第十章 二元一次方程组（中等类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

第十章 二元一次方程组思维导图 【类型覆盖】 类型一、已知三元一次方程组求参 【解惑】已知方程组的解满足，则z的值为（   ） A．10 B．8 C．2 D． 【融会贯通】 1．设，则（    ） A．12 B． C． D． 2．已知的周长为，三边、、中，，，则边长 ． 3．已知，且，求的值． 类型二、已知二元一次方程组求参 【解惑】在关于的二元一次方程组中，若，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D．4 【融会贯通】 1．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D．4 2．若关于的方程组的解满足，则实数的值为 ． 3．已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论实数m取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解． 类型三、二元一次方程组的解相等 【解惑】方程组的解x与y的值相等，则k等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【融会贯通】 1．方程组的解与y相等，则k的值的是（  ） A．1或－1 B．5 C．1 D．－5 2．若方程组的解与相等，则 ． 3．已知关于x，y的方程组其中a是实数． (1)若该方程组的解x和y相等，求a的值； (2)若点在第四象限，并且到x轴、y轴的距离相等，求点P的坐标． 类型四、二元一次方程组的解互为相反数 【解惑】若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是（    ） A． B．5 C．1 D． 【融会贯通】 1．方程组的解x，y的值互为相反数，则a的值是（    ） A．1 B． C． D．2 2．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是 ． 3．已知比大，关于，的二元一次方程组的解中和互为相反数，求，的值． 类型五、二元一次方程组中的看错问题 【解惑】甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值是（    ） A．1 B． C．10 D． 【融会贯通】 1．解方程组时，正确的解是，由于看错了系数得到的解是，则的值是（    ） A．5 B．7 C．9 D．无法确定 2．甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错而解得，则的值是 ，的值是 ． 3．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组由于甲看错了方程①的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试求出a，b的正确值，并计算的值． 类型六、二元一次方程组的应用——和差倍分问题 【解惑】某市现有人口42万人，预计一年后城镇人口将增加，农村人口将增加．这样全市人口将增加，则该市现有城镇人口和农村人口分别是（   ） A．28万人，14万人 B．24万人，18万人 C．14万人，28万人 D．18万人，24万人 【融会贯通】 1．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，若两根铁棒长度差为，下列说法：①两根铁棒的长度和为；②其中一根铁棒长度为；③桶中水深；④其中一根铁棒露出水面的长度为．其中说法正确的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 2．在《张丘建算经》中有一道百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？翻译为：1只公鸡价值5文钱，1只母鸡价值3文钱，三只小鸡值一文钱，一个人用100文钱买了100只鸡，问买的公鸡、母鸡、小鸡各 只？ 3． 昭通市某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向边远山区学校捐赠男女两种款式的书包，已知女款书包的单价40元/个，男款书包的单价30元/个． (1)原计划募捐4000元，全部用于购买两种款式的书包共120个，那么这两种款式的书包各买多少个？ (2)在捐款活动中，由于师生捐款的积极性高涨，实际共捐款5000元，如果至少购买两种款式的书包共150个，那么女款书包最多能买多少个？ 类型七、二元一次方程组的应用——分配问题 【解惑】某车间共30名工人，每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，为了使每天生产的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人数分别为（   ） A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人 【融会贯通】 1．工厂需要用铁皮制作包装盒，每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，一个盒身与两个盒底配成一套包装盒．现有40张铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，恰好配套制成包装盒，则下列方程组中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 2．已知甲，乙两个工程队分别有员工80人，100人．现在从其他地方调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，则有 人调到甲队． 3．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺母，为使每天的产品刚好配套，应如何安排？ 类型八、二元一次方程组的应用——行程问题 【解惑】小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 【融会贯通】 1．列方程组解应用题：甲、乙两人相距9千米，若两人同时出发相向而行，1小时后相遇；若两人同时出发同向而行，则甲3小时可追上乙．甲，乙两人的速度每小时各为多少千米？ 2．两列火车同时从相距千米的两地相向出发，小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车早出发小时，那么在第二列火车出发小时后相遇，求两列火车的速度． 3．如图，四条街围成边长是的正方形，小宇家住在东西方向的街道的点P处，他的学校在东西方向的街道的点Q处．已知小宇爸爸骑摩托车在东西方向的街道的速度是，在南北方向的街道的速度是．小宇爸爸骑摩托车沿送小宇上学需要，沿（在B处遇堵车立即掉头）回家需要． (1)小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要多少分钟？ (2)求的长度． 类型九、二元一次方程组的应用——工程题 【解惑】某面粉加工厂要加工一批小麦，2台大面粉机和5台小面粉机同时工作共加工小麦32吨；3台大面粉机和2台小面粉机同时工作共加工小麦26吨，求1台大面粉机和1台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？ 【融会贯通】 1．玲玲家准备装修一套新住房，若甲乙两个装修公司合作，需6周完成，若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？ 2．某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天， (1)小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意， 小华同学：设整治任务完成后，m表示__________，n表示__________； 得 请补全括号及横线部分的内容． (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 3．2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 类型十、二(三)元一次方程组的应用——上下坡问题 【解惑】一道来自课本的习题： 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？ 根据以上条件，下列解题思路或结论说法正确的有______． ①设上坡路长x千米，平路长y千米，可列方程组． ②根据条件，能求出甲地到乙地的全程是3.1千米． ③列算式即可求出上坡路长． ④设上坡路长x千米，可列方程 【融会贯通】 1．汽车在平路上每小时行驶30千米，上坡时每小时行驶28千米，下坡时每小时行驶35千米，去时行驶142千米的路程用4小时30分钟，原路回来时用4小时42分钟，平路有多少千米？去时上、下坡路各有多少千米？ 2．如图，有一条三角形的环路，A至B 段是上坡路，B至C段是下坡路，A至C段是平路，A至B、B至C、C至A三段距离的比是，小琼和小芳同时从A出发，小琼按顺时针方向行走，小芳按逆时针方向行走，2个半小时后在上的D 点相遇，已知两人上坡速度是4千米/小时，下坡速度是6千米/小时，在平路上的速度是5千米/小时．问C至D段是多少千米？ 3．甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡、一段平路、一段下坡．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需51min，从乙地到甲地需53.4 min．从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？ 【一览众山小】 1．已知二元一次方程组，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 2．若，，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．2 3．已知方程化简后是关于x，y的二元一次方程，则m，n的取值范围分别是（   ） A． B． C． D． 4．已知 是方程的一个解， 那么 ． 5．已知方程组，则的值是 ． 6．某校体育器材室中有排球、篮球和足球三种球类，篮球的数量是足球数量的3倍还多6个，该校又购进了同样数量的足球后，篮球的数量比排球和足球的数量之和少4个，则排球与足球的数量之差为 ． 7．一个三角形的边长和周长如图所示． (1)请列出关于未知数的方程； (2)若，求的值． 8．在端午节来临之际，某商店订购了种粽子和种粽子，其中种粽子每千克28元，种粽子每千克24元．若订购的种粽子的质量比种粽子的2倍少，订购两种粽子共用了2560元，则两种粽子各订购了多少千克？ 9．如图，在趣味数学拓展课中，小红在的方格中填入了一些表示数的代数式，使得每一行、每一列以及对角线上的个代数式的和都相等． (1)用含的代数式表示的值； (2)求右下角的值． 10．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这两个方程组的解； (2)求的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 二元一次方程组思维导图 【类型覆盖】 类型一、已知三元一次方程组求参 【解惑】已知方程组的解满足，则z的值为（   ） A．10 B．8 C．2 D． 【答案】B 【解析】略 【融会贯通】 1．设，则（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程②得到，结合方程①可得，由此即可得到答案． 【详解】解： 由②得， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，正确求出x、y之间的关系式是解题的关键． 2．已知的周长为，三边、、中，，，则边长 ． 【答案】/10厘米 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．由，可得，因为，所以，再根据三角形的周长为即可求出，继而求出的长． 【详解】解：， ， ， ， 的周长为， ， ， ， 故答案为：． 3．已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，解方程组等知识，把看成已知数，求出、，然后代入化简即可，解题的关键是把看成已知数解方程组，属于中考常考题型． 【详解】解：把z看作常数，解关于x、y的方程组 ，得 所以原式 ． 类型二、已知二元一次方程组求参 【解惑】在关于的二元一次方程组中，若，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数的值，将两个方程相减后，利用整体代入法，得到关于的一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【融会贯通】 1．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查根据方程组的解的情况，求参数的值，先求出方程组的解，把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， 把代入，得：， 解得：； 故选A． 2．若关于的方程组的解满足，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．熟练掌握方程组特征，采用恰当方法，是简便解题的关键． 两式相减得到，再根据题意得到，解方程即可得到答案． 【详解】， ，得， ∵， ∴, 解得． 故答案为：． 3．已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论实数m取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）依题意得，解得，然后代入，解得，即可作答． （2）先把方程变形为，根据题意得出，即可求出的值，从而得出这个方程的公共解． 【详解】（1）解：∵方程组的解满足，且关于x，y的方程组 ∴联立， 解得， 把代入， 可得， 解得． （2）解：依题意，将变形， 得 无论实数取何值，方程总有一个公共解， ． 将代入， 可得． ∴这个公共解为． 类型三、二元一次方程组的解相等 【解惑】方程组的解x与y的值相等，则k等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据x与y的值代入，把代入方程组求出k的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 代入方程组得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，关键是掌握方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 【融会贯通】 1．方程组的解与y相等，则k的值的是（  ） A．1或－1 B．5 C．1 D．－5 【答案】C 【分析】把看作已知数表示出方程组的解，根据列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：， 得，即， ， 根据，得， 去分母得：， 解得：． 故选C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．若方程组的解与相等，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解定义是解题的关键，首先将代入方程组中可求得k的值． 【详解】解：∵， ∴方程组为，解得：， 故答案为：． 3．已知关于x，y的方程组其中a是实数． (1)若该方程组的解x和y相等，求a的值； (2)若点在第四象限，并且到x轴、y轴的距离相等，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 【分析】本题考查解一元一次方程、解二元一次方程组、点的坐标特征， （1）将代入方程求解即可； （2）解方程组得，由第四象限内点的特征及到x轴、y轴的距离相等，得，把方程的解代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）解：解， 解得， ∵点在第四象限，并且到x轴、y轴的距离相等， ， 即， 解得， 此时， ∴点P的坐标为． 类型四、二元一次方程组的解互为相反数 【解惑】若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是（    ） A． B．5 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先利用加减消元法得到，再根据相反数的定义得到，则，据此可得答案． 【详解】解： 得：， ∵关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【融会贯通】 1．方程组的解x，y的值互为相反数，则a的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解及其解法，先解二元一次方程组得到，再根据二元一次方程组的解以及相反数的性质得到，进而得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：方程组 ①+②得：，即， ∵x，y|的值互为相反数， ∴， ∴，解得． 故选：D． 2．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的知识，根据相反数的定义可得；将其与方程组的②组成方程组，即可解得x和y，进而求得的值． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数 ∴③ 把③代入②得： 解得 ∴ 把，代入①得 即 故答案为：． 3．已知比大，关于，的二元一次方程组的解中和互为相反数，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了解二元一次方程组，相反数的定义．由题意可知，，先关于，的二元一次方程组，求出和的值，再代入列出关于，的二元一次方程组，解方程组即可，的值． 【详解】解：由题意，得，， 把，联立方程组，得：， 解得：， 把代入，得， 整理得：， 把，联立，得， 解得：． ∴，． 类型五、二元一次方程组中的看错问题 【解惑】甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值是（    ） A．1 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，甲看错了方程①中的a，那么甲的结果符合方程②，乙看错了②中的b，那么乙的结果符合方程①，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， 故选：D． 【融会贯通】 1．解方程组时，正确的解是，由于看错了系数得到的解是，则的值是（    ） A．5 B．7 C．9 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，把代入，可得一个关于、的方程，又因看错系数解得错误解为，即、的值没有看错，可把解为，再次代入，可得又一个关于、的方程，将它们联立，即可求出、的值，进而求出的值． 【详解】解：解方程组时，正确的解是，由于看错了系数得到的解是， 把与代入中得：， ①②得：， 把代入①得：， 把代入中得：， 解得：， 则； 故选：B． 【点睛】此题实际上是考查解二元一次方程组的能力．本题要求学生理解方程组的解的定义，以及看错系数的含义：即方程组中除了系数看错以外，其余的系数都是正确的． 2．甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错而解得，则的值是 ，的值是 ． 【答案】 4 5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．由题意得，和都是方程的解，分别代入得到关于的方程组，再解方程组即可求出的值． 【详解】解：将和分别代入，得， 解得：， 的值是4，的值是5． 故答案为：4；5． 3．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组由于甲看错了方程①的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试求出a，b的正确值，并计算的值． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，代数式求值，有理数的混合运算等知识点，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键，将代入方程组的第二个方程，求出的值；将代入方程组的第一个方程，求出的值；将所求的、的值代入，计算即可． 【详解】解：将代入②，得，解得， 将代入①，得，解得， 当，时，． 类型六、二元一次方程组的应用——和差倍分问题 【解惑】某市现有人口42万人，预计一年后城镇人口将增加，农村人口将增加．这样全市人口将增加，则该市现有城镇人口和农村人口分别是（   ） A．28万人，14万人 B．24万人，18万人 C．14万人，28万人 D．18万人，24万人 【答案】C 【分析】该题考查了二元一次方程的应用，设该市现在有城镇人口万人，农村人口万人，根据题中等量关系：现该市城镇人口和农村人口之和为42万人；一年后新增城镇人口与新增农村人口之和为万人；由此可列出方程组求解． 【详解】解：设这个市现在的城镇人口万人，农村人口万人， 依题意得： 解得： 答：这个市现在的城镇人口14万人，农村人口28万人． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，若两根铁棒长度差为，下列说法：①两根铁棒的长度和为；②其中一根铁棒长度为；③桶中水深；④其中一根铁棒露出水面的长度为．其中说法正确的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】设较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为，根据“两根铁棒长度差为，且两根铁棒水下的长度相等”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，进而可得出其中一根铁棒长度为；将，值相加，可得出两根铁棒的长度和为；将的值代入中，可得出桶中水深；利用较短铁棒的长度水深，可得出其中一根铁棒露出水面的长度为． 【详解】解：设较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为， 根据题意得：， 解得：， 其中一根铁棒长度为，说法②正确； ， 两根铁棒的长度和为，说法①正确； ， 桶中水深，说法③正确； ， 其中一根铁棒露出水面的长度为，说法④正确， 说法正确的个数为4个． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．在《张丘建算经》中有一道百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？翻译为：1只公鸡价值5文钱，1只母鸡价值3文钱，三只小鸡值一文钱，一个人用100文钱买了100只鸡，问买的公鸡、母鸡、小鸡各 只？ 【答案】0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84 【分析】设买了x只公鸡，y只母鸡，则买了只小鸡，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y， 均为自然数，即可求出结论． 【详解】解：设买了x只公鸡，y只母鸡，则买了只小鸡， 依题意得：， ∴． 又∵x，y，均为自然数， ∴或或或， ∴买的公鸡、母鸡、小鸡各0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84只． 故答案为：0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 3． 昭通市某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向边远山区学校捐赠男女两种款式的书包，已知女款书包的单价40元/个，男款书包的单价30元/个． (1)原计划募捐4000元，全部用于购买两种款式的书包共120个，那么这两种款式的书包各买多少个？ (2)在捐款活动中，由于师生捐款的积极性高涨，实际共捐款5000元，如果至少购买两种款式的书包共150个，那么女款书包最多能买多少个？ 【答案】(1)原计划买女款书包40个，则男款书包80个 (2)女款书包最多能买50个 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组和不等式． （1）设原计划买女款书包个，男款书包个，根据：“购买两种款式的书包共120个、原计划募捐4000元”列方程组即可解答； （2）设女款书包最多能买个，则男款书包个，根据“实际共捐款5000元”列不等式求解即可解答． 【详解】（1）解：设原计划买女款书包个，男款书包个， 根据题意，得：， 解得：， 答：原计划买女款书包40个，则男款书包80个． （2）解：设购买女款书包个，则男款书包个， 根据题意得：， 解得：， 答：女款书包最多能买50个． 类型七、二元一次方程组的应用——分配问题 【解惑】某车间共30名工人，每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，为了使每天生产的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人数分别为（   ） A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用．根据题意找出数量关系列出方程是解题关键． 设需要安排x人来制作桌子，y人来制作椅子，根据共有30名工人，和每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设需要安排x人来制作桌子，y人来制作椅子，由题意可得 解得 则需要安排10人来制作桌子，20人来制作椅子． 故选：B． 【融会贯通】 1．工厂需要用铁皮制作包装盒，每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，一个盒身与两个盒底配成一套包装盒．现有40张铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，恰好配套制成包装盒，则下列方程组中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“共有40张铁皮，且制作的盒底总数是盒身的2倍”，即可得出关于， 的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据共有40张铁皮， 得：， 根据每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，且制作的盒底与盒身恰好配套，即制作的盒底总数是盒身的2倍， ．根据题意可列方程组， 故选： C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．已知甲，乙两个工程队分别有员工80人，100人．现在从其他地方调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，则有 人调到甲队． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设调入甲队人，调入乙队人，由题意列方程组求解即可得到答案，读懂题意，准确列出二元一次方程组是解决问题的关键． 【详解】解：设调入甲队人，调入乙队人， 则， 解得， 有人调到甲队， 故答案为：． 3．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺母，为使每天的产品刚好配套，应如何安排？ 【答案】安排10人生产螺钉，12人生产螺母 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意得出，再求解即可得出答案． 【详解】解：设安排人生产螺钉，人生产螺母， 根据题意列方程组得， 解得； 答：安排10人生产螺钉，12人生产螺母． 类型八、二元一次方程组的应用——行程问题 【解惑】小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 【答案】9千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可解答． 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意得：， 解得：， 则（千米）， 答：从出发点到景区的路程是9千米． 【融会贯通】 1．列方程组解应用题：甲、乙两人相距9千米，若两人同时出发相向而行，1小时后相遇；若两人同时出发同向而行，则甲3小时可追上乙．甲，乙两人的速度每小时各为多少千米？ 【答案】甲的速度为6千米/小时，乙的速度为3千米/小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．设甲的速度是x千米/时，乙的速度是y千米/时，根据甲乙两人相距9千米，两人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行甲3小时可追上乙，可列方程组求解． 【详解】解：设甲的速度是x千米/小时，乙的速度是y千米/小时， ， 解得：， 答：甲的速度是6千米/时，乙的速度是3千米/时． 2．两列火车同时从相距千米的两地相向出发，小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车早出发小时，那么在第二列火车出发小时后相遇，求两列火车的速度． 【答案】第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时，根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：设第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时， 根据题意得：， 解得：， 答：第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时． 3．如图，四条街围成边长是的正方形，小宇家住在东西方向的街道的点P处，他的学校在东西方向的街道的点Q处．已知小宇爸爸骑摩托车在东西方向的街道的速度是，在南北方向的街道的速度是．小宇爸爸骑摩托车沿送小宇上学需要，沿（在B处遇堵车立即掉头）回家需要． (1)小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要多少分钟？ (2)求的长度． 【答案】(1) (2)的长度分别是 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用； （1）根据路程除以速度等于时间列式计算即可； （2）设的长度是的长度是，根据题意列出二元一次方程组计算求解即可． 【详解】（1）解： ． 故小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要． （2）解：∵骑行一圈需要，沿骑行需要， ∴沿骑行需要． 又∵沿骑行需要， ∴沿骑行需要． 设的长度是的长度是． 根据题意，得， 解得， 故的长度分别是． 类型九、二元一次方程组的应用——工程题 【解惑】某面粉加工厂要加工一批小麦，2台大面粉机和5台小面粉机同时工作共加工小麦32吨；3台大面粉机和2台小面粉机同时工作共加工小麦26吨，求1台大面粉机和1台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？ 【答案】1台大面粉机每小时加工小麦6吨，1台小面粉机每小时加工小麦4吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键．设1台大面粉机每小时加工小麦吨，1台小面粉机每小时加工小麦吨，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设1台大面粉机每小时加工小麦吨，1台小面粉机每小时加工小麦吨， 由题意得，， 解得：， 答：1台大面粉机每小时加工小麦6吨，1台小面粉机每小时加工小麦4吨． 【融会贯通】 1．玲玲家准备装修一套新住房，若甲乙两个装修公司合作，需6周完成，若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？ 【答案】应选甲公司 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是通过设未知数，根据工作总量=工作时间工作效率的关系列出方程组，从而求出甲乙各自的工作效率，进而得出单独完成工作所需时间． 首先设甲每周完成的工作量为，乙每周完成的工作量为．根据甲乙合作 6 周完成工作，可列出一个方程；再依据甲单独做 4 周后乙做 9 周完成工作，列出另一个方程，联立方程组求解出和的值，即得到甲乙每周的工作效率．然后根据工作时间＝工作总量工作效率，计算出甲乙单独完成工作分别需要的时间，比较两者时间长短，时间短的公司更节约时间． 【详解】设甲每周完成的工作量为，乙每周完成的工作量为， 联立方程组：    ， 解得，， 即甲单独完成需要10周，乙单独完成需要15周 因此从节约时间的角度考虑应选甲公司 2．某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天， (1)小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意， 小华同学：设整治任务完成后，m表示__________，n表示__________； 得 请补全括号及横线部分的内容． (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】(1) ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间； (2)甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出关于，的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得； 小华同学： 设整治任务完成后，表示甲工程队工作的时间，表示乙工程队工作的时间． 根据题意，得：． 故答案为： ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间； （2）小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得， 解之，得． 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 小华同学： 设整治任务完成后，甲工程队工作了天，乙工程队工作了天， 根据题意，得， 解之，得， ，． 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 3．2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米 (2)按此施工进度，还需要200天完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解此题的关键． （1）设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设按此施工进度，还需要m天完成任务，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米， 根据题意得：， 解得：． 答：甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米； （2）解：设按此施工进度，还需要m天完成任务， 根据题意得：， 解得：． 答：按此施工进度，还需要200天完成任务． 类型十、二(三)元一次方程组的应用——上下坡问题 【解惑】一道来自课本的习题： 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？ 根据以上条件，下列解题思路或结论说法正确的有______． ①设上坡路长x千米，平路长y千米，可列方程组． ②根据条件，能求出甲地到乙地的全程是3.1千米． ③列算式即可求出上坡路长． ④设上坡路长x千米，可列方程 【答案】①②④ 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设上坡路长x千米，平路长y千米，根据时间、路程、速度之间的关系列方程组，逐项判断即可． 【详解】解：设上坡路长x千米，平路长y千米， 则，故①正确； 解上述方程组，得， 甲地到乙地的全程：，故②正确； 表示往返所用时间差，表示下坡与上坡速度差，两者之比不能得出上坡路长，故③错误； 设上坡路长x千米，根据上坡、下坡所用时间差等于往返所用时间差，可得，故④正确； 综上可知，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【融会贯通】 1．汽车在平路上每小时行驶30千米，上坡时每小时行驶28千米，下坡时每小时行驶35千米，去时行驶142千米的路程用4小时30分钟，原路回来时用4小时42分钟，平路有多少千米？去时上、下坡路各有多少千米？ 【答案】平路有30千米，去时上坡路有42千米，下坡路有70千米 【分析】设去时上坡路有x千米，平路有y千米，下坡路有z千米，然后根据题意列出三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设去时上坡路有x千米，平路有y千米，下坡路有z千米． 由题意得，解得． 答：平路有30千米，去时上坡路有42千米，下坡路有70千米． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键． 2．如图，有一条三角形的环路，A至B 段是上坡路，B至C段是下坡路，A至C段是平路，A至B、B至C、C至A三段距离的比是，小琼和小芳同时从A出发，小琼按顺时针方向行走，小芳按逆时针方向行走，2个半小时后在上的D 点相遇，已知两人上坡速度是4千米/小时，下坡速度是6千米/小时，在平路上的速度是5千米/小时．问C至D段是多少千米？ 【答案】2千米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设，根据时间路程速度，结合2个半小时后在上的D 点相遇，列出方程组求解即可． 【详解】解：设， 由题意得， 解得， 答：的实际距离为2千米 3．甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡、一段平路、一段下坡．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需51min，从乙地到甲地需53.4 min．从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？ 【答案】甲地到乙地，上坡路1.2 km、平路0.6 km、下坡路1.5 km． 【分析】设甲地到乙地，上坡、平路、下坡路各是x千米，y千米，z千米，根据全程3.3km，甲到乙要51分钟，乙到甲要53.4分钟．分别列出方程，组成方程组，再求解即可． 【详解】解：设甲地到乙地，上坡、平路、下坡路各是xkm，ykm，zkm， 根据题意得：．解得． 答：甲地到乙地，上坡路1.2 km、平路0.6 km、下坡路1.5 km． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解答此题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解． 【一览众山小】 1．已知二元一次方程组，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查解二元一次方程组，两个方程相减即可得出结果． 【详解】解：， ，得：； 故选B． 2．若，，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了求整式的值，①，②，①②即可求解；会用整体加减运算是解题的关键． 【详解】解：①，②， ①②得， ， 故选：C． 3．已知方程化简后是关于x，y的二元一次方程，则m，n的取值范围分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的概念，理解含有两个未知数，含未知数的项的次数最高为1的整式方程为二元一次方程是解题关键． 根据二元一次方程的定义进行解答即可． 【详解】解：方程可化为， ∵方程是关于、的二元一次方程， ∴， ∴， 故选：D． 4．已知 是方程的一个解， 那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解求参数，先把代入，得出，则，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， 得出， 则， 故答案为：2 5．已知方程组，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，通过观察，的系数之和相等，①②即可求出的值是解题的关键．①②得：，所以，从而直接求得的值． 【详解】解：， 得：， ， ， 故答案为：3． 6．某校体育器材室中有排球、篮球和足球三种球类，篮球的数量是足球数量的3倍还多6个，该校又购进了同样数量的足球后，篮球的数量比排球和足球的数量之和少4个，则排球与足球的数量之差为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设足球的数量为个，排球的数量为个，由篮球的数量是足球数量的3倍还多6个，可得篮球的数量是个，再由该校又购进了同样数量的足球后，篮球的数量比排球和足球的数量之和少4个，列出方程并化简即可． 【详解】解：设足球的数量为个，排球的数量为个， 篮球的数量是足球数量的3倍还多6个， 篮球的数量是个， 该校又购进了同样数量的足球后，篮球的数量比排球和足球的数量之和少4个， ， ， 排球与足球的数量之差为10个， 故答案为：10 7．一个三角形的边长和周长如图所示． (1)请列出关于未知数的方程； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列二元一次方程，解一元一次方程，准确识图、弄清题意是解题的关键． （1）根据三角形的周长列出方程即可； （2）把代入，解关于b的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵三角形的周长为10， ∴； （2）解：把代入，得： ， 解得． 8．在端午节来临之际，某商店订购了种粽子和种粽子，其中种粽子每千克28元，种粽子每千克24元．若订购的种粽子的质量比种粽子的2倍少，订购两种粽子共用了2560元，则两种粽子各订购了多少千克？ 【答案】订购了种粽子，种粽子． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组再求解． 设订购了种粽子，种粽子，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】设订购了种粽子，种粽子， 由题意，得， 解得， ∴订购了种粽子，种粽子． 9．如图，在趣味数学拓展课中，小红在的方格中填入了一些表示数的代数式，使得每一行、每一列以及对角线上的个代数式的和都相等． (1)用含的代数式表示的值； (2)求右下角的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． （1）根据最后一行的三个数之和等于最后一列的三个数之和，即可得出等式，整理后即可得结果； （2）由（1）得，结合，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）由（1）得， ， 解得：． 10．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这两个方程组的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的应用（方程组相同解问题），代数式求值等知识点，熟练掌握方程组相同解问题是解题的关键：利用同解方程组确定字母取值的方法：先将两个方程组中不含字母、的两个方程联立，求得方程组的解，然后由“方程组的解适合每一个方程”得到关于、的二元一次方程组，进而确定、的值． （1）将两个方程组中不含字母、的两个方程联立，解之，即可求出这两个方程组的解； （2）把这两个方程组的解代入含字母、的两个方程并联立，解之，即可求出、的值，然后将其代入求值即可． 【详解】（1）解：关于x，y的方程组与的解相同， 由题意得， 解得：， 这两个方程组的解为； （2）解：把代入，得： ， 解得：， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$