数学（广东省卷）学易金卷：2026年中考考前预测卷

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前预测卷 数学 （本试卷共8页，23小题，满分：120分，考试时间：120分钟） 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在实数，0，0.01，2中，最小的数是（   ） A．0 B． C．2 D．0.01 2．中华人民共和国全国运动会（简称“全运会”）是中国国内规模最大、水平最高的综合性体育盛会，每四年举办一届．下列中华人民共和国全运会会徽图片中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，点D是等边边AB上的一点，且，现将折叠，使点C与D重合，折痕为，点E，F分别在和上，则（　　） A． B． C． D． 5．九年级某班选派A，B，C，D四名学生参加学校举办的庆元旦歌唱比赛，他们的成绩如下： A B C D 平均成绩 中位数 成绩/分 96 ■ 92 98 95 ■ 则上表中被遮盖的两个数据从左到右依次是（   ） A．92，96 B．92，97 C．94，95 D．94，96 6．如图，是的直径，点C在上，，垂足为点D，，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 7．若、、为抛物线上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 9．在平面直角坐标系中，一个动点按如图所示的方向移动，即，按此规律，记为第个点，则第个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（   ） A．当时，的面积为3平方米 B．小车的运动速度为1米／秒 C．长方形的周长为14米 D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．要使代数式有意义，则的值可以是____． 12．你知道废电池是一种危害严重的污染源吗？一粒纽扣电池可以污染700000升水，该数据用科学记数法记作______． 13．“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟．已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为___________． 14．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ____________________ ． 15．在中，，，点是边上一动点（），连接，将绕点逆时针旋转到上，连接，，取中点，若，则的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7分）（1）计算：； （2）解方程组． 17．（7分）如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 18．（7分）如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得．连接．过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 19．（9分）教育局为了解本地九年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了部分九年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图） 请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1) ，并写出该扇形所对圆心角的度数为 ，请补全条形统计图． (2)在这次抽样调查中，众数是 天． (3)如果该地共有九年级学生2000人，请你估计“活动时间不少于8天”的学生人数大约有多少人？ 20．（9分）如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)已知点，观察图象，不等式的解集为______； (3)点D在一次函数的图象上，且横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．求的面积． 21．（9分）综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 22．（13分）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 23．（14分）综合与探究 【问题背景】 如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处（如图②），易证点，，在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 【简单应用】 (1)在图①中，若，，则________． (2)如图③，有一个圆形公园，直径是贯穿公园的一条小路，出口点、在公园上，且，线段也是一条小路，若路米，米，现在要在出口、之间挖一条小河，小河最短是多少米？ 【拓展规律】 (3)如图④，，，若，，求的长（用含，的代数式表示）． (4)如图⑤，，，点为的中点，若点满足，，点为的中点，则线段与的数量关系是________．（直接写出答案） 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学 （本试卷共8页，23小题，满分：120分，考试时间：120分钟） 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在实数，0，0.01，2中，最小的数是（   ） A．0 B． C．2 D．0.01 2．中华人民共和国全国运动会（简称“全运会”）是中国国内规模最大、水平最高的综合性体育盛会，每四年举办一届．下列中华人民共和国全运会会徽图片中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，点D是等边边AB上的一点，且，现将折叠，使点C与D重合，折痕为，点E，F分别在和上，则（　　） A． B． C． D． 5．九年级某班选派A，B，C，D四名学生参加学校举办的庆元旦歌唱比赛，他们的成绩如下： A B C D 平均成绩 中位数 成绩/分 96 ■ 92 98 95 ■ 则上表中被遮盖的两个数据从左到右依次是（   ） A．92，96 B．92，97 C．94，95 D．94，96 6．如图，是的直径，点C在上，，垂足为点D，，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 7．