专题05一元二次方程的应用 同步培优讲义2025-2026学年八年级数学下册（浙教版）

专题05 一元二次方程的应用 【题型1 传播问题】 3 【题型2 增长率问题】 3 【题型3 与图形有关的问题】 4 【题型4 数字问题】 5 【题型5 营销问题】 5 【题型6 动态几何问题】 6 【题型7 工程问题】 8 【题型8 行程问题】 9 【题型9 图表信息题】 11 【题型10 握手、循环赛问题】 13 【题型11古代问题】 14 【题型12 其他问题】 15 核心：掌握实际应用解题思路，能根据不同场景列一元二次方程，求解并检验解的合理性，突破“找等量关系、列方程、验解”三大难点。 （一）、通用解题步骤（必记）： 1. 审题找等量关系； 2. 设未知数； 3. 列方程； 4. 解方程； 5. 验解（舍去不合题意的根）； 6. 作答。 关键提醒：等量关系是列方程的核心；验解必不可少，需符合实际意义（如人数、长度不能为负）。 （二）、高频题型与等量关系 题型1 传播问题 ① 初始1个传播者，每人每次传x个，n次后总人数：；② 初始m个传播者，n次后总人数：。 题型2 增长率问题 ① 增长：最终量 = 初始量×；② 降低：最终量 = 初始量×（x为增长率/降低率，n为次数）。 题型3 与图形有关的问题 利用长方形（长×宽）、正方形（边长²）、三角形（）等面积公式列方程。 题型4 数字问题 两位数：；三位数：（首位不为0）。 题型5 营销问题 总利润 = 单件利润×销售量；单件利润 = 售价 - 进价；销售量随售价变化（售价涨x元，销量减ax件）。 题型6 动态几何问题 结合图形运动（点、线段移动），用未知数表示运动后的边长、面积，结合面积、勾股定理列方程。 题型7 工程问题 工作总量 = 工作效率×工作时间；合作时，总效率 = 各单独效率之和（通常设工作总量为1）。 题型8 行程问题 路程 = 速度×时间；相遇问题：路程和 = 总距离；追及问题：路程差 = 初始距离。 题型9 图表信息题 从表格、折线图、条形图中提取已知量，结合题意（增长率、利润等）找等量关系。 题型10 握手、循环赛问题 ① 握手问题：n人握手，总次数为（每人与n-1人握，不重复）；② 循环赛：n队参赛，总场次为。 题型11 古代问题 将古代应用题（如鸡兔同笼、方田、行程）转化为现代数学语言，结合对应题型（图形、数字、行程）找等量关系。 题型12 其他问题 如浓度问题（溶质质量 = 溶液质量×浓度）、分段计费问题等。 【题型1 传播问题】 【典例1】．某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．某人患有甲型流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染个人，则根据题意可列方程_____． 【跟踪训练2】．九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值． 【跟踪训练3】．冬季期间，甲型流感在某班悄然传播，某班最初有2人患上甲流，经过2轮传染后，有32人已确诊甲流，求每轮传染中平均每人传染的人数． 【题型2 增长率问题】 【典例2】．某药品经过两次降价， 售价由 200 元降为 162 元． 设两次降价的百分率都为 ， 则 满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．近年来，快递行业快速发展，据调查，某家快递公司，去年十月份与十二月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件，设每个月平均增长率为x，则根据题意可列方程为______． 【跟踪训练2】．某电子技术有限公司研发某种新型产品，2022年试生产100万件，经调研发现，市场需求旺盛，公司决定今明两年逐步扩大生产量，预计到2024年年产量达到144万件，求该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率． 【跟踪训练3】．随着AI智能机器人的不断普及，一些工厂的流水线逐步用智能机器人取代人工进行操作服务．为了提高企业智能化操作水平，某企业提出到2027年底实现全产业链智能机器人工作岗位率达到的目标． (1)已知截至2025年底，该企业智能机器人工作岗位率只有，要实现这个目标，从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到多少？（参考数据：） (2)照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗位率可否超过？请说明理由． 【题型3 与图形有关的问题】 【典例3】．如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练1】．用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____． 【跟踪训练2】．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【跟踪训练3】．我国古代数学家_________（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个长方形的面积加上中间小正方形的面积，即面积为_________，因此________． (1)将空白处补充完整； (2)作出方程解法的构图． 【题型4 数字问题】 【典例4】．三个连续奇数的平方和是371，则这三个奇数中最小的是（   ） A． B．9 C．或9 D．或9 【跟踪训练1】．如图是嘉嘉和某AI软件的部分对话截图，则该AI软件最终给出的x的值为________ 【跟踪训练2】．一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，求这个两位数． 【跟踪训练3】．有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为．求原来的两位数． 【题型5 营销问题】 【典例5】．某网店将每件进价为20元的工艺品以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若该网店想每天获得3750元利润，则每件工艺品应涨多少元？如果设每件工艺品应涨x元，则下列说法正确的是（   ） A．涨价后每件工艺品的售价是元 B．涨价后每件售出工艺品的利润是元 C．涨价后每天销售工艺品的数量是件 D．可列方程为 【跟踪训练1】．某水果店经销一种水果，进价为每千克40元，按每千克60元的价格出售，每天可售出千克；当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克．若要使每天的利润为元，又要尽快减少库存，则每千克水果应降价______元． 【跟踪训练2】．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【跟踪训练3】．根据以下素材，完成任务． 素材1 随着社区团购的普及，某生鲜配送站的订单处理效率持续提升．该配送站8月份完成订单250单，10月份完成订单640单． 素材2 该配送站每单的配送成本为8元，当每单配送费定为12元时，日订单量为300单；若配送费每提高1元，日订单量将减少20单． 问题解决 任务1 求该配送站8月份到10月份订单量的月平均增长率； 任务2 为使该配送站日利润达到1760元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？ 【题型6 动态几何问题】 【典例6】．如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【跟踪训练1】．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【跟踪训练2】．如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点N到达点A时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形的面积？ 【跟踪训练3】．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 【题型7 工程问题】 【典例7】．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【跟踪训练1】．列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【跟踪训练2】．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【跟踪训练3】．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【题型8 行程问题】 【典例8】．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【跟踪训练1】．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【跟踪训练2】．如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【跟踪训练3】．（1）知识回顾： 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第到第汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为，该时间段行驶的路程为 如图，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第时的速度为，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系．根据上述方法指导，小丽驾车从到共行驶______ （2）知识应用： 如图，一条河宽度，小明欲从处游到对岸，水流速度为，小明游泳速度．（注：表示小明在水平方向上的速度，表示小明在垂直方向上的速度，表示小明斜向游泳的速度，且），小明为了游到正对岸的位置，心里想：我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与河岸的夹角，小明在竖直方向的速度为，最终到达点，所用的时间是______． （3）实际情况下，如图小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减，为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸垂直的方向游泳． 小明的游泳轨迹可能是______（选择，，，其中一个） 小明可以游到的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的位置与的距离． 【题型9 图表信息题】 【典例9】．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【跟踪训练1】．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【跟踪训练2】．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【跟踪训练3】．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【题型10 握手、循环赛问题】 【典例10】．云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．某校举行中学生篮球联赛，若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛一共进行了场，则该小组参加比赛的队伍共有_______支． 【跟踪训练2】．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【跟踪训练3】．（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 【题型11古代问题】 【典例11】．元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边相距步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知、长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，则门的高度是（    ） A．7尺 B．8尺 C．9尺 D．10尺 【跟踪训练3】．杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）提出了这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步．”若设长为x步，则列方程可得（    ） A． B． C． D． 【题型12 其他问题】 【典例12】．某校劳动小组种植的某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设主干长出个支干，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（    ） A． B． C． D．1 【跟踪训练2】．某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，若主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长小分支的个数为，依题意可列方程为______．（化为一般式） 【跟踪训练3】．山西属于温带大陆性季风气候，冬季长而寒冷干燥．某旅行社为促进冬季旅游经济的发展，特推出了团体优惠票，收费标准如下： 人数 收费标准 团体人数不超过25人 每张票价150元 团体人数超过25人，不超过50人 每比25人超出1人，每张票价在150元的基础上降低2元 团体人数超过50人 每张票价100元 某公司组织员工旅游，在该旅行社报名购买团体优惠票，共支付票价4800元．已知该公司参与旅游的员工人数超过25人，不超过50人，求该公司参与旅游的员工有多少人． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程的应用 【题型1 传播问题】 2 【题型2 增长率问题】 4 【题型3 与图形有关的问题】 6 【题型4 数字问题】 9 【题型5 营销问题】 11 【题型6 动态几何问题】 14 【题型7 工程问题】 19 【题型8 行程问题】 23 【题型9 图表信息题】 28 【题型10 握手、循环赛问题】 33 【题型11古代问题】 36 【题型12 其他问题】 39 核心：掌握实际应用解题思路，能根据不同场景列一元二次方程，求解并检验解的合理性，突破“找等量关系、列方程、验解”三大难点。 （一）、通用解题步骤（必记）： 1. 审题找等量关系； 2. 设未知数； 3. 列方程； 4. 解方程； 5. 验解（舍去不合题意的根）； 6. 作答。 关键提醒：等量关系是列方程的核心；验解必不可少，需符合实际意义（如人数、长度不能为负）。 （二）、高频题型与等量关系 题型1 传播问题 ① 初始1个传播者，每人每次传x个，n次后总人数：；② 初始m个传播者，n次后总人数：。 题型2 增长率问题 ① 增长：最终量 = 初始量×；② 降低：最终量 = 初始量×（x为增长率/降低率，n为次数）。 题型3 与图形有关的问题 利用长方形（长×宽）、正方形（边长²）、三角形（）等面积公式列方程。 题型4 数字问题 两位数：；三位数：（首位不为0）。 题型5 营销问题 总利润 = 单件利润×销售量；单件利润 = 售价 - 进价；销售量随售价变化（售价涨x元，销量减ax件）。 题型6 动态几何问题 结合图形运动（点、线段移动），用未知数表示运动后的边长、面积，结合面积、勾股定理列方程。 题型7 工程问题 工作总量 = 工作效率×工作时间；合作时，总效率 = 各单独效率之和（通常设工作总量为1）。 题型8 行程问题 路程 = 速度×时间；相遇问题：路程和 = 总距离；追及问题：路程差 = 初始距离。 题型9 图表信息题 从表格、折线图、条形图中提取已知量，结合题意（增长率、利润等）找等量关系。 题型10 握手、循环赛问题 ① 握手问题：n人握手，总次数为（每人与n-1人握，不重复）；② 循环赛：n队参赛，总场次为。 题型11 古代问题 将古代应用题（如鸡兔同笼、方田、行程）转化为现代数学语言，结合对应题型（图形、数字、行程）找等量关系。 题型12 其他问题 如浓度问题（溶质质量 = 溶液质量×浓度）、分段计费问题等。 【题型1 传播问题】 【典例1】．某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据病毒传播过程，初始感染台数加上每轮新增感染台数，两轮后总感染台数为147，列方程求解即可． 【详解】解：∵初始感染服务器数为3台， 第一轮传播中，每台感染x台，新增感染数为台，第一轮后总感染数为台， 第二轮传播中，有台服务器，每台感染x台，新增感染数为台， ∴两轮后总感染数为． 故选：A． 【跟踪训练1】．某人患有甲型流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染个人，则根据题意可列方程_____． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据有一个人患流感，经过两轮传染后共有36个人患流感，列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【跟踪训练2】．九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意可得方程，再解方程即可． 【详解】解：由题意得， 解得，（舍去） 答：x的值为． 【跟踪训练3】．冬季期间，甲型流感在某班悄然传播，某班最初有2人患上甲流，经过2轮传染后，有32人已确诊甲流，求每轮传染中平均每人传染的人数． 【答案】3人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人．依题意，得 ， 解得（舍去）． 答：每轮传染中平均每人传染3人． 【题型2 增长率问题】 【典例2】．某药品经过两次降价， 售价由 200 元降为 162 元． 设两次降价的百分率都为 ， 则 满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率的等量关系，列出方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 【跟踪训练1】．近年来，快递行业快速发展，据调查，某家快递公司，去年十月份与十二月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件，设每个月平均增长率为x，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【分析】设月平均增长率为，十二月份的件数为，然后列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为． 根据题意可列方程为． 【点睛】增长率问题可用公式列方程求解． 【跟踪训练2】．某电子技术有限公司研发某种新型产品，2022年试生产100万件，经调研发现，市场需求旺盛，公司决定今明两年逐步扩大生产量，预计到2024年年产量达到144万件，求该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率． 【答案】该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为． 【分析】设该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为x．两年后的产量达到，建立方程解答即可． 【详解】解：设该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为x． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为． 【跟踪训练3】．随着AI智能机器人的不断普及，一些工厂的流水线逐步用智能机器人取代人工进行操作服务．为了提高企业智能化操作水平，某企业提出到2027年底实现全产业链智能机器人工作岗位率达到的目标． (1)已知截至2025年底，该企业智能机器人工作岗位率只有，要实现这个目标，从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到多少？（参考数据：） (2)照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗位率可否超过？请说明理由． 【答案】(1)从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到 (2)照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗位率可超过，理由见解析 【分析】（1）设从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）根据题意列出算式，进而和比较即可求解． 【详解】（1）解：设从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到x，由题意可得 ∵， ∴ ∴ 答：从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到； （2）解： 所以照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗位率可超过． 【题型3 与图形有关的问题】 【典例3】．如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，通过计算花园总面积与种植花草面积的差值来确定小道所占面积 ，进而通过设置未知数，并根据图形分析建立方程求解． 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意得，， 即， 解得：或（舍） ∴小道进出口的宽度为． 【跟踪训练1】．用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程与实际问题，题目中存在的等量关系为长方形菜园平行于墙的边长长方形菜园垂直于墙的边长． 【详解】根据题意可知，长方形菜园平行于墙的边长为，即，可得 整理，得 故答案为： 【跟踪训练2】．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的长和宽分别为，时，能围成一个面积为的羊圈 (2)羊圈的面积不能达到，理由见解析 【分析】（1）设当羊圈的宽为，则羊圈的长为，根据“围成一个面积为的羊圈”列方程求解即可； （2）令，判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解：设当羊圈的宽为，则羊圈的长为， 根据题意，得， 化简，得， 解得或20， 当时，，不合题意，舍去； 当时，； 答：当羊圈的长和宽分别为，时，能围成一个面积为的羊圈； （2）解：羊圈的面积不能达到．理由如下： 令， 化简，得， ， 方程没有实数根， 羊圈的面积不能达到． 【跟踪训练3】．我国古代数学家_________（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个长方形的面积加上中间小正方形的面积，即面积为_________，因此________． (1)将空白处补充完整； (2)作出方程解法的构图． 【答案】(1)赵爽；144；5 (2)见解析 【分析】（1）由数学常识可得第一空的答案；根据所给图形可求出中间小正方形的边长，进而可求出大正方形的面积，进而可得答案； （2）根据题意可得中间小正方形的边长为，大正方形的边长为，据此作图即可． 【详解】（1）解：由题意得，该数学家为赵爽； 中间的小正方形的边长为，则大正方形的面积为， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 故答案为：赵爽，5； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴中间小正方形的边长为，大正方形的边长为， 如图所示，即为所求． 【题型4 数字问题】 【典例4】．三个连续奇数的平方和是371，则这三个奇数中最小的是（   ） A． B．9 C．或9 D．或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 本题可通过设中间的奇数为未知数，利用连续奇数的差为2表示出另外两个奇数，再根据平方和为371列一元二次方程求解． 【详解】解：设三个连续奇数中间的数为，则最小的奇数为，最大的奇数为，根据题意得， 解得， 当时，最小的奇数为； 当时，最小的奇数为； ∴这三个奇数中最小的是或9， 故选：C． 【跟踪训练1】．如图是嘉嘉和某AI软件的部分对话截图，则该AI软件最终给出的x的值为________ 【答案】1 【分析】设这个数是，根据题意建立一元二次方程，求解即可得． 【详解】解：设这个数是， 由题意得：， 整理得：， 解得， 即这个数是1． 【跟踪训练2】．一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，求这个两位数． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设个位数字为x，则十位数字为，根据这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，即可得出这个两位数是或． 【详解】解：设这个两位数个位数字为，则十位数字为， 依题意得方程：， 解得：或， 当时，，此时这个两位数是； 当时，，此时这个两位数是． 故这个两位数为或． 【跟踪训练3】．有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为．求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为或． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，根据题意，得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 当时，，原来的两位数为； 当时，，原来的两位数为； 答：原来的两位数为或． 【题型5 营销问题】 【典例5】．某网店将每件进价为20元的工艺品以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若该网店想每天获得3750元利润，则每件工艺品应涨多少元？如果设每件工艺品应涨x元，则下列说法正确的是（   ） A．涨价后每件工艺品的售价是元 B．涨价后每件售出工艺品的利润是元 C．涨价后每天销售工艺品的数量是件 D．可列方程为 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用和列代数式，需根据涨价金额分析售价、单件利润、销量的变化，根据总利润单件利润销量可列出对应的方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A． 涨价后每件工艺品的售价应为元，而非元，原说法错误，不符合题意． B． 涨价后每件工艺品的利润为元，而非元，原说法错误，不符合题意． C． ∵单价每涨1元，每天少售出10件， ∴涨元时，少售出件， ∵原销量为300件， ∴涨价后每天销售工艺品的数量是件，原说法正确，符合题意． D． 总利润单件利润销量，单件利润为元，销量为件，故方程应为，而非，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【跟踪训练1】．某水果店经销一种水果，进价为每千克40元，按每千克60元的价格出售，每天可售出千克；当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克．若要使每天的利润为元，又要尽快减少库存，则每千克水果应降价______元． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每千克这种水果应降价元，由题意：使每天的利润为元，列出一元二次方程， 【详解】解：设每千克这种水果应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要尽快减少库存， ， ∴每千克这种水果应降价8元． 故答案为：8 【跟踪训练2】．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【答案】下调后每辆汽车的售价为20万元 【分析】设该店每辆车的下调价格x万元，则降价后每辆车的利润为万元，销量为辆，即可列方程求解． 【详解】解：设该店每辆车的下调价格x万元， 根据题意可得， 整理得， 解得，， ∵销售为了尽量让利于顾客，即下调价格应尽可能大， ， （万元）， 答：下调后每辆汽车的售价为20万元． 【跟踪训练3】．根据以下素材，完成任务． 素材1 随着社区团购的普及，某生鲜配送站的订单处理效率持续提升．该配送站8月份完成订单250单，10月份完成订单640单． 素材2 该配送站每单的配送成本为8元，当每单配送费定为12元时，日订单量为300单；若配送费每提高1元，日订单量将减少20单． 问题解决 任务1 求该配送站8月份到10月份订单量的月平均增长率； 任务2 为使该配送站日利润达到1760元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？ 【答案】任务1：月平均增长率为；任务2：每单实际配送费应定为16元 【分析】（1）设每月平均增长率为x，则两次增长后的订单量为， （2）根据“总利润=每单利润×日订单量”，列出一元二次方程，解方程，结合“要降低用户的配送成本”确定解的取舍． 【详解】解：任务1：设该配送站8月份到10月份订单量的月平均增长率为x． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． 任务2：设配送费用上涨y元，则实际配送费为元，日订单量为单，根据题意， 得， 解得，． ∵要降低用户的配送成本， ∴每单实际配送费为（元）． 答：每单实际配送费应定为16元． 【点睛】连续两次增长率问题一般可用公式，列出方程求解．注意结合题意与实际情况，取舍方程的解． 【题型6 动态几何问题】 【典例6】．如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题的关键． 设运动时间为秒，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∵，， ∴， ∵线段将分成面积1：2的两部分， ∴或， ∴或， 解得，， ∴线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒． 故选：C． 【跟踪训练1】．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【答案】1或5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， 解得：，． 故运动1秒或5秒后的面积为． 故答案为：1或5． 【跟踪训练2】．如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点N到达点A时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形的面积？ 【答案】(1)经过1秒时，长为； (2)经过秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长． （1）设经过x秒，的长为，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出，，根据勾股定理得到，再用x表示出 ，，得到关于x的一元二次方程求解； （2）设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设经过x秒，的长为， ∵当点N到达点A时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，（舍去）， 答：经过1秒时，长为； （2）解：设经过t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点N到达点A时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【跟踪训练3】．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 【答案】(1) (2) (3)11，12 (4)可以 【分析】本题围绕三角形中的动点问题，结合等腰三角形性质与一元一次方程应用展开．需分情况讨论点Q的位置（段、段），利用线段长度关系、等腰三角形的边相等条件建立方程求解；对于周长平分问题，需分析各段路径下线段和的关系来判断是否存在满足条件的． 【详解】（1）点从向运动，速度为，运动时间为，则． 已知，由，可得． （2）点从向运动，速度为，， 故在上时，运动时间满足． 当是等腰三角形时，，则两腰为与 由，，令， 即， 解得． 验证：，符合在上的条件． （3）当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图1，则． ∵， ∴． 又∵ 在中，， ∴． ∴． ∴． ． 已知点的速度为，故． 当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图2，则． ． ∴． 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． （4）周长为，若平分周长，则每部分为． 若在上，（）： ，，则， 令，得，但，不符合在上的条件． 若在上（）： ，． 周长被分成和， 即，与． 令，得（符合）； 验证：时，，，和为； ，，，和为，确实平分． 【点睛】本题核心是利用动点的速度与时间表示线段长度，结合等腰三角形的边相等性质建立方程，同时注意分类讨论点的位置（段、段）及等腰三角形的底边情况．周长平分问题需明确周长的组成与分割方式，通过方程求解并验证范围合理性． 【题型7 工程问题】 【典例7】．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 【跟踪训练1】．列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 【跟踪训练2】．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 【跟踪训练3】．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 【题型8 行程问题】 【典例8】．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得，令得到关于t的方程，求出t的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． 故选：C 【跟踪训练1】．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 【跟踪训练2】．如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)或小时； (2)上午时． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 【跟踪训练3】．（1）知识回顾： 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第到第汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为，该时间段行驶的路程为 如图，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第时的速度为，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系．根据上述方法指导，小丽驾车从到共行驶______ （2）知识应用： 如图，一条河宽度，小明欲从处游到对岸，水流速度为，小明游泳速度．（注：表示小明在水平方向上的速度，表示小明在垂直方向上的速度，表示小明斜向游泳的速度，且），小明为了游到正对岸的位置，心里想：我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与河岸的夹角，小明在竖直方向的速度为，最终到达点，所用的时间是______． （3）实际情况下，如图小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减，为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸垂直的方向游泳． 小明的游泳轨迹可能是______（选择，，，其中一个） 小明可以游到的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的位置与的距离． 【答案】（1）；（2），；（3）；不可以， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法以及勾股定理的应用，正确理解物理量与数学之间的关系是本题解题的关键． （1）计算内每段的平均速度，根据路程平均速度时间，进行计算即可； （2）根据，用勾股定理求出，根据时间=路程速度求解时间即可； （3）①因为水速恒定，所以水平速度恒定，而竖直速度逐渐减少，说明轨迹越来越往右，据此判断； ②因为小明的速度方向一直垂直，而水流速度平行，所以他们的和速度一定不垂直，所以他到不了的位置，先计算小明游到对岸所用的时间，然后乘水流速度，就是的距离； 【详解】（1）中，速度， 她行驶的距离为：， 中，平均速度为：， 她行驶的距离为：， 她行驶的总距离为：； 故答案为：17； （2）， ， 到达所用的时间为：， 故答案为：，； （3）①因为水速恒定，所以水平速度恒定，而竖直速度逐渐减少，说明轨迹越来越往右， 小明的游泳轨迹可能是， 故答案为：； ②不可以， 设小明到达对岸所用时间为，则小明到达对岸时的速度为， 小明的平均速度为：， 小明有用的竖直距离为：， 解得：或， ， ， 【题型9 图表信息题】 【典例9】．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 【跟踪训练1】．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 【跟踪训练2】．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 【跟踪训练3】．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确，理由见解析 (2)①；②过重 【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性． （1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可； （2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得． 【详解】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 【题型10 握手、循环赛问题】 【典例10】．云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解单循环赛制的比赛场数计算方法，避免重复计数． 设有支球队参加比赛，根据单循环赛制可知实际总场次为场，据此得出方程． 【详解】解：∵有支球队参赛，每支球队需与其余支球队各赛一场， ∴若不考虑重复，总场次为场， 又∵单循环赛制中，A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计数， ∴实际总场次为场， ∴可列方程为， 故选：D． 【跟踪训练1】．某校举行中学生篮球联赛，若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛一共进行了场，则该小组参加比赛的队伍共有_______支． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设有支队伍参加了比赛，根据一共进行了场比赛，列方程求解． 【详解】解：设有支队伍参加了比赛， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：该小组参加比赛的队伍共有支． 故答案为：． 【跟踪训练2】．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意得，整理并求解即可． 【详解】（1）解：     淇淇的说法正确，理由如下： 解得：，     ∵x取正整数， ∴，均不满足实际问题，舍去 所以淇淇的说法正确． （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 【跟踪训练3】．（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 【答案】（1）11支；（2）20件． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设应邀请支篮球队参加比赛，根据题意列方程求解即可； （2）由题意可知奖品数超过了10件，设购买的件数为，根据题意列方程求解，进而判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：设应邀请支篮球队参加比赛， 根据题意，可列方程： 整理得 解得或（舍去） 答：应邀请11支篮球队参加比赛； （2）解：， 奖品数超过了10件， 设购买的件数为，则每件商品的价格为：元，根据题意可得： 解得：， 当时，； 当时，，不合题意舍去； 答：王老师购买该奖品的件数为20件． 【题型11古代问题】 【典例11】．元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 【跟踪训练1】．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边相距步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，把圆的面积和正方形水池的面积用含的代数式表示出来，两个图形的面积差即为可耕地的面积，根据相等关系列方程即可． 【详解】解：设正方形的边长是步，则圆的直径是步， 圆的半径为步， 圆的面积为平方步，正方形水池的面积为平方步， 可耕地的面积恰好平方步， 可列方程：． 故选：D． 【跟踪训练2】．《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知、长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，则门的高度是（    ） A．7尺 B．8尺 C．9尺 D．10尺 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和一元二次方程，设门的高度为，门的宽度为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设门的高度为，则竹竿高为， 门的宽度比竹竿的长度少四尺， 门的宽度为：， 沿对角线斜着进，恰好通过，据此列方程： ， 即， 解得：或（舍）． 故选：B． 【跟踪训练3】．杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）提出了这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步．”若设长为x步，则列方程可得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形长与宽之间的关系，可得出宽为步，再结合矩形的面积为八百六十四平方步，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】∵设长为步，宽比长少12步 ∴宽为步 又∵矩形面积为864平方步，且矩形面积长宽 ∴ 展开得 移项得 故选：D． 【题型12 其他问题】 【典例12】．某校劳动小组种植的某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设主干长出个支干，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，熟练掌握从实际问题中抽象出数学等量关系的方法是解题的关键。先根据主干、支干、小分支的数量关系，分别表示出支干和小分支的数量，再根据三者总数为91的等量关系列出方程。 【详解】解：∵主干数量为1个，主干长出个支干，每个支干长出个小分支， ∴小分支数量为个， ∵主干、支干和小分支的总数是91， ∴可列方程为， 故选：D． 【跟踪训练1】．如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设这个数为，根据题意得， ， 整理得， 解得， ∴这个数为， 故选：A． 【跟踪训练2】．某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，若主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长小分支的个数为，依题意可列方程为______．（化为一般式） 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每个枝干长小分支的个数为，则枝干的数量也为，小分支的总数为，根据主干、枝干和小分支的总数为，列出方程并化为一般式即可． 【详解】解：依题意，主干有个，枝干的数量为，每个枝干长出个小分支，故小分支的总数为． 主干、枝干和小分支的总数为． 化为一般式得． 故答案为：． 【跟踪训练3】．山西属于温带大陆性季风气候，冬季长而寒冷干燥．某旅行社为促进冬季旅游经济的发展，特推出了团体优惠票，收费标准如下： 人数 收费标准 团体人数不超过25人 每张票价150元 团体人数超过25人，不超过50人 每比25人超出1人，每张票价在150元的基础上降低2元 团体人数超过50人 每张票价100元 某公司组织员工旅游，在该旅行社报名购买团体优惠票，共支付票价4800元．已知该公司参与旅游的员工人数超过25人，不超过50人，求该公司参与旅游的员工有多少人． 【答案】40人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先设未知数，该公司参与旅游的员工有x人，再分析出票价与人数的关系：当25人时，每张票价150元，超过25人的部分，每张票价在150元的基础上每超1人降2元，因此实际票价为元/人，根据“总票价=人数×实际票价”，结合已知总票价4800元，可列出方程，解出方程并验证即可． 【详解】解：设该公司参与旅游的员工有x人， 根据题意，得， 化简，得， 解得：，， ∵， ∴， 即该公司参与旅游的员工有40人． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $