专题01 二次根式中的十一类重要题型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

专题01 二次根式中的十一类重要题型 题型一：二次根式的性质化简 题型二：二次根式的规律问题 题型三：二次根式的混合运算 题型四：根据同类（最简）二次根式求参数 题型五：分母有理化 题型六：分子有理化 题型七：已知字母的值或条件式，化简求值 题型八：二次根式的实际应用 题型九：比较二次根式的大小 题型十：复合二次根式的化简 题型十一：二次根式中的新定义（新材料） 题型一：二次根式的性质化简 1．（25-26八年级下·四川自贡·月考）化简的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，，． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如果非零实数a，b满足，那么点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵二次根式有意义，且为非零实数∴ 化简等式左边： ∵，∴左边由题意得 ∵，，∴；两边同时除以得 ，即 ∵为非零实数，∴；∵，，点横坐标为负，纵坐标为正，因此点在第二象限． 3．（25-26八年级下·江苏·期中）已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：=____． 【答案】/ 【详解】解：由数轴可知，，，， ． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则_____． 【答案】 【详解】解：根据数轴可知：，所以，， 所以，． 5．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若，化简______． 【答案】 【详解】解：原式，，，， 原式．故答案为：． 题型二：二次根式的规律问题 6．（24-25八年级下·湖北襄阳·专题练习）观察分析下列各数：，，，，，，根据其中的规律，则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把原数列各数改写为二次根式可得：，，，，，，…， ∴第个数为，为正整数，∴第个数为． 7.（25-26八年级下·山东德州·月考）观察下列各式： ①；②；③； (1)根据你发现的规律填空： ． (2)猜想为自然数的值，并通过计算验证你的猜想． 【答案】(1), (2), 见解析 【详解】（1）解：，故答案为：, ． （2）解：． 8．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明；(2)请直接写出的值． 【答案】(1)，证明见解析(2) 【详解】（1）解：由前四个等式，观察得到被开方中，分子为，分母为，结果为， ∴第个等式为， 证明：； （2）解：． 9．（24-25八年级下·重庆·期中）观察下列各式： ，，． 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：(1)___________． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ，故．故答案为： ． （2）解：∵①；②； ③．………… ∴按照上面各等式反映的规律，第个等式（为正整数）为 ． （3）解：． 10．（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个等式；第2个等式；第3个等式； 第4个等式；第5个等式_________（根据规律填空） (2)观察、归纳、得出猜想．第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律．若（a，b均为正整数），则的值为_________． 【答案】(1)(2)(3)见解析(4) 【详解】（1）解：，故答案为：； （2）解：第n个等式为， 故答案为：； （3）证明：； （4）解：根据和，得 ，解得，∴，故答案为：． 题型三：二次根式的混合运算 11．（24-25八年级下·山东东营·月考）计算 (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 12．（25-26八年级下·山东泰安·开学考试）计算 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意，， ∴ ． 13．（24-25八年级上·山东·期中）计算与化简 (1)；(2)；(3)； 【答案】(1)(2)(3)17 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 14．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)；(2) (3)；(4)（，） 【答案】(1)(2)(3)5(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．（25-26八年级上·河北邢台·月考）甲、乙、丙、丁四名同学利用如下6张卡片进行数学游戏． (1)甲选择，两张卡片并将卡片内容求和，乙选择，两张卡片并将卡片内容求和，两张卡片内容和较大的同学获胜，请通过计算说明谁获得本次游戏的胜利． (2)丙从6张卡片中选取两张计算这两张卡片内容的乘积，发现结果为整数，请写出一种丙选择的卡片组合，并计算结果． (3)丁选择卡片和，并将两张卡片内容作差，下面是其计算过程，则从第______步开始出现错误，请写出正确的化简过程． ……………………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 【答案】(1)乙获胜 (2)选择的卡片为和，计算结果为；选择的卡片为和，计算结果为 (3)二；正确的化简过程见详解． 【详解】（1）解：甲：              乙：              ∵， ∴乙获胜． （2）若选择的卡片为和．         计算结果如下： ．             若选择的卡片为和．         计算结果如下： ． （3）二．         正确的化简过程如下： 题型四：根据同类（最简）二次根式求参数 16．（25-26八年级下·河北邢台·月考）若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】解：，∵最简二次根式能与合并，∴． 17．（25-26八年级下·广东揭阳·月考）最简二次根式与是同类二次根式，则（     ） A．2 B．3 C．0 D．4 【答案】A 【详解】解：∵ 最简二次根式与是同类二次根式 ∴ 两个二次根式的被开方数相等，可得方程，解得． 18．（24-25八年级下·江苏·期中）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 【答案】2 【详解】解：当时，，16是4的平方，因此不是最简二次根式； 当时，，23是质数，没有平方因子，因此是最简二次根式． 故最小的正整数为2．故答案为：2． 18．（25-26八年级下·江苏·期中）若是正整数，是最简二次根式，则可以是__________（写出一种情况即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【详解】解：当时，，是最简二次根式，符合题意，故答案为：（答案不唯一）． 20．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）整数满足，且二次根式与是同类二次根式，则 ______． 【答案】或 【详解】解：二次根式与是同类二次根式， 令（为正整数），即， 当时，，；当时，，（不合题意，是整数）； 当时，，；当时，，（不合题意，是整数）； 当时，，（不合题意，）．故答案为：或． 题型五：分母有理化 21．（25-26八年级下·湖南湘西·月考）已知，，则与的关系为________． 【答案】 【详解】解：， 又，∴． 22．（25-26八年级上·河北张家口·月考）分母有理化：_________，__________． 【答案】 【详解】解：对于，分子和分母同乘以，得； 对于，分子和分母同乘以，得； 故答案为：；． 23．（25-26八年级下·宁夏固原·月考）观察下列二次根式的变形过程： ； ； ． 请回答下列问题：(1)观察上面的解题过程，请直接写出（n为正整数）的结果是__________ (2)根据你发现的规律，请计算：． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 24．（24-25八年级上·黑龙江大庆·月考）请阅读下列解题过程： ， ． 解答下列问题：(1) ；(2)化简：． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ． （2）解：． 25．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）综合与实践 【项目主题】八年级同学在学习《二次根式》一章时，经常遇到分母中含有根号的二次根式，如，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化去二次根式分母中的根号． 【项目准备】简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法，例如： (1)________；(2)________； 在老师的帮助下，他们知道了这种运算叫作分母有理化． 【项目实施】帮助八年级同学完成如下任务； (3)将分母有理化；(4)求的值． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整并按要求完成任务． 【答案】(1)(2)(3)(4)9 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 题型六：分子有理化 26．（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化：①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】(1)①； ② (2)，理由见解析(3)， 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：由，  ， 又∵，∴．        ∴， （3）解： ， ∵，∴，∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 27．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题：(1)由材料可知，；(2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：，故答案为：． （2）解：依题意，， ∴，， ∵，∴∴； （3）解：， ∵，∴由，可知， 则当时，分母有最小值，∴的最大值是． 28．（25-26八年级下·福建福州·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． 问题1： (1)的有理化因式是______________（写出一个即可）； (2)的有理化因式是______________（写出一个即可）； (3)[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子和分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 问题2：利用分母有理化化简下列式子：； (4) [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子和分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．例如：； 问题3：试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：∵，∴的有理化因式是； （2）解：∵，∴的有理化因式是； （3）解： ； （4）解：，理由如下： ∵，， ∵，∴，∴． 29．（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【详解】（1）解：∵，∴的有理化因式是； ∵，∴的有理化因式是；故答案为：，； （2）解： ； （3）．理由如下： ∵，， ∵，∴，∴． 30．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）【阅读材料】 材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化，如：． 材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子有理化，如：． 【问题解决】任务一：请写出的一个有理化因数为______； 任务二：与是否互为有理化因式？若是，请说明理由；若不是，请写出的一个有理化因式； 【知识应用】（1）请利用分母有理化知识，化简：； （2）请利用分子有理化知识，比较大小：与． 【答案】任务一：；任务二：是，理由见解析；知识应用（1）：；（2）： 【详解】解：任务一：为有理数．∴的一个有理化因式为； 任务二：∵ ，为有理数，∴与互为有理化因式． 知识应用：（1）；；， ． （2）， ， ，， 即． 题型七：已知字母的值或条件式，化简求值 31．（2023·山东济南·一模）当时，多项式的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴， 两边平方得，展开整理得， 对多项式变形为 将代入得：， 由可得，因此，， 所以，多项式的值为． 32．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知，，则的值为_____． 【答案】8 【详解】解：∵，，∴， ∴，故答案为：8． 33．（24-25八年级上·重庆·月考）若，则代数式的值为______． 【答案】5 【详解】解：∵，，，即，， 则． 34.（25-26八年级下·重庆·期中）已知，，则_____． 【答案】10 【详解】解：∵，，， ，． 35．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知 ，代数式的值是_____． 【答案】 【详解】解：， ． 题型八：二次根式的实际应用 36．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得 ，，． 37．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（    ） A．50 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【详解】解：两个小正方形的边长分别为和，∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，∴图中阴影部分面积为． 38．（25-26八年级上·福建三明·月考）为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形和正方形的面积分别为：，，则该公园的总面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可知，正方形的边长为，正方形的边长为， ∴长方形的长为，宽为，∴，故选：B． 39．（25-26八年级上·山东·期中）如图，四边形是一个长、宽之比为的矩形，其面积为． (1)求矩形的周长；(2)黄金分割比是公认的最美比例，广泛用于建筑、艺术设计等领域，其比值为，宽与长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形．若将图中矩形的长增加，为了使图中矩形变为黄金矩形，宽应增加多少？ 【答案】(1)(2)应增加 【详解】（1）解：设矩形长为，则宽为， ∵面积为，∴，解得：（负值舍去）， ∴矩形长为，则宽为，∴矩形的周长； （2）解：设宽应增加，此时矩形长为，则宽为， ∵宽与长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形，∴，解得：．即宽应增加． 40．（25-26八年级上·成都·期末）已知边长分别是，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值；(2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【答案】(1)(2)能围成这两个正方形 【详解】（1）解：∵边长分别是，的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴； （2）解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为， ∵，，，∴能围成这两个正方形． 题型九：比较二次根式的大小 41．（2026·广东汕头·一模）比较大小：_______1 ，_______ 【答案】 【详解】解：、，； 、， ，，即． 42．（25-26九年级下·湖南衡阳·自主招生）已知，，则a与b的大小关系为________． 【答案】/ 【详解】解：∵，，∴，， ∴，∴，∴，∴， 又∵，∴． 43．（25-26九年级上·福建泉州·自主招生）比较大小：_____1（填“”，“”或“”）． 【答案】 【详解】解：对分母有理化得， 因为，，得，分子相同的正分数，分母越大，分数越小， 因此，即． 44．（25-26九年级上·北京·开学考试）在数学综合与实践课上，有一个这样的问题：比较与的大小，引发了师生的讨论． 小辰的思考： 两个二次根式的和比较大小，如果其中一个二次根式相同，那么只需要比较另外的两个二次根式的大小即可．如：比较与的大小，只需要比较与的大小即可．而与中含的二次根式互为相反数，怎样把含的二次根式变为相同的呢？我想到求倒数．因此，可以通过比较这两个式子的倒数的大小，来得到它们本身的大小关系．小钦想通过构造函数来解决此问题． 下面是两位同学的解答过程，请补充完整． （1）小辰的解答过程： 解：___________，___________，___________，． 又，___________． （2）小钦的解答过程：解：①构造函数，其中自变量的取值范围是___________； ②画出的图象； 列表（计算并填写下表）： 0 1 2 3 4 9 16 ．．． 0 1 3 4 ．．． 其中的值为___________；建立平面直角坐标系，根据表中数值描点并连线： ③根据图象，解决问题：___________，___________． 【答案】（1），，，；（2）①；②，图见解析；③，． 【详解】解：（1），，， 又，，故答案为：，，，； （2）①，，故答案为：； ②当时，，，故答案为：2； 建立如图所示的平面直角坐标系，图象如下图为所求： ③根据图象可判断， ，，故答案为：，． 45．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）若两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)化为最简二次根式为______，将分母有理化得______．(2)比较与的大小． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：； （2）解：，而，∴． 题型十：复合二次根式的化简 46．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b；(2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 【答案】(1)，(2)(3)是，理由见解析 【详解】（1）解：∵的完整平方根是，∴．∴． ∵，，，都是有理数，∴，； （2）解：∵，∴， ∵a、n为正整数，∴，，解得，，故答案为：10； （3）解：是完整根式的完整平方根， 理由：∵，即， ∴是完整根式，∴是完整根式的完整平方根． 47．（25-26八年级下·河南信阳·月考）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式．如： ； ． 【类比归纳】(1)填空：； ． (2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方的形式： 【拓展提升】(3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，剩余部分的面积为________． 【答案】(1)，；；(2)；(3)． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； ， 故答案为：； （2）解： （3）解：设两小正方形的边长分别为，，∴，， ∴， ∵，，∴，， ∴剩余部分的面积为． 48．（25-26八年级上·四川巴中·期末）问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾：小许回想到二次根式化简 ，；又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用：（1）_____； 问题解决：（2）_____； 方法迁移：（3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：．故答案为：． （2）解：．故答案为：． （3）解：原式． 49．（25-26八年级上·河南郑州·月考）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简? 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，这样，． 那么便有：， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里，，由于，，即，． ， 模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列式子：（1）________； 模型应用2：（2）在中，，，，那么边的长为多少？ 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）∵，，即，， ∴，故答案为：； （2）∵在中，，，， ∴， ∵，，即，， ∴． 50．（25-26八年级下·山东泰安·期中）阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ． 解决下列问题：(1)化简：；(2)化简并求出：的值． 【方法应用】(3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃ABCD，求出新正方形花圃ABCD的边长． 【答案】(1)(2)9(3) 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解：由题意可得：，所以新正方形花圃的边长为， ． 题型十一：二次根式中的新定义（新材料） 51．（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ；(2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ；(3)若数对的“衍生数对”是，求的值；(4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)3(3)6(4)，见解析 【详解】（1）解：根据定义：，，故答案为：； （2）解：数对的衍生数对：，，数对的衍生数对：，， 由衍生数对相同得 且，解得，故答案为：3； （3）解：由，得，故，由，得，； （4）解：由定义得，，作差： ，，且，，故分子， 52．（25-26八年级上·重庆·期中）阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得： ∴∴， 当且仅当时，等号成立．因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值． 例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2． 阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为． 例：若，则变形为，∴该方程的解为，化简后得：． 请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题： (1)若，当_______时，式子的最大值为_______． (2)若，求出的最小值及对应的x的值． (3)已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值． 【答案】(1)3，(2)，(3)，， 【详解】（1）解：由题意知，，解得， ∵，∴，故答案为：3，． （2）解：， 当且仅当，即，解得， ∵，∴时，的最小值为． （3）解： , 当时，．当且仅当，，且， ∴，． 53．（25-26七年级上·上海·月考）阅读下面内容:我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现:当 ， 时，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题:(1)当 时，的最小值为_____，当时，的最大值为_____． (2)当时，求的最小值． (写出必要过程) (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别为2和9，求四边形面积的最小值． (写出必要过程) 【答案】(1)2，(2)6(3) 【详解】（1）解：当 时，， ∵，∴，即，当时，取最小值， 解得，当时，（负值已舍），的最小值为2； 当时，，即当 时，最小值为2， ∴当时，的最大值为；故答案为：2，； （2）解：， 根据（1）可得，当时，有最小值，解得，（负值已舍）， ∴的最小值为； （3）解：设，根据等高三角形可知：， ∴，∴，∴四边形的面积为， 当时，有最小值，解得，（负值已舍）， ∴，∴四边形面积的最小值为． 54．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）我们知道，平方具有非负性，所以可以得到如下结论： ∵，∴，∴． 对于任意实数，，不等式均成立，当且仅当时等号成立，此时取得最小值．特别地，若，，由，可得，当且仅当时，即当时等号成立，此时取得最小值． 请利用上述结论，解决下列问题：(1)当时，代数式的最小值为________； (2)已知代数式，当时，的最小值等于，求实数，的值； (3)已知实数，及正整数同时满足下列两个条件：①，②，若为整数，求代数式的最小值． 【答案】(1)．(2)或，(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴， 当且仅当时，，解得，，的最小值为． （2）由可得，， ∵，∴， ∴，当且仅当时，成立， 解得或，即或，的最小值． （3）∵，∴，即． ∵，∴，， 又∵为整数，∴，或者，，即，或者，， ①当，时， ∵，∴，∴． 令，∴，∴， 当时，，解得：，，符合题意，的最小值为； ②当，时，∵，且，∴，与矛盾（舍）． 综上所述，的最小值为． 55．（25-26八年级下·四川自贡·月考）【阅读】在小学我们就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式．分别是由古希腊的几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】(1)问题：已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请选择一个公式求这个三角形的面积． 【尝试新方法】尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） (2)如图1，已知一个中，，，．求面积（温馨提示，解决后在草纸上可以代入一个公式验证你的结论是否正确） 【尝试证明】尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算推导秦九韶公式： (3)如图2，已知一个中，三边分别为，求面积 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：选择海伦公式：， ∴； 选择秦九韶公式：； （2）解：如图，作于，则， 设，则， 由勾股定理可得：，， ∴，解得，∴，∴； （3）解：如图，作于D，则， 设，则，由勾股定理可得：，， ∴，解得，∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式中的十一类重要题型 题型一：二次根式的性质化简 题型二：二次根式的规律问题 题型三：二次根式的混合运算 题型四：根据同类（最简）二次根式求参数 题型五：分母有理化 题型六：分子有理化 题型七：已知字母的值或条件式，化简求值 题型八：二次根式的实际应用 题型九：比较二次根式的大小 题型十：复合二次根式的化简 题型十一：二次根式中的新定义（新材料） 题型一：二次根式的性质化简 1．（25-26八年级下·四川自贡·月考）化简的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如果非零实数a，b满足，那么点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26八年级下·江苏·期中）已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：=____． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则_____． 5．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若，化简______． 题型二：二次根式的规律问题 6．（24-25八年级下·湖北襄阳·专题练习）观察分析下列各数：，，，，，，根据其中的规律，则第个数是（    ） A． B． C． D． 7.（25-26八年级下·山东德州·月考）观察下列各式： ①；②；③； (1)根据你发现的规律填空： ． (2)猜想为自然数的值，并通过计算验证你的猜想． 8．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明；(2)请直接写出的值． 9．（24-25八年级下·重庆·期中）观察下列各式： ，，． 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：(1)___________． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 10．（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个等式；第2个等式；第3个等式； 第4个等式；第5个等式_________（根据规律填空） (2)观察、归纳、得出猜想．第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） (3)证明你的猜想；(4)应用运算规律．若（a，b均为正整数），则的值为_________． 题型三：二次根式的混合运算 11．（24-25八年级下·山东东营·月考）计算 (1)；(2)． 12．（25-26八年级下·山东泰安·开学考试）计算 (1) (2) 13．（24-25八年级上·山东·期中）计算与化简 (1)；(2)；(3)； 14．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）计算：(1)；(2) (3)；(4)（，） 15．（25-26八年级上·河北邢台·月考）甲、乙、丙、丁四名同学利用如下6张卡片进行数学游戏． (1)甲选择，两张卡片并将卡片内容求和，乙选择，两张卡片并将卡片内容求和，两张卡片内容和较大的同学获胜，请通过计算说明谁获得本次游戏的胜利． (2)丙从6张卡片中选取两张计算这两张卡片内容的乘积，发现结果为整数，请写出一种丙选择的卡片组合，并计算结果． (3)丁选择卡片和，并将两张卡片内容作差，下面是其计算过程，则从第______步开始出现错误，请写出正确的化简过程． ……………………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 题型四：根据同类（最简）二次根式求参数 16．（25-26八年级下·河北邢台·月考）若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 17．（25-26八年级下·广东揭阳·月考）最简二次根式与是同类二次根式，则（     ） A．2 B．3 C．0 D．4 18．（24-25八年级下·江苏·期中）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 18．（25-26八年级下·江苏·期中）若是正整数，是最简二次根式，则可以是__________（写出一种情况即可）． 20．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）整数满足，且二次根式与是同类二次根式，则 ______． 题型五：分母有理化 21．（25-26八年级下·湖南湘西·月考）已知，，则与的关系为________． 22．（25-26八年级上·河北张家口·月考）分母有理化：_________，__________． 23．（25-26八年级下·宁夏固原·月考）观察下列二次根式的变形过程： ； ； ． 请回答下列问题：(1)观察上面的解题过程，请直接写出（n为正整数）的结果是__________ (2)根据你发现的规律，请计算：． 24．（24-25八年级上·黑龙江大庆·月考）请阅读下列解题过程： ， ． 解答下列问题：(1) ；(2)化简：． 25．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）综合与实践 【项目主题】八年级同学在学习《二次根式》一章时，经常遇到分母中含有根号的二次根式，如，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化去二次根式分母中的根号． 【项目准备】简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法，例如： (1)________；(2)________； 在老师的帮助下，他们知道了这种运算叫作分母有理化． 【项目实施】帮助八年级同学完成如下任务； (3)将分母有理化；(4)求的值． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整并按要求完成任务． 题型六：分子有理化 26．（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化：①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 27．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题：(1)由材料可知，；(2)比较和的大小； (3)式子的最大值是________． 28．（25-26八年级下·福建福州·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． 问题1： (1)的有理化因式是______________（写出一个即可）； (2)的有理化因式是______________（写出一个即可）； (3)[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子和分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 问题2：利用分母有理化化简下列式子：； (4) [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子和分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．例如：； 问题3：试利用分子有理化比较和的大小． 29．（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 30．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）【阅读材料】 材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化，如：． 材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子有理化，如：． 【问题解决】任务一：请写出的一个有理化因数为______； 任务二：与是否互为有理化因式？若是，请说明理由；若不是，请写出的一个有理化因式； 【知识应用】（1）请利用分母有理化知识，化简：； （2）请利用分子有理化知识，比较大小：与． 题型七：已知字母的值或条件式，化简求值 31．（2023·山东济南·一模）当时，多项式的值为（   ） A．1 B． C． D． 32．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知，，则的值为_____． 33．（24-25八年级上·重庆·月考）若，则代数式的值为______． 34.（25-26八年级下·重庆·期中）已知，，则_____． 35．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知 ，代数式的值是_____． 题型八：二次根式的实际应用 36．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 37．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（    ） A．50 B．22 C．24 D．26 38．（25-26八年级上·福建三明·月考）为打造“家门口的好去处”，某市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形公园．已知正方形和正方形的面积分别为：，，则该公园的总面积为（   ） A． B． C． D． 39．（25-26八年级上·山东·期中）如图，四边形是一个长、宽之比为的矩形，其面积为． (1)求矩形的周长；(2)黄金分割比是公认的最美比例，广泛用于建筑、艺术设计等领域，其比值为，宽与长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形．若将图中矩形的长增加，为了使图中矩形变为黄金矩形，宽应增加多少？ 40．（25-26八年级上·成都·期末）已知边长分别是，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值；(2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 题型九：比较二次根式的大小 41．（2026·广东汕头·一模）比较大小：_______1 ，_______ 42．（25-26九年级下·湖南衡阳·自主招生）已知，，则a与b的大小关系为________． 43．（25-26九年级上·福建泉州·自主招生）比较大小：_____1（填“”，“”或“”）． 44．（25-26九年级上·北京·开学考试）在数学综合与实践课上，有一个这样的问题：比较与的大小，引发了师生的讨论． 小辰的思考： 两个二次根式的和比较大小，如果其中一个二次根式相同，那么只需要比较另外的两个二次根式的大小即可．如：比较与的大小，只需要比较与的大小即可．而与中含的二次根式互为相反数，怎样把含的二次根式变为相同的呢？我想到求倒数．因此，可以通过比较这两个式子的倒数的大小，来得到它们本身的大小关系．小钦想通过构造函数来解决此问题． 下面是两位同学的解答过程，请补充完整． （1）小辰的解答过程： 解：___________，___________，___________，． 又，___________． （2）小钦的解答过程：解：①构造函数，其中自变量的取值范围是___________； ②画出的图象； 列表（计算并填写下表）： 0 1 2 3 4 9 16 ．．． 0 1 3 4 ．．． 其中的值为___________；建立平面直角坐标系，根据表中数值描点并连线： ③根据图象，解决问题：___________，___________． 45．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）若两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)化为最简二次根式为______，将分母有理化得______．(2)比较与的大小． 题型十：复合二次根式的化简 46．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b；(2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 47．（25-26八年级下·河南信阳·月考）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式．如： ； ． 【类比归纳】(1)填空：； ． (2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方的形式： 【拓展提升】(3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，剩余部分的面积为________． 48．（25-26八年级上·四川巴中·期末）问题情境： 如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简． 方法回顾：小许回想到二次根式化简 ，；又， ； 所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的． 方法应用：（1）_____； 问题解决：（2）_____； 方法迁移：（3）计算：． 49．（25-26八年级上·河南郑州·月考）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简? 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，这样，． 那么便有：， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里，，由于，，即，． ， 模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列式子：（1）________； 模型应用2：（2）在中，，，，那么边的长为多少？ 50．（25-26八年级下·山东泰安·期中）阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ． 解决下列问题：(1)化简：；(2)化简并求出：的值． 【方法应用】(3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃ABCD，求出新正方形花圃ABCD的边长． 题型十一：二次根式中的新定义（新材料） 51．（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ；(2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ；(3)若数对的“衍生数对”是，求的值；(4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 52．（25-26八年级上·重庆·期中）阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得： ∴∴， 当且仅当时，等号成立．因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值． 例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2． 阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为． 例：若，则变形为，∴该方程的解为，化简后得：． 请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题： (1)若，当_______时，式子的最大值为_______． (2)若，求出的最小值及对应的x的值． (3)已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值． 53．（25-26七年级上·上海·月考）阅读下面内容:我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现:当 ， 时，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题:(1)当 时，的最小值为_____，当时，的最大值为_____． (2)当时，求的最小值． (写出必要过程) (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别为2和9，求四边形面积的最小值． (写出必要过程) 54．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）我们知道，平方具有非负性，所以可以得到如下结论： ∵，∴，∴． 对于任意实数，，不等式均成立，当且仅当时等号成立，此时取得最小值．特别地，若，，由，可得，当且仅当时，即当时等号成立，此时取得最小值． 请利用上述结论，解决下列问题：(1)当时，代数式的最小值为________； (2)已知代数式，当时，的最小值等于，求实数，的值； (3)已知实数，及正整数同时满足下列两个条件：①，②，若为整数，求代数式的最小值． 55．（25-26八年级下·四川自贡·月考）【阅读】在小学我们就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式．分别是由古希腊的几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】(1)问题：已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请选择一个公式求这个三角形的面积． 【尝试新方法】尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） (2)如图1，已知一个中，，，．求面积（温馨提示，解决后在草纸上可以代入一个公式验证你的结论是否正确） 【尝试证明】尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算推导秦九韶公式： (3)如图2，已知一个中，三边分别为，求面积 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $