第二章 平面向量及其应用 单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第二章　平面向量及其应用 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在▱ABCD中,=(2,8),=(-3,4),则=(　　) A.(-1,-12) B.(-1,12) C.(1,-12) D.(1,12) 2.如果a,b是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是(　　) A.a=b B.a·b=1 C.a=-b D.|a|=|b| 3.已知向量a=(5,-2),b=(2,6),则a·b=(　　) A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 4.如图,正方形ABCD中,点E,F分别是DC,BC的中点,那么=(　　) A. B.- C.- D. 5.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120°,则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D.2 6.已知向量m=(1,0),n=(),则下列错误的是(　　) A.|m|=|n| B.(m-n)∥n C.(m-n)⊥n D.m与n的夹角为 7.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的(　　) A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10° 8.已知||=||=||=1,D为BC的中点,且||=,则的最大值为(　　) A. B. C. D.2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则A=(　　) A.30° B.60° C.150° D.120° 10.在梯形ABCD中,DC∥AB,且AB=2DC,E为BC的中点,则下列结论不正确的是(　　) A. B. C. D. 11.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法中正确的是(　　) A.若,则点M是边BC的中点 B.若=2,则点M在边BC的延长线上 C.若=-,则点M是△ABC的重心 D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.(2025天津,14)在△ABC中,D为AB中点,.记=a,=b,则用a,b表示为　　　　;若||=5,且AE⊥CB,则=　　　　　.  13.已知△ABC的面积为3,AB=2,B=,则=　　　　　.  14.在△ABC中,A=30°,AB=2,4≤BC2≤12,则△ABC面积的范围是　　　　　　　　. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知=(-1,3),=(3,m),=(1,n),且. (1)求实数n的值; (2)若,求实数m的值. 16.(15分)已知O,A,B是平面上不共线的三点,直线AB上有一点C,满足2=0, (1)用表示; (2)若点D是OB的中点,证明四边形OCAD是梯形. 17.(15分)(2025北京,16)在△ABC中,cos A=-,asin C=4. (1)求c; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求BC边上的高. 条件①:a=6; 条件②:bsin C=; 条件③:S△ABC=10. 注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答得分. 18.(17分) 如图,在四边形ABCD中,已知∠ADC=75°,AD=5,AB=7,∠BDA=60°,∠BCD=135°.求: (1)BD的长; (2)CD的长. 19.(17分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知(a+c)(a-c)=b(b+c). (1)求角A的大小. (2)在下列三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并解答.若b=3,c=4,点D是BC边上的一点,且　　　　　,求线段AD的长.  ①AD是△ABC的中线; ②AD是△ABC的角平分线; ③BD=2CD. 注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分. 参考答案 1.B　因为四边形ABCD是平行四边形,所以=(-1,12). 2.D　两个单位向量的方向不一定相同或相反,所以选项A,C错误;由于两个单位向量的夹角不确定,则a·b=1不成立,所以选项B错误;|a|=|b|=1,则选项D正确. 3.A　依题意a·b=5×2+(-2)×6=-2.故选A. 4.D　). 5.C　将c2=a2+b2-2abcos C与(a+b)2-c2=4联立,解得ab=4,则S△ABC=absin C=. 6.B　∵m=(1,0),n=(),∴|m|=1,|n|=,∴|m|=|n|,故A正确;m-n=(,-),∵-(-)×≠0,∴m-n与n不平行,故B不正确;(m-n)·n==0,∴(m-n)⊥n,故C正确;m·n=,cos<m,n>=,∴<m,n>=,故D正确,故选B. 7.B　由题可知∠ABC=50°,A,B,C位置如图,排除A,C,D,故选B. 8.C　因为||=||=||=1, 所以A,B,C在以O为圆心半径为1的圆上. 以O为原点,OD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系, 因为||=,||=1,D为BC的中点,所以|OD|=,则B(-,-),C(,-),D(0,-),设A(x,y),则=(-x,--y),=(,0),所以=-x,因为-1≤x≤1,当A与E重合,即x=-1时,的最大值为.故选C. 9.BD　因为S=bcsin A=,所以×2×sin A=,所以sin A=,因为0°<A<180°,所以A=60°或120°.故选BD. 10.CD　 由题知,,故A正确;)=)=,故B正确;,故C错误;,故D错误.故选CD. 11.ACD　A项,,即,则点M是边BC的中点,所以A正确;B项,=2,即,则点M在边CB的延长线上,所以B错误. C项,如图,设BC的中点为D, 则=-=2,由重心性质可知C成立. D项,=x+y,且x+y=⇒2=2x+2y,2x+2y=1,设=2,所以=2x+2y,2x+2y=1,可知B,C,E三点共线,所以△MBC的面积是△ABC面积的,所以D正确. 12.a+b　-15　∵=-b+a, ∴=-b+a,则=b+a-b=a+b. ∵AE⊥CB,则=0,得(a+b)(a-b)=0, 整理得a2+3a·b-4b2=0. ① 又||=5,∴(a+b)2=a2+a·b+b2=25,整理得a2+8a·b+16b2=900. ② 由①②得,a·b=-4b2+180,a2=16b2-540, ∴=(a+b)(a-b)==-=-15. 13.　因为AB=2=c,S△ABC=acsin B=×a×2×=3,解得a=6,所以b2=a2+c2-2accos B=36+4-2×6×2×=28,b=2,所以. 14.(0,]∪[2,3]　因为在△ABC中,A=30°,AB=2,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 30°=12+AC2-6AC,又因为4≤BC2≤12,4≤12+AC2-6AC≤12, 解得0<AC≤2,或4≤AC≤6, 而S△ABC=AB·AC·sin 30°=AC, 所以0<S△ABC≤或2≤S△ABC≤3, 故△ABC面积的范围是(0,]∪[2,3]. 15.解(1)因为=(-1,3),=(3,m),=(1,n), 所以=(3,3+m+n). 因为,所以3(3+m+n)-3m=0,解得n=-3. (2)因为=(2,3+m),=(4,m-3),又,所以=0,即8+(3+m)(m-3)=0,解得m=±1. 16.(1)解因为2=0,所以2()+()=0,2-2=0,所以=2. (2)证明如图,=-(2).故.即DA∥OC,且DA≠OC.故四边形OCAD为梯形. 17.解(1)由cos A=-,得sin A=. ∵asin C=4, ∴S△ABC=absin C=×4b=bcsin A, ∴4c,解得c=6. (2)若选①,a=6,则a=c.又cos A<0,∴A为钝角,故△ABC不存在. 若选②,bsin C=,如图,作AD垂直BC于点D,则BC边上的高AD=,此时sin B=,∴B∈(). 又cos A=-,∴A∈(),∴A+B∈(,π), ∴△ABC存在,此时BC边上的高AD=. 若选③,S△ABC=10.由(1)知S△ABC=×4b=10,解得b=5. 由余弦定理得,a==9,∴△ABC存在. 又S△ABC=·a·AD, ∴·a·AD=10,解得AD=. 18.解(1)在△ABD中,AD=5,AB=7,∠BDA=60°, 由余弦定理可得,AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠BDA,即49=25+BD2-2×5·BD·cos 60°, 则BD2-5BD-24=0,解得BD=8(BD=-3舍去). (2)在△BCD中,∠BDC=∠ADC-∠BDA=75°-60°=15°,又∠BCD=135°,则∠CBD=180°-135°-15°=30°. 由(1)得BD=8,由正弦定理得, 即,解得CD=4. 19.解(1)由(a+c)(a-c)=b(b+c),得b2+c2-a2=-bc, 由余弦定理知,cos A==-, 因为0<A<π,所以A=. (2)选①,因为AD是△ABC的中线,所以),所以||2=|2+|2+c2+b2+bc·cos A=4++6×,所以AD=. 选②,因为S△ABC=S△ABD+S△ADC, 所以bcsin A= b·ADsinc·ADsin, 即×3×4·sin×3AD·sin×4AD·sin,解得AD=. 选③,因为BD=2CD, 所以)=, 所以||2=|2+|2+c2+b2+bc·cos A=+4+,故AD=. 10 学科网（北京）股份有限公司 $