专题11.2 二次根式的乘除（高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级下册

专题11.2 二次根式的乘除 教学目标 1.理解并掌握二次根式乘法法则、除法法则及逆用公式，并能熟练进行二次根式的乘法、除法运算与化简。 2.理解最简二次根式的定义，会判断、化简最简二次根式。 3.初步掌握简单分母有理化的方法。 4.感受数学公式的简洁性与逻辑性，体会知识的内在联系，在根式化简运算中，体会转化思想，提升代数运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）二次根式乘法、除法法则的理解与直接运用； （2）利用乘除法则化简二次根式； （3）最简二次根式的判定与化简方法。 2.难点 （1）二次根式乘除法则成立的前提条件（被开方数非负）的灵活运用； （2）复杂二次根式的综合化简、含分数 / 分式根式的除法化简； （3）分母有理化的理解与规范计算，法则正向、逆向灵活混用解题。 知识点01 二次根式的乘法 1）二次根式乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）。 2）二次根式的乘法法则的逆用：。 3）拓展：①；②。 注意：化简二次根式的结果中，被开方数一般不含能开方开得尽的因数或因式。 【即学即练】 1．（25-26九年级下·广东汕头·月考）化简的结果是（   ） A．10 B．20 C．40 D． 2．（2026·湖南娄底·一模）计算：______． 3．（2026·天津北辰·一模）计算的结果为_____． 4．（25-26八年级下·山东德州·开学考试）如果成立，则x的取值范围是_______； 知识点02 二次根式的除法 1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）。 2）二次根式的除法法则的逆用：。 3）二次根式的除法法则的推广：。 【即学即练】 1．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）计算：（   ） A． B． C．3 D．2 2．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算：_____________． 3．（25-26八年级下·新疆和田·月考）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 知识点03 分母有理化 1）分母有理化：当一个式子的分母中含有根号时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使分母中不含有根号。如：，上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化。 2）有理化因式: 像；（）；（）... 两个含有二次根式的代数式相乘，积中不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式。 3）最简二次根式：一般地，化简二次根式就是使二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含根号；（3）被开方数写成乘积形式时，不含能开得尽方的因数或因式，且因式的次数等于1。这样化简后得到的二次根式叫作最简二次根式（simplest quadratic radical）. 【即学即练】 1．（2026·河南洛阳·一模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·北京·开学考试）把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）比较大小： ______．（填“”、“”或“”） 5．（25-26八年级上·福建三明·期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由，可知，而． 当时，分母有最小值．所以的最大值是． 利用上面的方法，解决下面各题：(1)由材料可知，___________； (2)比较和的大小；(3)求的最大值． 题型01 二次根式的乘法 1．（2026·天津河西·一模）计算的结果为________． 2．（2026·河北石家庄·一模）计算：__________． 3．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）计算_______________ ． 4．（25-26八年级下·新疆和田·月考）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 题型02 二次根式的除法 1．（25-26八年级下·山东临沂·月考）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·辽宁大连·月考）计算：_____． 3．（25-26八年级下·天津·开学考试）计算： 4．（25-26八年级下·江苏·期中）计算下列各式： (1)；(2)；(3) 题型03 二次根式的乘除法混合运算 1．（2026·吉林松原·模拟预测）计算：___________． 2．（24-25八年级下·江苏·课后作业）计算：(1)；(2)． 3．（25-26八年级下·广西崇左·月考）计算： (1)；(2)；(3)； (4)；(5)． 4．（24-25八年级下·江苏·期中）运算能力计算：(1)；(2)． 5．（24-25八年级下·山东·期末）计算： (1)；(2)；(3)． 题型04 最简二次根式的判断 1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南安阳·月考）下列各式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东揭阳·月考）下列二次根式中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河南信阳·月考）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 题型05 化为最简二次根式 1．（25-26八年级下·河北邢台·月考）计算的结果为（   ） A． B． C．4 D．2 2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）化简______． 3．（25-26八年级下·新疆和田·月考）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)；(2)；(3)；(4)． 题型06 已知最简二次根式求参数 1．（24-25八年级下·江苏·期中）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 3．（25-26八年级下·江苏·期中）若是正整数，是最简二次根式，则可以是__________（写出一种情况即可）． 4．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 题型07 分母有理化 1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是________． 2．（25-26八年级上·上海·假期作业）二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： (1)；(2)；(3)（）． 3．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）阅读下面问题： ；；，……．试求： (1)的值；(2)（为正整数）的值． (3)根据你发现的规律，请计算：． 4．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）综合与实践 【项目主题】八年级同学在学习《二次根式》一章时，经常遇到分母中含有根号的二次根式，如，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化去二次根式分母中的根号． 【项目准备】简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法，例如： (1)________；(2)________； 在老师的帮助下，他们知道了这种运算叫作分母有理化． 【项目实施】帮助八年级同学完成如下任务；(3)将分母有理化； (4)求的值． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整并按要求完成任务． 题型08 分子有理化 1．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）已知数，，则与的大小关系为______．（请用“或”号作答） 2．（25-26八年级上·江苏·月考）两个根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与、与等都是互为有理化因式． 例如：；…… (1)请仿照上述过程，化去下式分母中的根号：（n为正整数）； (2)比较与的大小．（n为正整数） 3．（24-25八年级上·广东佛山·月考）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是________（写出一个即可），的有理化因式是_________（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 4．（25-26八年级上·河南郑州·月考）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式. （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简： [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小． 题型09 二次根式的化简 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）化简的结果为___________． 2．（24-25九年级上·四川南充·开学考试）化简的结果为______． 3．（25-26八年级下·山东淄博·月考）化简成最简二次根式后等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）已知，化简 _____________ ． 题型10 二次根式的乘除法的实际应用 1．（24-25八年级下·河南周口·期中）如果一个直角三角形的两条直角边长分别为和2cm，则斜边上的高为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏·期中）已知三角形底边的长是，面积是，则此边上的高为__________． 3．（25-26八年级下·江苏田·月考）三角形的面积为，一边长为，求该边上的高． 题型11 复合二次根式的化简 1．（25-26七年级下·贵州遵义·月考）【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】(1)请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方； (2)请运用小明的方法化简：； 【变式探究】(3)若，且a，m，n均为正整数，求a的值． 2．（25-26八年级下·山东烟台·月考）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空：_____，_____． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有：_____． (3)化简：（请写出化简过程）．(4)化简：． (5)若且为正整数，求的值． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题：(1)化简：；(2)化简：． 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）计算的结果是（    ） A．5 B．3 C． D． 2．（25-26八年级下·山东威海·月考）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级·甘肃·专题练习）将化为最简二次根式，其结果是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·湖北荆州·月考）若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 7．（2026·江苏南京·一模）已知某物体的质量，其体积，则它的密度ρ为（　　） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）二次根式①，②，③，④，化为最简二次根式后，被开方数相同的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 9．（2026·贵州遵义·一模）计算：_______． 10．（25-26八年级·贵州遵义培优）化简二次根式______． 11．（25-26八年级下·湖南益阳·期末）计算______． 12．（25-26八年级下·江苏·课后作业）计算： （1）___________．（2）________________． 13．（25-26八年级下·浙江温州·月考）化简：__________________． 14．（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）化简的结果为______． 15．（25-26八年级下·福建福州·月考）若是最简二次根式，则正整数n的值可以是_____（写出一个符合条件的即可）． 16.（25-26八年级下·山东潍坊·月考）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 17．（2025八年级下·湖北襄阳·专题练习）计算： (1) (2)（） 18．（24-25八年级下·新疆伊犁·月考）观察下列各式： ； 试求下列各式的值：(1)______；(2)（为正整数）______； (3)______； (4)计算：（为正整数）． 19．（25-26八年级下·江苏·课后作业）阅读材料，解答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，这样的式子，我们可以将其进一步化简：；；． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 还可以用另一种方法化简：． (1)化简：．(2)比较与的大小． 20．（24-25八年级下·广东江门·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】（1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】（3）化简：（请写出化简过程）． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.2 二次根式的乘除 教学目标 1.理解并掌握二次根式乘法法则、除法法则及逆用公式，并能熟练进行二次根式的乘法、除法运算与化简。 2.理解最简二次根式的定义，会判断、化简最简二次根式。 3.初步掌握简单分母有理化的方法。 4.感受数学公式的简洁性与逻辑性，体会知识的内在联系，在根式化简运算中，体会转化思想，提升代数运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）二次根式乘法、除法法则的理解与直接运用； （2）利用乘除法则化简二次根式； （3）最简二次根式的判定与化简方法。 2.难点 （1）二次根式乘除法则成立的前提条件（被开方数非负）的灵活运用； （2）复杂二次根式的综合化简、含分数 / 分式根式的除法化简； （3）分母有理化的理解与规范计算，法则正向、逆向灵活混用解题。 知识点01 二次根式的乘法 1）二次根式乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）。 2）二次根式的乘法法则的逆用：。 3）拓展：①；②。 注意：化简二次根式的结果中，被开方数一般不含能开方开得尽的因数或因式。 【即学即练】 1．（25-26九年级下·广东汕头·月考）化简的结果是（   ） A．10 B．20 C．40 D． 【答案】B 【详解】解：因此化简结果为． 2．（2026·湖南娄底·一模）计算：______． 【答案】2 【详解】解：． 3．（2026·天津北辰·一模）计算的结果为_____． 【答案】1 【详解】解： 4．（25-26八年级下·山东德州·开学考试）如果成立，则x的取值范围是_______； 【答案】 【详解】∵成立，∴，∴；∴． 知识点02 二次根式的除法 1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）。 2）二次根式的除法法则的逆用：。 3）二次根式的除法法则的推广：。 【即学即练】 1．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）计算：（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【详解】解：． 2．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算：_____________． 【答案】8 【详解】解：． 3．（25-26八年级下·新疆和田·月考）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 知识点03 分母有理化 1）分母有理化：当一个式子的分母中含有根号时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使分母中不含有根号。如：，上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化。 2）有理化因式: 像；（）；（）... 两个含有二次根式的代数式相乘，积中不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式。 3）最简二次根式：一般地，化简二次根式就是使二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含根号；（3）被开方数写成乘积形式时，不含能开得尽方的因数或因式，且因式的次数等于1。这样化简后得到的二次根式叫作最简二次根式（simplest quadratic radical）. 【即学即练】 1．（2026·河南洛阳·一模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式，此选项不符合题意； B、，被开方数不含分母，且不含能开尽方的因数，是最简二次根式，此选项符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，此选项不符合题意； D、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式，此选项不符合题意．故选：． 3．（24-25八年级下·北京·开学考试）把化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）比较大小： ______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【详解】解：，，∵，∴，． 5．（25-26八年级上·福建三明·期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由，可知，而． 当时，分母有最小值．所以的最大值是． 利用上面的方法，解决下面各题：(1)由材料可知，___________； (2)比较和的大小；(3)求的最大值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：依题得：，故答案为：； （2）解：，， 而，，； （3）解：，，， ，当时，分母有最小值， 有最大值是． 题型01 二次根式的乘法 1．（2026·天津河西·一模）计算的结果为________． 【答案】21 【详解】解：． 2．（2026·河北石家庄·一模）计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 3．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）计算_______________ ． 【答案】3 【详解】解：，故答案为：3． 4．（25-26八年级下·新疆和田·月考）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 题型02 二次根式的除法 1．（25-26八年级下·山东临沂·月考）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，此项错误； B、，此项错误； C、，此项错误； D、，此项正确． 2．（25-26八年级下·辽宁大连·月考）计算：_____． 【答案】 【详解】解：． 3．（25-26八年级下·天津·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解：． 4．（25-26八年级下·江苏·期中）计算下列各式： (1)；(2)；(3) 【答案】(1)3(2)(3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型03 二次根式的乘除法混合运算 1．（2026·吉林松原·模拟预测）计算：___________． 【答案】 【详解】解：原式． 2．（24-25八年级下·江苏·课后作业）计算：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26八年级下·广西崇左·月考）计算： (1)；(2)；(3)； (4)；(5)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 4．（24-25八年级下·江苏·期中）运算能力计算：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 5．（24-25八年级下·山东·期末）计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 题型04 最简二次根式的判断 1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项，不是最简二次根式，B选项，，不是最简二次根式， C选项，，不是最简二次根式，D选项，是最简二次根式． 2．（25-26八年级下·河南安阳·月考）下列各式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故A不符合题意； B．的被开方数不含能开得尽方的因数，也不含分母，满足最简二次根式定义，是最简二次根式，故B符合题意； C．，原式分母含根号，不是最简二次根式，故C不符合题意； D．，被开方数含分母，不是最简二次根式，故D不符合题意． 3．（25-26八年级下·广东揭阳·月考）下列二次根式中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．的被开方数含有分母，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意； B．的被开方数含能开得尽方的因数，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意； C．满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，符合题意； D．的被开方数含能开得尽方的因数，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意． 4．（25-26八年级下·河南信阳·月考）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故不是最简二次根式；     B．，故不是最简二次根式；     C．，故不是最简二次根式；D．是最简二次根式．． 题型05 化为最简二次根式 1．（25-26八年级下·河北邢台·月考）计算的结果为（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【详解】解：． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）化简______． 【答案】 【详解】解：=====． 3．（25-26八年级下·新疆和田·月考）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 题型06 已知最简二次根式求参数 1．（24-25八年级下·江苏·期中）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 【答案】2 【详解】解：当时，，16是4的平方，因此不是最简二次根式； 当时，，23是质数，没有平方因子，因此是最简二次根式． 故最小的正整数为2．故答案为：2． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】5 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即，解得 由为正整数，得，解得，则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5，故答案为：5． 3．（25-26八年级下·江苏·期中）若是正整数，是最简二次根式，则可以是__________（写出一种情况即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【详解】解：当时，，是最简二次根式，符合题意，故答案为：（答案不唯一）． 4．（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2．设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数，故，，． 当时，；时，时，． 综上所述：的最小值为．故答案为：． 题型07 分母有理化 1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是________． 【答案】2026 【详解】解：， ∴，两边平方得，即， ∴．∴． 2．（25-26八年级上·上海·假期作业）二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： (1)；(2)；(3)（）． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：，， 故． 3．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）阅读下面问题： ；；，……．试求： (1)的值；(2)（为正整数）的值． (3)根据你发现的规律，请计算：． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 4．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）综合与实践 【项目主题】八年级同学在学习《二次根式》一章时，经常遇到分母中含有根号的二次根式，如，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化去二次根式分母中的根号． 【项目准备】简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法，例如： (1)________；(2)________； 在老师的帮助下，他们知道了这种运算叫作分母有理化． 【项目实施】帮助八年级同学完成如下任务；(3)将分母有理化； (4)求的值． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整并按要求完成任务． 【答案】(1)(2)(3)(4)9 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 题型08 分子有理化 1．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）已知数，，则与的大小关系为______．（请用“或”号作答） 【答案】 【详解】解：， ， 又，，， ，则，．故答案为：． 2．（25-26八年级上·江苏·月考）两个根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与、与等都是互为有理化因式． 例如：；…… (1)请仿照上述过程，化去下式分母中的根号：（n为正整数）； (2)比较与的大小．（n为正整数） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：； （2）解： ， ， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴． 3．（24-25八年级上·广东佛山·月考）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是________（写出一个即可），的有理化因式是_________（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1）；；（2）44；（2） 【详解】解：（1）∵，∴的有理化因式是； ∵，∴的有理化因式是； （2）， ∴ ； （3）， ， ∵，且，∴． 4．（25-26八年级上·河南郑州·月考）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式. （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简： [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），（2）（3） 【详解】解：（1）∵，∴的有理化因式是； ∵，∴的有理化因式是； （2）∵， ∴ （3），， ∵，∴，即： 题型09 二次根式的化简 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）化简的结果为___________． 【答案】 【详解】解：由题意得，；，∴，即， ∴ ． 2．（24-25九年级上·四川南充·开学考试）化简的结果为______． 【答案】 【详解】解：由二次根式的被开方数为非负数且分母不为0，得， ∴∴原式. 3．（25-26八年级下·山东淄博·月考）化简成最简二次根式后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次根式的被开方数非负，分母不为0，∴，且， ∴，且，∴，∴，， ∴． 4．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）已知，化简 _____________ ． 【答案】 【详解】解：，有意义，，， ． 题型10 二次根式的乘除法的实际应用 1．（24-25八年级下·河南周口·期中）如果一个直角三角形的两条直角边长分别为和2cm，则斜边上的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】C【详解】解：设直角三角形两条直角边分别为，，斜边为，斜边上的高为. 由勾股定理得，，，， 直角三角形面积可表示为，也可表示为，，即， ． 2．（24-25八年级下·江苏·期中）已知三角形底边的长是，面积是，则此边上的高为__________． 【答案】 【详解】解：设此边上的高为，由题意得：， 所以，故答案为：． 3．（25-26八年级下·江苏田·月考）三角形的面积为，一边长为，求该边上的高． 【答案】8 【详解】解：． 题型11 复合二次根式的化简 1．（25-26七年级下·贵州遵义·月考）【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】(1)请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方； (2)请运用小明的方法化简：； 【变式探究】(3)若，且a，m，n均为正整数，求a的值． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：； （2）解：， ； （3）解：，则，， ①则或则， ②则或则，或． 2．（25-26八年级下·山东烟台·月考）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空：_____，_____． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有：_____． (3)化简：（请写出化简过程）．(4)化简：． (5)若且为正整数，求的值． 【答案】(1)，(2)(3)(4)(5)k的值为11或19 【详解】（1）解：； ； （2）解：； （3）解： ； （4）解：∵ ∴； （5）解：∵∴，∴ ∵为正整数，∴，或， ∴或． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题：(1)化简：；(2)化简：． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）计算的结果是（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解： 故选：C． 2．（25-26八年级下·山东威海·月考）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式为同级运算，从左到右依次计算， ∵，∴ 原式． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， 又∵，∴，即．故选：A． 4．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意. 5．（25-26九年级·甘肃·专题练习）将化为最简二次根式，其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴将化为最简二次根式，其结果是． 6．（25-26八年级下·湖北荆州·月考）若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 【答案】C 【详解】解：A、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、当时，原式，原式是最简二次根式，该选项符合题意； D、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意． 7．（2026·江苏南京·一模）已知某物体的质量，其体积，则它的密度ρ为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：它的密度ρ为．故选：B． 8．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）二次根式①，②，③，④，化为最简二次根式后，被开方数相同的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 【答案】A 【详解】解：∵ ① ，化简后被开方数为； ② ，化简后被开方数为； ③ ，化简后被开方数为； ④ ，化简后被开方数为； ∴ 化为最简二次根式后，①和②的被开方数相同，故选A． 9．（2026·贵州遵义·一模）计算：_______． 【答案】6 【详解】解：． 10．（25-26八年级·贵州遵义培优）化简二次根式______． 【答案】 【详解】解：∵，∴,∴， ∴． 11．（25-26八年级下·湖南益阳·期末）计算______． 【答案】 【详解】解：．故答案为：． 12．（25-26八年级下·江苏·课后作业）计算： （1）___________．（2）________________． 【答案】 【详解】解：（1）原式 （2）原式 故答案为：①，②． 13．（25-26八年级下·浙江温州·月考）化简：__________________． 【答案】 【详解】解：． 14．（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）化简的结果为______． 【答案】 【详解】解：． 15．（25-26八年级下·福建福州·月考）若是最简二次根式，则正整数n的值可以是_____（写出一个符合条件的即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【详解】解：已知是最简二次根式，为正整数，分解得， 因此不能含有能开得尽方的因数，即不含因数和，且本身不含平方因数． 取符合条件的正整数，此时，是最简二次根式，符合要求． 16.（25-26八年级下·山东潍坊·月考）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．（2025八年级下·湖北襄阳·专题练习）计算： (1) (2)（） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．（24-25八年级下·新疆伊犁·月考）观察下列各式： ； 试求下列各式的值：(1)______；(2)（为正整数）______； (3)______； (4)计算：（为正整数）． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 19．（25-26八年级下·江苏·课后作业）阅读材料，解答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，这样的式子，我们可以将其进一步化简：；；． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 还可以用另一种方法化简：． (1)化简：．(2)比较与的大小． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：方法一：分母有理化． 方法二：平方差变形：． （2）解：，． ，． 20．（24-25八年级下·广东江门·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】（1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】（3）化简：（请写出化简过程）． 【答案】（1），；（2）；（3）. 【详解】（1）解：； ； （2）解：； （3）解： ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $