式． 【详解】（1）解：方法一：A型大纸板长，宽，甲种正方形纸板边长， ∵，， ∴可裁出甲种纸板（张）； 方法二：乙种纸板长，宽， ∵，， ∴可裁出乙种纸板（张）； 方法三：设裁出甲种纸板张，乙种纸板张， 由题意得，化简得， ∵、为非负整数， ∴当时，， 故可裁出甲种纸板3张，乙种纸板2张； 故答案为：6；4；3，2．（4分） （2）解：①由题意，5张按方法一裁切，可得甲种纸板（张）， 张按方法二裁切，可得乙种纸板张， 张按方法三裁切，可得甲种纸板张，乙种纸板张， ∵竖式无盖纸盒需要1张甲种纸板和4张乙种纸板， ∴， 解得， ∴纸盒数量为（个）； 答：能制作成竖式纸盒个．（7分） ②由题意，甲种纸板的总数量为， 乙种纸板的总数量为， ∵竖式无盖纸盒需要1张甲种纸板和4张乙种纸板， ∴， 化简得：．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $