第十章 二元一次方程组 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学下册（人教版）

**基本信息** 以"概念-解法-应用"为逻辑主线，通过基础到优质的三级题型设计，系统覆盖二元一次方程组全考点，强化模型意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|4类型12题|定义辨析、解的判定|从方程到方程组，构建概念体系| |解法技巧|2类型9题|代入法、加减法|步骤化训练，培养运算能力| |应用拓展|8类型24题|古代问题、行程工程等|情境化建模，提升应用意识| |综合提升|8类型24题|参数问题、新定义运算|高阶思维训练，发展创新意识|

第十章 二元一次方程组 思维导图 【类型一】二元一次方程的定义与解 1．下列方程中，二元一次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1． 【详解】解：A、，含有3个未知数，不符合二元一次方程定义； B、，不是整式方程，不符合二元一次方程定义； C、中项的次数为2，不符合二元一次方程定义； D、，满足二元一次方程的所有条件． 2．若方程是二元一次方程，则m，n的值分别为（   ） A．2， B．，0 C．3，0 D．，0 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的概念，二元一次方程需满足：含有2个未知数，未知数的项的次数为1，且含未知数的系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：由于方程是二元一次方程， 则， 解得， 故选：C． 3．如果是方程的一组解，那么代数式的值是______． 【答案】 37 【分析】本题考查了二元一次方程的解及代数式求值．准确理解方程的解的概念，运用整体思想是解题的关键．首先把这组解代入方程，再将其整体代入即可求解． 【详解】解：是方程的一组解， ， ． 【类型二】二元一次方程组的定义与解 1．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程组需满足：方程组中共含有两个未知数，每个方程都是整式方程，且未知数的最高次数为1，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、该方程组含有三个未知数，不符合二元一次方程组定义，故错误； B、该方程组中的次数为2，不是一次方程，不符合定义，故错误； C、该方程组中的次数为2，不是一次方程，不符合定义，故错误； D、该方程组共含有两个未知数，两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组定义，故正确； 2．下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．据此逐个判断即可． 【详解】①符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； ②中，未知数的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ③方程组含x，y，z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ④符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； 故是二元一次方程组的有①④，一共2个． 3．写出一个解为的二元一次方程组为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程成为解题的关键． 直接根据二元一次方程组的定义写成方程组即可． 【详解】解：依题意，以为解的一个的二元一次方程组为． 故答案为：（答案不唯一）． 【类型三】列二元一次方程组 1．我国古代数学典籍中记载了这样一道数学题：“今有绢一匹买紫草三十斤，染绢二丈五尺．今有绢七匹，欲减买紫草，还自染余绢．问减绢、买紫草各几何．”（匹：布料长度的计量单位，1匹丈，1丈尺）译文：现在1匹绢可以换30斤紫草，这些紫草用来染绢可染2丈5尺．现有7匹绢，想要卖掉一部分来买紫草，并用买来的紫草染剩余的绢．问卖掉多少匹绢，买多少斤紫草．若设卖掉x匹绢，剩余y匹绢，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“现有7 匹绢”可得；根据“1匹绢可以换30斤紫草，这些紫草用来染绢可染2丈5尺”以及“1匹丈，1丈尺”可得，即可列出方程组． 【详解】解：设卖掉x匹绢，剩余y匹绢， 根据题意，可列方程组为． 2．《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长?（一尺等于十寸），设木头长尺，绳子长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设木头长尺，绳子长尺，由题意可得，， ∴可列方程组为． 3．《九章算术》是中国古代数学的智慧结晶，其中有一道关于方程的应用题：“四只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其一，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？”大意是“四只麻雀六只燕子，一共重两，麻雀比燕子重．麻雀和燕子互换一只，则它们重量相等．问每只麻雀、燕子的重量各为多少两？”设每只麻雀重两，每只燕子重两，则可列出方程组为______________． 【答案】 【分析】根据题意找出两个等量关系，再根据等量关系列方程即可． 【详解】解：设每只麻雀重两，每只燕子重两， 根据“四只麻雀六只燕子一共重两”这一等量关系，可得； 互换一只后，一边剩下只麻雀和只燕子，另一边剩下只麻雀和只燕子，此时两边重量相等，根据这一等量关系，可得； ∴可列方程组为． 【类型四】用含x的式子表示y 1．对于二元一次方程，下列用x表示y正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把x当成已知，根据等式的性质移项，即可求解． 【详解】解：∵， ∴移项得 ． 2．已知方程，用含x的代数式表示y，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 3．已知二元一次方程，则用含y的式子表示x为______________，用含x的式子表示y为______________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，等式的性质，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 根据等式的性质得出即可；根据等式的性质得出，再根据等式的性质方程两边都除以2即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 【类型五】二元一次方程组的应用一古代问题 1．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果一托为尺，那么索长为（    ）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用．根据题目问题和给出条件设出未知数并解方程，是解题的关键． 通过设未知数：设索长为尺，竿长为尺，根据索比竿子长一托和对折索子比竿子短一托，转化为二元一次方程组，并解得答案． 【详解】解：设索长尺，竿长尺， ∵ 索比竿子长一托，一托尺，对折索子来量竿，却比竿子短一托， ∴ 可列方程组为：， 解得：， ∴ 索长为尺，竿长为尺． 故答案为：． 2．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？则劣田比良田多________亩． 【答案】 【详解】设良田有亩，劣田亩， ，解得， ， 故劣田比良田多亩． 3．我国古代的优秀数学著作《九章算术》中有一道“钱数问题”：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其大意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己钱的一半给甲，那么甲就有50钱，若甲把自己钱数的给乙，那么乙也有50钱，问他们原本各自都有多少钱？请利用所学知识解决这一问题． 【答案】甲原本有37.5钱，乙原本有25钱 【分析】设甲原本有x钱，乙原本有y钱，根据若乙把自己钱的一半给甲，那么甲就有50钱，若甲把自己钱数的给乙，那么乙也有50钱，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲原本有x钱，乙原本有y钱， 根据题意得：， 解得：， ∴甲原本有37.5钱，乙原本有25钱． 【类型六】二元一次方程组的应用一数字问题 1．佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是（   ） A．15 B．16 C．25 D．34 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位与个位数字之和为7且车行驶的速度不变，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 依题意得：， 解得：， ∴． 故选：B． 2．一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，将个位数字与十位数字对调后，得到的两位数比原来的两位数小18．则原来的两位数为______． 【答案】42 【分析】设原来两位数的十位数字与个位数字分别为未知数，根据题目给出的两个等量关系列二元一次方程组，求解后即可得到原来的两位数． 【详解】解：设原来两位数的十位数字为，个位数字为， 根据题意，得， 解得， 因此原来的两位数为． 3．一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 【答案】516． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义和解三元一次方程组，运用加减消元法解三元一次方程组是解题的关键． 根据题干条件设个位数字为，十位数字为，百位数字为，由数量关系列三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为，百位数字为． 根据题意，得 解得故这个三位数是516． 【类型七】二元一次方程组的应用一年龄问题 1．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 2．妈妈今年岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为岁，那么儿子今年______岁． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，利用二元一次方程组解决实际问题，一元一次方程的实际应用，解题关键是找准题中的等量关系． 设儿子今年x岁，女儿今年y岁，根据题中的等量关系，列出方程组，通过消元得到，进而可求出儿子今年的年龄． 【详解】解：设儿子今年x岁，女儿今年y岁，妈妈今年74岁， 当儿子岁时， 妈妈的年龄为：岁， 女儿的年龄为：岁， 此时妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，即：， 解得： 当妈妈岁时，（岁），即年前， 儿子的年龄为：岁， 女儿的年龄为：岁， 此时女儿年龄是儿子，即：， 则， 把代入，即， 解得：， 所以儿子今年岁． 故答案为：． 3．7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得                         解得                                       答：现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决． 【类型八】用代入法解二元一次方程组 1．解方程组： 【答案】 【分析】用代入消元法求解即可． 【详解】解：， 将代入得， ， ， ， ． 2．用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由①得③， 把③代入②，得 ， 解得， 将代入③，得， 所以这个方程组的解是； （2）解：由①得③， 把③代入②得， 解得， 将代入③，解得， 所以这个方程组的解是． 3．用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 把②代入①，得 解这个方程，得． 把代入②得，． 所以这个方程组的解是； （2）解： 由②，得③． 把③代入①，得． 解这个方程，得． 把代入③，得． 所以这个方程组的解为； （3）解： 由①，得③． 把③代入②，得． 解这个方程，得． 将代入③，得． 所以这个方程组的解是． 【类型九】用加减法解二元一次方程组 1．解方程组： 【答案】 【详解】解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为． 2．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 3．解方程组： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：，                                               ∴原方程组的解为； （2）解：， 整理得， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， ∴原方程组的解为． 【类型一】二元一次方程组求参 1．若方程组的解满足，则k的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】解二元一次方程组，可得关于的方程，根据题意解方程可得答案． 【详解】解：， ①②得： ， ， ， 解得． 2．若二元一次方程组的解满足方程，则k为（   ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 【答案】B 【分析】本题利用加减消元法，将方程组两个方程相加凑出的含的表达式，再结合已知条件求解． 【详解】解：， 将得， 整理得， 两边同除以得， ， ， ． 3．已知方程组的解满足，则m的值为_____． 【答案】 【分析】根据加减消元法解二元一次方程组得到，代入中，求出即可． 【详解】解：， ，得， ∴， 又， ∴， ∴． 【类型二】二元一次方程组的解互为相反数 1．若关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则的值为（   ） A． B．3 C．5 D． 【答案】A 【分析】将方程组的两个方程相加得，进而得出，由x，y互为相反数得，从而，解之可得的值． 【详解】解：， ，得 ， ∴， ∵，互为相反数， ∴， ∴， 解得． 2．已知关于x，y的方程组的解满足与互为相反数，则的值为（   ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组及相反数的性质，熟练掌握解二元一次方程组是解决问题的关键．根据题意，解方程组，再由求值． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 联立方程组， 解得， ， 故选：C． 3．若方程组的解x和y互为相反数，则___________ 【答案】 【分析】根据相反数的性质得到与的关系，代入第一个方程求出和的值，再将，代入第二个方程求解的值． 【详解】解：∵方程组的解和互为相反数， ∴，即， 将代入得： ， 解得， 则， 把，代入得： ， 去括号得， 合并同类项得， 系数化为得． 【类型三】二元一次方程组的看错问题 1．在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题．甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故选A． 2．两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：由题意，得把，代入②，得， 解得， 把，代入①，得， 解得， 所以，． 故选C． 3．甲、乙两人解关于的方程组时，甲看错的值解得乙看错b的值解得则该方程组正确的解为______． 【答案】 【分析】先根据甲、乙看错的条件，分别求出正确的、的值，再代入原方程组求解． 【详解】解:甲看错的值，解得，将其代入，可得：， 解得：． 乙看错的值解得，将其代入，可得：， 解得：． ∴原方程为：． 对两边同时乘以，可得：①； 由可得：②； 将②代入①，得：， 解得：． 把代入②，解得：． ∴该方程组正确的解为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是利用甲、乙看错的条件分别求出正确的值，再代入原方程组求解． 【类型四】二元一次方程组的相同解问题 1．如果方程组的解与方程组的解相同，则的值是（   ） A．3 B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，两个方程组的解相同，即它们的解为，，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过联立方程求解的值． 【详解】解：由题意可知，两个方程组的解相同，即它们的解为，， 那么将，代入 得到， ①②，得， 化简得：， 两边同时除以7，得：． 故选：B． 2．若关于x，y的二元一次方程组的解与方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，先联立两个已知的方程求出x和y的值，然后代入求出m的值即可． 【详解】解：解方程组得：， 把代入得， 故选C． 3．关于、的二元一次方程组的解与的解相同，则_______，________ ． 【答案】 【分析】本题考查同解方程组，先求出的解，再把解代入中，解关于的二元一次方程组即可． 【详解】解：解，得：， 把代入，得：， 解得：； 故答案为： 【类型五】二元一次方程组的有、无解 1．关于x、y的方程和，下列说法正确的（    ） ①当时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解； ②当且时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解； ③当，时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解； ④当且时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】当时，则和，解方程即可判断①；当且时，则和，解方程组即可判断②；当，时，则和．（1）式两边同除以2得，与（2）相同，因此有无数个解，即可判断③；当且时，则和．解方程组即可判断④． 【详解】解：①当时，则和，此时只有1个解为 ∴①错误； ②当且时，则和，解得，，有解， ∴②正确； ③当，时，则和． （1）式两边同除以2得，与（2）相同，因此有无数个解， ∴③正确， ④当且时，则和． 得， 解得，或， 又∵， ∴， ∴把代入（3）得解得， ∴这两个方程组成的二元一次方程组有且仅有一个解， ∴④正确， 综上可知，②③④正确， 故选：D 【点睛】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 2．如果关于x，y的方程组无解，则k值为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组，先把两方程相加消去y，得到根据方程组无解可得，解之即可． 【详解】解：两方程相加得：， ∵方程组无解， ∴， 解得， 故选：B． 3．二元一次方程组有可能无解，例如，方程组无解，原因是：将①×2，得，由于，所以它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于，y的方程组，无解，则a，b分别满足的条件是__________． 【答案】且． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键． 根据题意，方程组两边系数相等，得出矛盾，即可求解． 【详解】解：∵关于，的方程组无解， ，得， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 【类型六】二元一次方程组的应用一和差倍分问题 1．甲乙两数的和是25，甲数比乙数的2倍大4．求甲乙两数各是多少？ （列方程组求解） 【答案】甲数18， 乙数7 【分析】设甲数为x,乙数为y,根据条件可以得出方程，，再由这两个方程构成方程组，求出其解即可． 【详解】解：设甲数为x，乙数为y，由题意： ， 解得， 答：甲数18， 乙数7． 2．七年级（2）班选出部分同学参加夏令营，分成红、蓝两队，红队戴红帽子，蓝队戴蓝帽子．一个红队队员说：“我看见红队人数与蓝队人数相等．”一个蓝队队员说：“我看见红队人数是蓝队人数的2倍．”求红队人数和蓝队人数． 【答案】红队人数为4人，蓝队人数为3人 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，注意“队员看人数时，会忽略自己”，据此梳理红、蓝队人数的等量关系是解题关键． 根据红蓝队员对人数的描述，结合“实际人数”与“观察到的人数（忽略自己）”的差异，建立方程组求解即可． 【详解】解：设红队人数为人，蓝队人数为人． 一个红队队员说：“我看见红队人数与蓝队人数相等．”， 可得， 一个蓝队队员说：“我看见红队人数是蓝队人数的2倍．”， 可得， 联立可得， 解得，． 答：红队人数为4人，蓝队人数为3人． 3．阅读与人文滋养内心．某校开展阅读经典活动，小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读页数的2倍少10页．求小明、小颖平均每天各阅读多少页． 【答案】小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出合适的等量关系． 设小明、小颖平均每天分别阅读x页和y页，根据题意列出相应的方程组求解即可． 【详解】解：设小明、小颖平均每天分别阅读x页和y页， 由题意，得 解得． 答：小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页． 【类型七】二元一次方程组的应用一分配问题 1．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 【答案】可以制作乙种纸盒80个 【分析】设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】解：设能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个， 甲种无盖长方体纸盒需要1张正方形硬纸片和4张长方形硬纸片， 乙种无盖长方体纸盒需要2张正方形硬纸片和3张长方形硬纸片， 根据题意，得， 解得， ∴可以制作乙种纸盒80个． 2．一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，工厂每天能生产36套产品 (2)至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可； （2）设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件， 由题意得：， 解得， （套） 所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品． （2）解：设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件， 由题意得， 解得， 所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务． 3．某生态柑橘园现有柑橘，计划租用，两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘． (1)1辆型车和1辆型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用型货车辆，型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求、型货车都要有）． 【答案】(1)1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨 (2)共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． （1）设1辆型车满载时一次可运柑橘吨，1辆型车满载时一次可运柑橘吨，根据“用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘”列出二元一次方程组，解方程即可得解； （2）根据题意列出二元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设1辆型车满载时一次可运柑橘吨，1辆型车满载时一次可运柑橘吨， 由题意可得：， 解得：， ∴1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨； （2）解：由题意可得：， ∴， ∵、均为正整数， ∴或或， 故共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车． 【类型八】二元一次方程组的应用一行程问题 1．如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 【答案】车头长米，每节车厢长米； 【分析】根据题意，设车头米，车厢每节米，然后列出方程组，解方程组即可得到答案； 【详解】解：设车头米，车厢每节米，根据题意， 可列方程组：， 解得：； 答：车头长米，每节车厢长米． 2．李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【答案】(1)李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米 (2)相遇后经过刘伟到达A地 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据路程速度时间解答即可． 【详解】（1）解：设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米； （2）解：， 答：相遇后经过刘伟到达A地． 3．火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是，求隧道和火车的长度． 【答案】火车长，隧道长 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，设火车长，隧道长，根据行程问题的数量关系路程=速度×时间建立方程组求出其解即可． 【详解】解：设火车长，隧道长 根据题意，得 解得： 答：火车长，隧道长． 【类型九】二元一次方程组的应用一工程问题 1．甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件，再结合甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件列方程组，再解方程，即可作答． 【详解】解：设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件， 依题意， 解得 ∴甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件． 2．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家喜爱，某工厂计划生产两种吉祥物，已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，已知该工厂每天生产的两种吉祥物数量相同． (1)设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ①完成下列表格 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②若该工厂共有60名工人，则甲、乙车间的工人数分别是多少？ (2)由于市场需求旺盛，工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间，使得每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍，则要抽调的工人数至少为______．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析；②甲车间的工人数是24人，乙车间的工人数是36人． (2)13 【分析】（1）根据“已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，”，然后结合工人数量，即可得出答案； （2）设甲车间有名工人，乙车间有名工人．由（1）可知，，即，接着表示出从甲车间抽调名工人去乙车间后，两个车间生产的冰墩墩与雪容融的数量，结合题意“现每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍”，得到，结合为正整数，即可得出答案． 【详解】（1）解：① 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ， 解得， 答：甲车间的工人数是24人，乙车间的工人数是36人． （2）解：设甲车间有名工人，乙车间有名工人． 由（1）可知，，即， 当工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间时，两个车间生产的数量如下表所示： 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 根据题意有，， 那么有， ∵为正整数， ∴当时，符合题意且取得最小值，此时， 故答案为：13． 3．现有一段长为180m的河道整治任务由两工程队先后接力完成．工程队每天整治12m，工程队每天整治8m，共用20天．求两工程队分别整治河道的米数． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：乙： 请你在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组，并分别指出未知数表示的意义． 甲：表示_________，表示_________； 乙：表示_________，表示_________． (2)从（1）中任选一个方程组，写出完整的解答过程． 【答案】(1)20  180  180  20 工程队用的时间    工程队用的时间 工程队整治河道的米数   工程队整治河道的米数 (2)过程见解析，工程队整治河道的米数为60，工程队整治河道的米数为120． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，准确列出基本数量关系并准确解方程是解题的关键． （1）根据所列式子可知甲方程所列方程组中未知数为：设A工程队用时天，B工程队用时天； 乙所列方程组中未知数为：设A工程队整治米，B工程队整治米，据此不全方程组即可； （2）选择其中一个方程组准确解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：甲：乙： 故答案为：20；180；180；20． 甲：表示工程队用的时间，表示工程队用的时间； 乙：表示工程队整治河道的米数，表示工程队整治河道的米数． 故答案为：工程队用的时间 ；工程队用的时间； 工程队整治河道的米数； 工程队整治河道的米数． （2）解：示例：选甲同学所列的方程组．解答如下： ②-①，得，解得． 把代入①，得，所以方程组的解为 所以工程队整治河道的米数为，工程队整治河道的米数为． 【类型十】二元一次方程组的应用一收费问题 1．某商贸公司有、两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如表所示： 体积（立方米/件） 质量（吨/件） 型商品 型商品 (1)已知一批商品有、两种型号，体积一共是立方米，质量一共是吨，求、两种型号商品各有几件？ (2)物资公司现有可供使用的货车每辆额定载重吨，容积为立方米，其收费方式有以下两种： ①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费611元； ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费211元． 现要将（1）中商品一次或分批运输到目的地，如果两种收费方式可混合使用，商贸公司应如何选择运送、付费方式，使其所花运费最少，最少运费是多少元？ 【答案】(1)种型号商品有5件，种型号商品有8件 (2)先按车收费用3辆车运送，再按吨收费运送1件B型产品，运费最少为元 【分析】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键，（2）注意分类讨论，分别求出费用进行比较解答问题． （1）设A、B两种型号商品各x件、y件，根据体积与质量列方程组求解即可； （2）①按车付费=车辆数；②按吨付费=；③先按车付费，剩余的不满车的产品按吨付费，将三种付费进行比较． 【详解】（1）解：设A、B两种型号商品各x件、y件， ， 解得， 答：种型号商品有5件，种型号商品有8件； （2）①按车收费：（辆），但是车辆的容积， ∴3辆车不够，需要4辆车， （元）； ②按吨收费：（元）； ③一辆车：5件A型1件B型，按车收费；两辆车：各3件B型，按车收费一辆车：1件B型，按吨收费一次运输，共付费（元）， ∵， ∴先按车收费用3辆车运送，再按吨收费运送1件B型产品，运费最少为元． 2．如图为常州奥林匹克体育中心停车场收费标准（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算），本题中涉及的车辆均为非新能源车辆和非公（任）务车辆，且不享受图中的“收费优惠”．例如，一辆小型车和一辆大型车均连续停车3小时23分钟，则停车费分别为4元和8元． 24小时连续停放最高12元 3元(首1小时)0.5元/15分钟(首1小时外)小型车(中大型车按小型车收费标准加倍计收) 免费停放 所有车辆 120分钟 其中∶新能源车辆 每天首次2小时 执行公(任)务的车辆 执法车、军车、警车、消防车、救护车、工程抢险车、市政服务车等 收费优惠 新能源车辆减半收取(不含包月停放) 持有残疾人证且本人合法驾驶的非营运车辆减半收取 (1)一辆小型车连续停车5小时，则停车费为 元；一辆大型车连续停车5小时，则停车费为 元； (2)现一团队有小型车与大型车共6辆，同时连续停车5小时后共收费70元，求小型车与大型车各有多少辆？ (3)若一天中一辆小型车连续停车时间为小时，且停车费为12元，则的取值范围是 ． 【答案】(1)7，14； (2)小型车2辆，大型车4辆； (3)． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用： （1）根据停车收费标准，免费2小时，后面第1小时3元，以后每15分钟元（不满15分钟部分按15分钟计算，大型车双倍）计算即可； （2）设小型车辆，大型车辆，列方程组求解即可； （3）计算按元每15分钟的收费标准收费的时间，再加上免费停车时间和首次收费的1小时，根据24小时连续停放只收12元，即可求解． 【详解】（1）解：由表可知，小型车首1小时是3元，超过则每15分钟元（大型车双倍）， ∵一辆小型车连续停车5小时，由于前120分钟免费，因此实际收费是后面3个小时， ∴费用为（元）， ∵大型车是小型车的双倍， ∴大型车费用为14元； 故答案为：7；14； （2）设小型车辆，大型车辆，则 ， 解得， 答：小型车2辆，大型车4辆； （3），，且每个小时有4个15分钟， ∴1小时收费以外的时间为小时 ∵收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算， ∴， ∴， 又∵24小时连续停放只收12元， ∴． 3．如图为常州奥林匹克体育中心停车场收费标准（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算），本题中涉及的车辆均为非新能源车辆和非公（任）务车辆，且不享受图中的“收费优惠”．例如，一辆小型车和一辆大型车均连续停车3小时23分钟，则停车费分别为4元和8元． (1)一辆小型车连续停车5小时，则停车费为 元；一辆大型车连续停车5小时，则停车费为 元； (2)现一团队有小型车与大型车共6辆，同时连续停车5小时后共收费70元，求小型车与大型车各有多少辆？ (3)若一天中一辆小型车连续停车时间为小时，且停车费为12元，则的取值范围是 ． 【答案】(1)7，14 (2)小型车2辆，大型车4辆 (3) 【分析】（1）根据停车收费标准，免费2小时，后面第1小时3元，以后每15分钟元（不满15分钟部分按15分钟计算，大型车双倍）计算即可； （2）设小型车辆，大型车辆，列方程组求解即可； （3）计算按元每15分钟的收费标准收费的时间，再加上免费停车时间和首次收费的1小时，根据24小时连续停放只收12元，即可求解． 【详解】（1）解：由表可知，小型车首1小时是3元，超过则每15分钟元（大型车双倍）， ∵一辆小型车连续停车5小时，由于前120分钟免费，因此实际收费是后面2个小时， ∴费用为（元）， ∵大型车是小型车的双倍， ∴大型车费用为14元； 故答案为：7；14． （2）设小型车辆，大型车辆，则 解这个方程组，得， 答：小型车2辆，大型车4辆． （3），，且每个小时有4个15分钟， ∴1小时收费以外的时间为小时（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算）， ∵， ∴，24小时连续停放只收12元， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的应用，解题关键是理解题意，正确列出算式或方程求解． 【类型一】二元一次方程组的整数解 1．若关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数a的值的和为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，进而可得答案． 【详解】解：对方程组， ②－①×2，得， ∴， ∵关于x、y的方程组的解为整数， ∴，即， ∴满足条件的所有a的值的和为． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 2．已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（    ） A． B．1 C．或3 D．或 【答案】D 【分析】利用加减消元法解关于、的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的的值． 【详解】解：， 得， 解得， ∵为整数，为整数， ∴， ∴的值为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组． 3．已知关于的方程组 （1）若方程组的解满足，则______． （2）若方程组的解中恰为整数，也为整数，______． 【答案】 / 或/或 【分析】本题考查了二元一次方程组的解： （1）根据可得，代入求解即可； （2）利用加减消元法解关于x、y的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的m的值． 【详解】解：（1）， ，代入， 得，解得， 故答案为：； （2）， ①②得， 解得：， 为整数，也为整数， ， 或， 故答案为：或． 【类型二】二元一次方程组的新定义运算 1．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（     ） A．8 B．4 C．3 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出a、b的值是解此题的关键． 根据题意得出方程组，求出a、b的值，得到，再代入求出答案即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 即， ∴. 故选：D． 2．对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：，例如，若，且，则a，b的值分别为（    ） A．，1 B．2， C．，2 D．1， 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，根据新定义建立关于a，b的方程组是解答本题的关键．根据新定义建立关于a，b的方程组，然后用加减消元法求解即可． 【详解】解：根据题意，得 整理，得， 得， ∴， 将代入②得，， ∴． 故选B． 3．定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时，_______． （2）若，则_______，_______． 【答案】 1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）当时，分别求出和即可得出答案； （2）根据新定义的运算列出方程组即可求出，的值． 【详解】解：（1）当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， 故，， 故答案为：1；． 【类型三】二元一次方程组的整体代入 1．若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题运用整体换元的思想，根据二元一次方程组解的定义，将所求方程组中的整体部分对应原方程组的未知数，再根据原方程组的已知解列方程求解即可． 【详解】解：令，，则所求方程组可化为， ∵原方程组 的解为 ， ∴对于方程组，其解为， ∴， 解第一个方程得：，即， 解第二个方程得：， ∴所求方程组的解为 2．若关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用整体换元思想，对比两个二元一次方程组的结构，根据原方程组的解得到新方程组中对应整体的值，即可求解x，y． 【详解】解：∵ 原二元一次方程组的解为 待求解方程组与原方程组结构一致， 将和看作整体，可得 ，解得． 3．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】因为已知关于的方程组的解，所以先将关于的方程组进行变形，使其结构与已知方程组一致．如果把看作，看作，那么变形后的方程组就和已知方程组结构相同．因为已知方程组的解为，所以可得到关于的方程组，再通过解这个方程组得到的值． 【详解】把待求解的方程组移项整理得， 对比原方程组， 结构完全一致． 令，， 已知原方程组的解为， ∴可得， 两式相加得， 解得， 代入得． ∴方程组的解为． 【类型四】二元一次方程组的应用一销售问题 1．某非遗文创店销售剪纸和皮影工艺品，已知3套剪纸工艺品和2套皮影工艺品的总售价为3900元；2套剪纸工艺品和4套皮影工艺品的总售价为4600元．求每套剪纸工艺品和每套皮影工艺品的售价各多少元？ 【答案】每套剪纸工艺品售价800元，每套皮影工艺品售价750元 【分析】设每套剪纸工艺品售价x元，每套皮影工艺品售价y元，由题意易得，进而求解即可． 【详解】解：设每套剪纸工艺品售价x元，每套皮影工艺品售价y元，由题意得： ， 解得：； 答：每套剪纸工艺品售价800元，每套皮影工艺品售价750元． 2．临高县波莲镇的凤梨释迦以其高甜度和丰富营养被誉为“水果族”，某合作社销售该镇出产的甲、乙两种凤梨释迦，已知2箱甲种凤梨释迦和3箱乙种凤梨释迦的售价之和为440元，4箱甲种凤梨释迦和5箱乙种凤梨释迦的售价之和为800元，求甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价． 【答案】甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价分别为元、元 【分析】假设甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价分别为元、元，根据题意解方程组即可得出结果． 【详解】解：假设甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价分别为元、元， 根据题意可得方程组， 解得， 故甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价分别为元、元． 3．某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求、两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元 (2)不能实现利润恰好为1200元的目标，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解决问题的关键． （1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元． 依题意，得， 解得， 答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元； （2）解：不能实现利润恰好为1200元的目标，理由如下： 设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇， ， 解得， ∵根据题意，，都为正整数， ∴不合题意，舍去， 不能实现利润恰好为1200元的目标． 【类型五】二元一次方程组的应用一方案问题 1．三月，我校班超联赛火热开赛！为丰富同学们的课余生活、满足运动需求，学校计划采购一批足球和篮球．负责采购的老师在团购群中看到了如下对话信息： (1)根据对话信息，求足球和篮球的单价各是多少元？ (2)若学校一次性采购总金额为700元．两种球都至少购买1个且采购资金正好用完，请给出所有购买方案． 【答案】(1)足球和篮球的单价分别为元 (2)有2种购买方案：①足球8个，篮球5个；②足球2个，篮球10个 【分析】（1）设足球和篮球的单价分别为元，根据对话信息建立二元一次方程组求解； （2）设购买足球个，篮球个，由题意得，，整理得，，再根据题意以及的约束条件求解． 【详解】（1）解：设足球和篮球的单价分别为元， 由题意得，， 解得 答：足球和篮球的单价分别为元； （2）解：设购买足球个，篮球个， 由题意得，， 整理得， ∵为正整数， ∴为整数，即为的倍数， ∵， ∴当时，； 当时， 当时，（舍去）， ∴当时，均不符合题意， ∴有2种购买方案：①足球8个，篮球5个；②足球2个，篮球10个． 2．大荔西瓜生产区域位于关中平原东部，北依镰山，南傍渭水，黄河临东，洛水贯中，是我国唯一具备西瓜生产七项指标的地区，现欲将一批西瓜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满西瓜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满西瓜一次可运走11吨，现有西瓜30吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满西瓜． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满西瓜一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 【答案】(1)1辆A型车载满西瓜一次可运送3吨，1辆B型车载满西瓜一次可运送4吨； (2)该物流公司共有2种租车方案：①租用6辆A型车，3辆B型车；②租用2辆A型车，6辆B型车． 【分析】（1）设1辆A型车载满西瓜一次可运送x吨，1辆B型车载满西瓜一次可运送y吨，用2辆A型车和1辆B型车载满西瓜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满西瓜一次可运走11吨，据此列出方程组并解方程组即可； （2）计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满西瓜．据此列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满西瓜一次可运送x吨，1辆B型车载满西瓜一次可运送y吨， 由题意：， 解得：， 答：1辆A型车载满西瓜一次可运送3吨，1辆B型车载满西瓜一次可运送4吨； （2）由题意得：， 整理得： 又由题意可知，a，b均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案：①租用6辆A型车，3辆B型车；②租用2辆A型车，6辆B型车． 3．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 云南省积极推进“双减”政策落地见效，某校为了丰富课后服务内容，计划采购一批甲、乙两种艺术器材，为学生提供优质的艺术教育资源．该校准备在某文具店购买这两种器材 素材一 购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元 素材二 购买3件甲种器材和2件乙种器材共需540元 素材三 该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案． 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折． 方案二：甲、乙两种器材每件均打八折 请完成下列任务： (1)任务一：求甲、乙两种器材的单价分别是多少元 (2)任务二：经核算，该校准备购买甲、乙两种器材共50件（甲、乙两种器材都要购买），且甲种器材不超过35件．设按方案一、方案二购买的总费用分别为元、元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少 【答案】(1)甲种器材的单价为120元，乙种器材的单价为90元 (2)当时，方案二花费少；当时，两种方案花费一样；当时，方案一花费少 【分析】（1）设甲种器材的单价为x元，乙种器材的单价为y元，根据题意构造方程组求解即可； （2）设购买甲种器材m件，则购买乙种器材件，用含m的代数式分别表示两种方案的费用，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：设甲种器材的单价为x元，乙种器材的单价为y元， 由题意，得， 解得， 答：甲种器材的单价为120元，乙种器材的单价为90元． （2）解：设购买甲种器材m件，则购买乙种器材件， 由题意，得， ． ∴． 当，即时，解得，此时两种方案花费一样； 当，即时，解得，此时方案一花费少； 当，即时，解得，此时方案二花费少， 又∵， ∴当时，方案二花费少； 当时，两种方案花费一样； 当时，方案一花费少． 【类型六】二元一次方程组的应用一几何与角度问题 1．如图所示，已知长方形的长，宽，内有边长相等的小正方形和小正方形，其重叠部分为长方形．若长方形的周长为22，则图中阴影部分的周长和为多少？ 【答案】 【分析】设，根据题意可推出，，，根据，长方形的周长为22建立方程组求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得，，， ∴， ∴， ∵，长方形的周长为22， ∴， 解得， ∴， ∴阴影部分的周长和． 2．如图，已知直线和直线相交于点，平分，是内部的一条射线． (1)若，，则 °． (2)若比大比大，请结合二元一次方程组求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据角平分线，由的度数求出的度数，再利用对顶角相等得到的度数，最后结合角的和差运算，用减去的度数，即可求出的度数； （2）设、，根据角平分线得出，再通过角的和差分别表示出、，然后根据与、与的度数关系列出二元一次方程组，解出方程组的解后，代入求出的度数，最后利用对顶角相等即可得到的度数． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：设，． ∵平分， ∴， ∴， ． 根据“比大”，得：； 根据“比大”，得：， 联立，得方程组：， 解得， 则， ∴． 3．如图，的两边分别与的两边平行，即，． (1)在图1中，射线与同向，与也同向；在图2中，射线与异向，与也异向；在图3中，射线与同向，与异向． 请问：在上述三种情况下，与的关系怎样？请结合三个图分别进行说明． (2)根据上述情况，归纳概括出一个结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是______． (3)在（1）（2）的探索归纳概括中，思考一下问题：若和的两边分别平行，其中比的2倍少，求和的度数． 【答案】(1)或，理由见解析 (2)相等或互补 (3)或， 【分析】（1）根据题意，由易得，结合图形，再得到或，即可得到结果； （2）根据（1）的计算得到结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是相等或互补； （3）由题意得到或，，求得和度数即可． 本题考查了平行线的性质的应用，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键 【详解】（1）解：如图1，， ， ， ， ； 如图2，， ， ， ， ； 如图3，， ， ， ， ； （2）或， 结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是相等或互补， 故答案为：相等或互补； （3）和的两边分别平行， 或， 比的2倍少， ， 或， 或， 或， 答：或， 【类型七】二元一次方程组的应用一整体思想问题 1．“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 将②式变形，得③． 将①式代入③式，得，解得． 将代入①式，得，解得， 该二元一次方程组的解为 (1)类比“整体代换”法解方程组 (2)已知，满足方程组求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查运用“整体代换”解二元一次方程程组： （1）把变形为，再用整体代换的方法解题； （2）把①变形为这样的形式，再利用整体代换的方法解决． 【详解】（1）解： ， 把②变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①得， 即方程组的解为； （2）解： 把①变形为③， 把②代入③可得，， 解得， ． 答：的值是4． 2．阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数满足求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由①-②可得，由①+②可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组则________，________． (2)已知关于的二元一次方程组若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组，整体思想的运用； （1）将两个方程相加或相减，即可求解； （2）利用加减消元法即可求出，根据题意，即可求解． 【详解】（1）解： ∴得，； 得， ∴， 故答案为：，． （2）解： 得，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 3．【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组 解：将方程①移项，得③． 把方程③代入②，得． 解得． 把代入③，得． 解得． ∴原方程组的解为． 上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想． 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）将方程①移项，得③，代入②求出，把代入③求出即可； （2）由①得，③，把③代入②求出，把代入①求出即可． 【详解】（1）解：将方程①移项，得③ 把方程③代入②得 解得 把代入③，得 ∴方程组的解为 （2）解：由①得，③ 把③代入②得 解得 把代入①得， 解得 ∴方程组的解为． 【类型八】二元一次方程组的新定义应用 1．阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 【答案】(1)不是 (2)m= (3) 【分析】（1）根据定义计算判断即可； （2）根据定义列方程求出m即可； （3）根据定义列方程组求解即可． 【详解】（1）解：方程3x=-6的解为x=-2， ∵-2≠-6+3， ∴方程3x=-6不是“和解方程”， 故答案为：不是； （2）由题意得， 解得m=； （3）由题意得， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，正确理解题意中的定义列得方程或方程组解决问题是解题的关键． 2．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：已知关于x、y的二元一次方程（其中），若将该方程中y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”是______，由该方程和其“船山方程”组成的方程组的解是______； (2)若关于x，y的二元一次方程（其中）的系数满足， ①求该方程与其“船山方程”组成的方程组的解； ②若①中方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)①；②2026 【分析】（1）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）①首先得到，根据题意联立方程组，求出x，y的值； ②将代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：根据定义可得：的“船山方程”． 联立得， 由得： 解得， 把代入①得：， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：①∵， ， ∴与其“船山方程”所组成的方程组为， 由得： 解得， 把代入①得：， ∴ 解得， ∴方程组的解为； ②将代入方程中，得， 即，， ∴ ． 3．定义：关于x，y的二元一次方程中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的新方程叫做原方程的“友好方程”，例如：方程的“友好方程”为． (1)求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解； (3)已知关于x，y的二元一次方程是的“友好方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，得到方程的友好方程，组成二元一次方程组，解方程组得到结果； （2）根据题意，得到方程的“友好方程”，组成方程组，消元后得，再代入，得到结果； （3）根据友好方程的定义，得到方程组，消去t，化简整理可得到结果． 本题考查了新定义，解二元一次方程组的应用，熟练解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：方程的“友好方程”为， ∴， ①﹣②，得， 解得， 把代入①中，得， ∴方程组的解为； （2）方程的“友好方程”为， ∴， ①②得， 由 ∴， 把代入①式，得， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； （3）∵关于x，y的二元一次方程是的“友好方程”， ∴， 由①得，代入②中，得： ， 则， ∴． 1．（25-26七年级下·吉林长春·月考）下列选项中，是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别将选项中的值代入方程，使方程左右相等的解才是方程的解，据此判断即可． 【详解】解：A、把代入方程，得，所以不是方程的解； B、把代入方程，得，所以是方程的解； C、把代入方程，得，所以不是方程的解； D、把代入方程，得，所以不是方程的解． 2．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）草莓和树莓中含有丰富的碳水化合物，每草莓和每树莓中碳水化合物含量分别为和，现只用这两种水果做一杯的莓果汁，其中碳水化合物含量为，设需要草莓，需要树莓，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设需要草莓，需要树莓， 由题意得． 3．（25-26七年级下·山东聊城·月考）在长为、宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则每个小长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图形可看出：小长方形的个长一个宽，小长方形的个宽一个长，设出长和宽，列出方程组即可得答案． 【详解】设小长方形的长为，宽为， 由题意得， 解得， 小长方形的长为，宽为， 小长方形的面积为． 4．（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足正确的方程②；乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足正确的方程①，先联立求出正确的的值，再设乙看错的为，代入乙的解即可求出的值. 【详解】∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②， ∴ 代入②得 ③， ∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①， ∴ 代入①得 ④， 联立③④，③+④得 ， 设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程② ， 得 ， 整理得 ， 解得 ， 则乙把②中的b看成的数是． 5．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）若，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 6．（25-26九年级下·浙江杭州·月考）已知方程组的解满足，则的值为______． 【答案】 【详解】解： 得：，即， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·河南周口·月考）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为______． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，然后把方程组的解代入方程中即可求出的值． 【详解】解：由题意得， 解得， 根据题意得，把代入方程中， 得 解得． 8．（24-25九年级下·广东广州·月考）解方程组 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，解题的基本思路是消元，可选用加减消元法进行求解，掌握消元法的步骤即可正确解答． 【详解】解： 由 ，得 ， 解得： ； 把代入①，得 ， 解得： ； ∴方程的解为：． 9．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）在等式中，当时，；当时，． (1)求a，b的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，构造方程组求解即可； （2）当时，求代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵在等式中， 当时，； 当时，， ∴可得方程组 ①+②，得，解得， 把代入①，得，解得； （2）解：把，，分别代入等式 得． 10．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的方程组与关于的方程组的解相同，求的值． 【答案】， 【分析】根据已知的两个方程组的解相同得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组，进而求出a、b的值即可． 【详解】解:∵两个方程组的解相同， ∴先解方程组， 由得， 将代入得， 解得， 将代入，得； ∴两个方程组的公共解为， 将代入含有的方程组，即， ∴， 由得， 解得， 将代入得， 解得． 1．（25-26七年级下·北京延庆·期中）若是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 直接把代入到方程中求出的值即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程的一个解， ∴把代入到方程中，得，解得． 2．（25-26七年级下·北京延庆·期中）已知关于的二元一次方程组则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程组中两个方程相加即可得解． 【详解】解：， 得， ∴． 3．（25-26七年级下·北京·期中）我国清代数学家梅瑴成在《增删算法统宗》中记载了这样一个问题：八百八十八文钱，甜果苦果买八百．苦果四个三文钱．甜果六个九文钱．试问甜苦果各几个？其大意是：用八百八十八文钱共买了八百个苦果和甜果．已知三文钱可以买四个苦果，九文钱可以买六个甜果．那么苦果、甜果各买了多少个？设苦果有个，甜果有个，则根据题意可列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据甜果和苦果的总个数得到第一个方程，再分别计算两种果实的单价，根据总花费得到第二个方程即可 【详解】解：由题意得 4．（23-24七年级下·广东广州·期中）关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；乙：无论a取何值，的值始终不变，则（   ） A．甲的判断正确，乙的判断不正确 B．甲、乙的判断都不正确 C．甲、乙的判断都正确 D．甲的判断不正确，乙的判断正确 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤是解决问题的关键．将方程组的两个方程相加，得出，当的值互为相反数时，即可得出，得出甲判断不正确；用表示出，代入可得，得出乙判断正确；即可得出答案． 【详解】解：， 得：， ， 当的值互为相反数时，， ，故甲判断不正确； 解方程组得：， ，故乙判断正确． 故选：D． 5．（25-26七年级下·北京延庆·期中）已知，如果用关于的代数式表示，那么___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了代入消元法． 【详解】解：∵， ∴． 6．（25-26七年级下·北京延庆·期中）如果关于，的方程组的解是，那么___________． 【答案】 【详解】解：将方程组的解代入方程组， 得， 得， 解得， 将代入得， 解得， ． 7．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）关于、的方程与（为整数）有相同的正整数解，则的值为____________． 【答案】2 【分析】先求出方程的所有正整数解，再将正整数解代入方程，结合为整数的条件求出的值即可． 【详解】解：方程的解是正整数 ，可得 是正整数， 的可能取值为 当时，，，不是正整数，舍去 当时，，，不是正整数，舍去 当时，，，是正整数，符合条件 ∴的正整数解为， 两个方程有相同的正整数解，将代入得 解得． 8．（24-25七年级下·海南海口·期中）解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）根据加减消元法解二元一次方程组即可； （2）由①，得③，把③代入②即可求出y的值，从而求出方程组的解． 【详解】（1）解：， 得， 得， 即， 把代入①，得， 解得， ； （2）解：， 由①得③， 把③代入②得， 解得， 把代入③，得， 解得， ． 9．（25-26七年级下·北京·期中）在我国大力推进的深空探测工程中，海量宇宙观测数据的处理至关重要．某航天飞行控制中心引进了两款由我国自主研发的超级计算系统：A型系统主要用于航天器轨道精密计算，B型系统主要用于星表高清图像渲染．经过前期的性能测试发现：如果安排4套A型计算系统和3套B型计算系统协同工作，1小时内能够有效处理的深空探测数据：如果安排3套A型计算系统和4套B型计算系统协同工作，1小时内能够有效处理的相关数据．问一套A型计算系统和一套B型计算系统，每小时分别能处理多少的深空探测数据？ 【答案】一套A型计算系统每小时处理的深空探测数据，一套B型计算系统每小时处理的深空探测数据 【分析】设一套A型计算系统每小时处理的深空探测数据，一套B型计算系统每小时处理的深空探测数据，根据题意建立方程组求解即可． 【详解】解：设一套A型计算系统每小时处理的深空探测数据，一套B型计算系统每小时处理的深空探测数据， 由题意得，， 解得， 答：一套A型计算系统每小时处理的深空探测数据，一套B型计算系统每小时处理的深空探测数据． 10．（25-26七年级下·北京·期中）定义：关于x，y的二元一次方程中的常数项与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为__________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1)或 (2)2026 【分析】（1）根据“交换系数方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“交换系数方程”为， ， 得，， 将代入①得，， 解得： 方程组的解为：； 方程的“交换系数方程”为， ， 得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， 方程组的解为：； 综上，方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为：或； （2）解：∵， ∴， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得，即，， ∴ ． ∵， ∴， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 解得：， ∴把代入可得，即，， ∴ ． 综上，代数式的值为2026． 1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学所用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，行程问题(二元一次方程组的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据路程、速度、时间的关系，结合上学和放学时上下坡路段的转换，列二元一次方程组求解，注意单位统一（将分钟转化为小时）． 【详解】解：42分钟小时，48分钟小时， ∵上学时，上坡路程，速度，下坡路程，速度，总时间小时， ∴根据“时间=路程÷速度”，得方程：， ∵放学原路返回时，原来的上坡变为下坡，下坡变为上坡，总时间小时， ∴此时上坡路程为，下坡路程为，得方程：， ∴列得方程组为， 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东临沂·期末）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】C 【分析】设出两种导线的根数，根据总长度列出方程，结合x，y为正整数的条件找出所有符合的解即可． 【详解】解：设的导线有根，的导线有根，均为正整数， 根据题意得， 整理得， 为正整数， 是正偶数，即为正偶数，且，得， 的可取的值为，共4个不同值，对应4种不同的截取方案． 3．（24-25七年级下·山西长治·期末）解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将关于的方程整理可得，根据与无关求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论为何值，的解都相同， ∴， ∴，． 4．（25-26七年级上·北京海淀·期末）有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形卡片的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出关于、的二元一次方程组，解之可得出、的值，再由长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 根据题意得：，解得：， 阴影部分的总面积为：． 故选：C． 5．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）若，满足方程组，则________． 【答案】7 【分析】本题考查加减消元法求代数式的值，通过将两个方程相加，消去参数a，直接求解的值即可． 【详解】解： 得：， 解得 故答案为7． 6．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如果方程组的解，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查换元法求方程组的解，根据题意，易得方程组的解为，进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解 ∴方程组得解为，解得 故答案为：． 7．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在学习完平移之后，小明、小聪、小方想利用平移设计出美丽的图案，他们用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案，已知图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，则图③两块阴影部分的周长和为______；面积和为______． 【答案】 【分析】设大正方形和小正方形的边长分别是和，根据题意列方程组得到，，设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为，根据题意列方程得到，根据正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：设大正方形边长，小正方形边长， 依题意得， 解得， 设重叠的小正方形边长， 依题意得， 解得， 两块阴影部分的周长和， 阴影面积 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某校400名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如下表格所示： 大客车（辆） 小客车（辆） 共计载客人数 1 3 105 3 2 175 (1)求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐的人数？ (2)若租用小客车辆，租用大客车辆，保证大小客车均要有且满员，同时将师生运送完毕，请设计出所有的租车方案． 【答案】(1)每辆小客车满员能坐20人，每辆大客车满员能坐45人 (2)方案1：小客车11辆，大客车4辆；方案2：小客车2辆，大客车8辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设每辆小客车满员乘坐人，每辆大客车满员乘坐人，根据表格中信息，列出方程组，解方程组即可； （2）根据每辆小客车满员乘坐20人，每辆大客车满员乘坐45人，师生共400人，列出二元一次方程，求出方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每辆小客车满员能坐人，每辆大客车满员能坐人， 由题意得：， 解得： 答：每辆小客车满员能坐20人，每辆大客车满员能坐45人． （2）解：由题意得：， 整理可得：， 又因为均为正整数，于是b应该是4的正整数倍． 可得，， 方案1：小客车11辆，大客车4辆； 方案2：小客车2辆，大客车8辆． 9．（25-26八年级上·江西吉安·期末）关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解___________（填“是”或“不是”）“友好关系”； (2)方程组的解与是否具有“友好关系”，请说明理由； (3)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)具有“友好关系”；理由见解析 (3)2 【分析】（1）根据方程组的解得 ，可判定不是“友好关系”； （2）先求方程组的解，再计算看是否满足，求解即可； （3）两式相减，再根据定义，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，不具有“友好关系”； （2）解：与具有“友好关系”，理由如下； ，将①代入②得，， 解得，， 将代入①得，， ， ， 与具有“友好关系”； （3）解：， 由得，， 与具有“友好关系”， ， 解得，， 的值为2． 10．（25-26八年级上·广东梅州·期末）问题的解决策略：逐步确定 【问题】中秋佳节灯笼俏，灯笼齐挂亮堂堂，三三数时能数尽，五五数时剩两盏，七七数时刚刚好．求最少有多少盏灯笼？ 【理解问题】灯笼的数量为正整数且需要符合以下3个条件： ①三三数时能数尽，则所求灯笼的数量能被3整除； ②五五数时剩两盏，则所求灯笼的数量除以______，余数是______； ③七七数时刚刚好，则所求灯笼的数量能被7整除． 【拟定计划】设灯笼的数量为x（x为正整数），需满足的3个条件可表述为： ①（k为正整数）； ②（m为非负整数）； ③______（用含n的代数式表示，n为正整数）． 由①和③可得x能被21整除，即（p为正整数）．根据以上分析，得到，因此，且m为非负整数，所以“”一定能被5整除． 【实施计划】（1）补全以上三个空格，并求最少有多少盏灯笼？ （2）学校举办“班级文化展示周”，八（1）班计划用彩色小旗装饰教室外墙．小旗有两种悬挂方式： ①若按“7面红旗、5面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余2面红旗和部分黄旗； ②若按“1面红旗、6面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余部分红旗和0面黄旗． 已知红旗和黄旗总数为100面．请问八（1）班至少准备了多少面红旗？ 【答案】（1）5，2，；42；（2） 【分析】本题主要考查了用代数式表示，求代数式的值． （1）根据题意填写各空，再根据一定能被5整除，可得的个位数是2和7，然后讨论得出答案； （2）设存在非负整数，根据悬挂方式①，可得红旗有面，黄旗数量大于面；根据悬挂方式②，可得黄旗有面，红旗数量大于面；则，再对从小到大讨论分析即可． 【详解】解：（1）五五数时剩下两盏，则所求的灯笼的数量除以5，余数是2； 设灯笼的数量为x，（x为正整数），需要满足的3个条件可表述为： ①（k为正整数）；②（m为非负整数）；③（n为正整数）， 由①和③可得x能被21整除，即（p为正整数），可得（m为非负整数）， ∴一定能被5整除， ∴的个位数是2和7， 当时，不符合题意； 当时，能被5整除，此时， 则最少有42盏灯笼； 故答案为：5，2，；42； （2）设存在非负整数，根据悬挂方式①，可得红旗有面，黄旗数量大于面； 根据悬挂方式②，可得黄旗有面，红旗数量大于面； ，即， ， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，且， ，符合题意； 故八（1）班至少准备了面红旗． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组 思维导图 【类型一】二元一次方程的定义与解 1．下列方程中，二元一次方程是（   ） A． B． C． D． 2．若方程是二元一次方程，则m，n的值分别为（   ） A．2， B．，0 C．3，0 D．，0 3．如果是方程的一组解，那么代数式的值是______． 【类型二】二元一次方程组的定义与解 1．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．写出一个解为的二元一次方程组为________． 【类型三】列二元一次方程组 1．我国古代数学典籍中记载了这样一道数学题：“今有绢一匹买紫草三十斤，染绢二丈五尺．今有绢七匹，欲减买紫草，还自染余绢．问减绢、买紫草各几何．”（匹：布料长度的计量单位，1匹丈，1丈尺）译文：现在1匹绢可以换30斤紫草，这些紫草用来染绢可染2丈5尺．现有7匹绢，想要卖掉一部分来买紫草，并用买来的紫草染剩余的绢．问卖掉多少匹绢，买多少斤紫草．若设卖掉x匹绢，剩余y匹绢，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长?（一尺等于十寸），设木头长尺，绳子长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3．《九章算术》是中国古代数学的智慧结晶，其中有一道关于方程的应用题：“四只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其一，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？”大意是“四只麻雀六只燕子，一共重两，麻雀比燕子重．麻雀和燕子互换一只，则它们重量相等．问每只麻雀、燕子的重量各为多少两？”设每只麻雀重两，每只燕子重两，则可列出方程组为______________． 【类型四】用含x的式子表示y 1．对于二元一次方程，下列用x表示y正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知方程，用含x的代数式表示y，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知二元一次方程，则用含y的式子表示x为______________，用含x的式子表示y为______________． 【类型五】二元一次方程组的应用一古代问题 1．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果一托为尺，那么索长为（    ）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？则劣田比良田多________亩． 3．我国古代的优秀数学著作《九章算术》中有一道“钱数问题”：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其大意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己钱的一半给甲，那么甲就有50钱，若甲把自己钱数的给乙，那么乙也有50钱，问他们原本各自都有多少钱？请利用所学知识解决这一问题． 【类型六】二元一次方程组的应用一数字问题 1．佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是（   ） A．15 B．16 C．25 D．34 2．一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，将个位数字与十位数字对调后，得到的两位数比原来的两位数小18．则原来的两位数为______． 3．一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 【类型七】二元一次方程组的应用一年龄问题 1．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 2．妈妈今年岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为岁，那么儿子今年______岁． 3．7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【类型八】用代入法解二元一次方程组 1．解方程组： 2．用代入法解下列方程组： (1) (2) 3．用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 【类型九】用加减法解二元一次方程组 1．解方程组： 2．解方程组： (1) (2) 3．解方程组： (1)． (2)． 【类型一】二元一次方程组求参 1．若方程组的解满足，则k的值为（    ） A． B． C． D．1 2．若二元一次方程组的解满足方程，则k为（   ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 3．已知方程组的解满足，则m的值为_____． 【类型二】二元一次方程组的解互为相反数 1．若关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则的值为（   ） A． B．3 C．5 D． 2．已知关于x，y的方程组的解满足与互为相反数，则的值为（   ） A． B．0 C．3 D．6 3．若方程组的解x和y互为相反数，则___________ 【类型三】二元一次方程组的看错问题 1．在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．甲、乙两人解关于的方程组时，甲看错的值解得乙看错b的值解得则该方程组正确的解为______． 【类型四】二元一次方程组的相同解问题 1．如果方程组的解与方程组的解相同，则的值是（   ） A．3 B．1 C．7 D． 2．若关于x，y的二元一次方程组的解与方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．关于、的二元一次方程组的解与的解相同，则_______，________ ． 【类型五】二元一次方程组的有、无解 1．关于x、y的方程和，下列说法正确的（    ） ①当时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解； ②当且时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解； ③当，时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解； ④当且时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 2．如果关于x，y的方程组无解，则k值为（   ） A． B．0 C． D．2 3．二元一次方程组有可能无解，例如，方程组无解，原因是：将①×2，得，由于，所以它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于，y的方程组，无解，则a，b分别满足的条件是__________． 【类型六】二元一次方程组的应用一和差倍分问题 1．甲乙两数的和是25，甲数比乙数的2倍大4．求甲乙两数各是多少？ （列方程组求解） 2．七年级（2）班选出部分同学参加夏令营，分成红、蓝两队，红队戴红帽子，蓝队戴蓝帽子．一个红队队员说：“我看见红队人数与蓝队人数相等．”一个蓝队队员说：“我看见红队人数是蓝队人数的2倍．”求红队人数和蓝队人数． 3．阅读与人文滋养内心．某校开展阅读经典活动，小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读页数的2倍少10页．求小明、小颖平均每天各阅读多少页． 【类型七】二元一次方程组的应用一分配问题 1．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 2．一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 3．某生态柑橘园现有柑橘，计划租用，两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘． (1)1辆型车和1辆型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用型货车辆，型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求、型货车都要有）． 【类型八】二元一次方程组的应用一行程问题 1．如图，某型号的动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号的动车挂节车厢以的速度通过某观测点用时，挂节车厢以的速度通过该观测点用时，求车头及每节车厢的长度． 2．李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 3．火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是，求隧道和火车的长度． 【类型九】二元一次方程组的应用一工程问题 1．甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 2．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家喜爱，某工厂计划生产两种吉祥物，已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，已知该工厂每天生产的两种吉祥物数量相同． (1)设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ①完成下列表格 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②若该工厂共有60名工人，则甲、乙车间的工人数分别是多少？ (2)由于市场需求旺盛，工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间，使得每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍，则要抽调的工人数至少为______．（直接写出答案） 3．现有一段长为180m的河道整治任务由两工程队先后接力完成．工程队每天整治12m，工程队每天整治8m，共用20天．求两工程队分别整治河道的米数． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：乙： 请你在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组，并分别指出未知数表示的意义． 甲：表示_________，表示_________； 乙：表示_________，表示_________． (2)从（1）中任选一个方程组，写出完整的解答过程． 【类型十】二元一次方程组的应用一收费问题 1．某商贸公司有、两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如表所示： 体积（立方米/件） 质量（吨/件） 型商品 型商品 (1)已知一批商品有、两种型号，体积一共是立方米，质量一共是吨，求、两种型号商品各有几件？ (2)物资公司现有可供使用的货车每辆额定载重吨，容积为立方米，其收费方式有以下两种： ①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费611元； ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费211元． 现要将（1）中商品一次或分批运输到目的地，如果两种收费方式可混合使用，商贸公司应如何选择运送、付费方式，使其所花运费最少，最少运费是多少元？ 2．如图为常州奥林匹克体育中心停车场收费标准（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算），本题中涉及的车辆均为非新能源车辆和非公（任）务车辆，且不享受图中的“收费优惠”．例如，一辆小型车和一辆大型车均连续停车3小时23分钟，则停车费分别为4元和8元． 24小时连续停放最高12元 3元(首1小时)0.5元/15分钟(首1小时外)小型车(中大型车按小型车收费标准加倍计收) 免费停放 所有车辆 120分钟 其中∶新能源车辆 每天首次2小时 执行公(任)务的车辆 执法车、军车、警车、消防车、救护车、工程抢险车、市政服务车等 收费优惠 新能源车辆减半收取(不含包月停放) 持有残疾人证且本人合法驾驶的非营运车辆减半收取 (1)一辆小型车连续停车5小时，则停车费为 元；一辆大型车连续停车5小时，则停车费为 元； (2)现一团队有小型车与大型车共6辆，同时连续停车5小时后共收费70元，求小型车与大型车各有多少辆？ (3)若一天中一辆小型车连续停车时间为小时，且停车费为12元，则的取值范围是 ． 3．如图为常州奥林匹克体育中心停车场收费标准（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算），本题中涉及的车辆均为非新能源车辆和非公（任）务车辆，且不享受图中的“收费优惠”．例如，一辆小型车和一辆大型车均连续停车3小时23分钟，则停车费分别为4元和8元． (1)一辆小型车连续停车5小时，则停车费为 元；一辆大型车连续停车5小时，则停车费为 元； (2)现一团队有小型车与大型车共6辆，同时连续停车5小时后共收费70元，求小型车与大型车各有多少辆？ (3)若一天中一辆小型车连续停车时间为小时，且停车费为12元，则的取值范围是 ． 【类型一】二元一次方程组的整数解 1．若关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数a的值的和为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（    ） A． B．1 C．或3 D．或 3．已知关于的方程组 （1）若方程组的解满足，则______． （2）若方程组的解中恰为整数，也为整数，______． 【类型二】二元一次方程组的新定义运算 1．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（     ） A．8 B．4 C．3 D．10 2．对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：，例如，若，且，则a，b的值分别为（    ） A．，1 B．2， C．，2 D．1， 3．定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时，_______． （2）若，则_______，_______． 【类型三】二元一次方程组的整体代入 1．若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．若关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 3．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 【类型四】二元一次方程组的应用一销售问题 1．某非遗文创店销售剪纸和皮影工艺品，已知3套剪纸工艺品和2套皮影工艺品的总售价为3900元；2套剪纸工艺品和4套皮影工艺品的总售价为4600元．求每套剪纸工艺品和每套皮影工艺品的售价各多少元？ 2．临高县波莲镇的凤梨释迦以其高甜度和丰富营养被誉为“水果族”，某合作社销售该镇出产的甲、乙两种凤梨释迦，已知2箱甲种凤梨释迦和3箱乙种凤梨释迦的售价之和为440元，4箱甲种凤梨释迦和5箱乙种凤梨释迦的售价之和为800元，求甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价． 3．某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求、两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 【类型五】二元一次方程组的应用一方案问题 1．三月，我校班超联赛火热开赛！为丰富同学们的课余生活、满足运动需求，学校计划采购一批足球和篮球．负责采购的老师在团购群中看到了如下对话信息： (1)根据对话信息，求足球和篮球的单价各是多少元？ (2)若学校一次性采购总金额为700元．两种球都至少购买1个且采购资金正好用完，请给出所有购买方案． 2．大荔西瓜生产区域位于关中平原东部，北依镰山，南傍渭水，黄河临东，洛水贯中，是我国唯一具备西瓜生产七项指标的地区，现欲将一批西瓜运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满西瓜一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满西瓜一次可运走11吨，现有西瓜30吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满西瓜． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满西瓜一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 3．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 云南省积极推进“双减”政策落地见效，某校为了丰富课后服务内容，计划采购一批甲、乙两种艺术器材，为学生提供优质的艺术教育资源．该校准备在某文具店购买这两种器材 素材一 购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元 素材二 购买3件甲种器材和2件乙种器材共需540元 素材三 该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案． 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折． 方案二：甲、乙两种器材每件均打八折 请完成下列任务： (1)任务一：求甲、乙两种器材的单价分别是多少元 (2)任务二：经核算，该校准备购买甲、乙两种器材共50件（甲、乙两种器材都要购买），且甲种器材不超过35件．设按方案一、方案二购买的总费用分别为元、元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少 【类型六】二元一次方程组的应用一几何与角度问题 1．如图所示，已知长方形的长，宽，内有边长相等的小正方形和小正方形，其重叠部分为长方形．若长方形的周长为22，则图中阴影部分的周长和为多少？ 2．如图，已知直线和直线相交于点，平分，是内部的一条射线． (1)若，，则 °． (2)若比大比大，请结合二元一次方程组求的度数． 3．如图，的两边分别与的两边平行，即，． (1)在图1中，射线与同向，与也同向；在图2中，射线与异向，与也异向；在图3中，射线与同向，与异向． 请问：在上述三种情况下，与的关系怎样？请结合三个图分别进行说明． (2)根据上述情况，归纳概括出一个结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是______． (3)在（1）（2）的探索归纳概括中，思考一下问题：若和的两边分别平行，其中比的2倍少，求和的度数． 【类型七】二元一次方程组的应用一整体思想问题 1．“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 将②式变形，得③． 将①式代入③式，得，解得． 将代入①式，得，解得， 该二元一次方程组的解为 (1)类比“整体代换”法解方程组 (2)已知，满足方程组求的值． 2．阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数满足求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由①-②可得，由①+②可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组则________，________． (2)已知关于的二元一次方程组若方程组的解满足，求的值． 3．【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组 解：将方程①移项，得③． 把方程③代入②，得． 解得． 把代入③，得． 解得． ∴原方程组的解为． 上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想． 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： (1) (2) 【类型八】二元一次方程组的新定义应用 1．阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 2．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：已知关于x、y的二元一次方程（其中），若将该方程中y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”是______，由该方程和其“船山方程”组成的方程组的解是______； (2)若关于x，y的二元一次方程（其中）的系数满足， ①求该方程与其“船山方程”组成的方程组的解； ②若①中方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 3．定义：关于x，y的二元一次方程中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的新方程叫做原方程的“友好方程”，例如：方程的“友好方程”为． (1)求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，求方程与它的“友好方程”组成的方程组的解； (3)已知关于x，y的二元一次方程是的“友好方程”，求的值． 1．（25-26七年级下·吉林长春·月考）下列选项中，是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）草莓和树莓中含有丰富的碳水化合物，每草莓和每树莓中碳水化合物含量分别为和，现只用这两种水果做一杯的莓果汁，其中碳水化合物含量为，设需要草莓，需要树莓，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东聊城·月考）在长为、宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则每个小长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 5．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）若，则_________． 6．（25-26九年级下·浙江杭州·月考）已知方程组的解满足，则的值为______． 7．（25-26七年级下·河南周口·月考）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为______． 8．（24-25九年级下·广东广州·月考）解方程组 9．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）在等式中，当时，；当时，． (1)求a，b的值； (2)当时，求y的值． 10．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的方程组与关于的方程组的解相同，求的值． 1．（25-26七年级下·北京延庆·期中）若是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．4 2．（25-26七年级下·北京延庆·期中）已知关于的二元一次方程组则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 3．（25-26七年级下·北京·期中）我国清代数学家梅瑴成在《增删算法统宗》中记载了这样一个问题：八百八十八文钱，甜果苦果买八百．苦果四个三文钱．甜果六个九文钱．试问甜苦果各几个？其大意是：用八百八十八文钱共买了八百个苦果和甜果．已知三文钱可以买四个苦果，九文钱可以买六个甜果．那么苦果、甜果各买了多少个？设苦果有个，甜果有个，则根据题意可列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·广东广州·期中）关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；乙：无论a取何值，的值始终不变，则（   ） A．甲的判断正确，乙的判断不正确 B．甲、乙的判断都不正确 C．甲、乙的判断都正确 D．甲的判断不正确，乙的判断正确 5．（25-26七年级下·北京延庆·期中）已知，如果用关于的代数式表示，那么___________． 6．（25-26七年级下·北京延庆·期中）如果关于，的方程组的解是，那么___________． 7．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）关于、的方程与（为整数）有相同的正整数解，则的值为____________． 8．（24-25七年级下·海南海口·期中）解下列方程组 (1) (2) 9．（25-26七年级下·北京·期中）在我国大力推进的深空探测工程中，海量宇宙观测数据的处理至关重要．某航天飞行控制中心引进了两款由我国自主研发的超级计算系统：A型系统主要用于航天器轨道精密计算，B型系统主要用于星表高清图像渲染．经过前期的性能测试发现：如果安排4套A型计算系统和3套B型计算系统协同工作，1小时内能够有效处理的深空探测数据：如果安排3套A型计算系统和4套B型计算系统协同工作，1小时内能够有效处理的相关数据．问一套A型计算系统和一套B型计算系统，每小时分别能处理多少的深空探测数据？ 10．（25-26七年级下·北京·期中）定义：关于x，y的二元一次方程中的常数项与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为__________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学所用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东临沂·期末）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 3．（24-25七年级下·山西长治·期末）解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·北京海淀·期末）有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 5．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）若，满足方程组，则________． 6．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如果方程组的解，则方程组的解为______． 7．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在学习完平移之后，小明、小聪、小方想利用平移设计出美丽的图案，他们用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案，已知图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，则图③两块阴影部分的周长和为______；面积和为______． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某校400名师生参加迎元旦环湖跑，学校计划租用大客车、小客车若干辆将师生送往活动地点．已知租用的大客车、小客车满员载客数量如下表格所示： 大客车（辆） 小客车（辆） 共计载客人数 1 3 105 3 2 175 (1)求每辆小客车与每辆大客车满员分别能坐的人数？ (2)若租用小客车辆，租用大客车辆，保证大小客车均要有且满员，同时将师生运送完毕，请设计出所有的租车方案． 9．（25-26八年级上·江西吉安·期末）关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解___________（填“是”或“不是”）“友好关系”； (2)方程组的解与是否具有“友好关系”，请说明理由； (3)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 10．（25-26八年级上·广东梅州·期末）问题的解决策略：逐步确定 【问题】中秋佳节灯笼俏，灯笼齐挂亮堂堂，三三数时能数尽，五五数时剩两盏，七七数时刚刚好．求最少有多少盏灯笼？ 【理解问题】灯笼的数量为正整数且需要符合以下3个条件： ①三三数时能数尽，则所求灯笼的数量能被3整除； ②五五数时剩两盏，则所求灯笼的数量除以______，余数是______； ③七七数时刚刚好，则所求灯笼的数量能被7整除． 【拟定计划】设灯笼的数量为x（x为正整数），需满足的3个条件可表述为： ①（k为正整数）； ②（m为非负整数）； ③______（用含n的代数式表示，n为正整数）． 由①和③可得x能被21整除，即（p为正整数）．根据以上分析，得到，因此，且m为非负整数，所以“”一定能被5整除． 【实施计划】（1）补全以上三个空格，并求最少有多少盏灯笼？ （2）学校举办“班级文化展示周”，八（1）班计划用彩色小旗装饰教室外墙．小旗有两种悬挂方式： ①若按“7面红旗、5面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余2面红旗和部分黄旗； ②若按“1面红旗、6面黄旗”为一个循环组依次悬挂，最后剩余部分红旗和0面黄旗． 已知红旗和黄旗总数为100面．请问八（1）班至少准备了多少面红旗？ 学科网（北京）股份有限公司 $