专题10 正方形【考点梳理+重点题型+分层强化】 2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

专题10 正方形 （重难点题型专训） 【知识考点 正方形】 1.正方形的定义 （1）定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 （2）正方形既是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形。正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形。 （3）正方形一定是平行四边形，但是平行四边形不一定是正方形. （4）正方形的定义既是正方形的性质，也是正方形的基本判定方法. （5）正方形的面积 ① 正方形面积=a 2 (其中a是正方形的边长) ② 正方形面积=m 2(其中m是正方形的对角线长) 2.正方形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边均相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 ， 每条对角线平分一组对 角 对称性 轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线和过每一组对边中点的直线，有4条对称轴 中心对称图形，对称中心是对角线的交点 3.正方形的判定 （一）判定方法1（根据定义）：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 思路：先证四边形是平行四边形，再证明它有一组邻边相等，一个角是直角； （二）判定方法2（根据邻边）：有一组邻边相等的矩形是正方形； 思路：先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等； （三）判定方法3（根据角）：有一个角为直角的菱形是正方形； 思路：先证四边形是菱形，再证明它有一个角为直角； （四）判定方法4（根据对角线）： （1）对角线相等的菱形是正方形； （2）对角线相互垂直的矩形是正方形； （3）对角线相等且相互垂直的平行四边形是正方形； （4）对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形。 4. 矩形、菱形、正方形与平行四边形的关系 5.中点四边形 （1）定义：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH就是中点四边形． （2）常见的中点四边形形状归纳 原四边形 中点四边形 任意四边形（包括平行四边形） 平行四边形 两条对角线相等的四边形（包括矩形和等腰梯形) 菱形 两条对角线互相垂直的四边形（包括菱形） 矩形 两条对角线相等且互相垂直的四边形（包括正方形） 正方形 【重难点常考题型概览】 【题型01】利用正方形的性质求角度 【题型02】利用正方形的性质求线段长 【题型03】利用正方形的性质求面积 【题型04】利用正方形的性质求坐标 【题型05】利用正方形的性质证明 【题型06】添加条件使四边形是正方形 【题型07】证明四边形是正方形 【题型08】根据正方形的性质与判定综合求值 【题型09】根据正方形的性质与判定求值证明 【题型10】正方形中的折叠问题 【题型11】正方形中的动点问题 【题型12】正方形中的最值问题 【题型13】正方形中的存在性问题 【题型14】中点四边形问题 【题型15】特殊平行四边形的综合问题 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】利用正方形的性质求角度 【例1】（2024-2025八年级下·重庆长寿·期末）如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点F在边上，且，连接，，交于G，若，则( ) A． B． C． D． 【变式1-1】（2024-2025八年级下·陕西汉中·期末）如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·湖南永州·期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，则______． 【变式1-3】（2024-2025八年级下·江苏无锡·月考）如图，是正方形边延长线上的一点，且，则的度数为______ 【题型02】利用正方形的性质求线段长 【例2】（2024-2025八年级下·湖北武汉·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点、，使，与交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024-2025八年级下·江苏宿迁·期末）如图，正方形和正方形，点F，B，C在同一直线上，连接，M是的中点，连接，若，，则正方形的边长为（ ） A．1 B． C．1.5 D． 【变式2-2】（2024-2025八年级下·上海黄浦·期末）如图，正方形和正方形的边长分别为和，点，分别在边，上，为的中点，连接，则的长为 ______． 【变式2-3】（2024-2025八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为 ； （2）若点是中点，，则的长为 ． 【题型03】利用正方形的性质求面积 【例3】（2024-2025八年级下·重庆黔江·期末）如图，在边长为8的正方形中，点E是边的中点，在对角线上任取一点M，连接、，当时，的面积为（   ） A．16 B．12 C． D． 【变式3-1】（2024-2025八年级下·四川遂宁·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，已知两个正方形的边长都为，那么绕点转动正方形，两个正方形重叠部分的面积为（   ）． A．12 B．9 C． D．不确定 【变式3-2】（2024-2025八年级下·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A．13 B．28 C．34 D．36 【变式3-3】（2024-2025八年级下·山东潍坊·期中）如图，正方形与正方形并排摆放（即、、三点共线），连接，．已知正方形的面积为4，正方形的面积为2，则图中阴影部分面积为______． 【题型04】利用正方形的性质求坐标 【例4】（2025-2026八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024-2025八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，正方形的顶点B、C的坐标分别为，，则点A的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024-2025八年级下·河南南阳·期末）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为．固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024-2025八年级下·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ． 【题型05】利用正方形的性质证明 【例5】（2024-2025八年级下·重庆渝北·期中）如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式5-1】（2024-2025八年级下·青海海东·期末）如图，正方形中，点，分别为，边上的点，且，连接，求证：． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·甘肃甘南·期中）如图，在正方形和正方形中，连接、交于点，连接．求证： (1)； (2)平分． 【变式5-3】（2024-2025八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，为正方形内一点，，为对角线的交点，连接，． (1)求证：； (2)求证：． 【题型06】添加条件使四边形是正方形 【例6】（2024-2025八年级下·海南·期末）如图，在中，．要使得四边形是正方形，还需增加一个条件． 在下列增加的条件中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024-2025八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知平行四边形，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形成为正方形．①；②；③；④．则下列四种选法中错误的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【变式6-2】（2022-2023八年级下·广东广州·期末）已知菱形中对角线、相交于点，添加条件 可使菱形成为正方形． 【变式6-3】（2024-2025八年级下·江苏泰州·月考）如图，已知中是的中点，过点C作，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若F是上一点，且，则当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【题型07】证明四边形是正方形 【例7】（2024-2025八年级下·广东珠海·期末）如图，已知菱形的对角线交于点是对角线所在直线上的两点，且 ，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【变式7-1】（2024-2025八年级下·陕西商洛·期末）如图，在矩形中，平分，平分交于点E，点E在边上，．求证：四边形是正方形． 【变式7-2】（2022-2023八年级下·贵州铜仁·月考）如图，在和中，，，，为边上一点． (1)求证： (2)若点是的中点，求证：四边形是正方形． 【变式7-3】（2024-2025八年级下·广西南宁·期中）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接，且． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【题型08】根据正方形的性质与判定综合求值 【例8】（2024-2025八年级下·山西大同·期中）如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【变式8-1】（2024-2025八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图：菱形中，点E在边上，将沿折叠，点B对应点为点F，恰好使．点P为边上一点，直线交于点G．若，，，则的长为 ． 【变式8-2】（2024-2025八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【变式8-3】（2025-2026八年级上·广东广州·期末）如图，中，，，点分别为边上动点（点与点不重合），且，过点作边的垂线交的延长线于点． (1)设，求证：； (2)若为等腰三角形，求的度数； (3)设的周长为，点在运动的过程中，的值是否会发生变化？如果不变，求的值；如果变化，求的取值范围． 【题型09】根据正方形的性质与判定求值证明 【例9】（2024-2025八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【变式9-1】（2024-2025八年级下·四川攀枝花·月考）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且 (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，则成立吗？为什么？ (3)运用解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，求的长． 【变式9-2】（2024-2025八年级下·河北廊坊·月考）四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)如图，求证：矩形是正方形（提示：过E分别作、）； (2)若，，求的长； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【变式9-3】（2023-2024八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在正方形中，为上一点，过作于，延长至点与交于，连接，若． (1)如图1，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，延长、交于点，连接、，若为中点，，求的长． 【题型10】正方形中的折叠问题 【例10】（2024-2025八年级下·山西运城·期中）综合与实践 如图，在边长为的正方形中（即，），连接，，，将三角形沿直线折叠，得到，延长交于点M． (1)连接，线段可以看做线段沿着的方向平移______后得到； (2)连接，猜想是否为直角三角形，并加以说明； (3)直接写出与的数量关系． 【变式10-1】（2024-2025八年级下·福建泉州·期末）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，将纸片压平并展开，得到折痕，设的对应边交于点，连接交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的周长． 【变式10-2】（2024-2025八年级下·江苏宿迁·期末）在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H．求证：； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段AH的长______． 【变式10-3】（2024-2025八年级下·广东东莞·期末）如图1，在正方形中，，点为边上的动点（点与点不重合），把沿直线翻折，得到，延长交于点，连接． (1)①求的度数： ②若点是的中点，求的长． (2)如图2，过点作，与的延长线交于点，连接．求的最小值． 【题型11】正方形中的动点问题 【例11】（2024-2025八年级下·河北邢台·期中）如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向运动到点，点从点出发，沿方向运动到点，点，的速度均为每秒1个单位长度．设点，的运动时间为（秒）． (1)求与之间的距离； (2)求当为何值时，四边形是平行四边形，并求此时四边形的面积； (3)分别过点，作于点，于点，若以，，，四个点为顶点的四边形是正方形，求的值． 【变式11-1】（2024-2025八年级下·福建厦门·期末）在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于． (1)如图，过点作于，求证：； (2)如图，点E为的中点，连接，求证：； (3)如图，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长． 【变式11-2】（2022-2023八年级下·吉林长春·期末）【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 ； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 ． 【变式11-3】（2024-2025八年级下·江苏泰州·月考）综合与实践 某数学兴趣小组在探究苏科版八年级数学教材时，经历了如下过程：如图，正方形的边长为，、、、分别是上的动点，且． 【知识回顾】（1）求证：四边形是正方形； 【规律探究】（2）判断直线是否经过一个定点，并说明理由； 【拓展延伸】（3）设线段的中点为，当点从点运动到点的过程中，求点运动的路径长． 【题型12】正方形中的最值问题 【例12】（2024-2025八年级下·山东临沂·期中）如图，在正方形中，E为的中点，以为直角边作等腰直角，连接，G为线段上一点，若，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式12-1】（2024-2025八年级下·湖北·期末）如图，正方形的边长为3，E为与点D不重合的动点，以为一边作正方形．设，点F，G与点C的距离分别为，，则的最小值为 ． 【变式12-2】（2024-2025八年级下·广东·期中）如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 【变式12-3】（2024-2025八年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点D、N分别作的平行线，并交于点P，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求证：． （2）的大小为______度，线段长度的最小值为______． 【方法运用】（3）如图③，在菱形中，，，点E、F分别在边上，且，则周长的最小值为______． 【题型13】正方形中的存在性问题 【例13】（2024-2025八年级下·云南红河·期末）已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）． (1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图2，当点P在边上，时，求t的值； (3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式13-1】（2024-2025八年级下·天津滨海新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是动点且纵坐标为 4 ，点是线段上的一个动点，过点作直线平行于轴，设分别交射线与轴所成的两个角的平分线于点、． (1)求证：； (2)当 为何值时，四边形是矩形？证明你的结论； (3)是否存在点A、B，使四边形为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由． 【变式13-2】（2024-2025八年级下·河北石家庄·期中）如图①，在矩形 纸片中，，连接，，沿对角线剪开，将沿射线方向平移得到（如图2），直线与交于点E，直线与交于点F．设． (1)在图①中，的度数为_____；边的长为______； (2)若点在线段上，四边形的形状是______； (3)若点在射线上，当x为何值时，以、、C、D为顶点的四边形是正方形？ (4)已知存在x值，使得以、E、C、F为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的x值． 【变式13-3】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为和，且满足．将矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，与y轴相交于点E． (1)___________，___________； (2)试证明≌，并直接写出点E的坐标； (3)若点F是线段上的一个动点，则的最小值为___________； (4)平面内是否存在点M与点N使四边形为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型14】中点四边形问题 【例14】（2024-2025八年级下·广东东莞·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】 （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 【变式14-1】（2024-2025八年级下·陕西西安·月考）如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 【变式14-2】（2024-2025八年级下·河南安阳·期中）如图，边长为4的菱形中，、、、依次为，，，各边的中点． (1)求证：四边形为矩形； (2)当______时，四边形为正方形． 【变式14-3】（2024-2025八年级下·上海嘉定·期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，且． (1)求证：； (2)连接、，分别取、、、的中点、、、，四边形是什么特殊的平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由． 【题型15】特殊平行四边形的综合问题 【例15】（2024-2025八年级下·甘肃金昌·期中）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【变式15-1】（2024-2025八年级下·湖南长沙·期末）凸多边形是一个内部角都小于180度的多边形．在凸多边形中，我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”；对角线相等的凸四边形叫做“对等四边形”． (1)在“①矩形；②菱形；③等腰梯形；④正方形”中一定是“十字形”的有___________；一定是“对等四边形”的有___________；（请填序号） (2)如图1：若凸四边形是“十字形”也是“对等四边形”，分别是的中点，求证，四边形为正方形． (3)如图2，在中，，点从点出发沿方向以2个单位每秒向匀速运动；同时点从出发沿方向以1个单位每秒向匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，，连接，是否存在时间（秒），使得四边形为“十字形”．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式15-2】（2024-2025八年级下·辽宁大连·期末）【发现问题】 在学习菱形的时候，小明发现菱形符合八年级上学期学过的筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，菱形是一种特殊的筝形． 【初步应用】 （1）如图1，在菱形中，点是边的中点，点是射线上一点，连接，，将沿所在直线翻折到，点恰好落在上．求证：四边形和四边形都是筝形． 【类比迁移】 （2）如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并证明． 【解决问题】 （3）将（1）中的“菱形”改为“矩形”，增加“，，且”，其他条件不变，请直接写出______（用含的代数式表示）． 【变式15-3】（2024-2025八年级下·河北唐山·期中）在四边形中，，，，，，点从点以的速度向点运动，点从点以的速度同时向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)求为何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中，_________（答“存在”或“不存在”）t值，使得四边形是菱形； (4)若只改变线段的长度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你求出的值和线段的长度． 【特训01】拓展培优强化 1.（2024-2025八年级下·北京门头沟·期末）如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设． (1)依题意补全图形； (2)求的度数（用含α的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 2．（2024-2025八年级下·河南洛阳·期末）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究． 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形． （1）在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有______（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 性质探究 （2）如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当时，请判断中点四边形的形状并说明理由； （3）如图3，在中，，D为外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积． 3.（2024-2025八年级下·江苏苏州·期中）【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交， 于点M，E，F，N，求证：． （3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 4.（2024-2025八年级下·河南安阳·期末）数学活动课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动． 将直角的顶点放在正方形的对角线上（点不与点、重合）其中直角边与交于点，直角边与交于点． (1)发现： 如图1，当与垂直时，线段和的数量关系是______；四边形的形状是______； (2)探究 如图2，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化，若变化，请写出新的数量关系；若不变，请给出证明； (3)拓展： 当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 5．（2024-2025八年级下·河南新乡·期末）综合与实践 八年级下册课本第64页中的“数学活动”——折纸引起了许多同学的兴趣．于是，数学活动课上，数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．根据以上操作，易得，再结合矩形的性质，可得，进而得到． 【初步应用】 如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【迁移探究】 如图3，将矩形纸片换成正方形纸片，按照如下步骤操作： 步骤一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 步骤二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接． （3）若正方形纸片的边长为，，直接写出的长． 6．（2024-2025八年级下·江苏宿迁·期末）四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求正方形的边长； (3)点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为， ①求的长为_______； ②正方形的面积的最小值为_______． 7．（2024-2025八年级下·湖北随州·期中）情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系． （I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？ （II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度： ①正方形的边长为，则______； ②矩形中，，，则_______； ③在菱形中，，，则_______； 再通过几何图形一般化具体分析找规律： ④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示） ⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示） （III）猜想并证明： 如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程． （IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·四川成都·中考真题）下列命题中，假命题是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 2.（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 3．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（   ） A．1 B．2 C．5 D．10 4．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（ ） A． B． C．2 D． 5．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为______． 6．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______． 7.（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）在菱形中，对角线相交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以是__________． 8．（2024·青海西宁·中考真题）如图，正方形的边长为，以边为底向外作等腰，点是对角线上的一个动点，连接，，则的最小值是______． 9．（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ． 10．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为___________． 11．（2023·山东·中考真题）如图，在正方形中，分别以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，则___________． 12.（2023·宁夏·中考真题）如图，在边长为2的正方形中，点在上，连接，．则图中阴影部分的面积是 ． 13.（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 14.（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 15.（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 16.（2025·四川攀枝花·中考真题）如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 17.（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 18．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 正方形 （重难点题型专训） 【知识考点 正方形】 1.正方形的定义 （1）定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 （2）正方形既是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形。正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形。 （3）正方形一定是平行四边形，但是平行四边形不一定是正方形. （4）正方形的定义既是正方形的性质，也是正方形的基本判定方法. （5）正方形的面积 ① 正方形面积=a 2 (其中a是正方形的边长) ② 正方形面积=m 2(其中m是正方形的对角线长) 2.正方形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边均相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 ， 每条对角线平分一组对 角 对称性 轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线和过每一组对边中点的直线，有4条对称轴 中心对称图形，对称中心是对角线的交点 3.正方形的判定 （一）判定方法1（根据定义）：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 思路：先证四边形是平行四边形，再证明它有一组邻边相等，一个角是直角； （二）判定方法2（根据邻边）：有一组邻边相等的矩形是正方形； 思路：先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等； （三）判定方法3（根据角）：有一个角为直角的菱形是正方形； 思路：先证四边形是菱形，再证明它有一个角为直角； （四）判定方法4（根据对角线）： （1）对角线相等的菱形是正方形； （2）对角线相互垂直的矩形是正方形； （3）对角线相等且相互垂直的平行四边形是正方形； （4）对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形。 4. 矩形、菱形、正方形与平行四边形的关系 5.中点四边形 （1）定义：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH就是中点四边形． （2）常见的中点四边形形状归纳 原四边形 中点四边形 任意四边形（包括平行四边形） 平行四边形 两条对角线相等的四边形（包括矩形和等腰梯形) 菱形 两条对角线互相垂直的四边形（包括菱形） 矩形 两条对角线相等且互相垂直的四边形（包括正方形） 正方形 【重难点常考题型概览】 【题型01】利用正方形的性质求角度 【题型02】利用正方形的性质求线段长 【题型03】利用正方形的性质求面积 【题型04】利用正方形的性质求坐标 【题型05】利用正方形的性质证明 【题型06】添加条件使四边形是正方形 【题型07】证明四边形是正方形 【题型08】根据正方形的性质与判定综合求值 【题型09】根据正方形的性质与判定求值证明 【题型10】正方形中的折叠问题 【题型11】正方形中的动点问题 【题型12】正方形中的最值问题 【题型13】正方形中的存在性问题 【题型14】中点四边形问题 【题型15】特殊平行四边形的综合问题 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】利用正方形的性质求角度 【例1】（2024-2025八年级下·重庆长寿·期末）如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点F在边上，且，连接，，交于G，若，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接，根据正方形的性质可证得，从而得出，，再证为等腰直角三角形，得出，． 【解答】如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， 又∵， ∴， ，， ， ， 即， ∴是等腰直角三角形， ， ， 故选：C． 【变式1-1】（2024-2025八年级下·陕西汉中·期末）如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键.由平角的定义求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，再由平行四边形的同旁内角互补即可得出结果． 【解答】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：C． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·湖南永州·期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，则______． 【答案】/30度 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，由与为等腰三角形是解决本题的关键 ． 由四边形是正方形，是等边三角形，可得，，则可得与为等腰三角形，再根据三角形的内角和为即可求解 ． 【解答】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，，，， ∴与为等腰三角形，且， ∴， ∴． 故答案为： ． 【变式1-3】（2024-2025八年级下·江苏无锡·月考）如图，是正方形边延长线上的一点，且，则的度数为______ 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边对等角的性质，三角形外角的性质，关键是掌握正方形的对角线平分一组对角． 根据等边对等角的性质可得，然后根据正方形的对角线平分一组对角，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行列式求出． 【解答】解：， ， 是正方形的对角线， ， ， ， 故答案为：． 【题型02】利用正方形的性质求线段长 【例2】（2024-2025八年级下·湖北武汉·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点、，使，与交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图所示，过点O作交于点P，连接，求出，设，则，得到，证明出，得到，，点O是正方形的中心，然后利用勾股定理求出，，进而求解即可． 【解答】如图所示，过点O作交于点P，连接 ∵ ∴ ∵ ∴设，则 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴点O是正方形的中心 ∴垂直平分， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 【点评】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式2-1】（2024-2025八年级下·江苏宿迁·期末）如图，正方形和正方形，点F，B，C在同一直线上，连接，M是的中点，连接，若，，则正方形的边长为（ ） A．1 B． C．1.5 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 延长交于点H，证明和全等得， ，则，在中，由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理求出即可得出答案． 【解答】解：延长交于点H，如图所示： ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴， ∵点M是的中点， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴， 在中， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴． ∴正方形的边长为． 故选：B． 【变式2-2】（2024-2025八年级下·上海黄浦·期末）如图，正方形和正方形的边长分别为和，点，分别在边，上，为的中点，连接，则的长为 ______． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理解三角形等知识点，牢记性质和定理内容，并结合图形灵活应用是解题关键． 连接，根据正方形的性质可得A、E、C三点共线，连接交于点M，由正方形的性质求和勾股定理可求得和，的长度，从而求得，因为的中点，可得和，再由正方形的性质可得和 ，在中，求解即可． 【解答】解：如下图，连接，连接与交于点M ∵四边形和四边形是正方形，且点、G分别在边上 ∴A、E、C三点共线，，，， ， 在中，，， 由勾股定理得： 在中，， 由勾股定理得： ∴ 又∵P是的中点，M是的中点 ∴ 又∵ 在中，由勾股定理得： 即：= 故答案为： 【变式2-3】（2024-2025八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为 ； （2）若点是中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】（1）如图所示，由三角形内角和定理得到，，结合对顶角相等、等腰三角形的判定与性质确定、、，代入得到关于的方程，求解即可得到，再由对称性质，在中，由两锐角互余求解即可得到答案； （2）连接，如图所示，由对称性得到,，，进而确定,，在中、中和中，由勾股定理列式求解即可得到答案． 【解答】解：（1）如图所示： 则，，， 由与关于对称，得到，则， 在正方形中，，则， ， ，即， 解得， 由与关于对称，得到， 在中，，，则； 故答案为：； （2）连接，如图所示： 由与关于对称，得到,，， 则,， 在中，由勾股定理可得, 点是中点， 设,则， 在中，由勾股定理可得,即， 解得， , 在等腰中，,,由勾股定理可得, 解得, 故答案为：． 【点评】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、正方形性质、直角三角形两锐角互余、对顶角相等、等腰三角形的判定与性质、对称性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，准确构造辅助线求解是解决问题的关键． 【题型03】利用正方形的性质求面积 【例3】（2024-2025八年级下·重庆黔江·期末）如图，在边长为8的正方形中，点E是边的中点，在对角线上任取一点M，连接、，当时，的面积为（   ） A．16 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】连接，过M作交于F，交于G，作交于H，证明，根据勾股定理得到，设，由等面积法求出，根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：如图，连接，过M作交于F，交于G，作交于H， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵在边长为8的正方形中，点E是边的中点， ∴， 解得：， 设， ∵， ∴ 解得： ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式3-1】（2024-2025八年级下·四川遂宁·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，已知两个正方形的边长都为，那么绕点转动正方形，两个正方形重叠部分的面积为（   ）． A．12 B．9 C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定及性质．求两个正方形重叠部分的面积，首先应证明：，从而将重叠部分的面积转化为的面积． 【解答】解：∵和是边长相等的正方形， ∴，，， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴重叠部分面积为：， 故选B． 【变式3-2】（2024-2025八年级下·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A．13 B．28 C．34 D．36 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识．作轴于．只要证明，推出，，由，，推出，，推出，再利用勾股定理求出即可解决问题． 【解答】解：作轴于． 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， ， 正方形的面积， 故选：C． 【变式3-3】（2024-2025八年级下·山东潍坊·期中）如图，正方形与正方形并排摆放（即、、三点共线），连接，．已知正方形的面积为4，正方形的面积为2，则图中阴影部分面积为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，根据正方形面积计算公式可得，再根据列式求解即可． 【解答】解；∵正方形的面积为4，正方形的面积为2， ∴正方形的边长为2，正方形的边长为， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【题型04】利用正方形的性质求坐标 【例4】（2025-2026八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，矩形的性质，正方形的性质，能够正确作出辅助线是解题关键； 过点C作，，先证得四边形是矩形，再通过可证得，进而证得矩形是正方形，再通过线段的和差关系算出，进而可得到答案． 【解答】解：如图，过点C作，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式4-1】（2024-2025八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，正方形的顶点B、C的坐标分别为，，则点A的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和点的坐标，解题关键是构建全等三角形，利用全等三角形对应边相等求出点的坐标． 【解答】解：作，垂足为E， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵B、C的坐标分别为，， ∴，， 点A的坐标为； 故选：C． 【变式4-2】（2024-2025八年级下·河南南阳·期末）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为．固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形、正方形的性质、勾股定理，由题意得出，，，，，由勾股定理得出，即可得解． 【解答】解：∵点的坐标为， ∴正方形中，，， ∴， 由题意得：，，，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：D． 【变式4-3】（2024-2025八年级下·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，正方形的性质，坐标与图形变化—对称，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．设正方形的边长为，与轴相交于，则四边形 矩形，推出， ，．由折叠的性质，得，．根据点的坐标为 ，点的坐标为，得出， ，所以．在 中，，解得 ，则，．在中，，解得，所以，即可得出点的坐标． 【解答】解：如图，设正方形的边长为，与轴相交于， 则四边形是矩形， ， ，． 由折叠的性质，得，． 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ． 在中，， ， 解得， ，． 在中，， ， 解得， ， 点的坐标为 ． 故答案为：． 【题型05】利用正方形的性质证明 【例5】（2024-2025八年级下·重庆渝北·期中）如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由四边形和四边形是正方形，可得，，，从而得到，然后利用即可证明结论； （2）如图所示，连接交于点，计算出、，根据勾股定理即可求出的长． 【解答】（1）解：由四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中： ， ， ． （2）解：如图，连接交于点， ， ， ， ． 【变式5-1】（2024-2025八年级下·青海海东·期末）如图，正方形中，点，分别为，边上的点，且，连接，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定．根据正方形的性质得出，，根据已知条件得出，证明，得出，即可得证． 【解答】解：在正方形中，，， ， ， ， ， ． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·甘肃甘南·期中）如图，在正方形和正方形中，连接、交于点，连接．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形是判定与性质，角平分线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合正方形的性质得，证明，即可作答． （2）结合，得出，根据，即，则，得证平分． 【解答】（1）解：∵四边形，都是正方形， ∴， 则， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点分别作，如图所示： 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 则， 即点A在的平分线上， ∴平分． 【变式5-3】（2024-2025八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，为正方形内一点，，为对角线的交点，连接，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）要证明，考虑利用正方形的性质构造辅助线．正方形对角线互相垂直且平分，为对角线交点，可通过构造全等三角形，将与特殊角建立联系． （2）要证明，根据（1）中得到的全等关系，将转化为，再结合等腰直角三角形的边的关系进行推导． 【解答】（1）解：过点作交于点，连接， ∴， ∵四边形是正方形，为对角线交点， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形． ∴． （2）证明：由（1）知，． ∴． ∵是等腰直角三角形，． ∴． 又∵， ∴． 【点评】本题主要考查正方形的性质（对角线互相垂直平分且相等、四个角为直角）、勾股定理、全等三角形的判定（ASA）和性质以及等腰直角三角形的判定和性质．解题的关键在于利用正方形对角线交点的性质构造全等三角形，将所求角和线段关系转化到熟悉的特殊三角形（等腰直角三角形）中进行求解． 【题型06】添加条件使四边形是正方形 【例6】（2024-2025八年级下·海南·期末）如图，在中，．要使得四边形是正方形，还需增加一个条件． 在下列增加的条件中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的判定，准确利用平行四边形的性质是关键． 根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答； 【解答】解：∵在平行四边形中，， ∴四边形是矩形， A、当时，就是正方形，不符合题意； B、当∠时，无法确定就是正方形，符合题意； C、当时，就是正方形，不符合题意； D、当时， ∴， ∴，就是正方形，不符合题意； 故选B． 【变式6-1】（2024-2025八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知平行四边形，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形成为正方形．①；②；③；④．则下列四种选法中错误的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形、菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质，矩形、菱形、正方形的判定逐项分析即可得出答案，熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定是解题的关键． 【解答】解：、∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ∵ ， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ∵ ， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形， 但当 ，四边形不一定是正方形，故添加不使平行四边形成为正方形，符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形， ∵ ， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 故选：． 【变式6-2】（2022-2023八年级下·广东广州·期末）已知菱形中对角线、相交于点，添加条件 可使菱形成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的性质、正方形的判定等知识点，熟练掌握菱形的性质及正方形的判定是解题的关键．根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件即可解答． 【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加：； 故添加的条件为：或． 故答案为：（不唯一）． 【变式6-3】（2024-2025八年级下·江苏泰州·月考）如图，已知中是的中点，过点C作，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若F是上一点，且，则当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当是等腰直角三角形时，四边形是正方形；理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，D是的中点，得出，，因为，得，因为，即可证明四边形是平行四边形，结合有一个直角的平行四边形是矩形，即可作答． （2）结合有一组邻边相等的矩形是正方形，进行分析，即可作答． 【解答】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：当为等腰直角三角形时，四边形是正方形， ∵为等腰直角三角形 ∴， 由（1）得四边形是矩形； ∴ ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形； ∴四边形是正方形． 【题型07】证明四边形是正方形 【例7】（2024-2025八年级下·广东珠海·期末）如图，已知菱形的对角线交于点是对角线所在直线上的两点，且 ，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了菱形的判定和性质和正方形的判定，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键； 根据菱形的性质可得，进而可得，即得四边形是菱形，再证明即可得解． 【解答】证明：四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 又， ， 菱形是正方形． 【变式7-1】（2024-2025八年级下·陕西商洛·期末）如图，在矩形中，平分，平分交于点E，点E在边上，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰三角形的判定等，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 根据可推出四边形是平行四边形，再由矩形的性质和角平分线的定义推出，从而可说明平行四边形是正方形． 【解答】 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 平分，平分， ， ， 平行四边形是正方形． 【变式7-2】（2022-2023八年级下·贵州铜仁·月考）如图，在和中，，，，为边上一点． (1)求证： (2)若点是的中点，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质： （1）只需要证明，即可证明； （2）根据直角三角形的性质得到，再由三线合一定理得到，再证明，即可证明四边形是正方形． 【解答】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：中，D是中点的，， ， 又， ， 四边形是菱形． 又， 四边形是正方形． 【变式7-3】（2024-2025八年级下·广西南宁·期中）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接，且． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，四边形内角和定理，勾股定理． （1）证明，可得，则矩形是正方形； （2）由已知得，则，再根据得； （3）分两种情况讨论：当与的夹角为时，点F在边上，，由四边形内角和定理得：；②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，可得． 【解答】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：分以下两种情况讨论： ①当与的夹角为时，点F在边上，， ∴， 在四边形中，由四边形内角和定理得： ； ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵，， ∴． 综上所述，的度数为或． 【题型08】根据正方形的性质与判定综合求值 【例8】（2024-2025八年级下·山西大同·期中）如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)边形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握对称性，正方形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． （1）对称性得到，，，，，进而推出，得到四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）设，推出，在中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【解答】（1）解：四边形是正方形．理由如下： ∵于点D， ∴． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 又∵， ∴矩形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，． 设，则． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，即． 解得． ∴． ∵， ∴． 【变式8-1】（2024-2025八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图：菱形中，点E在边上，将沿折叠，点B对应点为点F，恰好使．点P为边上一点，直线交于点G．若，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】过E作于M，连接交于J，先根据菱形的性质和翻折性质，结合已知得到是等腰直角三角形，进而求得，分别证明四边形是平行四边形，和四边形是正方形，推导出四边形是平行四边形，得到，进而可求解． 【解答】解：过E作于M，连接交于J， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴，则， 由折叠性质得，， ∵， ∴是等腰直角三角形，又， ∴，则， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，又， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，又， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点评】本题考查翻折性质、菱形的性质、正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运算，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． 【变式8-2】（2024-2025八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【解答】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 【变式8-3】（2025-2026八年级上·广东广州·期末）如图，中，，，点分别为边上动点（点与点不重合），且，过点作边的垂线交的延长线于点． (1)设，求证：； (2)若为等腰三角形，求的度数； (3)设的周长为，点在运动的过程中，的值是否会发生变化？如果不变，求的值；如果变化，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)的值不会发生变化，为定值，理由见解析 【分析】（）由直角三角形两锐角互余可得，再根据平角定义即可求解； （）由等腰直角三角形的性质得，进而得到，再根据等腰三角形的定义分三种情况解答即可求解； （）过点作的延长线于点，过点作于点，连接，可证四边形是正方形，得到，再分别证明和，得到，，即得，进而得到，即可求解． 【解答】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， 当时，， ∴， 由（）得，， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴此种情况不存在； 当时，， ∴， ∴； 综上，当为等腰三角形时，的度数为或； （3）解：的值不会发生变化，为定值，理由如下： 如图，过点作的延长线于点，过点作于点，连接， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∴的值不会发生变化，为定值． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的定义及性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型09】根据正方形的性质与判定求值证明 【例9】（2024-2025八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【解答】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 【变式9-1】（2024-2025八年级下·四川攀枝花·月考）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且 (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，则成立吗？为什么？ (3)运用解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题是几何综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用已知条件，可证出，即； （2）根据全等的性质得出，进而得出，即，可证，可得结论； （3）过C作，交延长线于G，先证四边形是正方形，由（2）结论可知，，设，则，在中利用勾股定理列方程求解，即可求出的长． 【解答】（1）证明：∵正方形， ，， 又∵， ． ； （2）解：成立，理由如下： ， ． ． 即． ， ． ，，， ． ． ； （3）解：如图，过C作，交延长线于G， 在直角梯形中，，， ，， 四边形为正方形． ． ， 由（2）结论可知，， ， 设，则， ，． 在中，， ， 解得：． ． 【变式9-2】（2024-2025八年级下·河北廊坊·月考）四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)如图，求证：矩形是正方形（提示：过E分别作、）； (2)若，，求的长； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、角平分线的性质、多边形的内角和等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答的关键． （1）作于P，于Q 证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）过点G作交延长线于H，证明是等腰直角三角形，可求出，证明，得到，则可证明，由（1）可得，，证明四边形是矩形，得到，则可得到，则； （3）分当与的夹角为时，点F在边上和②当与的夹角为时，点F在的延长线上两种情况分别求解即可． 【解答】（1）证明：作于P，于Q，则 ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：如图所示，过点G作交延长线于H 由正方形的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：当与的夹角为时，点F在边上，， 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得：； ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵，， ∴， 综上所述，的度数为或． 【变式9-3】（2023-2024八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在正方形中，为上一点，过作于，延长至点与交于，连接，若． (1)如图1，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，延长、交于点，连接、，若为中点，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，推出，由三角形的外角性质可得，结合，即可求解； （2）过点作于点，结合，可得，证明，得到，，再根据线段的和差即可求解； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，得到，结合，可推出，由推出，进而得到，可推出，结合可得，设，，则，证明得到，，在中，根据勾股定理求出，得到，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，    ， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于点， ， ， ，   ， ， ， ， ，   四边形为正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，   ， ， ， ， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， 设，   为的中点， ， ，    ， ，   ， ， ， ，    ， 在和中， ， ， ，， ，    ，， ，    ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ，， 在中，， ． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，并灵活运用相关知识． 【题型10】正方形中的折叠问题 【例10】（2024-2025八年级下·山西运城·期中）综合与实践 如图，在边长为的正方形中（即，），连接，，，将三角形沿直线折叠，得到，延长交于点M． (1)连接，线段可以看做线段沿着的方向平移______后得到； (2)连接，猜想是否为直角三角形，并加以说明； (3)直接写出与的数量关系． 【答案】(1)4 (2)是，见解析 (3) 【分析】（1）证明四边形是矩形，根据平移的定义即可得到答案； （2）由折叠可知，证明，则，即可得到，得到结论； （3）设，则，，，在中，，列方程并解得，则，得到，即可得到结论． 【解答】（1）解：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴线段可以看做线段沿着的方向平移后得到； 故答案为；4 （2）是，理由如下： ∵，， ∴， 由折叠可知，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）设，则，， 由折叠可知，， ∴ 在中，， ∴， 解得， 即， ∴， ∴ 【点评】此题考查了正方形的折叠问题、全等三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，熟练掌握折叠的性质和全等三角形的判定和性质是关键． 【变式10-1】（2024-2025八年级下·福建泉州·期末）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，将纸片压平并展开，得到折痕，设的对应边交于点，连接交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是关键． （1）根据折叠得到，即，由正方形的性质得到，则，由此即可求解； （2）如图，过点作交于点，可证，，，且，由此即可求解． 【解答】（1）解：由折叠得，， ， ， 即， 正方形中，， ， ； （2）解：如图，过点作交于点， ， 由（1）可知，， 在和中， ， ， ， 正方形中，， ， 在和中， ， ， ， ，且， ． 【变式10-2】（2024-2025八年级下·江苏宿迁·期末）在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H．求证：； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段AH的长______． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）12或． 【分析】（1）根据折叠的性质，得，证出，再根据，和，得出，即可证明； （2）根据正方形性质得出，，证明．得出，即可证明； （3）根据题意，分两种情况讨论．①当点在线段上时，如图1所示．②当点在的延长线上时，如图2所示． 【解答】（1）证明：由折叠的性质，得， ∵在正方形中，， ∴． ∵， ∴． ∵在正方形中，， ∴． ∴． ∴； （2）证明：在正方形中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， 即； （3）根据题意，分两种情况讨论． ①当点在线段上时，如图1所示．    ∵，， ∴，． ∴． 由（1）知， ∴． 由（2）知， ∴； ②当点在的延长线上时，如图所示． 同①可得，． ∴． ∴． ∴． 综上所述，线段的长为12或， 故答案为：12或． 【点评】该题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式10-3】（2024-2025八年级下·广东东莞·期末）如图1，在正方形中，，点为边上的动点（点与点不重合），把沿直线翻折，得到，延长交于点，连接． (1)①求的度数： ②若点是的中点，求的长． (2)如图2，过点作，与的延长线交于点，连接．求的最小值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）①由正方形的性质得到，由折叠的性质可得，则可证明，得到，据此可得，即；②由正方形的性质得到，则．由折叠的性质可得．由全等三角形的性质得到．设，则，， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）连接，过点作交的延长线于点．证明．得到．证明．得到．则．再证明，则当点在上运动时，点始终在的角平分线上．故当，即时，的值最小，据此求解即可． 【解答】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ②∵四边形是正方形， ∴， 点是BC中点，， ． 由折叠的性质可得． ∵， ． 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． ． 的长为． （2）解：如图，连接，过点作交的延长线于点． ． ． ， ． ． 又∵， ． 由（1）得，在中，， ． ． ． ． ． ． 在中，， ． ， 即当点在上运动时，点始终在的角平分线上． 当，即时，的值最小． 此时，． ． 在中，，即， ． 的最小值为． 【题型11】正方形中的动点问题 【例11】（2024-2025八年级下·河北邢台·期中）如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向运动到点，点从点出发，沿方向运动到点，点，的速度均为每秒1个单位长度．设点，的运动时间为（秒）． (1)求与之间的距离； (2)求当为何值时，四边形是平行四边形，并求此时四边形的面积； (3)分别过点，作于点，于点，若以，，，四个点为顶点的四边形是正方形，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形和正方形的判定，勾股定理等，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． （1）过点作于点，证明四边形是矩形，求出，再利用勾股定理求出即可； （2）先列式得出，，，要使四边形是平行四边形，只需即可，列式求解即可； （3）先证明四边形是矩形，四边形是矩形，分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，都得出要使以，，，四个点为顶点的四边形是正方形，只需即可，分别列式求解即可． 【解答】（1）解：过点作于点， 则 ∵， ∴ 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即与之间的距离为； （2）解：∵点，的速度均为每秒1个单位长度．设点，的运动时间为（秒），，， ∴，，， 要使四边形是平行四边形， ∵， ∴只需即可， ∴， 解得：， 此时， 由（1）可知，与之间的距离为， ∴四边形的面积为； （3）解：∵，，， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 当在左侧时，如图， 要使以，，，四个点为顶点的四边形是正方形， 则只需， ∵与之间的距离为， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当在右侧时，如图， 要使以，，，四个点为顶点的四边形是正方形， 则只需， ∵与之间的距离为， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上，或． 【变式11-1】（2024-2025八年级下·福建厦门·期末）在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于． (1)如图，过点作于，求证：； (2)如图，点E为的中点，连接，求证：； (3)如图，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】根据正方形的性质可得：，，根据同角的余角相等可得，利用可证； 利用可证，根据全等三角形的性质可证，过点作，交的延长线于点，可证，根据全等三角形的性质可证：，利用勾股定理可证结论成立； 作的中点，的中点，连接，因为点在边上运动，点在上运动，点是的中点，可知点的运动轨迹是连接、中点的线段，利用勾股定理求出的长度即为点运动的路径长． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点为的中点， ， ， 如下图所示，过点作，交的延长线于点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：如下图所示，作的中点，的中点，连接， 当点与点重合时，点与点重合，则线段与重合， 点在的中点的位置， 当点与点重合时，点与点重合，则线段与重合， 点在的中点的位置， 随着点、的运动，点在线段上运动， ， ， 在中， 【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、动点问题．解决本题的关键是根据点、的运动路径找到点的运动轨迹，根据点的运动轨迹求出点运动的路径长度． 【变式11-2】（2022-2023八年级下·吉林长春·期末）【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 ； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 ． 【答案】[问题原型]见解析；[问题应用]（1）；（2） 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马问题，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． [问题原型]证明即可； [问题应用]（1）先证，得，求证，由，，求得，则可得，即可由得解； （2）连接，可证明，得，则，延长到点，使，连接、，则，则，当、、共线时最小，求解即可． 【解答】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． [问题应用]（1）解：四边形是正方形，， ，， ，为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 为的中点， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，连接， ，，， 在和中， ， ， ， ， 延长到点，使，则，垂直平分， 连接、，则， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 【变式11-3】（2024-2025八年级下·江苏泰州·月考）综合与实践 某数学兴趣小组在探究苏科版八年级数学教材时，经历了如下过程：如图，正方形的边长为，、、、分别是上的动点，且． 【知识回顾】（1）求证：四边形是正方形； 【规律探究】（2）判断直线是否经过一个定点，并说明理由； 【拓展延伸】（3）设线段的中点为，当点从点运动到点的过程中，求点运动的路径长． 【答案】（1）见解析；（2）直线经过一个定点，这个定点为正方形的中心（、的交点）；理由见解析；（3）点运动的路径长为． 【分析】（1）由正方形的性质得出，，证出，由证明三角形全等，得出，，证出四边形是菱形，再证出，即可得出结论； （2）连接、，交点为；先证明，得出，证出为对角线、的交点，即为正方形的中心； （3）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，，，设，则，点运动的路径直线上，进而利用勾股定理即可得解． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可得：， ∴ 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是正方形； （2）解：直线经过一个定点，这个定点为正方形的中心（、的交点），理由如下： 连接、，交点为，如图所示： 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，，即为的中点， 正方形的对角线互相平分， 为对角线、的交点，即为正方形的中心； （3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，设，则， ∴，， ∵为的中点， ∴即， ∵， ∴在直线上， 当时，，当时，，解得 ∴点运动的路径长为． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，求一次函数及勾股定理，勾股定理，本题综合性强，有一定难度，正确地作出辅助线及构造直角坐标系是解题的关键． 【题型12】正方形中的最值问题 【例12】（2024-2025八年级下·山东临沂·期中）如图，在正方形中，E为的中点，以为直角边作等腰直角，连接，G为线段上一点，若，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，得到及最短距离是解答的关键．连接，过C作于，设正方形的边长为，先根据正方形的性质得到，，，，再根据等腰直角三角形的性质得到，，则，利用勾股定理求得a值，则，，利用三角形的面积公式求得，利用垂线段最短可得最小值为的长即可求解． 【解答】解：如图，连接，过C作于，设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，又， ∴由得， 解得， ∴，， 由得， ∵G为线段上一点， ∴当时，最小，最小值为的长， 则的最小值为， 故选：D． 【变式12-1】（2024-2025八年级下·湖北·期末）如图，正方形的边长为3，E为与点D不重合的动点，以为一边作正方形．设，点F，G与点C的距离分别为，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，连接、、，证明可得，则可证明，则当四点共线时，最小，最小值为的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【解答】解：如图，连接、、， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当四点共线时，最小，最小值为的长， ∵正方形的边长为3， ∴， ∴ ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式12-2】（2024-2025八年级下·广东·期中）如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 【答案】(1)①作图见解析，；② (2) 【分析】（1）①，先证明是的中位线，是的中位线，推出；再证明，得到，，即可推出，再证明，即可得到；②②由①知：，利用勾股定理得到，求出，，即可求解； （2）如图，分别取、、、的中点、、、，连接同理（1）①可得；当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，同理（1）①得，，，，利用勾股定理求出，即可解答． 【解答】（1）解：，理由如下： ∵点、、分别是、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴； ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由①知：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即（负值舍去）； （2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接 同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴； ∴ ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长， 同理（1）①得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 【点评】本题考查了四边形中点问题的综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式12-3】（2024-2025八年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点D、N分别作的平行线，并交于点P，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求证：． （2）的大小为______度，线段长度的最小值为______． 【方法运用】（3）如图③，在菱形中，，，点E、F分别在边上，且，则周长的最小值为______． 【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）． 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点分别作的平行线，并交于点，作射线，利用平行四边形的判定与性质得到，利用等量代换的性质即可得出结论； （2）利用正方形的性质，平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得出结论，再利用垂线段最短的性质和等腰直角三角形的性质解答即可； （3）过点分别作的平行线，并交于点，作射线，利用平行四边形的判定与性质和等式的性质得到，利用菱形的性质和平行线的性质得到，则为等边三角形，利用垂线段最短的性质和含角的直角三角形的性质解答即可求得EF的最小值，利用三角形的周长的定义和等式的性质得到周长，则结论可求． 【解答】（1）证明：过点分别作的平行线，并交于点，作射线，则四边形为平行四边形，如图： ∴， ∵， ∴． （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 由题意：点为上一动点， ∴当时，取得最小值， 此时， 根据勾股定理可得：， 解得：， ∵， ∴线段长度的最小值为， 故答案为：，； （3）解：过点分别作的平行线，并交于点，作射线，则四边形为平行四边形，如图： ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由题意：点为上一动点， ∴当时，取得最小值， 此时， ∴, 根据勾股定理可得：, ， ∴的最小值为， 周长， 周长的最小值为， 故答案为：． 【题型13】正方形中的存在性问题 【例13】（2024-2025八年级下·云南红河·期末）已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）． (1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图2，当点P在边上，时，求t的值； (3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得当时，四边形为平行四边形，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得方程，进而求解即可； （3）由题意可分：当点P在边上，当点P在边上，即，然后分类进行求解即可． 【解答】（1）解：当点P在边上，则有，所以， 在正方形中，， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在边上， ∴， ∴， 解得：； （3）解：存在，理由如下： 由题意可分：当点P在边上，则有，所以，此时四边形是梯形， ∴四边形的面积为， ∵四边形的面积等于正方形的面积的一半， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当点P在边上，即，则有，如图， ∵四边形的面积等于正方形的面积的一半， ∴与的面积之和也为正方形的面积的一半， ∴， 解得：； 综上所述：当时，四边形的面积等于正方形的面积的一半． 【变式13-1】（2024-2025八年级下·天津滨海新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是动点且纵坐标为 4 ，点是线段上的一个动点，过点作直线平行于轴，设分别交射线与轴所成的两个角的平分线于点、． (1)求证：； (2)当 为何值时，四边形是矩形？证明你的结论； (3)是否存在点A、B，使四边形为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)存在，使四边形为正方形，理由见解析 【分析】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练地应用矩形判定与正方形的判定是解决问题的关键． （1）根据角平分线的性质以及等角对等边即可得出，进而求出答案； （2）根据当时，首先求出四边形是平行四边形，进而得出利用角平分线的性质得出，即可得出四边形是矩形； （3）根据当点在轴时，即点坐标为时，有，此时，取的中点，由（2）知四边形是矩形，进而即可得出四边形为正方形． 【解答】（1）（1）证明：如图所示； ∵是的角平分线， ， ∵轴， ， ， ， 同理可证， ； （2）解：当，四边形是矩形， ， ， 又 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵、是角平分线， ， ∴四边形是矩形； （3）存在点、使四边形为正方形，如图所示， ∵轴， ∴当点在轴时，即点坐标为时，有，此时，取的中点，由（2）知四边形是矩形， ∴四边形为正方形， ∴存在，使四边形为正方形． 【变式13-2】（2024-2025八年级下·河北石家庄·期中）如图①，在矩形 纸片中，，连接，，沿对角线剪开，将沿射线方向平移得到（如图2），直线与交于点E，直线与交于点F．设． (1)在图①中，的度数为_____；边的长为______； (2)若点在线段上，四边形的形状是______； (3)若点在射线上，当x为何值时，以、、C、D为顶点的四边形是正方形？ (4)已知存在x值，使得以、E、C、F为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的x值． 【答案】(1)； (2)矩形 (3)或 (4)或 【分析】（1）利用矩形的性质可求得，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求得边的长； （2）由平移的性质得，推出，得到四边形是平行四边形，由，得到四边形是矩形； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用，列式计算即可求解； （4）分点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得和的长，再利用，列式计算即可求解． 【解答】（1）解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵矩形，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：由平移的性质得， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 故答案为：矩形； （3）解：当点在线段上时， ∵， ， ∵四边形是正方形， ∴，即， ； 当点在线段的延长线上时， ∵， ， ∵四边形是正方形， ∴，即 ； 综上所述，当x为或时，以，，C，D为顶点的四边形是正方形； （4）解：存在，理由如下： 当点在线段上时， ∵， ， 由平移的性质知， ∴，， ，， ， ∵四边形是菱形， ，即， ； 当点在线段的延长线上时， ∵， ， 由平移的性质可知， ，， ，， ， 四边形是菱形， ，即， ， 综上所述，当为或时，以、E、C、F为顶点的四边形是菱形 【点评】本题是几何变换综合题，考查了平移的性质，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，二次根式的混合运算．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式13-3】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为和，且满足．将矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，与y轴相交于点E． (1)___________，___________； (2)试证明≌，并直接写出点E的坐标； (3)若点F是线段上的一个动点，则的最小值为___________； (4)平面内是否存在点M与点N使四边形为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析， (3) (4)存在，， 【分析】（1）根据二次根式的非负性可以得到的值， （2）根据折叠的性质获取全等的条件证明全等， （3）先作对称点，根据勾股定理可以得到的最小值， （4）构造满足条件的全等三角形从而求得点的坐标，分两种情况讨论． 【解答】（1）解： ，， ， ， 故答案是8，4． （2）解：由折叠得，， 四边形为矩形， ，， ， 在和中 ， ． 设， ． 在中， ， ， ． ． （3）作点关于直线的对称点，由折叠知点在上，且，连接，则与交点，此时最小．    ， ， ， （4）存在，要使为正方形，则需．分以下两种情况： ①如下图，当点在直线右侧时，过点作轴于点，    在中， ， ， ． ②如下图，当点在直线左侧时，    ， ． 在中， ． ， ． 故坐标分别是，． 【点评】本题考查了二次根式的非负性，折叠的性质，轴对称的性质，正方形的判定及性质，最短距离等知识，其中，构造正方形的条件是解题的关键，二次根式的非负性是易错点． 【题型14】中点四边形问题 【例14】（2024-2025八年级下·广东东莞·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】 （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 【答案】（1）见解析（2）相等，菱形（3）垂直，矩形（4）相等且垂直 【分析】本题考查中点四边形，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理，是解题的关键： （1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，作答即可； （3）根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，作答即可； （4）根据有一个角为直角的菱形是正方形，作答即可． 【解答】解：（1）∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴， ∴中点四边形是平行四边形． （2）当原四边形对角线相等时，中点四边形是菱形； 由（1）知：中点四边形是平行四边形，， ∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴中点四边形是菱形； （3）当原四边形对角线垂直时，中点四边形是矩形； 由（1）（2）可知：，中点四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴中点四边形是矩形； （4）当原四边形对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形； 由（2）可知：中点四边形是菱形； 由（3）可知：， ∴中点四边形是正方形． 【变式14-1】（2024-2025八年级下·陕西西安·月考）如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，矩形的性质与判定，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． （1）设交于点，交于点，先根据三角形的中位线定理，得到，证明四边形是平行四边形，再根据可得，即可证明四边形是矩形； （2）由（1）得，结合，，即可求解． 【解答】（1）证明：如图，设交于点，交于点， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，即， 同理，是的中位线，即， 是的中位线，即， 是的中位线，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， ， ，， ， 四边形的周长为：． 【变式14-2】（2024-2025八年级下·河南安阳·期中）如图，边长为4的菱形中，、、、依次为，，，各边的中点． (1)求证：四边形为矩形； (2)当______时，四边形为正方形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，正方形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握相关性质和判定方法，是解题的关键： （1）连接，根据三角形的中位线定理得到四边形为平行四边形，，进而得到四边形为矩形； （2）根据有一组邻边相等的矩形为正方形，得到当时，即，菱形为正方形，四边形为正方形，即可得出结果． 【解答】（1）证明：连接， ∵、、、依次为，，，各边的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2）当时，四边形为正方形，理由如下： 当时，菱形为正方形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：四边形为矩形， ∴四边形为正方形． 【变式14-3】（2024-2025八年级下·上海嘉定·期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，且． (1)求证：； (2)连接、，分别取、、、的中点、、、，四边形是什么特殊的平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形．补全图形如图所示，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再由证明，即可证明； （2）设相交于点，根据三角形中位线和证明四边形是菱形，由得到，进而得到，得到，即可证明． 【解答】（1）解：．理由如下： 四边形是正方形， ，． 又， ． ； （2）解：四边形是正方形．补全图形如图．理由如下： 设相交于点， 分别是的中点， ． ． 四边形是菱形． ， ． ， ， ． 分别是的中点， ． ． 四边形是正方形． 【点评】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形中位线，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【题型15】特殊平行四边形的综合问题 【例15】（2024-2025八年级下·甘肃金昌·期中）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． (1)求证：； (2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，理由见解析 (3)当或时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，进而得到四边形是平行四边形，即可得证； （2）中点得到，证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，得到四边形是菱形； （3）根据有一个角是直角的菱形时正方形，得到当或时，四边形是正方形，即可． 【解答】（1）证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形， 理由如下：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； （3）解：当或时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 或：当时，∵， ∴， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 【变式15-1】（2024-2025八年级下·湖南长沙·期末）凸多边形是一个内部角都小于180度的多边形．在凸多边形中，我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”；对角线相等的凸四边形叫做“对等四边形”． (1)在“①矩形；②菱形；③等腰梯形；④正方形”中一定是“十字形”的有___________；一定是“对等四边形”的有___________；（请填序号） (2)如图1：若凸四边形是“十字形”也是“对等四边形”，分别是的中点，求证，四边形为正方形． (3)如图2，在中，，点从点出发沿方向以2个单位每秒向匀速运动；同时点从出发沿方向以1个单位每秒向匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，，连接，是否存在时间（秒），使得四边形为“十字形”．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)②④；①③④ (2)详见解析 (3)存在， 【分析】本题考查中点四边形，三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，结合特殊的平行四边形的性质，进行判断即可； （2）根据三角形的中位线定理，结合正方形的判定方法，即可得证； （3）连接，由题意得：，则，根据含30度角的直角三角形的性质，求出，再根据四边形为菱形时，四边形为“十字形”，得到，列出方程进行求解即可． 【解答】（1）解：∵矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直，等腰梯形的对角线相等，正方形的对角线相等，且互相垂直， ∴菱形和正方形是“十字形”， 矩形，等腰梯形，正方形为“对等四边形” 故答案为：②④；①③④； （2）证明：如图1， 凸四边形是“十字形”也是“对等四边形”， ， ， ， 分别是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形菱形，     又， 菱形FGMH是正方形； （3）解：如图2， 连接， 由题意得：，则， 中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 当时，是菱形，则， 此时平行四边形是“十字形”， ， ，即：当时，四边形为“十字形”． 【变式15-2】（2024-2025八年级下·辽宁大连·期末）【发现问题】 在学习菱形的时候，小明发现菱形符合八年级上学期学过的筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，菱形是一种特殊的筝形． 【初步应用】 （1）如图1，在菱形中，点是边的中点，点是射线上一点，连接，，将沿所在直线翻折到，点恰好落在上．求证：四边形和四边形都是筝形． 【类比迁移】 （2）如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并证明． 【解决问题】 （3）将（1）中的“菱形”改为“矩形”，增加“，，且”，其他条件不变，请直接写出______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）或 【分析】（1）由折叠得到，即可证明四边形是正方形；如图所示，连接，首先得到，由菱形得到，等量代换得到，得到，即可证明四边形是筝形； （2）由（1）得，设，，表示出，，然后根据勾股定理得到，代入整理得到，进而表示出，即可得到； （3）由矩形得到，，由筝形得到，，设，然后根据题意分两种情况讨论：当G在线段上时，当G在射线上时，根据勾股定理得到，进而分别求解即可． 【解答】解：（1）∵将沿所在直线翻折到 ∴， ∴四边形是筝形； 如图所示，连接 ∵点是边的中点 ∴ ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ 由折叠得， ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴四边形是筝形； （2），证明如下： 由（1）得，四边形和四边形都是筝形 设， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴解得 ∴ ∴； （3）∵四边形是矩形，， ∴， 由（1）得，四边形和四边形都是筝形 ∴， 设 如图所示，当G在线段上时， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴； 如图所示，当G在射线上时， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 综上所述，或． 【点评】此题考查了菱形的性质，矩形的性质和正方形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式15-3】（2024-2025八年级下·河北唐山·期中）在四边形中，，，，，，点从点以的速度向点运动，点从点以的速度同时向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)求为何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中，_________（答“存在”或“不存在”）t值，使得四边形是菱形； (4)若只改变线段的长度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你求出的值和线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)不存在 (4)， 【分析】（1）根据时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可； （2）根据，，得到当时四边形是矩形，列出方程进行求解即可； （3）根据菱形的性质可得，结合（1）的结论，分别求得的长，即可得出结论； （4）当四边形是正方形时，，进而求得，，根据，即可求解． 【解答】（1）解：由题意，得：，，秒， ∴，， ∵，则 当时，四边形是平行四边形； ∴ 解得： （2）解：∵，， ∴当时，四边形是矩形； ∵，， ∴ 解得： （3）解：不存在，理由如下， 由（1）可得，当时，四边形是平行四边形； ∴若此时，则四边形是菱形， 如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ， ∵ ，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴四边形不是菱形， 故答案为：不存在． （4）解：当四边形是正方形时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当四边形是正方形时，，． 【点评】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是掌握矩形的判定和性质，正方形，平行四边形，矩形，菱形的性质与判定，及勾股定理解三角形，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的关键． 【特训01】拓展培优强化 1.（2024-2025八年级下·北京门头沟·期末）如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设． (1)依题意补全图形； (2)求的度数（用含α的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据正方形的性质得到，得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据三角形外角的性质得到； （3）求得，连接，由O为的中点，得到，求得，得到是等腰直角三角形，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）解：如图所示 （2）∵四边形是正方形， ∵O为的中点， ∴， ， ． （3）．理由如下 证明：， ∴， 连接， ∵O为的中点， ∴ ， ， ， ∴是等腰直角三角形，且, ∴, 即, ∴或(不符合题意，舍去)， ∵， ， ∴． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2．（2024-2025八年级下·河南洛阳·期末）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究． 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形． （1）在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有______（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 性质探究 （2）如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当时，请判断中点四边形的形状并说明理由； （3）如图3，在中，，D为外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积． 【答案】（1）②④； （2）四边形为正方形，理由见解析；（3）或． 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定和性质． （1）根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及“等角线四边形”逐一判断即可； （2）由中位线定理及等角线四边形的定义可得，，，，，，，证明四边形是菱形，然后由，故有，所以，从而证明四边形是正方形； （3）分两种情况讨论，由（2）可得中点四边形为正方形，即可求解． 【解答】解：（1）①平行四边形的对角线不相等，故不是等角线四边形； ②矩形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； ③菱形的对角线不相等，故不是等角线四边形； ④正方形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； 综上，一定是等角线四边形的有②④． 故答案为：②④； （2）四边形为正方形，理由如下： ∵E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点， ∴，，，，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （3）分以下两种情况： 当点在的上方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，的中点，对角线，， 由（2）可知，四边形为正方形，且， ∴四边形的面积为； 当点在的下方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，的中点，对角线，， 由（2）可知，四边形为正方形，且， ∴四边形的面积为； 综上，以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积为或． 3.（2024-2025八年级下·江苏苏州·期中）【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交， 于点M，E，F，N，求证：． （3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 【答案】（1）9；（2）见解析；（3）补全图形见解析， 【分析】（1）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． （2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质证出，由模型呈现知，，则可得出结论； （3）连接并延长使得，利用可证，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明，进而可证明，是等腰直角三角形，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵四边形是正方形， ，， 过点F作于P，连接， 则四边形是矩形， ，， 由翻折知，，则， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：9； （2）证明：如图，连接， 正方形是轴对称图形，F为对角线上一点， ，， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由模型呈现知，， ， ； （3）解：根据题意补全图形如图所示： 连接并延长使得， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ， ，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形的性质可知，， ， ，，， 则， 是等腰直角三角形， ∵， ∴，则也是等腰直角三角形，则， ． 故答案为：． 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4.（2024-2025八年级下·河南安阳·期末）数学活动课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动． 将直角的顶点放在正方形的对角线上（点不与点、重合）其中直角边与交于点，直角边与交于点． (1)发现： 如图1，当与垂直时，线段和的数量关系是______；四边形的形状是______； (2)探究 如图2，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化，若变化，请写出新的数量关系；若不变，请给出证明； (3)拓展： 当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 【答案】(1)；正方形 (2)的结论不变，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由正方形的性质得到，平分，又，，得到四边形是矩形，因此，根据角平分线的性质可得,则可证明四边形是正方形； （2）过点作于点，作于点．由正方形得到，平分，因此四边形是矩形，．进而有，从而，进而证得，得证； （3）分情况讨论：过点作于点，作，交的延长线于点，证得，得到，根据角平分线的判定得到平分；连接，过点作于点，过点作交延长线于点，，矩形是正方形，即可作答． 【解答】（1）解：四边形是正方形， ，平分， ，， ， 四边形是矩形， ∴ ， 四边形是正方形； （2）解：的结论不变，理由如下： 如图所示，过点作于点，于点， ， 四边形是正方形， ，平分， 四边形是矩形，， ， ， ， 即， ， ； （3）解：过点作于点，作，交的延长线于点， 则， 由（2）有，且四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 在四边形中，， 即， ， ， ， ， ， ，， 平分， 四边形是正方形， ， ， ， 的度数为； 如图，连接，过点作于点，过点作交延长线于点， ， 四边形是矩形， ∴， 又， ， ， ， ∴， 又∵，， ， ， 矩形是正方形， 是对角线， ， 的度数为或． 【点评】本题是正方形综合题，考查正方形的判定及性质，角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用相关知识． 5．（2024-2025八年级下·河南新乡·期末）综合与实践 八年级下册课本第64页中的“数学活动”——折纸引起了许多同学的兴趣．于是，数学活动课上，数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．根据以上操作，易得，再结合矩形的性质，可得，进而得到． 【初步应用】 如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【迁移探究】 如图3，将矩形纸片换成正方形纸片，按照如下步骤操作： 步骤一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 步骤二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接． （3）若正方形纸片的边长为，，直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析（2）5（3）的长为或 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得出，结合即可得解；（2）根据矩形的性质、折叠的性质得出，，，设，则，根据勾股定理求解即可； （3）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）证明：由四边形折叠，得到四边形， ． 四边形是矩形， ， ， ， ． ， ，即． （2）矩形沿所在的直线折叠， ，，． 设，则． 在中，， ， 解得， ， ． （3）由折叠的性质，得，，，， ， ． 分两种情况： ①当点在线段上时． ， ，． ， ， ； （2）当点在线段上时． ， ，． ， ， ． 综上所述，的长为或． 6．（2024-2025八年级下·江苏宿迁·期末）四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求正方形的边长； (3)点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为， ①求的长为_______； ②正方形的面积的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）过E作于M，于N，证明四边形是矩形，得到，进而得到，证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）先证明得到，过G作于H，则是等腰三角形，进而可得，，在中，利用勾股定理求得即可求解； （3）①作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接，此时值最小，最小值为的长，则，由轴对称性质得到，则，利用勾股定理求解即可；在中，由得， ②利用垂线段最短知，当时，取得最小值，此时正方形的面积最小，进而求解的最小值即可． 【解答】（1）证明：如图，过E作于M，于N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，则， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； （2）解：如图，过G作于H， ∵四边形为正方形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过G作于H，则是等腰三角形，又， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的边长为； （3）解：①∵， ∴点E关于的对称点P在上，， 作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接， 此时值最小，最小值为的长，则， 由轴对称性质得，则， 在中，由得， 解得（负值已舍去）， 故答案为：； ②在中，，则， ∵点E为上一点， ∴当时，取得最小值， ∵，， ∴的最小值为， ∵是正方形的边长， ∴正方形的面积的最小为， 故答案为：4． 【点评】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、轴对称性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、角平分线的性质等知识，综合性强，涉及知识点较多，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加适当的辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解答的关键． 7．（2024-2025八年级下·湖北随州·期中）情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系． （I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？ （II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度： ①正方形的边长为，则______； ②矩形中，，，则_______； ③在菱形中，，，则_______； 再通过几何图形一般化具体分析找规律： ④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示） ⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示） （III）猜想并证明： 如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程． （IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长． 【答案】（II）①64；②50；③100；④，⑤； （III），证明见解析，（IV）或． 【分析】（II）利用正方形、矩形、菱形的性质结合勾股定理求解即可． 根据菱形的性质，得，，根据勾股定理得，变形得，整理得． （III）方法一：过点A作于，过点D作交延长线于，利用平行四边形的性质，矩形判定和性质，勾股定理证明即可．方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据两点之间的距离公式计算即可． （IV）根据题意，得到，证明，再根据前面的结论得，求出得到，旋转时，当时，当对应点在点上方和下方时两种情况计算，构造直角三角形求解即可． 【解答】（II）解：①如图①， ∵正方形的边长为，， ∴，， ∴； ②如图③∵矩形中， ∴，，， ∴，， ∴； ③如图②，∵在菱形中，，， ∴，， 根据勾股定理得， ∴， ∴， ④如图①， ∵正方形的边长为，，， ∴， ∴； ⑤如图③∵矩形中， ∴，，，， ∴， ∴； （III）结论：，理由如下： 方法一：采用几何法： 如图，过点A作于，过点D作交延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 设，则，， ∵，， ∴ 同理可得：， ∴． 方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则， 由平行四边形性质，点C的坐标为： ∴，，， ∴ （IV）解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据前面的结论得， ∴， ∴， ∴，（不合题意舍去）， ∴， 点B绕点O旋转，当对应点在点上方时，设点B的对应点为， ∴， 过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 当对应点在点下方时，设点B的对应点为， 同理可得： ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点评】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，矩形的性质与判定，正方形、菱形的性质，平行四边形的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·四川成都·中考真题）下列命题中，假命题是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，根据矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质和平行四边形的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【解答】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意； C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意； D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 2.（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定，中点四边形，三角形中位线 ，设交于点Q，交于点P，结合三角形中位线证出四边形是平行四边形，再结合，证出结果即可． 【解答】解：设交于点Q，交于点P， ∵分别是的中点， ∴，且，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 故选：A． 3．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（   ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】先证明四边形是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出，，证明得出，则可得出，同理，得出平行四边形是矩形，证明，得出，进而得出，得出矩形是正方形，在中，利用勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【解答】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵E，F，G，H分别为各边中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，同理， ∴平行四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴矩形是正方形， 在中，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为5， 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键． 4．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据条件正方形边长为4，由勾股定理求出线段长，利用中位线得到长即可． 【解答】解：连接，，    ∵点E，F分别是，的中点， ∴四边形是矩形， ∴M是的中点， 在正方形中，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 在中，M是的中点，N是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，构造三角形是破解本题的关键． 5．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【解答】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为， 故答案为： 6．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______． 【答案】/0.375 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解． 【解答】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵，垂足为F，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7.（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）在菱形中，对角线相交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 依据正方形的判定定理进行判断即可． 【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：； 故添加的条件为：或． 8．（2024·青海西宁·中考真题）如图，正方形的边长为，以边为底向外作等腰，点是对角线上的一个动点，连接，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】连接交于点，连接，由轴对称的性质得，判断出当P与重合时，的值最小，最小值为的长．然后求出，，，，得到，然后利用勾股定理求出的长即可求解． 【解答】解：连接交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴点B与点D关于直线对称， ∴， ∴， ∴当P与重合时，的值最小，最小值为的长． ∵正方形的边长为4， ∴，． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形，正方形，解题的关键是掌握轴对称-最短路线问题，利用轴对称-最短路线问题． 9．（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ． 【答案】81 【分析】本题考查正多边形的内角问题，正方形的性质，等腰三角形的性质等．先根据正多边形内角公式求出，进而求出，最后根据求解． 【解答】解：正五边形中，，， 正方形中，，， ，， ， ， 故答案为：81． 10．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】将顺时针旋转得到，再证明，从而得到，再设设，，得到，利用勾股定理得到，即，整理得到，从而利用完全平方公式得到，从而得解． 【解答】解：∵正方形的边长为1， ∴，， 将顺时针旋转得到，则， ∴，，，， ∴点P、B、M、C共线， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， ∵， ∴，即， 整理得：， ∴ ， 当且仅当，即，也即时，取最小值， 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，完全平方公式等知识，证明和得到是解题的关键． 11．（2023·山东·中考真题）如图，在正方形中，分别以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，则___________． 【答案】15 【分析】证明是等边三角形可得，再求出，利用等腰三角形的性质可求出，进而可求出． 【解答】解：连接， 由作图方法可知，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 12.（2023·宁夏·中考真题）如图，在边长为2的正方形中，点在上，连接，．则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】2 【分析】根据正方形的，，边长为2，阴影部分面积等于与面积的和，运用三角形面积公式，即可求解． 【解答】∵四边形为正方形， ∴，， ∵正方形的边长为2， ∴ ． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了正方形，三角形面积．熟练掌握正方形的边角性质，三角形面积公式，是解题的关键． 13.（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，运用全等转化思想．解题关键是利用正方形的边和角的性质证明三角形全等，进而通过线段的和差关系推导结论；易错点是对正方形性质理解不全面，或全等三角形的对应关系判断错误． 先根据正方形性质得出，，结合已知，证明，得到．再由正方形中，通过，推出． 【解答】证明：四边形是正方形， ． ， ， ， ，即． 14.（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. （1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可. （2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解． 【解答】（1）解：如图，直线，点即为所求. （2）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵平分， ∴， ∵直线，即， ∴， ∴． 15.（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质与折叠可得，与都是直角三角形，根据 “”即可证明； （2）由中点的定义得到，由折叠得到，设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【解答】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴，， 由折叠可得，， ∴，， ∴在和中 ∴； （2）解：∵，点E是的中点， ∴， 由折叠得到， ∵ ， ∴ 设，则， ∵在中，， ∴ 解得 ∴． 16.（2025·四川攀枝花·中考真题）如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)的大小是定值，定值为 (3) 【分析】（1）利用正方形的性质证明，得到，再利用角的和差得到，即可证明； （2）由的周长为4，得到，由正方形的边长为2得到，得到，进而利用线段的和差推出，通过证明得到，结合即可得出结论； （3）连接，利用全等三角形的性质得到，利用三角形的面积公式得到，利用勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值． 【解答】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为4， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的大小是定值，定值为； （3）解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴是的高， ∵， ∴是的高， 由（2）得，， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的面积公式、线段最值问题，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． 17.（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【解答】（1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 18．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)平行四边形，见解析 (2)且 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可． （2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可． 【解答】（1）四边形是平行四边形．理由如下： ∵的对角线交于点， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点， ∴ ∴四边形是平行四边形． （2）∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形， ∴且时，四边形是正方形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $