第二章 平面向量单元测试基础卷-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

平面向量单元测试基础卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列各量中，向量的个数为（ ） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩时间. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】向量是既有大小又有方向的量，故符合题意的有③风力，⑤位移，⑥人造卫星的速度，⑧向心力，共4个. 2.如图，在正六边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】在正六边形中，因为，所以. 3.已知，是实数，，是向量，则下列命题中正确的有（ ） ；； ③若，则；④若，则. A. ①④ B. ①③. C. ①② D. ③④ 【答案】C 【解析】对于①，，故①中命题正确； 对于②，，故②中命题正确； 对于③，当时，由，不能得到，故③中命题错误； 对于④，当时，由，不能得到，故④中命题错误.故选C 4.下列说法中正确的是（ ） A. 若，是同一平面内两个不共线向量，则可以表示该平面内的所有向量 B. 一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 C. 若，则， D. 若一组向量中含有零向量，则该组向量也可以作为表示该平面向量的一组基 【答案】A 【解析】易知A中说法正确,对于B，平面内不共线的向量都可以作为表示该平面内所有向量的一组基，错误..对于C，当与共线时，结论不一定成立，错误.对于D，由于零向量与任何向量都是共线的，因此该组向量不能作为表示该平面向量的一组基，错误. 故选A. 5.若点是的重心，则下列各向量中与共线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，不与共线，A错误.，不与共线，B错误.因为点是的重心，所以，，，所以，与共线，C正确.，不与共线，D错误.故选C. 6．在平面直角坐标系中，点，将向量绕点按逆时针方向旋转后得到向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，得， 将向量绕点按逆时针方向旋转后得到向量， ， ， ， 点的坐标为.故选D. 7.在中，点在上，且，过的直线分别交直线，于点，，记，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】依题意， 又，，即，， 所以，因为D，，三点共线， 所以，解得.故选C. 8．若平面向量，，满足，，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由得， ， ， ， . ， 当时，取得最大值， . 2． 多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9．．下列各组向量中，不能构成一组基的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 10．多选题已知四边形中，， ，，，，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】如图，，故选项A不正确； ，故选项B正确； ，故选项C不正确; ，故选项D正确.故选. 11．下列命题中正确的是（ ） A. 若与平行，则 B. 若，且，则或 C. 若，则或 D. 【答案】BD 【解析】因为与平行，所以当与的夹角为 时，，当与的夹角为 时，，故A命题错误；因为，所以或，故B命题正确；若，则或或，故C命题错误；，故D命题正确.故选. 3． 填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12.已知向量，不共线，实数，满足向量等式，则______，________. 【答案】3； 13.已知向量，，为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标______ 【答案】 【解析】设点的坐标是，即， 因为，， 所以， ， 则， 当时，有最小值，此时点的坐标是. 14．在中，，，，点在边上，，则________________. 【答案】 【解析】在中，，，， 由余弦定理，得，所以（负值舍去）. 设 ，，则 ，，， 在中，由 ， 得 ，① 在中，由， 得 ，② 联立①②，解得，即. 4. 解答题：（本题共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知，，三点的坐标分别为，，，且，. （1） 求点，的坐标； （2） 判断向量与是否共线. 【答案】（1） 设出点和点的坐标，由得点的坐标，同理求得点的坐标； （2） 先求出向量和的坐标，再根据两个向量共线的条件可得. 【解析】 （1） 设，.依题意得，，.由得，，解得 点的坐标为.由得，，解得 点的坐标为. （2） 由（1）可知，，又，， 向量与共线. 16.已知单位向量与的夹角为. （1） 求与； （2） 求与的夹角； （3） 若与垂直，求 的值. 【解析】 （1） 由题意得，.所以. . （2） 设与的夹角为 ，则.所以，所以. （3） 因为与垂直，所以，即，所以，解得. 17．在平面直角坐标系中，是坐标原点，向量，，. （1） 若，且，求 的值； （2） 若，的夹角为钝角，求的取值范围. 【解析】 （1） 因为，，所以，由得，，即，即，整理得，解得或. （2） 依题意得，，因为，的夹角为钝角，所以解得，且，所以的取值范围是. 18．如图所示，在中，，，与交于点. （1） 若，求的值； （2） 设的面积为，的面积为，求的值. 【解析】 （1） ，由，，三点共线，可得.同理由，，三点共线，可得.由平面向量基本定理可得，，，解得，.. （2） 延长，与相交于点.设.由，，三点共线，得，，又，，，解得，. 19.在中，，，分别为内角，，的对边，且. （1） 求； （2） 若，，求的面积； （3） 若，，求边上的中线长. 【解析】 （1） 因为，所以由正弦定理得，由余弦定理可得，因为，所以. （2） 因为，且，所以，解得或（舍去），所以. （3） 因为，所以由正弦定理可得，即，因为，所以，则，所以或，即或，当时，为等边三角形，所以边上的中线长为；当时，，所以为直角三角形，由正弦定理，得，，所以边上的中线长为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量单元测试基础卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列各量中，向量的个数为（ ） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩时间. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.如图，在正六边形中，（ ） A. B. C. D. 3.已知，是实数，，是向量，则下列命题中正确的有（ ） ；； ③若，则；④若，则. A. ①④ B. ①③. C. ①② D. ③④ 4.下列说法中正确的是（ ） A. 若，是同一平面内两个不共线向量，则可以表示该平面内的所有向量 B. 一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 C. 若，则， D. 若一组向量中含有零向量，则该组向量也可以作为表示该平面向量的一组基 5.若点是的重心，则下列各向量中与共线的是（ ） A. B. C. D. 6．在平面直角坐标系中，点，将向量绕点按逆时针方向旋转后得到向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7.在中，点在上，且，过的直线分别交直线，于点，，记，，若，则（ ） A. B. C. D. 8．若平面向量，，满足，，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2． 多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9．．下列各组向量中，不能构成一组基的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10．多选题已知四边形中，， ，，，，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 11．下列命题中正确的是（ ） A. 若与平行，则 B. 若，且，则或 C. 若，则或 D. 3． 填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12.已知向量，不共线，实数，满足向量等式，则______，________. 13.已知向量，，为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标______ 14．在中，，，，点在边上，，则________________. 4. 解答题：（本题共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知，，三点的坐标分别为，，，且，. （1） 求点，的坐标； （2） 判断向量与是否共线. 16.已知单位向量与的夹角为. （1） 求与； （2） 求与的夹角； （3） 若与垂直，求 的值. 17．在平面直角坐标系中，是坐标原点，向量，，. （1） 若，且，求 的值； （2） 若，的夹角为钝角，求的取值范围. 18．如图所示，在中，，，与交于点. （1） 若，求的值； （2） 设的面积为，的面积为，求的值. 19.在中，，，分别为内角，，的对边，且. （1） 求； （2） 若，，求的面积； （3） 若，，求边上的中线长. 学科网（北京）股份有限公司 $