若、、为抛物线上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 9．在平面直角坐标系中，一个动点按如图所示的方向移动，即，按此规律，记为第个点，则第个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（   ） A．当时，的面积为3平方米 B．小车的运动速度为1米／秒 C．长方形的周长为14米 D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．要使代数式有意义，则的值可以是____． 12．你知道废电池是一种危害严重的污染源吗？一粒纽扣电池可以污染700000升水，该数据用科学记数法记作______． 13．“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟．已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为___________． 14．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ____________________ ． 15．在中，，，点是边上一动点（），连接，将绕点逆时针旋转到上，连接，，取中点，若，则的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7分）（1）计算：； （2）解方程组． 17．（7分）如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 18．（7分）如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得．连接．过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 19．（9分）教育局为了解本地九年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了部分九年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图） 请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1) ，并写出该扇形所对圆心角的度数为 ，请补全条形统计图． (2)在这次抽样调查中，众数是 天． (3)如果该地共有九年级学生2000人，请你估计“活动时间不少于8天”的学生人数大约有多少人？ 20．（9分）如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)已知点，观察图象，不等式的解集为______； (3)点D在一次函数的图象上，且横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．求的面积． 21．（9分）综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 22．（13分）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 23．（14分）综合与探究 【问题背景】 如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处（如图②），易证点，，在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 【简单应用】 (1)在图①中，若，，则________． (2)如图③，有一个圆形公园，直径是贯穿公园的一条小路，出口点、在公园上，且，线段也是一条小路，若路米，米，现在要在出口、之间挖一条小河，小河最短是多少米？ 【拓展规律】 (3)如图④，，，若，，求的长（用含，的代数式表示）． (4)如图⑤，，，点为的中点，若点满足，，点为的中点，则线段与的数量关系是________．（直接写出答案） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在实数，0，0.01，2中，最小的数是（   ） A．0 B． C．2 D．0.01 【答案】B 【分析】利用有理数比较大小的基本规则即可求解． 【详解】解：∵负数小于0，0小于正数， 在给出的四个数，，，中，只有是负数， ∴排序得 ， 因此最小的数是． 2．中华人民共和国全国运动会（简称“全运会”）是中国国内规模最大、水平最高的综合性体育盛会，每四年举办一届．下列中华人民共和国全运会会徽图片中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 3．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质，可得，由对顶角相等，可得，根据三角形外角的性质，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，点D是等边边AB上的一点，且，现将折叠，使点C与D重合，折痕为，点E，F分别在和上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题、相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用相似三角形的周长之比等于相似比 借助翻折变换的性质得到、；设，则；根据相似三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：设，则， 为等边三角形， ，， ， 又， ， ，由折叠，得 ， 的周长为，的周长为， 与的相似比为 ． 故选：D． 5．九年级某班选派A，B，C，D四名学生参加学校举办的庆元旦歌唱比赛，他们的成绩如下： A B C D 平均成绩 中位数 成绩/分 96 ■ 92 98 95 ■ 则上表中被遮盖的两个数据从左到右依次是（   ） A．92，96 B．92，97 C．94，95 D．94，96 【答案】C 【分析】本题考查平均数、中位数．根据平均成绩求出B的成绩，再将所有成绩排序后计算中位数即可． 【详解】解：B学生的成绩为：， 四名同学成绩从低到高排序为：92，94，96，98， 中位数为：， 故表中被遮盖的两个数据从左到右依次是94，95， 故选：C． 6．如图，是的直径，点C在上，，垂足为点D，，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】先求得，利用，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴的长为4． 7．若、、为抛物线上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数上点的坐标特征，通过直接计算各点的纵坐标值并比较大小，或利用抛物线开口向下的性质比较点到顶点的距离． 【详解】解：∵ 抛物线方程为， ∴ 对于点，， 对于点，， 对于点 ，， ∴ ，，， ∵ ， ∴ ． 故选：D． 8．如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键． 9．在平面直角坐标系中，一个动点按如图所示的方向移动，即，按此规律，记为第个点，则第个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标规律的探究，先由题意写出前几个点的坐标，观察发现并归纳：横坐标与纵坐标相等且为奇数的点的坐标特点，从而可得答案，解题的关键是仔细观察坐标变化规律，掌握从具体到一般的探究方法． 【详解】解：∵， ∴观察发现，每三个点为一组，每组最后一个点的坐标为， ∵， ∴第个点的坐标为第五组最后一个点的坐标， ∴第个点的坐标为， 故选：． 10．如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（   ） A．当时，的面积为3平方米 B．小车的运动速度为1米／秒 C．长方形的周长为14米 D．在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒 【答案】D 【分析】本题主要考查了通过函数图象解决几何问题，解题的关键是掌握数形结合的思想． 通过函数图象获取信息，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由图可知，用时4秒，面积达到6平方米，面积每秒的变化为平方米， 当时，的面积为平方米， 该选项正确，不符合题意； B.假设运动速度为米／秒，， 结合图象可得，，联立两个方程可得， ， 该选项正确，不符合题意； C.由选项B可知，小车的运动速度为1米／秒， ∴， ∴长方形的周长为米， 该选项正确，不符合题意； D.由选项A得，面积每秒的变化为平方米， 当的面积增加为2平方米时，， 解得； 当的面积减少为2平方米时，， 解得； ∴这两个时刻之和为， 该选项错误，符合题意； 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．要使代数式有意义，则的值可以是____． 【答案】2026（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数为非负数，据此列出不等式求解得到的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数， 因此列不等式得： 解得， 因此可以取任意大于或等于的数，此处取． 12．你知道废电池是一种危害严重的污染源吗？一粒纽扣电池可以污染700000升水，该数据用科学记数法记作______． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：700000用科学记数法记作． 故答案为：． 13．“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟．已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，列出方程即可． 【详解】解：设“复兴号”的速度为千米/时，则原来列车的速度为千米/时， 根据题意得，即． 故答案为：． 14．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ____________________ ． 【答案】 【分析】先利用含30度的直角三角形三边的关系计算出，再根据旋转的性质得到，，则，接着在中计算出，从而得到，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转后得到， ∴，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积2． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则或（其中l为扇形的弧长）．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了旋转的性质． 15．在中，，，点是边上一动点（），连接，将绕点逆时针旋转到上，连接，，取中点，若，则的值为________． 【答案】 【分析】如图，过点A作交于点O，且，推出，证明出，得到，然后得到点E在的垂直平分线上，求出，取的中点I，连接，，证明出点A，G，I三点共线，求出，然后证明出垂直平分，得到，证明出是等腰直角三角形，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点A作交于点O，且， ∵，， ∴，， ∴ ∴ ∵将绕点逆时针旋转到上 ∴， ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴点E在的垂直平分线上，即 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 如图，取的中点I，连接， ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∵点G是的中点 ∴ ∴ ∴点A，G，I三点共线 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴垂直平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴，即 ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7分）（1）计算：； （2）解方程组． 【详解】解：（1） ；（3分） （2）解方程组， 整理得， 得，，解得， 将代入①得，，解得， ∴方程组的解为．（7分） 17．（7分）如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 【详解】（1）证明：∵， ∴，（1分） ∴，（2分） 在和中， ，（3分） ∴．（4分） （2）解：∵， ∴，（5分） ∵，， ∴，（6分） ∴．（7分） 18．（7分）如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得．连接．过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ，（1分） ， ， ∴四边形是平行四边形，（2分） ， ， ∴四边形是平行四边形，（3分） ， ∴平行四边形是矩形；（4分） （2）解：由（1）知四边形是矩形， ， 又， ， ∵四边形是菱形， ， 为等边三角形，（5分） ， ， ， ．（7分） 19．（9分）教育局为了解本地九年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了部分九年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图） 请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1) ，并写出该扇形所对圆心角的度数为 ，请补全条形统计图． (2)在这次抽样调查中，众数是 天． (3)如果该地共有九年级学生2000人，请你估计“活动时间不少于8天”的学生人数大约有多少人？ 【详解】（1）解：，（1分） 用乘以所占的百分比求出所对的圆心角的度数：．（2分） 被抽查的学生人数：（人）， 8天的人数：（人）， 补全统计图如图所示： （4分） 故答案为：，； （2）解：参加社会实践活动5天的人数最多， 所以，众数是5天；（6分） （3）解：（人），（8分） 即估计“活动时间不少于8天”的学生人数大约有300人．（9分） 20．（9分）如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求m的值和反比例函数的解析式； (2)已知点，观察图象，不等式的解集为______； (3)点D在一次函数的图象上，且横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．求的面积． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得，（1分） ∴， 将点代入得，，（2分） ∴反比例函数解析式为；（3分） （2）解：由题意得，一次函数图象与反比例函数图象交于点，， ∴由函数图象可得，不等式的解集为或（5分） （3）解：将点的横坐标代入，则 ∴（6分） ∵过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E， ∴点E横坐标为4， ∴将点E横坐标4代入得，， ∴，（8分） ∴， ∴．（9分） 21．（9分）综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 【详解】（1）解：设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元，（1分） 根据题意得：，（2分） 解得：，（3分） 答：每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元；（4分） （2）解：设采购四足机器人台，则采购人形机器人台，（5分） 根据题意得：， 解得：， ，即， ，（6分） 设每日总服务人次为， ，（7分） ， 随增大而减小， 当取最小值5时，有最大值，此时，（8分） 答：采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次．（9分） 22．（13分）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为（1分） ∵第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线关于直线对称 ∴第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为（2分） ∴， 当时，，当时，．则， ∴；（3分） （2）解：∵ ∴对称轴是直线，设， ∵ ∴，， 当时，， 解得 ∴Q的坐标为或；（5分） 当时，， 解得， 若点Q坐标为时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； ∴；（6分） 当时，， 解得， ∴（7分） 综上所述， Q的坐标为或或或；（8分） （3）解：∵， ∴，， 又∵ ∴点P在以为直径的上，且不与重合，（9分） 如图，连接， 则，（10分） 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴，（11分） ∴， ∴， ∴， ∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长，（12分） ∵， ∴ ∴的最小值为3．（13分） 23．（14分）综合与探究 【问题背景】 如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处（如图②），易证点，，在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 【简单应用】 (1)在图①中，若，，则________． (2)如图③，有一个圆形公园，直径是贯穿公园的一条小路，出口点、在公园上，且，线段也是一条小路，若路米，米，现在要在出口、之间挖一条小河，小河最短是多少米？ 【拓展规律】 (3)如图④，，，若，，求的长（用含，的代数式表示）． (4)如图⑤，，，点为的中点，若点满足，，点为的中点，则线段与的数量关系是________．（直接写出答案） 【详解】（1）解：如图，将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：．（2分） （2）如图，连接、、，（3分） ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵米，米， ∴（米），（4分） 由（1）可知，， ∴（米）．（6分） ∴小河最短是沿线段修建，距离为米．（7分） （3）解：如图，以为直径作，连接并延长，交于，连接、、，（8分） ∵为的直径，， ∴点、点都在上，为的直径， ∴， ∵， ∴四边形是正方形，，，（9分） 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∵， ∴，（10分） ∵， ∴， ∴， ∴．（12分） （4）解：如图，当点在直线的左侧时，连接、， ∵，，点是的中点， ∴，， ∵，点是的中点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可求得：， 由（1）可知， ∴， ∴； 如图，当点在直线的右侧时，连接、， 同理可知，， 设，则， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 综上所述，线段与的数量关系是或．（14分） / 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前预测卷 数学·参考答案 (本试卷共10页，23小题，满分：120分，考试时间：120分钟) 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A A D C D B D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.2026(答案不唯一) 12.7×10 13. 132013201 x-50x2 14.4元-4V5 3π- 3 15.2 2 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(7分) 【详解】解：(1)（π-3.14）°+2sin30°-tan45 =1+2×5 2 =1+1-1 =1;(3分) 4- (2)解方程组 3+x2y+3_1 5 315 x-4y=2① 整理得 3x-10y=7②' ①x3-②得，2y=1,解得y= 将y=代入①得，-4x2,解得=4， 1/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 x=4 方程组的解为 1.(7分) y=2 17.(7分) 【详解】(1)证明：BE=FC, ∴.BE+EC=EC+CF,(1分) .BC=EF,(2分) 在△ABC和△DFE中， AB=DF BC=EF,(3分) AC=DE △ABC≌△DFE(SSS).(4分) (2)解：：△ABC≌△DFE(SSS), .BC=EF,(5分) EF=5,BE=3, .BC=BE+EC=5,(6分) .EC=BC-BE=5-3=2.(7分) 18.(7分) 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是菱形， AD∥BC,AC⊥BD,AD=BC, ∠A0B=90°，(1分) :BE =BC, :AD BE, :四边形AEBD是平行四边形，(2分) AE∥BD, :BF∥AC, :.四边形AFB0是平行四边形，(3分) ∠A0B=90°， ∴.平行四边形AFB0是矩形；(4分) (2)解：由(1)知四边形AFB0是矩形， 2/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠AFB=∠EAC=90°，OF=AB=2, 又：∠E=30°， ∠ACB=60°， :四边形ABCD是菱形， .AB=BC=2,AO=OC,OD=OB, △ABC为等边三角形，(5分) .AC BC =2, .0-C .BD=20B=2AB2-A02=23 1 六5c0=24CBD=25.(7分) 19.(9分) 【详解】(1)解：a=1-(40%+20%+25%+5%)=1-90%=10%,(1分) 用360°乘以所占的百分比求出所对的圆心角的度数：360°×10%=36°.(2分) 被抽查的学生人数：240÷40%=600（人）， 8天的人数：600×10%=60（人）， 补全统计图如图所示： 个人数 240 210 180 150 120 (4分) 90 60 30 0 5天6天7天8天9天和时间 9天以上 故答案为：10%，36°； (2)解：参加社会实践活动5天的人数最多， 所以，众数是5天；(6分) (3)解：2000×10%+5%)=2000×15%=300（人），(8分) 即估计“活动时间不少于8天”的学生人数大约有300人.(9分) 3/10 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(9分) 1 【详解】(1)解：一次函数y=。x-1的图象经过点A(m,2), 2 1 2m-1=2, 解得m=6,(1分) A6,2), 将点A6,2)代入y=kk≠0)得，k=2x6=12,(2分) :反比例函数解析式为y-2,(3分) (2)解：由题意得，一次函数图象与反比例函数图象交于点A(6,2),B(-4,-3, 由函数图象可得，不等式-1>的解架为-4<<0或x>6(6分》 1 1 (3》解：将点D的横坐标4代入y=2x-1,则=2×4-1=1 2 D(4,1(6分) 过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E, .点E横坐标为4， 2-3 将点E横坐标4代入y=2得，y= 4 .E(4,3,(8分) DE=3-1=2, S%cE=DExxp=7×2x4=4.(9分 2 21.(9分) 【详解】(1)解：设每台Go2四足机器人售价为x万元，每台G1人形机器人售价为y万元，(1分) 6x+5y=57 根据题意得： 5y-11x=23'(2分) X=2 解得： y=9’(3分) 答：每台G02四足机器人售价为2万元，每台G1人形机器人售价为9万元；(4分) (2)解：设采购Go2四足机器人a台，则采购G1人形机器人12-a台，(5分) 根据题意得：2a+912-a≤73， 4/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得：a25, :12-a≥0，即a≤12， 5≤a≤12，(6分) 设每日总服务人次为w, .w=150a+280(12-a=-130a+3360,(7分) :-130<0, .w随a增大而减小， :当Q取最小值5时，w有最大值-130x5+3360=2710,此时12-a=7,(8分) 答：采购G02四足机器人5台、G1人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次.(9分) 22.(13分) 【详解】(1)解：：y=-x2+10x-21=-(x-5)+4, ∴.顶点坐标为(5,4)(1分) :第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线y=-x2+10x-21关于直线x=3对称 ∴.第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为1,4)（2分) y=-(x-1+4=-x2+2x+3, 当x=0时，y=3,当y=0时，-x2+2x+3=0.则x=-1,x2=3, A-1,0),B(3,0),C(0,3);(3分) (2)解：：y=-(x-1)2+4 .对称轴是直线x=1,设Q1,n), :A-1,0),C0,3) AC2=(0+1)2+(3-0)2=10,AQ2=(1+1)2+(n-0)2=4+n2,CQ2=(1-02+(n-32=1+(n-3)2 当AC=AQ时，4+n2=10, 解得n=±√6 Q的坐标为1，√6或1，-√6；(5分) 当AC=CQ时，1+(n-3=10, 5/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得n1=0,m2=6, 若点Q坐标为1,6)时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； 01,0)；6分) 当AQ=CQ时，1+(n-32=4+n2, 解得n=1, :Q1,1)(7分) 综上所述，9的坐标为(1,6)或1-V6或1,0)或(1,1)；(8分) (3)解：A-1,0,B(3,0, .OA=1,OB=3,AB=4, 又：∠APB=90 .点P在以AB为直径的OM上，且不与AB重合，(9分) 如图，连接PM,OP, 则PM=2.0M-号4B-01=1.(10分) M B 图② 又：E(-3,0 .EM=4, OM PM 1 ·PMEM-2' 又：∠OMP=∠PME, △OMP∽△PME,(11分) .OP PM 1 PE-EM2 6/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :OP=IPE, :.CP+EP=CP+OP, 2 :当点C、P、O三点共线时，CP+OP取得最小值为0C的长，(12分) :C(0,3), .0C=3 :CP+。EP的最小值为3.(13分) 23.(14分) 【详解】(1)解：如图，将△BCD绕点D,逆时针旋转90·到△AED处，点B,C分别落在点A,E处， C B E-- D 图① ·∠CBD=∠EAD,BC=AE,CD=DE,∠EDC=90°， :∠ACB=∠ADB=90o, .∠CBD+∠CAD=180o, ∠CAD十∠EAD=180°， “点C,A,E在同一条直线上， .CE=2CD. :.AC+BC=2CD, :AC=2W2,BC=3V2, :2y2+3V2=V2CD, 解得：CD=5.(2分) (2)如图，连接AC、AD、BD,(3分) 7/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 图③ :AB是Q0直径， .∠ADB=∠ACB=90°， “AD=BD, :AD =BD, :AB=1300米，BC=1200米， AC=VAB2-BC=V13002-12002=500(米)，(4分) 由(1)可知，AC+BC=V2CD, :cD-号(ac+8C-号x1200+50=8505c*.6分) :小河CD最短是沿线段CD修建，距离为850W2米.(7分) (3)解：如图，以AB为直径作⊙O,连接OD并延长，交⊙0于E,连接AE、BE、CE,(8分) D E 图④ :AB为⊙O的直径，∠ACB=∠ADB=90°， 点C、点D都在⊙O上，DE为⊙O的直径， ∴∠DCE=∠ADB=∠DBE=∠AEB=∠DAE=90·, AD=BD, “四边形AEBD是正方形，AE=BE,DE=AB,(9分) 由(1)可知，AC+BC=V2CE, AC=a,BC=b(a<b), 8/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :CE-+. AB2=AC2+BC2=a2+b2, .DE2=a2+b2,(10分) DE2=CD2+CE2. a2+b2=c02+[号a+b3]月 .CD2=a2+b2-(a+b)=(b-a) :cD=6-42分 (4)解：如图，当点E在直线AC的左侧时，连接PC、CQ, E OA B 图⑤ :AC=BC,∠ACB=90°，点P是AB的中点， :CP=AP=克AB,∠APC=90°， :CA=CE,点Q是AE的中点， ∠AQC=90°， 设AC=m, 4AE=AC, :.AE=AC=m, :AQ=专AE=吉m, CQ=VAc2-A02=6 m, 由勾股定理可求得：， 由(1)可知AQ+CQ=V2PQ, V63 2PQ=言m+gm, PQAC, 如图，当点E在直线AC的右侧时，连接CQ、CP, 9/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B 图⑥ 同理可知，∠AQC=∠APC=90°， 设AC=m,则AE=寺AC=m, AQ=AE=吉m, cQ=VAC-AQm. 由1)可知，PQ=号(cQ-AQ), V2PQ-cQ-AQ-mmAC. 综上所运，线段PQ与CQ的数量关系是5PQ=出AC或反PQ=6-AC.《14分) 10/102026年中考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[AJ[BJ[C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(7分) 17.(7分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(7分) D F B 19.(9分) 9天和 个人数 9天以上 240 210 8天 180 7天 5 150 25% 120 5天 90 6天 40% 60 20% 30 04 5天6天7天8天9天和时间 9天以上 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(9分) B 21.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(13分) C P B E■ B 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(14分) 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D1 9.[A1[B][CI1[D1 2.[A][B][C][D] 6.A][BJ[C1[D1 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[CI[D1 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][CJ[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 12. 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(7分) 17.(7分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(7分) A D E B 19.(9分) 9天和 个人数 9天以上 240 210 8天 180 7天 150 25% 1 5天 90 6天 40% 6 20% 0 0 5天6天7天8天9天和时间 9天以上 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(9分) 21.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(13分) B E 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(14分) 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！