2.3一元二次方程根与系数的关系 教学设计 2025-2026学年浙教版数学八年级下册

温州市初中数学课时教学备课（2025年版） 课题： 一元二次方程根与系数的关系 课型： 新授课 设计时间： 2026 年 3 月 12 日 学习核心内容 一元二次方程根与系数的关系 学习目标 评价设计（指向学习目标） 1、 能准确表述一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），并能直接应用它求已知方程的两根之和与积，或由根的关系求方程系数（如作业题第1， 5题）。 2、经历“观察特例—提出猜想—严格证明—应用拓展”的完整探究过程，体会从特殊到一般、再由一般指导特殊的认识规律，发展数学抽象、逻辑推理和归纳概括能力。 3、在发现数学内在规律的过程中感受数学的对称美与和谐美，在合作探究与证明中培养严谨的科学态度。 1、探究过程评价：通过“合作学习”环节，观察学生能否从具体方程的解中准确计算出两根和与积，并有效归纳出与系数的关系。 2、 理解应用评价：通过“课内练习”及提问（如：不求解，直接说出方程2x²-5x+1=0的两根和与积），评价对 公式的即时理解和应用能力。 3、 综合运用评价：通过作业题第3、4、6题的完成情况，评价学生运用根与系数关系解决实际问题和进行代数 证明的综合能力。 学习过程设计 一、复习旧知，情境引入 复习提问：请学生用公式法写出方程 ax²+bx+c=0 (a≠0)的两个根 x₁和 x₂的表达式。 学生回答： ， 。 • 问题提出：教师引导：“这两个根 x₁和 x₂是由系数 a, b, c决定的。除了求根公式，它们与系数之间是否还有更直接、更简洁的数量关系呢？今天我 们一起来探索。”（板书课题） 二、合作探究，发现猜想 • 合作学习（对应教材活动）：学生分组完成教材中的“先解下列方程，然 后计算这些方程的两根之和与两根之积”。 1、解方程：x² - 12x + 11 = 0，计算 x₁ + x₂与 x₁x₂。 2、解方程：2x² - 13x + 15 = 0，计算 x₁ + x₂与 x₁x₂。 3、解方程：4x² + 20x + 25 = 0，计算 x₁ + x₂与 x₁x₂。 • 观察归纳：各小组汇报计算结果。教师引导学生将每组的 x₁ + x₂和 x₁x₂与方 程的系数 a, b, c进行对比观察。 • 提出猜想：学生尝试用语言描述发现的规律。教师引导并板书猜想：对于 ax²+bx+c=0 (a≠0)，可能有 ， 。 三、推理证明，形成定理 代数证明：师生共同完成猜想的严格证明。 1、前提回顾：明确 x₁, x₂是方程的两个根，且 b²-4ac ≥ 0。 2、 和的计算： 3、积的计算： 强调：1、证明过程中运用了平方差公式，体现了代数变形的力量。教师 明确此关系称为“韦达定理”。 3、 强调使用定理的前提是方程有实数根（Δ ≥ 0），且 a ≠ 0。 四、初步应用，巩固新知 直接应用： 1、口答：方程 3x² - 7x + 2 = 0的两根之和是 ，两根之积是 。 2. 2、已知方程 x² + px + q = 0的两根是 -2和 5，则 p = ____, q = ____。 • 例题精讲（作业题引导）： • 例1（作业题1型）：设 x₁, x₂是方程 2x² - 4x - 1 = 0的两根，不求解，求 (1) x₁ + x₂; (2) x₁x₂。 • 例2（作业题5型）：已知一元二次方程二次项系数为2，一根为2，且常数项为6，求另一根并写出方程。 引导：设一根为，另一根为，利用根与系数的关系列出方程组求解。 学生常见问题预设： 1、符号错误：最容易将 记成 。 2、前提遗忘：应用定理时不考虑判别式 Δ ≥ 0的条件。 3、变形困难：面对求 、等变形问题时，不知如何转化为 和 的表达式。 应对策略： 1、编口诀：“一根和，负a分b；一根积，a分c”。强调“和”的分子是“-b”。 2、在例题讲解中，养成先判断或提及“方程有实根”的习惯。 3、通过典型例题（如求 ）示范恒等变形的通法。 作业内容： 基础题：教材P46 作业题 A组：第1题（直接填空计算和与积）、第5题（由根求方程）。（必做） 能力题：P46作业题：第3题（长方形周长面积问题）、第4题（证明 ）（选做） 拓展探究（自主） 教材作业题第6题：求证 ：的两个根。求证： （提示：可从右边展开，利用韦达定理代入，验证等于左边） 作业类别 1. £选用 £改编 £自编 2. £书面练习类 £口头训练类 £活动实践类 板书设计：2.3 一元二次方程根与系数的关系 根与系数的关系： 例1、… 1、 两根之和： 2、 两根之积： 例2、… 教学反思： 1.一元二次方程根与系数的关系的理解和应用对于部分学生存在难度，所以教学时要注意引导认识一元二次方程根与系数的关系的来龙去脉，通过例题带领学生运用一元二次方程根与系数的关系，学会简化有关一元二次方程根的运算。可以尝试开始时一题多解，让学生体会到韦达定理的便捷性。 2.题目的难度梯度可以再提升，补充相关的推论和结论，让学生针对部分题型有对应的解题思路。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $