6.4.3 课时3 余弦定理、正弦定理应用举例（分层作业，7大知识点）高一数学人教A版必修第二册

6.4.3 课时3 余弦定理、正弦定理应用举例 知识点一 测量距离问题 1．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，，， 由正弦定理得， 在中，，， 由正弦定理得， 所以.故选：C 2．（24-25高一下·海南·月考）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为，N点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（    ） A．300m B．600m C． D． 【答案】D 【解析】在中，， 在中，， 在中， ．故选：D. 3．（24-25高一下·浙江·月考）如图，在海面上有两个观测点B，D相距，点D在B的正南方向，某天观察到某航船在点B西南方向的C处，距离点D也为，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，则该船行驶的距离（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得为直角，故， 又，所以四点共圆，所以， 在中由正弦定理得， 所以，故选：A． 4．（24-25高一下·山东·月考）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援．甲船以15海里/小时的速度前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏东45°方向的C处的乙船，此时C处的乙船测得渔船位于自己的北偏东30°方向，得到消息的乙船前往救援．若甲、乙两船同时到达救援处，则乙船的速度为（    ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【答案】A 【解析】根据题意作出示意图如下， 由题意可知，，海里． 在中，由正弦定理可知， 则 海里． 甲船的行驶时间为小时， 所以乙船的速度为海里/小时．故选：A 5．（24-25高一下·河北·月考）某数学兴趣小组成员为测量A，B两地（视为质点）之间的距离，在A的正北方向和西偏北15°方向上分别选取点C，D，已知A，C两地相距千米，B，D两地相距千米，且D在C的西南方向上，B在A的西南方向上，则A，B两地之间的距离是_______千米. 【答案】20 【解析】 如图，在中，，则， 由正弦定理，，解得， 在中，，设， 由余弦定理，， 即，解得（负值舍去）. 知识点二 测量高度问题 1．（24-25高一下·江苏镇江·月考）如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知，则山的高度MN为（    ） A． B．150m C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，， 在中，，，则， 又，， 所以，， 在中，，即，解得， 在中，，故选：B. 2．（24-25高一下·江西·期中）如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，则，即． 在中，则，， 由正弦定理得，，所以．故选：D． 3．（24-25高一下·云南大理·月考）小华为测量旗杆的高度OP，在与旗杆底部同一水平面上选取相距20米的A，B（在线段OB上）两处作为测量点，在A处测得旗杆顶部的仰角为，在处测得旗杆顶部的仰角为，则旗杆的高度____________米． 【答案】 【分析】设米，分别在，中，，用表示出来，从而得到方程，可得答案. 【解析】在A处测得旗杆顶部的仰角为，即， 在处测得旗杆顶部的仰角为，即， 设米，则米，米， 从而，解得． 故答案为： 4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为______米． 【答案】 【解析】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米. 5．（24-25高一下·重庆荣昌·月考）香霏楼是荣昌昌州故里景区的标志性建筑之一，也是荣昌历史文化的重要象征.某同学为测量香霏楼的高度，在香霏楼的正西方向找到一座建筑物，高约为15m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，香霏楼顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则香霏楼的顶部与地面的距离约为________ m..                 【答案】30 【解析】在中，；在中，； 由图可知，易知， 在中，，根据正弦定理可得：， 所以 所以. 知识点三 测量角度问题 1．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【解析】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向.故选：D. 2．（24-25高一下·四川德阳·月考）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点A观察点的仰角的大小(仰角为直线与平面所成角)．若，，，则的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由勾股定理可得，，过作，交于，连结，    则，设，则， 在中，，，所以， 则，可得， 所以， 当，即时，取得最大值为.故选：D. 3．（24-25高一下·福建厦门·期中）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（    ） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【解析】如图，在中，，由正弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以解得， 由正弦定理得， 故或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向.故选：C 4．（25-26高三上·山东济宁·月考）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的______________方向用方向角作答 【答案】南偏西 【分析】由正弦定理得到，由余弦定理得，从而由正弦定理得到，结合，得到，得到答案. 【解析】如图，在中，，    由正弦定理得 ，解得， 在 中，由余弦定理得 ， 因为 ，所以解得， 由正弦定理得 ，解得， 故 或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向． 5．（24-25高一下·浙江诸暨·期中）如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 在中，由正弦定理得， 又， 解得， 在中，由正弦定理得， 解得，即， 所以.故选：. 知识点一 多边形中的三角形问题 1．（23-24高一下·广东东莞·月考）（多选）如图，在四边形中，已知，，，，，则以下说法正确的有（    ） A． B． C．四边形的面积为 D． 【答案】AB 【解析】连接， 对于AB，在中，由余弦定理可得， 即， 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得，故A正确； 可知，则，故B正确； 对于CD，可得，所以四边形的面积为，故C错误； 在中，可得， 在中，可得， 则， 若，注意到， 则，可得， 即，故D错误；故选：AB. 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积为． 3．（24-25高一下·浙江金华·月考）如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，． (1)求的值； (2)若为边上一点，且，求的长． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由余弦定理得： ∴ , 由正弦定理：得. （2）如图所示： 过作于，在中， ，， ∴，，在中，.       ∴ ∴ ∴ 4．（24-25高一下·海南海口·月考）如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中，， 则， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以； （2）设，则， 在中，因为， 所以, 在中，, 所以，即， 所以，即. 知识点二 三角形周长的最值范围问题 1．（24-25高一下·贵州黔南·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，且． (1)判断的形状； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1)为钝角三角形，理由见解析；(2) 【解析】（1），故， 由正弦定理得，即， 所以， 又，所以， 所以为钝角三角形； （2）由（1）知， 又，故， 即， 由基本不等式得，即， 解得，当且仅当时，等号成立， 所以，周长的最大值为 2．（24-25高一下·广东湛江·月考）记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求三角形周长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由面积公式得，即， 由余弦定理得， 所以， 则， 所以，即， 因为，则， 所以，即 （2）由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以， 所以，则， 所以三角形周长为 3．（24-25高一下·河南焦作·月考）在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中，， 所以， 即． 由正弦定理可得，即． 由余弦定理，得， 因为为锐角三角形的内角，所以． （2）由（1）知，．因为是锐角三角形， 所以，，解得． 由正弦定理，得， 所以，， 所以的周长． 因为，且， 所以． 因为，，所以， 所以， 即的周长的取值范围是. 4．（24-25高一下·江苏·期中）在中，． (1)若的面积为，求； (2)若，且为锐角三角形，求周长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以由正弦定理可得， ， 又因为在中，， 所以， 整理可得，又因为，， 所以，因为，所以. 因为，所以. 因为，所以由余弦定理可知，， 所以. （2）因为，又由（1）可知，所以， 由正弦定理可知， 所以， 所以的周长 . 因为为锐角三角形，所以， 解得，所以， 所以， 所以， 即周长的取值范围为. 知识点三 三角形面积的最值范围问题 1．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由余弦定理可得，所以. 由三角形面积公式可知及， 可得，即. 因为，所以.又，所以. （2）由（1）知. 因为，所以由余弦定理可得. 由不等式可得，所以，即， 当且仅当时等号成立，有最大值为16. 所以， 所以的面积的最大值为. 2．（24-25高一下·云南·月考）已知，，分别为三个内角A，，的对边，． (1)求证：； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 又因为， 代入整理得， 且，则， 可得，整理得， 由可知，则，解得， 可知，所以． （2）因为，即， 由余弦定理可得，即， 所以， 由正弦定理可得， 则，， 则， 可得 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可知， 所以． 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求的面积S的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为 ， 所以，所以，因为为锐角三角形，所以； （2）因为，，所以， 由正弦定理得， 所以， 所以， 由可得，所以，所以， 所以，即. 4．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)若为锐角三角形，且，求a的取值范围； (2)若点D在边AC上，且，，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由， 根据正弦定理可得，， 则，即， 所以， 又，所以， 因为为锐角三角形，所以， 则，又，即， 则，又，解得， 即a的取值范围为. （2）在中，，， ， 在中，，， ， ∵，所以， 所以，即， 由（1）知，，所以， 即（当且仅当时取等号）， 则， 所以面积的最大值． 知识点一 三角形中线、角平分线的应用 1．（24-25高一下·吉林白山·月考）在中，角的对边分别是，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长为__________． 【答案】 【解析】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以， 因为，点为线段的中点， 所以， ， ， 故答案为：． 2．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）在中，角的对边分别为. (1)证明：； (2)求； (3)若，边上的中线，求边的长. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)或 【解析】（1）证明：由正弦定理得：，即. （2）因为，即，则， 因为，所以. （3）因为，由余弦定理知：， ， 即， ， 故，解得：或. 3．（24-25高一下·云南昆明·月考）在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点． (1)若为的中点，且，求； (2)若的面积为，且平分，求的长． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中，，因为为的中点， 所以， 两边平方得， 则，解得 （2）因为平分， 所以， 又， 即 所以， 解得， 4．（24-25高一下·山西吕梁·期中）在中，内角、、所对的边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积； (3)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值． 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）由及正弦定理得： ， 因为、，所以，则，故. （2）解法一：因为，为中点，则， 由余弦定理得，得， 在中，， 在中，， 因为，所以， 所以，，解得：， 故的面积为； 解法二：因为为的中点，则， 所以，， 即， 由余弦定理可得，即， 所以，故的面积为. （3）因为，平分，所以， 又，则由，得， 所以， 由基本不等式可得，则，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，故面积的最小值为. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.3 课时3 余弦定理、正弦定理应用举例 知识点一 测量距离问题 1．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·海南·月考）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为，N点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（    ） A．300m B．600m C． D． 3．（24-25高一下·浙江·月考）如图，在海面上有两个观测点B，D相距，点D在B的正南方向，某天观察到某航船在点B西南方向的C处，距离点D也为，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，则该船行驶的距离（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东·月考）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援．甲船以15海里/小时的速度前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏东45°方向的C处的乙船，此时C处的乙船测得渔船位于自己的北偏东30°方向，得到消息的乙船前往救援．若甲、乙两船同时到达救援处，则乙船的速度为（    ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 5．（24-25高一下·河北·月考）某数学兴趣小组成员为测量A，B两地（视为质点）之间的距离，在A的正北方向和西偏北15°方向上分别选取点C，D，已知A，C两地相距千米，B，D两地相距千米，且D在C的西南方向上，B在A的西南方向上，则A，B两地之间的距离是_______千米. 知识点二 测量高度问题 1．（24-25高一下·江苏镇江·月考）如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知，则山的高度MN为（    ） A． B．150m C． D． 2．（24-25高一下·江西·期中）如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南大理·月考）小华为测量旗杆的高度OP，在与旗杆底部同一水平面上选取相距20米的A，B（在线段OB上）两处作为测量点，在A处测得旗杆顶部的仰角为，在处测得旗杆顶部的仰角为，则旗杆的高度____________米． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为______米． 5．（24-25高一下·重庆荣昌·月考）香霏楼是荣昌昌州故里景区的标志性建筑之一，也是荣昌历史文化的重要象征.某同学为测量香霏楼的高度，在香霏楼的正西方向找到一座建筑物，高约为15m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，香霏楼顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则香霏楼的顶部与地面的距离约为________ m..                 知识点三 测量角度问题 1．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 2．（24-25高一下·四川德阳·月考）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点A观察点的仰角的大小(仰角为直线与平面所成角)．若，，，则的最大值（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·福建厦门·期中）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（    ） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 4．（25-26高三上·山东济宁·月考）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的______________方向用方向角作答 5．（24-25高一下·浙江诸暨·期中）如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D． 知识点一 多边形中的三角形问题 1．（23-24高一下·广东东莞·月考）（多选）如图，在四边形中，已知，，，，，则以下说法正确的有（    ） A． B． C．四边形的面积为 D． 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 3．（24-25高一下·浙江金华·月考）如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，． (1)求的值； (2)若为边上一点，且，求的长． 4．（24-25高一下·海南海口·月考）如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 知识点二 三角形周长的最值范围问题 1．（24-25高一下·贵州黔南·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，且． (1)判断的形状； (2)若，求周长的最大值． 2．（24-25高一下·广东湛江·月考）记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求三角形周长的取值范围． 3．（24-25高一下·河南焦作·月考）在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 4．（24-25高一下·江苏·期中）在中，． (1)若的面积为，求； (2)若，且为锐角三角形，求周长的取值范围． 知识点三 三角形面积的最值范围问题 1．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 2．（24-25高一下·云南·月考）已知，，分别为三个内角A，，的对边，． (1)求证：； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求的面积S的取值范围． 4．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)若为锐角三角形，且，求a的取值范围； (2)若点D在边AC上，且，，求面积的最大值． 知识点一 三角形中线、角平分线的应用 1．（24-25高一下·吉林白山·月考）在中，角的对边分别是，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长为__________． 2．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）在中，角的对边分别为. (1)证明：； (2)求； (3)若，边上的中线，求边的长. 3．（24-25高一下·云南昆明·月考）在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点． (1)若为的中点，且，求； (2)若的面积为，且平分，求的长． 4．（24-25高一下·山西吕梁·期中）在中，内角、、所对的边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积； (3)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $