精品解析：福建福州延安中学2025-2026学年第二学期期中考七年级数学试卷

福州延安中学2025-2026学年第二学期期中考 初一数学试卷 （满分150分，完卷时间120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 2. 在，，π，这四个数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐个化简所给数字，判断得到无理数的个数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数． 综上所述， 无理数共有个． 3. 在平面直角坐标系中，点的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴点P满足第二象限点“横坐标为负，纵坐标为正”的特征， ∴点P在第二象限． 4. 实数在哪两个相邻整数之间（  ） A. 5和6 B. 4和5 C. 3和4 D. 2和3 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．首先得出的取值范围，进而得出在两个相邻整数之间． 【详解】解：∵， ∴， ∴在3和4两个相邻整数之间． 故选：C． 5. 设，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A，，，故选项A不符合题意； 选项B，当，时，显然，故选项B不符合题意； 选项C，，，故选项C不符合题意； 选项D，，，故选项D符合题意． 6. 下列命题中，假命题是（ ） A. 邻补角互补 B. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 立方根等于它本身的数只有0和1 D. 两直线平行，同旁内角互补 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、邻补角互补，该选项是真命题； B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该选项是真命题； C、立方根等于它本身的数有，和，共三个，该选项是假命题； D、两直线平行，同旁内角互补，该选项是真命题．故选：C． 7. 如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．延长交直线于点，根据平行线的性质求出，从而求出，再由求出，从而求出的度数． 【详解】解：延长交直线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 8. 在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根，立方根，无理数等内容，按照程序框图求解即可． 【详解】解：输入x的值是64时，取算术平方根可得，， 是有理数，则取立方根，可得， 是有理数，则取算术平方根，可得， 为无理数，则输出， 即． 9. 我国古代数学著作《孙子算经》中有著名的“百马问题”，叙述如下：“今有百马驮百瓦，大马一驮三，中马一驮二，小马三驮一．问大、中、小马各几何？”意思是：大马每匹驮3块瓦，中马每匹驮2块瓦，小马每3匹驮1块瓦．要用一百匹马驮一百块瓦，问大马、中马、小马各多少匹？若现已知中马有27匹，设大马有x匹，小马有y匹．则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意，得大马和小马的总匹数为（匹），大马和小马一共驮的瓦片数为（块）， 则． 10. 在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，则称这个点为“幸运点”．给出下列结论中正确的是（ ） ①“幸运点”不可能在第二象限； ②若点是“幸运点”，且在坐标轴上，则点的坐标为； ③以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”； ④无论取何值时，以关于，的方程的解为坐标的点一定存在“幸运点”． A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【详解】解：结论①：一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，即幸运点满足．若“幸运点”在第二象限，则应满足，即，此不等式组无解，因此“幸运点”不可能在第二象限，故结论①符合题意； 结论②，若“幸运点”在坐标轴上，则当在轴上时，，即，解得．当在轴上时，，此时，因此或，故结论②不符合题意； 结论③，对于方程组由①+②，得 ，整理得，因此以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”，故结论③符合题意； 结论④，，当时，，，此时点为“幸运点”，故结论④符合题意． 综上可知，正确的结论是． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 比较大小： _____2（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据即可推出． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 已知方程，是关于，的二元一次方程，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：是关于、的二元一次方程， ∴，， 解得，， ． 13. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：，，，且， ，，， 解得，，， 将，，代入得 ． 14. 如图，直线，被直线所截，若，，，则________． 【答案】65 【解析】 【分析】根据平行线的性质以及三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵直线、被直线所截，且， ∴， ∵，且， 则． 15. 甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，将代入方程中可求得，将代入方程中可求得，代入所求式子即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：将代入方程中可得，， 解得：， 将代入方程中可得， 解得：， ∴， 故答案为：． 16. 在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点P以每秒速度逆时针旋转，同时三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间________秒时，与三角尺的一边平行． 【答案】6或15或33 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的知识，解题关键把所有的情况都分析出来，注意结果是否符合题意，这也是学生很容易忽略的地方. ①当时，②当时，③当时，分三种情况分别讨论． 【详解】①Ⅰ当时，， ， ， ， Ⅱ当时，， ， ， (舍去) ②当时， ， ③当时， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当运动时间6或15或33秒时，与三角尺的一边平行. 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算与解方程组 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ②-①得， 解得， 将代入①中得， 解得， 故方程组的解． 18. 解不等式组，并在数轴上表示出解集：． 【答案】 ，解集在数轴上表示为： ． 【解析】 【详解】解：， 解不等式得：， 由不等式得：， 不等式组的解集为：； 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出向右平移5个单位，再向下平移4个单位的； （2）写出点，，的坐标：__________，__________，__________； （3）在外部能否找到一点，使且，如果能，请直接写出点的坐标，如果不能请说明理由． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）；； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移作出即可； （2）由图即可写出，，的坐标； （3）由，可得点的横坐标与点的相同，由，可得，则可得点的纵坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：由（1）图可得，，；． 【小问3详解】 解：，，，， 点的横坐标为4，， ， 点的纵坐标为3或， ∵点在的边上，不符合题意，舍去， 点的坐标为． 20. 已知的算术平方根是，的立方根是，与互为相反数． （1）求出，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根，立方根的定义及相反数的性质，熟练掌握相关的知识点是解决本题的关键． 【小问1详解】 解：的算术平方根是， ∴， ∴； 的立方根是， ， ； ∵与互为相反数， ； 【小问2详解】 ，，， ， 的平方根为． 21. （图1）是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形． （1）在图（1）中，拼成的大正方形的面积为___________，边的长为___________； （2）现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点与数轴上表示的点重合，若以点为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点，求点表示的数． 【答案】（1）10， （2）或 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，解题的关键是： （1）根据10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形可得正方形的面积，由正方形面积公式可得的长度； （2）根据数轴上的点表示的数的特点可得E表示的数． 【小问1详解】 解：∵由10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为； ∴， ∴， 故答案为：10，； 【小问2详解】 ∵， ∴以点B为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点E，点E表示的数为或． 22. 如图，在中，D，E分别是边上的点，点F，G在边上，连接，已知． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据，可得，从而得到，进而得到，即可求证； （2）根据平行线的性质可得，，从而得到，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 23. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． （1）求、两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 （2）共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 【解析】 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：，解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：， ∵a、b为正整数， ∴此方程的解为：，，． 答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 24. 综合与实践 【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数． 解：过点作， ________，， 又． ________． 【问题解决】 （1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2所示，已知，、交于点，，求的度数． 【拓展探究】 （3）如图3所示，已知，、分别平分和，且、所在直线交于点，过作，若，求的度数． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据证明过程填写即可； （2）过点作，可得，则可得，，即可求解； （3）过点作，可得，由平分，平分，可得，，设，，可得，由，可得，，由即可求解． 【小问1详解】 解：过点作， ，， 又， ． 【小问2详解】 解：过点作，如图， ， ∴， ，， ． 【小问3详解】 解：过点作，如图， ， ， 平分，平分， ，， 设，， ，， ，， ， ， ， ，， ∴． 25. 如图，平面直角坐标系中，长方形顶点、分别在轴负半轴和轴正半轴上，点在第二象限，且，满足． （1）直接写出点的坐标为______________，的长度为_____________； （2）如图，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位的速度移动，同时点从点出发沿轴正方向以每秒个单位的速度移动，点到达点时沿轴负方向返回，直至移动到点时停止运动．设移动时间为秒，若，求此时的值； （3）如图，点是的中点，将线段平移至线段，点的对应点恰好落在轴负半轴上，连接交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或或 （3）或 【解析】 【分析】（）利用二次根式有意义的条件求出的值即可求解； （）由题意可得，再分，和三种情况解答即可求解； （）由点和点的坐标可得的坐标为，设，由题意可知，，再分点在第一象限和第四象限解答即可求解； 本题考查了二次根式有意义的条件，坐标与图形，图形的平移，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 （）由（）可知，，由题意可得， ∴， ①当时，如图， ， ∴， ， ， 解得； ②当时，如图，， ∴， ， ∴， 解得； ③当时，如图，， ∴， ， 解得； 综上，的值为或或； 【小问3详解】 解：∵点坐标，点坐标， 中点的坐标为 设，由题意可知， ∵点向右平移个单位得到点， ∴点坐标为，即， ①如图，点在第一象限时，， 解得， 过点作轴于，则，， ∴， ∵ ，， ， 又， ， 解得， ， ， 又， 解得， ， ； ②如图，点在第四象限时，点纵坐标为负数， 即， 解得， 过点作轴于，同理可得， ， ； 综上，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州延安中学2025-2026学年第二学期期中考 初一数学试卷 （满分150分，完卷时间120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 在，，π，这四个数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 在平面直角坐标系中，点的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 实数在哪两个相邻整数之间（  ） A. 5和6 B. 4和5 C. 3和4 D. 2和3 5. 设，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，假命题是（ ） A. 邻补角互补 B. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 立方根等于它本身的数只有0和1 D. 两直线平行，同旁内角互补 7. 如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（ ） A. B. C. 2 D. 8 9. 我国古代数学著作《孙子算经》中有著名的“百马问题”，叙述如下：“今有百马驮百瓦，大马一驮三，中马一驮二，小马三驮一．问大、中、小马各几何？”意思是：大马每匹驮3块瓦，中马每匹驮2块瓦，小马每3匹驮1块瓦．要用一百匹马驮一百块瓦，问大马、中马、小马各多少匹？若现已知中马有27匹，设大马有x匹，小马有y匹．则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，则称这个点为“幸运点”．给出下列结论中正确的是（ ） ①“幸运点”不可能在第二象限； ②若点是“幸运点”，且在坐标轴上，则点的坐标为； ③以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”； ④无论取何值时，以关于，的方程的解为坐标的点一定存在“幸运点”． A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 比较大小： _____2（填“”、“”或“”）． 12. 已知方程，是关于，的二元一次方程，则_______． 13. 若，则_______． 14. 如图，直线，被直线所截，若，，，则________． 15. 甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值___________． 16. 在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点P以每秒速度逆时针旋转，同时三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间________秒时，与三角尺的一边平行． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算与解方程组 （1）； （2）． 18. 解不等式组，并在数轴上表示出解集：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出向右平移5个单位，再向下平移4个单位的； （2）写出点，，的坐标：__________，__________，__________； （3）在外部能否找到一点，使且，如果能，请直接写出点的坐标，如果不能请说明理由． 20. 已知的算术平方根是，的立方根是，与互为相反数． （1）求出，，的值； （2）求的平方根． 21. （图1）是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形． （1）在图（1）中，拼成的大正方形的面积为___________，边的长为___________； （2）现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点与数轴上表示的点重合，若以点为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点，求点表示的数． 22. 如图，在中，D，E分别是边上的点，点F，G在边上，连接，已知． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 23. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． （1）求、两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 24. 综合与实践 【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数． 解：过点作， ________，， 又． ________． 【问题解决】 （1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2所示，已知，、交于点，，求的度数． 【拓展探究】 （3）如图3所示，已知，、分别平分和，且、所在直线交于点，过作，若，求的度数． 25. 如图，平面直角坐标系中，长方形顶点、分别在轴负半轴和轴正半轴上，点在第二象限，且，满足． （1）直接写出点的坐标为______________，的长度为_____________； （2）如图，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位的速度移动，同时点从点出发沿轴正方向以每秒个单位的速度移动，点到达点时沿轴负方向返回，直至移动到点时停止运动．设移动时间为秒，若，求此时的值； （3）如图，点是的中点，将线段平移至线段，点的对应点恰好落在轴负半轴上，连接交轴于点，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $