专题11.1 二次根式的概念（高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级下册

专题11.1 二次根式的概念 教学目标 · 1.理解二次根式的概念，明确双重非负性（被开方数a≥0，且≥0）。 2.掌握二次根式有意义的条件，能准确求使二次根式有意义的字母取值范围（含单一条件、与分式/ 零指数综合的复合条件）。 3.理解并会用性质：和，能进行简单计算与化简。 4.体会二次根式在几何、实际问题中的应用，感受数学的严谨性与实用性。培养规范表达、严谨审题的习惯，激发学习兴趣。 教学重难点 1.重点 （1）二次根式的概念与双重非负性（判定一个式子是否为二次根式的核心依据）； （2）二次根式有意义的条件（求字母取值范围，高频考点）。 2.难点 （1）对 “双重非负性” 的完整理解与应用：易忽略 a≥0，或在综合题中漏列不等式； （2）性质和的理解与应用。 知识点01 二次根式 1）二次根式:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式（quadratic radical），a可以是一个数，也可以是一个代数式。当a是一个非负数时，表示a的算术平方根。 2）二次根式有意义：被开方数为非负数，即有意义。 3）二次根式的性质 （1）二次根式（）的双重非负性：即且。 （2）二次根式的性质1：当时，。 （3）二次根式的性质2：。 【即学即练】 1．（2026·河南洛阳·一模）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、被开方数，∴A不是二次根式； B、当时，被开方数小于0，∴不一定是二次根式； C、对任意实数，都有，可得，满足二次根式的定义，∴C一定是二次根式； D、不是二次根式． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】当时，，故选：C． 3．（25-26八年级下·山东聊城·月考）要使式子有意义，则x应满足（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】解：∵式子有意义，∴，解得． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A项：，二次根式的被开方数不能为负数，该式无意义，故A错误； B项：，等式成立，故B正确；C项：，故C错误； D项：，二次根式的运算结果为非负数，故D错误． 5．（25-26八年级下·山东济宁·月考）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可知：， ∴原式． 6．（25-26八年级下·江苏·月考）计算：______． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴． 7．（2026·湖北襄阳·一模）给出以下各式： ①；②；③． (1)判断以上三式是否成立，成立的有___________（填写序号）； (2)类比上述式子，试再写出两个同类型的式子； (3)你能猜出其中的规律吗？请用字母表示这一规律，并验证你的猜想是否正确． 【答案】(1)①②③；(2)， (3)（且是正整数），证明见解析 【详解】（1）解：①； ②； ③ 故①②③正确； （2）解：，； （3）解：（且是正整数） 证明：左边右边． 题型01 二次根式的识别 1．（25-26八年级上·重庆·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式； B选项：的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C选项：中，当时，，式子无意义，不一定是二次根式； D选项：的根指数为3，是三次根式，不是二次根式；故选：B． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. 被开方数，不是二次根式，不合题意； B. 是三次根式，不合题意； C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，符合题意．故选：D 3．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①是二次根式； ②在中，由于a的取值未定，不能保证被开方数为非负数，故不是二次根式； ③是二次根式；④不是二次根式；⑤不是二次根式； 综上，符合要求的二次根式共2个，故选B． 4．（25-26九年级下·辽宁辽阳·开学考试）给出下列各式：．其中二次根式的个数是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：①∵，∴是二次根式；②6不是二次根式； ③∵，∴不是二次根式；④∵，∴，∴是二次根式； ⑤∵，∴是二次根式；⑥是三次根式，不是二次根式．所以二次根式有3个． 题型02 求二次根式的值 1．（25-26九年级上·山西晋城·月考）当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：当时，．故选：B． 2．（25-26八年级下·浙江台州·月考）当时，则二次根式_____． 【答案】1 【详解】解：依题意，把代入，得． 3．（24-25八年级下·广东中山·月考）当时，二次根式的值为_________． 【答案】 【详解】解：把代入得：原式；故答案为：． 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）当时，二次根式的值为______． 【答案】 【详解】解：当时， 故答案为： 题型03 求二次根式中的参数 1．（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【详解】解:∵是整数，∴，且是完全平方数，∴； ①，即，②，即，③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7，∴自然数的所有可能取值的和为．故选：D． 2．（25-26八年级下·陕西安康·月考）已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数，∴， 当时，即，当时，即，当时，即，当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1，∴所有可能的a之和为． 3．（25-26八年级下·云南昭通·月考）若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】∵是二次根式，∴，可得，又∵是自然数，∴， ∵是整数，∴是非负完全平方数，满足条件的可取， 对应得到的值为，均为自然数，∴满足条件的自然数共有个． 4．（25-26七年级上·山东威海·期末）若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 【答案】B 【详解】解：，∵是整数，且n是正整数，∴正整数的最小值是21． 题型04 二次根式有意义的条件 1．（2026·云南昭通·一模）要使有意义，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数， ∴要使有意义，需满足，解不等式得：． 2．（2026·河北衡水·模拟预测）如图是x在数轴上表示的取值范围，满足条件的任意x的值都能使一个二次根式有意义，则这个二次根式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，．A、二次根式有意义的条件是，则当时，其无意义； B、二次根式有意义的条件是，即，正确； C、二次根式有意义的条件是，即，则当时，其无意义； D、二次根式有意义的条件是，即，则当时，其无意义． 3．（25-26八年级下·江西赣州·月考）代数式中的取值范围在数轴上表示如图所示，则的值为（    ） A．4 B．3 C．1 D． 【答案】A 【详解】解：根据有意义可得，解得， 根据有意义可得，解得， 由数轴可得，∴，∴，∴，故选：A． 4．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵等式成立，∴且，∴． 题型05 二次根式有意义求参数值 1．（25-26八年级下·湖北·月考）已知实数a，b满足，则的值为（    ） A．3 B．7 C．10 D．3或7 【答案】C 【详解】解：∵二次根式中被开方数为非负数， ∴不等式组，解得且，∴， 将代入得，∴ 2．（25-26八年级下·陕西安康·月考）若，则代数式的值为（    ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】解：∵二次根式有意义要求被开方数为非负数， ∴，解得，把代入原等式，得，解得， 根据二次根式的性质，当时，，∵，∴． 3．（24-25八年级下·辽宁抚顺·月考）若有意义，则这个式子的值为（    ） A．4 B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】解：若有意义，则，由最后一个即可确定， 此时． 4．（25-26八年级下·甘肃平凉·月考）若，求的值． 【答案】 【详解】依据题意可得，解得， 将代入，得， 将，代入，原式． 题型06 二次根式的性质求参数范围 1．（25-26八年级下·湖北·月考）若二次根式，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据二次根式的性质可得 ，∴ ， 由题意得 ，根据绝对值的性质：若，则，得 ，解得 2.（25-26八年级下·重庆梁平·期中）如果，那么x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由得，，故选：C． 3．（2026·河南周口·一模）已知实数a满足 ，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴原等式可化为 ， 分三种情况讨论：①当时，∵，， ∴原式， 令，解得，与矛盾，此范围不成立； ②当时，∵，，∴原式，等式恒成立； ③当时，∵，，∴原式， 令，解得，与矛盾，此范围不成立； 综上，的取值范围是． 题型07 二次根式的性质求值 1．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【详解】解：，故选：C． 2．（25-26八年级下·天津·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解：． 3．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）计算：______； ______． 【答案】 5 5 【详解】解：，． 4.（25-26八年级上·福建泉州·期末）求出的值为_____． 【答案】89 【详解】解： ． 题型08 二次根式的性质化简 1．（2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴，∴，， ∵，∴原式=． 2．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 由图可知，，则，，则，故． 3．（25-26八年级下·湖南湘西·月考）若，则化简的结果是________． 【答案】5 【详解】解：，，， ∴． 4．（25-26八年级下·山东聊城·月考）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值____________． 【答案】 【详解】解：由数轴得， 则原式． 5．（25-26八年级下·重庆·期中）化简_____． 【答案】 【详解】由二次根式有意义的条件可得，解得，． 题型09 二次根式的规律问题 1．（25-26八年级下·山东德州·月考）观察下列各式： ①；②；③； (1)根据你发现的规律填空： ． (2)猜想为自然数的值，并通过计算验证你的猜想． 【答案】(1), (2), 见解析 【详解】（1）解：，故答案为：, ． （2）解：． 2．（25-26八年级上·安徽六安·月考）观察下列各式： ；；；… (1)请你按照上面每个等式反映的规律，猜想：①______=______； ②写出用n（n为正整数）表示的等式：______=______； (2)利用上述规律计算：． 【答案】(1)①，；②，(2)2 【详解】（1）解：①根据题意可知，； ②根据题意可知，． （2）解：． 3．（25-26八年级下·河南周口·月考）观察下列等式，其中反映了某种规律： ；；，… (1)按照这种规律在括号里填入相应的数：__，__；(2)计算：（写出计算过程）；(3)请用含n（n为正整数，且）的等式把你发现的规律表示出来（无需证明）． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：根据规律可得，； （2）解：． （3）解：结合（1）和（2）的结论，得：． 4．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）观察下列等式： 第1个等式：．第2个等式：． 第3个等式：．第4个等式：．…… 按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1)(2)，证明见解析 【详解】（1）解：∵第个等式：，第个等式：， 第个等式：，第个等式：，……，∴第个等式为：． （2）解：猜想的第个等式为，证明如下： 左边 ∵，∴左边右边，∴猜想正确． 1．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 【答案】D 【详解】解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意； D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏期中）已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数，∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是，故选：C． 3．（25-26八年级下·山东聊城·月考）如果，那么的值是（　　） A． B． C．6 D．9 【答案】B 【详解】解：由题意得解得 ． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由数轴可知：、，、、， ． 5．（25-26八年级下·陕西安康·月考）计算：（   ）． A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据进行化简计算，即可作答． 【详解】解：． 6．（25-26八年级下·浙江金华·月考）已知，当分别取，，，，2026时，所对应值的总和是（   ） A．4052 B．4054 C．4056 D．2026 【答案】B 【详解】解：∵∴分情况化简： 当时∵∴ 将代入得，将代入得∴时，值总和为； 当时∵∴ ∴从到，共有个取值，值总和为． ∴所有值的总和为，即选项B符合题意． 7．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下， 甲： 乙： 由此，两位同学共同得到“任何实数都等于它的相反数”的结论． 两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（   ） A．第一个等号后 B．第二个等号后 C．第三个等号后 D．两位同学都没错 【答案】B 【详解】解：，而非简单等于或． 甲的过程：（正确），但 仅当 时成立； 乙的过程：（正确），但 仅当（即 ) 时成立． 两位同学在第二个等号后应用根式性质时，均未确保或非负． 首次共同错误出现在第二个等号后．故选：B． 8．（25-26九年级下·重庆·月考）若，则________． 【答案】20 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得，即． 因为，所以，根据绝对值的性质，得. 将代入原方程，得 整理得两边同时平方，得解得． 9．（2025·河南濮阳·一模）二次根式，给赋予一个实际意义为_____． 【答案】面积是的正方形的边长（答案不唯一） 【详解】解：一个实际意义为：面积是的正方形的边长． 故答案为：面积是的正方形的边长（答案不唯一）． 10．（2026·河南焦作·一模）请写出一个使的值为整数的的值：______． 【答案】（答案不唯一，符合条件即可） 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，因此，即 ， 若为整数，则必为非负的完全平方数，故可为、、、等完全平方数， 可令，解得 ． 11．（24-25八年级下·浙江温州·月考）当__________时，二次根式的值为0． 【答案】2 【详解】解：根据题意可得：，解得：．故答案为：2． 12．（25-26九年级下·河南商丘·月考）如果有意义，则a的取值范围是 _____________ ． 【答案】且． 【详解】解：∵有意义，∴且，解得且． 13．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）已知，化简______；化简______． 【答案】 【详解】解：∵∴；． 14．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）要使二次根式有意义，则x的值可以是______（写出一个数字即可）． 【答案】1 【详解】解： 二次根式有意义，，解得， 的值可以是小于等于的任意一个数，∴x的值可以是（答案不唯一）． 15．（25-26八年级下·重庆万州·月考）若x，y都是实数，且，则y的算术平方根是_______． 【答案】2 【详解】解：根据二次根式的定义 可得，将代入，得，的算术平方根为． 16．（2025·贵州遵义·一模）使等式成立的实数的取值范围是，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】 【详解】解：根据二次根式的性质，要使等式成立，需满足且， 即且．又的取值范围是，． 是关于的一元一次方程，，解得，， 将，代入方程得，，解得，， 关于的一元一次方程的解为． 17．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1)(2)当时，值为；当值为时， 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足，解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则，解得：． 18．（24-25七年级下·陕西西安·期中）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 【答案】冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【详解】解：把代入，得．解得． 冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 19．（25-26七年级下·贵州遵义·月考）是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． (1)化简：________，________； (2)已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】(1)4；(2) 【详解】（1）解：，， （2）解：由数轴可知，则，， ，， 原式． 20．（25-26八年级下·河南信阳·期中）课本再现观察下列等式，解答后面的问题： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． (1)请直接写出第个等式__________； (2)用字母是正整数，表示这一规律是：__________，并给出证明； (3)爱思考的小开同学在解决上面问题时，注意到，，猜想如果根号里的式子加法改为减法，也会有一系列有类似规律的式子．经过一番尝试，他写出了以下两个式子，，，请你帮助直接写出，的值，__________，__________． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)， 【详解】（1）解：由题干中的等式得第个等式为：． （2）解：用字母是正整数，表示这一规律是：， 证明：，． （3）解：， ，， ，，经检验，是原方程的解． ， ，，，，， 经检验，是原方程的解．综上，，． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1 二次根式的概念 教学目标 · 1.理解二次根式的概念，明确双重非负性（被开方数a≥0，且≥0）。 2.掌握二次根式有意义的条件，能准确求使二次根式有意义的字母取值范围（含单一条件、与分式/ 零指数综合的复合条件）。 3.理解并会用性质：和，能进行简单计算与化简。 4.体会二次根式在几何、实际问题中的应用，感受数学的严谨性与实用性。培养规范表达、严谨审题的习惯，激发学习兴趣。 教学重难点 1.重点 （1）二次根式的概念与双重非负性（判定一个式子是否为二次根式的核心依据）； （2）二次根式有意义的条件（求字母取值范围，高频考点）。 2.难点 （1）对 “双重非负性” 的完整理解与应用：易忽略 a≥0，或在综合题中漏列不等式； （2）性质和的理解与应用。 知识点01 二次根式 1）二次根式:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式（quadratic radical），a可以是一个数，也可以是一个代数式。当a是一个非负数时，表示a的算术平方根。 2）二次根式有意义：被开方数为非负数，即有意义。 3）二次根式的性质 （1）二次根式（）的双重非负性：即且。 （2）二次根式的性质1：当时，。 （3）二次根式的性质2：。 【即学即练】 1．（2026·河南洛阳·一模）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级下·山东聊城·月考）要使式子有意义，则x应满足（　　） A． B． C． D．或 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山东济宁·月考）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·江苏·月考）计算：______． 7．（2026·湖北襄阳·一模）给出以下各式： ①；②；③． (1)判断以上三式是否成立，成立的有___________（填写序号）； (2)类比上述式子，试再写出两个同类型的式子； (3)你能猜出其中的规律吗？请用字母表示这一规律，并验证你的猜想是否正确． 题型01 二次根式的识别 1．（25-26八年级上·重庆·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26九年级下·辽宁辽阳·开学考试）给出下列各式：．其中二次根式的个数是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型02 求二次根式的值 1．（25-26九年级上·山西晋城·月考）当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级下·浙江台州·月考）当时，则二次根式_____． 3．（24-25八年级下·广东中山·月考）当时，二次根式的值为_________． 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）当时，二次根式的值为______． 题型03 求二次根式中的参数 1．（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 2．（25-26八年级下·陕西安康·月考）已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 3．（25-26八年级下·云南昭通·月考）若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26七年级上·山东威海·期末）若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 题型04 二次根式有意义的条件 1．（2026·云南昭通·一模）要使有意义，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北衡水·模拟预测）如图是x在数轴上表示的取值范围，满足条件的任意x的值都能使一个二次根式有意义，则这个二次根式是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江西赣州·月考）代数式中的取值范围在数轴上表示如图所示，则的值为（    ） A．4 B．3 C．1 D． 4．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 题型05 二次根式有意义求参数值 1．（25-26八年级下·湖北·月考）已知实数a，b满足，则的值为（    ） A．3 B．7 C．10 D．3或7 2．（25-26八年级下·陕西安康·月考）若，则代数式的值为（    ） A．2 B． C．0 D．1 3．（24-25八年级下·辽宁抚顺·月考）若有意义，则这个式子的值为（    ） A．4 B． C．0 D．1 4．（25-26八年级下·甘肃平凉·月考）若，求的值． 题型06 二次根式的性质求参数范围 1．（25-26八年级下·湖北·月考）若二次根式，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26八年级下·重庆梁平·期中）如果，那么x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·河南周口·一模）已知实数a满足 ，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型07 二次根式的性质求值 1．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 2．（25-26八年级下·天津·开学考试）计算： 3．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）计算：______； ______． 4.（25-26八年级上·福建泉州·期末）求出的值为_____． 题型08 二次根式的性质化简 1．（2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 2．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖南湘西·月考）若，则化简的结果是________． 4．（25-26八年级下·山东聊城·月考）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值____________． 5．（25-26八年级下·重庆·期中）化简_____． 题型09 二次根式的规律问题 1．（25-26八年级下·山东德州·月考）观察下列各式： ①；②；③； (1)根据你发现的规律填空： ． (2)猜想为自然数的值，并通过计算验证你的猜想． 2．（25-26八年级上·安徽六安·月考）观察下列各式： ；；；… (1)请你按照上面每个等式反映的规律，猜想：①______=______； ②写出用n（n为正整数）表示的等式：______=______； (2)利用上述规律计算：． 3．（25-26八年级下·河南周口·月考）观察下列等式，其中反映了某种规律： ；；，… (1)按照这种规律在括号里填入相应的数：__，__；(2)计算：（写出计算过程）；(3)请用含n（n为正整数，且）的等式把你发现的规律表示出来（无需证明）． 4．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）观察下列等式： 第1个等式：．第2个等式：． 第3个等式：．第4个等式：．…… 按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明． 1．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 2．（24-25八年级下·江苏期中）已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东聊城·月考）如果，那么的值是（　　） A． B． C．6 D．9 4．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·陕西安康·月考）计算：（   ）． A．2 B． C．4 D． 6．（25-26八年级下·浙江金华·月考）已知，当分别取，，，，2026时，所对应值的总和是（   ） A．4052 B．4054 C．4056 D．2026 7．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下， 甲： 乙： 由此，两位同学共同得到“任何实数都等于它的相反数”的结论． 两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（   ） A．第一个等号后 B．第二个等号后 C．第三个等号后 D．两位同学都没错 8．（25-26九年级下·重庆·月考）若，则________． 9．（2025·河南濮阳·一模）二次根式，给赋予一个实际意义为_____． 10．（2026·河南焦作·一模）请写出一个使的值为整数的的值：______． 11．（24-25八年级下·浙江温州·月考）当__________时，二次根式的值为0． 12．（25-26九年级下·河南商丘·月考）如果有意义，则a的取值范围是 _____________ ． 13．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）已知，化简______；化简______． 14．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）要使二次根式有意义，则x的值可以是______（写出一个数字即可）． 15．（25-26八年级下·重庆万州·月考）若x，y都是实数，且，则y的算术平方根是_______． 16．（2025·贵州遵义·一模）使等式成立的实数的取值范围是，则关于的一元一次方程的解为______． 17．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 18．（24-25七年级下·陕西西安·期中）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 19．（25-26七年级下·贵州遵义·月考）是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． (1)化简：________，________； (2)已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简． 20．（25-26八年级下·河南信阳·期中）课本再现观察下列等式，解答后面的问题： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． (1)请直接写出第个等式__________； (2)用字母是正整数，表示这一规律是：__________，并给出证明； (3)爱思考的小开同学在解决上面问题时，注意到，，猜想如果根号里的式子加法改为减法，也会有一系列有类似规律的式子．经过一番尝试，他写出了以下两个式子，，，请你帮助直接写出，的值，__________，__________． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $