2.4 一元二次方程的应用讲义（知识梳理+10题型突破）2025-2026学年浙教版数学八年级下册

2.4 一元二次方程的应用 讲义 基础知识梳理 核心解题步骤（通用于所有应用题型） 解一元二次方程应用题的 “五步走”： 审：审题，找出已知量、未知量，明确数量关系； 设：设未知数（直接设或间接设，优先选择便于列方程的方式）； 列：根据等量关系列出一元二次方程； 解：解方程，求出未知数的值； 验：双重验证——① 检验解是否为方程的根；② 检验解是否符合实际意义（如人数、长度、时间为正，增长率合理等）； 答：写出完整的答语。 十大题型核心等量关系梳理 题型分类 核心公式/等量关系 典型特征 传播问题 第一轮传播后：； 第二轮传播后： 一人传多人，逐轮传播，数量呈指数增长 增长率/下降率问题 增长：； 下降： 为初始量，为平均增长率，为次数，为最终量 握手/循环赛问题 单循环：； 双循环： 每两人只握一次手/赛一场，无重复 数字问题 两位数：（为十位，为个位）； 连续数：（整数）； （奇数/偶数） 涉及数位关系、连续数的和/积 营销问题 总利润 = 单件利润 × 销售量； 单件利润 = 售价 - 进价 售价变化影响销售量，求最大利润或特定利润 图形面积问题 矩形面积=长×宽； 三角形面积=底×高； 阴影面积=整体面积-空白面积 裁剪、拼接、修路，涉及图形边长与面积关系 动态几何问题 路程=速度×时间； 面积/线段长度随运动时间变化 点在线段上运动，用时间表示线段长度 工程问题 工作总量 = 工作效率 × 工作时间； 总工作量=1 多人合作，工作效率变化 行程问题 相遇：路程和=总路程； 追及：路程差=初始距离 涉及二次速度变化或复杂相遇/追及 图表信息题 从表格/图像中提取或数量关系，结合方程求解 无文字等量关系，需从图表分析 典例精讲 题型一：传播问题 典例1（中等型：两轮传播） 题目：某种流感病毒的传染性极强，一个人感染后，经过两轮传播，共有144人感染，求每轮传播中平均一个人感染几个人？ 变式1某班级开展“反诈”宣传，一名同学先转发给若干名同学，第一轮转发后，收到宣传的同学又各自转发给相同数量的同学，两轮转发后，共有132名同学收到了宣传（不含最初的1名同学），求每轮每人转发给几个人？ 题型二：增长率/下降率问题 典例2（中等型：连续增长） 题目：某工厂2023年的年产值为200万元，2025年的年产值达到288万元，求该工厂这两年年产值的年平均增长率。 变式2某商品原价为500元，经过连续两次降价，现价为320元，求该商品平均每次降价的百分率。 题型三：握手/循环赛问题 典例3（中等型：单循环赛） 题目：学校组织篮球单循环赛，共有 个班级参赛，共安排了45场比赛，求参赛的班级数。 变式3某班同学毕业聚餐，每两人之间都要握一次手，全班共握手190次，求该班的人数。 题型四：数字问题 典例4（中等型：两位数问题） 题目：一个两位数，十位数字与个位数字的和为9，把十位数字与个位数字对调后，新两位数比原两位数大27，求原两位数。 变式4两个连续奇数的积为143，求这两个连续奇数。 题型五：营销问题 典例5（中等型：利润问题） 题目：某商店购进一批进价为20元的文具，当售价为30元时，每天可售出100件。经调查发现，售价每上涨1元，每天的销售量就减少5件。若商店每天要盈利1125元，求每件文具的售价应定为多少元？ 变式5某服装店销售一批T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，每天可售出30件。售价每降价2元，每天的销售量就增加6件。若商店每天要盈利600元，求每件T恤的售价应定为多少元？ 题型六：图形面积问题（中等→重难） 典例6（中等型：矩形裁剪） 题目：用一块长80cm，宽60cm的矩形铁皮，在四个角各剪去一个边长为 cm的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，若盒子的底面积为1500cm²，求剪去的正方形的边长。 变式6在一个长为50m，宽为30m的矩形空地上，修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分种植草坪，草坪的面积为1344m²，求道路的宽度。 题型七：重难题型拓展-动态几何问题 典例7（重难型：动点面积） 题目：在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 6cm，BC = 8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AC向点C运动，同时点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向点B运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动。设运动时间为 秒，当△PCQ的面积为8cm²时，求 的值。 【核心解题技巧】 1. 公式记忆法：增长率、传播、握手问题的公式是“模板”，直接代入即可，重点关注初始量和次数。 2. 设元技巧： · 数字问题：设数位上的数字，不直接设数； · 营销问题：设“变化量”（涨价/降价 元），比直接设售价更简便； · 动态几何：设运动时间 ，用 表示所有相关线段。 3. 图形问题“平移法”：遇到道路、小道等面积问题，通过平移将空白部分拼成规则图形，简化计算。 4. 双重验证：解出方程后，务必检验解是否符合实际（如边长为正、时间非负、增长率在0~1之间）。 【高频易错提醒】 1. 符号错误：增长率问题中，下降率公式是 ，切勿写成 ；韦达定理应用时，两根之和的负号易遗漏。 2. 范围遗漏：动态几何问题中，运动时间有上限（如点P到达C点的时间），解必须在范围内。 3. 重复计算：握手/循环赛问题中，单循环必须除以2，避免计算“甲对乙”和“乙对甲”为两场。 4. 数位混淆：两位数表示为 ，切勿写成 或 。 5. 验根缺失：求出的解满足方程，但不一定符合实际，如人数为负、边长为负，必须舍去。 题型一 增长率问题 （核心考点：根据增长/下降规律列方程，核心公式：a(1±x)n=b） 1．（2025春•温州期中）为了促进电车便捷性，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了200个充电桩，第三个月新建了600个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率x，根据题意，可列方程（　　） A．200（1+2x）＝600 B．200（1﹣x）2＝600 C．600（1+x）2＝200 D．200（1+x）2＝600 2．某公司今年4月的营业额为2500万，按计划第2季度的总营业额要达到9000万元，设该公司5，6月的营业额平均增长率为x，根据题意列方程（　　） A．2500（1+x）2＝9000 B．2500（1+x%）2＝9000 C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9000 D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9000 3．（2025春•杭州期中）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（　　） A．50（1+x）2＝175 B．50+50（1+x）2＝175 C．50（1+x）+50（1+x）2＝175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175 4．（2025春•余姚市月考）运动员刘浩和季博文在2024年8月8日巴黎奥运会男子500米双人划艇项目中夺得金牌，刘浩的故乡云南玉溪成为旅游热度城市．国庆期间云南玉溪某景区第一天接待游客约7000人，第三天接待游客约8470人．设该地游客人数的日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．7000（1+x）3＝8470 B．7000（1+x2）＝8470 C．7000（1+2x）＝8470 D．7000（1+x）2＝8470 5．（2025春•永康市期末）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”其意思是知识和技艺学习后，如果不及时复习，那么很容易被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程为（　　） A．（1+x）2＝50% B．（1﹣x）2＝50% C．1﹣2x＝50% D．（1﹣x）（1+x）＝50% 6．（2025春•临平区月考）某药品原价每盒144元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒81元，则该药品平均每次降价的百分率是 　 ． 7．（2025春•诸暨市期中）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，缴税数额也相应递增．已知该公司2022年缴税25万元，2024年缴税36万元，那么该公司这两年缴税的年平均增长率是　 ． 8．随着科技的提高，某种电子产品的价格呈现下降趋势，今年年底的价格是两年前的，设这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降的百分率为　 ． 9．同学参加决赛．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆405人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则请列出符合题意的方程：　 ． 10．（2025春•兰溪市期末）五一假期，某著名景区在5月1日至3日期间的游客人数逐日增加，5月4日至5日游客人数大幅减少．据统计，5月1日的游客人数为1.5万人，5月3日的游客人数为2.16万人． （1）求5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率； （2）5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的，求5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天最多是多少万人？ 11．（2025春•长兴县期中）随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某新能源汽车的销量和收入均实现了显著增长，2022年全年总销量约为150万辆，到2024年全年总销量已增长至约216万辆．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司多方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少0.2万辆/季度． （1）求该品牌汽车企业2022年到2024年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加总产量同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 题型二 利润问题 （核心考点：根据“总利润=单件利润×销售量”列方程） 1．（2025春•西湖区校级期中）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 2．（2025春•秀洲区校级月考）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为，则下列表述正确的是（　　） A．每顶帐篷单价为x元 B．降价后平均每天可出售（200﹣x）顶 C．每顶帐篷单价应降价x元 D．降价后每顶帐篷利润为元 3．（2025•李沧区校级三模）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元．若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了x棵树苗，则可列出方程　 ． 4．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 　 元． 5．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价6元，则平均每天销售数量为多少件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 6．某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜40）之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？ 7．某商家购进一批产品，成本为10元/件，分为线上和线下两种销售方式．调查发现：售价为12元时，线下月销量为1200件，售价每增加1元，线下月销量就减少100件；线上售价与线下售价始终保持一致，但线上月销量固定为500件，且每件产品商家需多付2元快递费．设线下月销量y件，售价为每件x元． （1）求y关于x的函数关系式． （2）当售价x为多少时，线上和线下的月利润共可达到8000元，且让顾客得到更多优惠？ 8．根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量 　　 件　 （用含a的代数式表示）． 乙店每天的销售量 　　 件　 （用含b的代数式表示）． 任务2 当a＝5，b＝4时，分别求出甲、乙店每天的盈利． 任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元． 9．（2025春•临平区月考）春节是中国的传统节日，春节前是购物的高峰期，苹果寓意“平平安安”，销售特别火爆．某水果商从农户手中购进A、B两种糖心苹果，其中A种糖心苹果进货价为25元/件，销售价为40元/件，B种糖心苹果进货价为18元/件，销售价为30元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价） （1）水果店用3300元购进A、B两种糖心苹果共160件，求两种糖心苹果分别购进的件数； （2）水果店发现B种糖心苹果还有大量剩余，决定对B种糖心苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元？ 10．（2025春•南湖区期中） 草莓销售问题 素材1 草莓是一种具有丰富营养和独特风味的水果，被誉为“水果皇后”．近期，“农夫”草莓园的草莓已成熟，可以进行采摘销售，销售渠道除了直接销售到城区外，还可以让市民去草莓园区内采摘购买． 素材2 今年4月第三周，该草莓园在城区和园区内的销售价格分别是15元/千克和20元/千克，一共销售了800千克，销售总收入为13500元． 素材3 为了促进销量，进而增加销售收入，该草莓园决定4月第四周将城区每千克售价降低x（x＞0）元，园区内每千克售价打9折，预计城区和园区内的销量将分别比第三周增加8x%和30%． 问题解决 任务1 该草莓园今年4月第三周城区和园区内分别销售了多少千克草莓？ 任务2 若该草莓园今年4月第四周销售总额为w元，请你用含x的代数式表示w． 任务3 若预计该草莓园今年4月第四周销售收入为14460元，求x的值． 11．嘉海学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 嘉海学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2023.4.26 班级人员 802王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克． 解决问题 问题1 某天超市正好销售105千克的青菜，则获利多少元？ 问题2 若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克？ 题型三 增长率与利润综合问题 1．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元． （1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 2．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 3．（2025春•义乌市校级月考）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 4．（2025春•嵊州市期末）近几年，“浙东唐诗之路”山水挑战赛“贵门”轻越野跑的关注度越来越高．据某平台统计，赛事的参赛跑友逐年增多，从2023年的1000人增加到2025年的1210人． （1）求2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率． （2）某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组．当每组售价为50元时，3月份售出了1600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式．经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36000元，为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？ 5．（2025春•莲都区期末）某服装店在销售A，B两款服装时，销售员记录了从4月到6月的销售情况，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题． 素材1 A款服装每销售一件可盈利100元，已知4月份销售量为64件，且销售量逐 月递增，6月份销售量达到100件． B款服装每销售一件可盈利150元，每月的销售量均为80件． 素材2 7月开始换季，服装店仅对A款服装进行降价销售，根据往年数据测算：以6 月份的月销售量为基准，A款服装每降5元，其月销售量增加25件，同时会 使B款服装月销售量减少10件． 素材3 问题1：求6月份销售A，B两款服装的利润之和． 问题2：求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率． 问题3：为了使7月份销售A，B两款服装的利润之和达到22500元，那么A款服装应降价多少元？ 6．（2025春•余姚市月考）根据以下素材，探索完成任务1、任务2和任务3： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出两款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 芝士杨梅 价格 a元/杯 配料 芝士100mL/杯、茉莉清茶400mL/杯、杨梅肉、多肉 满杯杨梅 价格 b元/杯 配料 茉莉清茶500mL/杯、杨梅肉、多肉 素材2 6月1日当天，为了庆祝“6.1儿童节”，购买了这两款奶茶：1班购买30杯“芝士杨梅”和20杯“满杯杨梅”共花费1010元；2班购买20杯“芝士杨梅”和30杯“满杯杨梅”共花费990元． 素材3 经统计，某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280杯，7月份的销售量为2000杯；而“芝士杨梅”7月份销售量为1600杯． 素材4 由于芝士保质期将至，为了去库存，决定8月份对“芝士杨梅”作降价促销，已知每杯奶茶的成本为9元．经试验，发现该款奶茶每降价1元，月销售量就会增加100杯． 问题解决 任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2 确定奶茶的销售量月平均增长率 该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务3 拟定降价幅度 为了使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价多少元？ 题型四 图形面积问题 （核心考点：根据矩形、三角形等图形面积公式列方程） 1．某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、11m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为96m2．设小道的宽为xm，根据题意可列方程为（　　） A．（18﹣2x）（11﹣x）＝96 B．2x2＝96 C．（18﹣x）（11﹣2x）＝96 D．（18﹣2x）（11﹣2x）＝96 2．“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长80cm，宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6300cm2．设边框的宽度为xcm，则列出的方程为（　　） A．（60+x）（80+x）＝6300 B．（60﹣x）（80﹣x）＝6300 C．（60+2x）（80+2x）＝6300 D．（60﹣2x）（80﹣2x）＝6300 3．（2025秋•大理州期中）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程（　　） A．（30+x）（20+x）＝600 B．（30+2x）（20+2x）＝600 C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝1200 D．（30+2x）（20+2x）＝1200 4．（2025春•萧山区期中）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（　　） A．（10+x）（9+x）＝30 B．（10+x）（9+x）＝60 C．（10﹣x）（9﹣x）＝30 D．（10﹣x）（9﹣x）＝60 5．（2025春•兰溪市期末）为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为480m2的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为70m的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的进出门（如图），设靠墙的长方形边长为x（m），则下列方程正确的是（　　） A．x（72﹣2x）＝480 B．x（68﹣2x）＝480 C．x（72﹣x）＝480 D．x（68﹣x）＝480 6．如图，是一个长为30m，宽为20m的长方形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　 米． 7．（2025春•萧山区月考）如图，某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面粗线表示墙面（粗线A﹣B﹣C表示墙面）建饲养场．已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝9米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开），并在每个区域开一个宽2米的门，点F在线段BC的延长线上．设EF的长为x米，若要求所围成的饲养场BDEF面积为84平方米，则可列方程 　 （不用化简）． 8．《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+10x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解是 　 ． 9．（2025秋•建平县期末）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃ABCD，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图2所示BC＝2AB，建成后所用木栏总长120米，在图2总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉， 花卉种植的面积为1728平方米． （1）求长方形ABCD花圃的长和宽； （2）求出网红打卡点的面积． 10．（2025秋•江汉区期中）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为240cm2，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm2，请计算剪去的正方形的边长． 11．（2025春•温州期中）综合与实践． 项目主题：制作新学期的开学手册封面 素材一：小华设计的开学手册的封面是尺寸为长34cm，宽22cm的长方形，正中央有一个长方形边框，其四周是边衬．上下边衬等宽，左右边衬等宽，且上下边衬的宽度是左右边衬宽度的一半．小华设计的边衬面积为172cm2． 素材二：封面边框内需要张贴一张长方形的校园照片．为了使排版规范，照片的长宽比例等于边框的长宽比例．小华设计照片到边框下方的下距为22cm，到边框左右的左距与右距，以及到边框上方的上距都为1cm． 【任务一】设上边衬的宽度为xcm，用含x的代数式表示边框的长和宽． 【任务二】求边框的长和宽． 【任务三】通过计算说明，小华的设计是否规范． 题型五 行程与运动问题 （核心考点：根据路程、速度、时间关系或运动中图形变化列方程） 1．甲、乙两个同时从圆形跑道同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即转身以同样的速度反向跑去，当两个再次相遇时，乙恰好跑了4圈，则甲的速度是乙的（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 2．（2025春•新昌县校级月考）如图，在△ABC中，AC＝50m，BC＝40m，∠C＝90°，点P从点A出发，以2m/s的速度沿AC边向点C匀速运动，同时另一点Q从点C出发，以3m/s的速度沿射线CB匀速运动，当△PCQ的面积为300m2时，运动时间为（　　） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 3．甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 　 米． 4．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm． （1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是6cm？ （2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； （3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1？ 题型六 数字与日历问题 （核心考点：根据数字规律、日历中数的关系列方程） 1．（2025春•杭州期末）已知两个连续正奇数的积是143，设其中较小的正奇数是x，可列方程　 ． 2．（2025春•瑞安市期中）如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为425，则这个最小数为 　 ． 3．读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 　 ． 4．（2025春•拱墅区校级月考）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． （1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． （2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 题型七 握手与比赛问题 （核心考点：根据 “单循环” 规律列方程，核心公式： x(x−1)=n） 1．（2025春•萧山区校级月考）某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间都比赛一场，共需安排21场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝21 B． C．x（x+1）＝21 D． 2．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C．x（x+1）＝28 D．x（x﹣1）＝28 3．（2025春•杭州校级期中）某学校八年级要组织一次篮球班赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共36场比赛，该学校八年级共有　 个班参加比赛． 4．（2025春•鹿城区校级月考）八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： （1）若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ （2）小江的说法有道理吗？请通过计算说明； （3）赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为　 ． 题型八 传播与分配问题 （核心考点：根据传播规律、分配规则列方程） 1．为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A．（n+1）2＝1641 B．（n﹣1）2＝1641 C．n（n+1）＝1641 D．1+n+n2＝1641 2．王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（　　） A． B． C．x（x﹣1）+x＝2304 D．x（x﹣1）＝2304 3．（2025春•秀洲区校级月考）徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有 　 名学生． 题型九 与勾股定理结合的应用问题 （核心考点：结合勾股定理列方程） 1．（2025春•柯桥区期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一．其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”其大意为：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈＝10尺）如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（　　） A．x2+42＝（10﹣x）2 B．（10﹣x）2+42＝x2 C．x2+（10﹣x）2＝42 D．x（10﹣x）＝42 2．（2025春•义乌市期中）从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长x尺，则根据题意，可列方程（　　） A．（x+4）2+（x+2）2＝x2 B．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 C．（x﹣4）2+（x+2）2＝x2 D．（x+4）2+（x﹣2）2＝x2 题型十 剪拼与制作问题 （核心考点：根据剪拼后图形的边长、面积关系列方程） 1．（2025春•余姚市期末）小明准备进行如下实验操作：把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于34cm2，则这两个正方形的边长各是多少？ （2）小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于30cm2．你认为他的说法正确吗？请说明理由． 2．（2025春•温州期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示． 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为a（cm）（a＜50）的长方形纸板． 素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 将纸板①裁去角上4个长宽之比为1：2的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒． 目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽a为 　 cm（a＜50）． 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究． 目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是832cm2时储物盒的体积为多少？ 目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 一元二次方程的应用 讲义 基础知识梳理 核心解题步骤（通用于所有应用题型） 解一元二次方程应用题的 “五步走”： 审：审题，找出已知量、未知量，明确数量关系； 设：设未知数（直接设或间接设，优先选择便于列方程的方式）； 列：根据等量关系列出一元二次方程； 解：解方程，求出未知数的值； 验：双重验证——① 检验解是否为方程的根；② 检验解是否符合实际意义（如人数、长度、时间为正，增长率合理等）； 答：写出完整的答语。 十大题型核心等量关系梳理 题型分类 核心公式/等量关系 典型特征 传播问题 第一轮传播后：； 第二轮传播后： 一人传多人，逐轮传播，数量呈指数增长 增长率/下降率问题 增长：； 下降： 为初始量，为平均增长率，为次数，为最终量 握手/循环赛问题 单循环：； 双循环： 每两人只握一次手/赛一场，无重复 数字问题 两位数：（为十位，为个位）； 连续数：（整数）； （奇数/偶数） 涉及数位关系、连续数的和/积 营销问题 总利润 = 单件利润 × 销售量； 单件利润 = 售价 - 进价 售价变化影响销售量，求最大利润或特定利润 图形面积问题 矩形面积=长×宽； 三角形面积=底×高； 阴影面积=整体面积-空白面积 裁剪、拼接、修路，涉及图形边长与面积关系 动态几何问题 路程=速度×时间； 面积/线段长度随运动时间变化 点在线段上运动，用时间表示线段长度 工程问题 工作总量 = 工作效率 × 工作时间； 总工作量=1 多人合作，工作效率变化 行程问题 相遇：路程和=总路程； 追及：路程差=初始距离 涉及二次速度变化或复杂相遇/追及 图表信息题 从表格/图像中提取或数量关系，结合方程求解 无文字等量关系，需从图表分析 典例精讲 题型一：传播问题 典例1（中等型：两轮传播） 题目：某种流感病毒的传染性极强，一个人感染后，经过两轮传播，共有144人感染，求每轮传播中平均一个人感染几个人？ 【解析】设：设每轮传播中平均一个人感染 个人。 列：第一轮传播后感染人数：； 第二轮传播的传染源为 人，第二轮新增感染 人； 两轮后总感染人数：，整理得：。 解：开平方得 ，解得 ，。 验： 不符合实际意义，舍去； 符合题意。 答：每轮传播中平均一个人感染11个人。 【答案】11个人。 变式1某班级开展“反诈”宣传，一名同学先转发给若干名同学，第一轮转发后，收到宣传的同学又各自转发给相同数量的同学，两轮转发后，共有132名同学收到了宣传（不含最初的1名同学），求每轮每人转发给几个人？ 【解析】设：设每轮每人转发给 个人。 列：第一轮转发 人，第二轮转发 人，则方程为 ，即 ， 解：因式分解 ，解得 ，。 验： 舍去， 符合题意。 【答案】11个人。 题型二：增长率/下降率问题 典例2（中等型：连续增长） 题目：某工厂2023年的年产值为200万元，2025年的年产值达到288万元，求该工厂这两年年产值的年平均增长率。 【解析】设：设年平均增长率为 。 列：初始量 ，次数 ，最终量 ，代入公式：。 解：两边除以200得 ，开平方得 ，解得 ，。 验： 为负，不符合增长率定义，舍去。 答：年平均增长率为20%。 【答案】20%。 变式2某商品原价为500元，经过连续两次降价，现价为320元，求该商品平均每次降价的百分率。 【解析】设：设平均每次降价的百分率为 。 列：下降率公式：。 解：两边除以500得 ，开平方得 ，解得 ，。 验： 超过100%，不符合实际，舍去。 【答案】20%。 题型三：握手/循环赛问题 典例3（中等型：单循环赛） 题目：学校组织篮球单循环赛，共有 个班级参赛，共安排了45场比赛，求参赛的班级数。 【解析】核心公式：单循环赛总场数 = 。 列：，整理得 。 解：因式分解 ，解得 ，。 验： 为负，舍去； 符合题意。 【答案】10个班级。 变式3某班同学毕业聚餐，每两人之间都要握一次手，全班共握手190次，求该班的人数。 【解析】设：设该班有 人。 列：，整理得 。 解：因式分解 ，解得 ，。 验： 舍去， 符合题意。 【答案】20人。 题型四：数字问题 典例4（中等型：两位数问题） 题目：一个两位数，十位数字与个位数字的和为9，把十位数字与个位数字对调后，新两位数比原两位数大27，求原两位数。 【解析】设：设原两位数的十位数字为 ，则个位数字为 ，原两位数为 ，新两位数为 。 列：新数 - 原数 = 27，即 。 解：化简得 ，即 ，解得 ，。 验：个位数字为 ，原数为36，新数为63，63 - 36 = 27，符合题意。 答：原两位数为36。 【答案】36。 变式4两个连续奇数的积为143，求这两个连续奇数。 【解析】设：设较小的奇数为 ，则较大的奇数为 。 列：，整理得 。 解：因式分解 ，解得 ，。 验：当 时，另一个奇数为13，； 当 时，另一个奇数为-11，； 两组解均符合题意。 【答案】11和13，或-13和-11。 题型五：营销问题 典例5（中等型：利润问题） 题目：某商店购进一批进价为20元的文具，当售价为30元时，每天可售出100件。经调查发现，售价每上涨1元，每天的销售量就减少5件。若商店每天要盈利1125元，求每件文具的售价应定为多少元？ 【解析】设：设每件文具的售价上涨 元，则售价为 元，单件利润为 元，销售量为 件。 列：总利润 = 单件利润 × 销售量，即 。 解：整理得 ，解得 。 验：售价为 元，销售量为 件，利润为 元，符合题意。 答：售价应定为35元。 【答案】35元。 变式5某服装店销售一批T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，每天可售出30件。售价每降价2元，每天的销售量就增加6件。若商店每天要盈利600元，求每件T恤的售价应定为多少元？ 【解析】设降价 元，售价 ，利润 ，销售量 ， 方程 ， 解得 ，，售价为60元或50元。 【答案】60元或50元。 题型六：图形面积问题（中等→重难） 典例6（中等型：矩形裁剪） 题目：用一块长80cm，宽60cm的矩形铁皮，在四个角各剪去一个边长为 cm的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，若盒子的底面积为1500cm²，求剪去的正方形的边长。 【解析】分析：折成的盒子底面为矩形，长 cm，宽 cm。 列：。 解：整理得 ，即 ，因式分解 ，解得 ，。 验： 时，，不符合实际，舍去； 符合题意。 【答案】15cm。 变式6在一个长为50m，宽为30m的矩形空地上，修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分种植草坪，草坪的面积为1344m²，求道路的宽度。 【解析】平移法：将道路平移到边缘，草坪形成一个新的矩形，长 m，宽 m。 列：。 解：整理得 ，即 ，因式分解 ，解得 ，。 验：，舍去； 符合题意。 【答案】2m。 题型七：重难题型拓展-动态几何问题 典例7（重难型：动点面积） 题目：在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 6cm，BC = 8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AC向点C运动，同时点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向点B运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动。设运动时间为 秒，当△PCQ的面积为8cm²时，求 的值。 【解析】用时间表示线段：，则 ；。 列方程：Rt△PCQ的面积 = ，即 。 解：整理得 6，6解得 ，。 验：运动时间范围 ，、 均在范围内，符合题意。 【答案】2秒或4秒。 【核心解题技巧】 1. 公式记忆法：增长率、传播、握手问题的公式是“模板”，直接代入即可，重点关注初始量和次数。 2. 设元技巧： · 数字问题：设数位上的数字，不直接设数； · 营销问题：设“变化量”（涨价/降价 元），比直接设售价更简便； · 动态几何：设运动时间 ，用 表示所有相关线段。 3. 图形问题“平移法”：遇到道路、小道等面积问题，通过平移将空白部分拼成规则图形，简化计算。 4. 双重验证：解出方程后，务必检验解是否符合实际（如边长为正、时间非负、增长率在0~1之间）。 【高频易错提醒】 1. 符号错误：增长率问题中，下降率公式是 ，切勿写成 ；韦达定理应用时，两根之和的负号易遗漏。 2. 范围遗漏：动态几何问题中，运动时间有上限（如点P到达C点的时间），解必须在范围内。 3. 重复计算：握手/循环赛问题中，单循环必须除以2，避免计算“甲对乙”和“乙对甲”为两场。 4. 数位混淆：两位数表示为 ，切勿写成 或 。 5. 验根缺失：求出的解满足方程，但不一定符合实际，如人数为负、边长为负，必须舍去。 题型一 增长率问题 （核心考点：根据增长/下降规律列方程，核心公式：a(1±x)n=b） 1．（2025春•温州期中）为了促进电车便捷性，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了200个充电桩，第三个月新建了600个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率x，根据题意，可列方程（　　） A．200（1+2x）＝600 B．200（1﹣x）2＝600 C．600（1+x）2＝200 D．200（1+x）2＝600 【答案】D 【分析】利用该市第三个月新建智能充电桩个数＝该市第一个月新建智能充电桩个数×（1+该市新建智能充电桩个数的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：由题意，列出方程为200（1+x）2＝600， 故选：D． 2．某公司今年4月的营业额为2500万，按计划第2季度的总营业额要达到9000万元，设该公司5，6月的营业额平均增长率为x，根据题意列方程（　　） A．2500（1+x）2＝9000 B．2500（1+x%）2＝9000 C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9000 D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9000 【答案】D 【分析】设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x，根据计划第二季度的总营业额达到9100万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意，得：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100． 故选：D． 3．（2025春•杭州期中）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（　　） A．50（1+x）2＝175 B．50+50（1+x）2＝175 C．50（1+x）+50（1+x）2＝175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175 【答案】D 【分析】先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程． 【解答】解：∵某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元， ∴二月份的产值为：50（1+x）， ∴三月份的产值为：50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2， 故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x）2＝175． 故选：D． 4．（2025春•余姚市月考）运动员刘浩和季博文在2024年8月8日巴黎奥运会男子500米双人划艇项目中夺得金牌，刘浩的故乡云南玉溪成为旅游热度城市．国庆期间云南玉溪某景区第一天接待游客约7000人，第三天接待游客约8470人．设该地游客人数的日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．7000（1+x）3＝8470 B．7000（1+x2）＝8470 C．7000（1+2x）＝8470 D．7000（1+x）2＝8470 【答案】D 【分析】利用第三天接待游客人数＝第一天接待游客人数×（1+日平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意得，7000（1+x）2＝8470． 故选：D． 5．（2025春•永康市期末）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”其意思是知识和技艺学习后，如果不及时复习，那么很容易被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程为（　　） A．（1+x）2＝50% B．（1﹣x）2＝50% C．1﹣2x＝50% D．（1﹣x）（1+x）＝50% 【答案】B 【分析】利用两天后学习过的东西未被遗忘的部分（即50%）＝学习过的东西（即1）×（1﹣每天“遗忘”的百分比）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：（1﹣x）2＝50%． 故选：B． 6．（2025春•临平区月考）某药品原价每盒144元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒81元，则该药品平均每次降价的百分率是 　25%　 ． 【答案】25%． 【分析】设该药品平均每次降价的百分率是x，根据某药品原价每盒144元，经过连续两次降价，现在售价每盒81元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x， 依题意得：144（1﹣x）2＝81， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝1.75（不符合题意，舍去）， ∴该药品平均每次降价的百分率是25%． 故答案为：25%． 7．（2025春•诸暨市期中）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，缴税数额也相应递增．已知该公司2022年缴税25万元，2024年缴税36万元，那么该公司这两年缴税的年平均增长率是　20%　 ． 【答案】20%． 【分析】设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，由题意可得方程25（1+x）2＝36，然后进行求解即可． 【解答】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，由题意可得： 25（1+x）2＝36， 整理得，25x2+50x﹣11＝0， 解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）； ∴该公司这两年缴税的年平均增长率是20%， 答：该公司这两年缴税的年平均增长率是20%， 故答案为：20%． 8．随着科技的提高，某种电子产品的价格呈现下降趋势，今年年底的价格是两年前的，设这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降的百分率为 　50%　 ． 【答案】50%． 【分析】设这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降的百分率为x，根据今年年底的价格是两年前的列出方程，解之即可得出答案． 【解答】解：设这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降的百分率为x， 根据题意得：， 解得：x1＝0.5＝50%，x2＝1.5（不合题意，舍去）， 即这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降的百分率为50%． 故答案为：50%． 9．同学参加决赛．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆405人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则请列出符合题意的方程：　125（1+x）2＝405　 ． 【答案】125（1+x）2＝405． 【分析】设进馆人次的月平均增长率是x，根据第一个月及第三个月的进馆人次数，即可得出关于x的一元二次方程． 【解答】解：由题意得：125（1+x）2＝405， 故答案为：125（1+x）2＝405． 10．（2025春•兰溪市期末）五一假期，某著名景区在5月1日至3日期间的游客人数逐日增加，5月4日至5日游客人数大幅减少．据统计，5月1日的游客人数为1.5万人，5月3日的游客人数为2.16万人． （1）求5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率； （2）5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的，求5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天最多是多少万人？ 【分析】（1）设5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为x，利用5月3日的游客人数＝5月1日的游客人数×（1+5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天是m万人，根据5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为x， 根据题意得：1.5（1+x）2＝2.16， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为20%； （2）设5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天是m万人， 根据题意得：2m[1.5+1.5×（1+20%）+2.16]， 解得：m≤0.91， ∴m的最大值为0.91． 答：5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天最多是0.91万人． 11．（2025春•长兴县期中）随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某新能源汽车的销量和收入均实现了显著增长，2022年全年总销量约为150万辆，到2024年全年总销量已增长至约216万辆．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司多方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少0.2万辆/季度． （1）求该品牌汽车企业2022年到2024年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加总产量同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 【分析】（1）设该品牌汽车企业2022年到2024年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，利用设该品牌汽车企业2024年新能源汽车销售总量＝设该品牌汽车企业2022年新能源汽车销售总量×（1+设该品牌汽车企业2022年到2024年新能源汽车销售总量的平均年增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设应该再增加y个工厂，则每个工厂的最大产能为（6﹣0.2y）万辆/季度，根据该企业要保证每季度生产汽车27万辆，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要节省投入成本，即可确定结论． 【解答】解：（1）设该品牌汽车企业2022年到2024年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x， 根据题意得：150（1+x）2＝216， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该品牌汽车企业2022年到2024年新能源汽车销售总量的平均年增长率为20%； （2）设应该再增加y个工厂，则每个工厂的最大产能为（6﹣0.2y）万辆/季度， 根据题意得：（2+y）（6﹣0.2y）＝27， 整理得：y2﹣28y+75＝0， 解得：y1＝3，y2＝25， 又∵要节省投入成本， ∴y＝3． 答：应该再增加3个工厂． 题型二 利润问题 （核心考点：根据“总利润=单件利润×销售量”列方程） 1．（2025春•西湖区校级期中）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 【答案】D 【分析】当每件降低x元时，每件的销售利润为（20﹣x）元，平均每周可售出（200+8x）件，利用每周销售该款T恤获得的总利润＝每件的销售利润×每周的销售量，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：当每件降低x元时，每件的销售利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，平均每周可售出（200+8x）件， 根据题意得：（20﹣x）（200+8x）＝8450． 故选：D． 2．（2025春•秀洲区校级月考）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为，则下列表述正确的是（　　） A．每顶帐篷单价为x元 B．降价后平均每天可出售（200﹣x）顶 C．每顶帐篷单价应降价x元 D．降价后每顶帐篷利润为元 【答案】C 【分析】利用总利润＝每顶帐篷的销售利润×日销售量，可找出（200﹣x）及（604）的意义，进而可找出x的意义，再对照四个选项，即可得出结论． 【解答】解：∵每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶，单价每降价10元，每天可多售出4顶， ∴所列方程中（200﹣x）表示每顶帐篷的利润，（604）表示平均每天售出帐篷的数量， ∴x表示每顶帐篷单价降低的钱数． 故选：C． 3．（2025•李沧区校级三模）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元．若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了x棵树苗，则可列出方程x[120﹣0.5（x﹣60）]＝8800　 ． 【答案】x[120﹣0.5（x﹣60）]＝8800 【分析】根据设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）]＝8800． 【解答】解：设该校共购买了x棵树苗，由题意得： x[120﹣0.5（x﹣60）]＝8800， 故答案为：x[120﹣0.5（x﹣60）]＝8800． 4．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 　3或4　 元． 【答案】3或4 【分析】设每箱降价x元，则每箱的销售利润为（12﹣x）元，平均每天可售出（100+20x）箱，利用总利润＝每箱的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设每箱降价x元，则每箱的销售利润为（12﹣x）元，平均每天可售出（100+20x）箱， 根据题意得：（12﹣x）（100+20x）＝1440， 整理得：x2﹣7x+12＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， ∴每箱应降价3或4元． 故答案为：3或4． 5．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价6元，则平均每天销售数量为多少件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【分析】（1）利用平均每天的销售量＝20+2×每件商品降低的价格，即可求出结论； （2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）元，利用总利润＝每件盈利×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合在让顾客得到更大实惠的前提下，即可得出每件商品应降价20元． 【解答】解：（1）根据题意得：20+6×2＝32（件）， 答：平均每天销售数量为32件； （2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）元，依题意得： （40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20， 又要让顾客得到更大实惠， ∴x＝20． 答：当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元． 6．某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜40）之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【分析】（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b由题意得出：当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；得出方程组，解方程组即可； （2）由题意得出方程（100﹣60﹣x）（10x+100）＝5250，解方程即可． 【解答】解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b 当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100； （2）根据题意得，（100﹣60﹣x）（10x+100）＝5250， 整理得x2﹣30x+125＝0， 解得：x1＝5，x2＝25， 答：商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元． 7．某商家购进一批产品，成本为10元/件，分为线上和线下两种销售方式．调查发现：售价为12元时，线下月销量为1200件，售价每增加1元，线下月销量就减少100件；线上售价与线下售价始终保持一致，但线上月销量固定为500件，且每件产品商家需多付2元快递费．设线下月销量y件，售价为每件x元． （1）求y关于x的函数关系式． （2）当售价x为多少时，线上和线下的月利润共可达到8000元，且让顾客得到更多优惠？ 【分析】（1）根据题意，可设y关于x的函数关系式为y＝﹣100x+b，结合当x＝12时y＝1200，即可求出b值，进而可得出y关于x的函数关系式； （2）根据线上和线下的月利润共可达到8000元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要让顾客得到更多优惠，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵售价每增加1元，线下月销量就减少100件， ∴设y关于x的函数关系式为y＝﹣100x+b． ∵售价为12元时，线下月销量为1200件， ∴1200＝﹣100×12+b， ∴b＝2400， ∴y关于x的函数关系式为y＝﹣100x+2400． （2）依题意得：（x﹣2﹣10）×500+（x﹣10）（﹣100x+2400）＝8000， 整理得：x2﹣39x+380＝0， 解得：x1＝19，x2＝20， 又∵要让顾客得到更多优惠， ∴x＝19． 答：当售价x为19时，线上和线下的月利润共可达到8000元，且让顾客得到更多优惠． 8．根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量 　（20+2a）件　 （用含a的代数式表示）． 乙店每天的销售量 　（32+2b）件　 （用含b的代数式表示）． 任务2 当a＝5，b＝4时，分别求出甲、乙店每天的盈利． 任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元． 【分析】任务1，由题意即可得出结论； 任务2：，由盈利＝每件盈利×销售量，分别列式计算即可； 任务3，设每件衬衫下降m元时，两家分店一天的盈利和为2244元，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：任务1，甲店每天的销售量为（20+2a）件，乙店每天的销售量为（32+2b）件， 故答案为：（20+2a）件，（32+2b）件； 任务2，当a＝5时，甲店每天的盈利为（40﹣5）×（20+2×5）＝1050（元）； 当b＝4时，乙店每天的盈利为（30﹣4）×（32+2×4）＝1040（元）； 任务3，设每件衬衫下降m元时，两家分店一天的盈利和为2244元， 由题意得：（40﹣m）（20+2m）+（30﹣m）（32+2m）＝2244， 整理得：m2﹣22m+121＝0， 解得：m1＝m2＝11， 即每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为2244元． 9．（2025春•临平区月考）春节是中国的传统节日，春节前是购物的高峰期，苹果寓意“平平安安”，销售特别火爆．某水果商从农户手中购进A、B两种糖心苹果，其中A种糖心苹果进货价为25元/件，销售价为40元/件，B种糖心苹果进货价为18元/件，销售价为30元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价） （1）水果店用3300元购进A、B两种糖心苹果共160件，求两种糖心苹果分别购进的件数； （2）水果店发现B种糖心苹果还有大量剩余，决定对B种糖心苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元？ 【分析】（1）设购进A种糖心苹果x件，B种糖心苹果y件，根据水果店用3300元购进A、B两种糖心苹果共160件，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设将B种糖心苹果的销售价定为每件a元，则每天的销售量为[4+（30﹣a）×2]件，根据B种糖心苹果每天销售利润为96元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设购进A种糖心苹果x件，B种糖心苹果y件， 由题意得：， 解得：， 答：购进A种糖心苹果60件，B种糖心苹果100件； （2）设将B种糖心苹果的销售价定为每件a元，则每天的销售量为[4+（30﹣a）×2]件， 由题意得：（a﹣18）[4+（30﹣a）×2]＝96， 整理得：a2﹣50a+624＝0， 解得：a1＝24，a2＝26（不符合题意，舍去）， 答：将销售价定为每件24元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元． 10．（2025春•南湖区期中） 草莓销售问题 素材1 草莓是一种具有丰富营养和独特风味的水果，被誉为“水果皇后”．近期，“农夫”草莓园的草莓已成熟，可以进行采摘销售，销售渠道除了直接销售到城区外，还可以让市民去草莓园区内采摘购买． 素材2 今年4月第三周，该草莓园在城区和园区内的销售价格分别是15元/千克和20元/千克，一共销售了800千克，销售总收入为13500元． 素材3 为了促进销量，进而增加销售收入，该草莓园决定4月第四周将城区每千克售价降低x（x＞0）元，园区内每千克售价打9折，预计城区和园区内的销量将分别比第三周增加8x%和30%． 问题解决 任务1 该草莓园今年4月第三周城区和园区内分别销售了多少千克草莓？ 任务2 若该草莓园今年4月第四周销售总额为w元，请你用含x的代数式表示w． 任务3 若预计该草莓园今年4月第四周销售收入为14460元，求x的值． 【分析】（任务1）设该草莓园今年4月第三周在城区销售了a千克草莓，在园区内销售了b千克草莓，利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合今年4月第三周该草莓园一共销售了800千克草莓且销售总收入为13500元，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务2）利用销售总额＝销售单价×销售数量，可用含x的代数式表示出w； （任务3）根据销售总额为14460元，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（任务1）设该草莓园今年4月第三周在城区销售了a千克草莓，在园区内销售了b千克草莓， 根据题意得：， 解得：． 答：该草莓园今年4月第三周在城区销售了500千克草莓，在园区内销售了300千克草莓； （任务2）根据题意得：w＝（15﹣x）×500（1+8x%）+20×0.9×300（1+30%）， ∴w＝﹣40x2+100x+14520； （任务3）根据题意得：﹣40x2+100x+14520＝14460， 整理得：2x2﹣5x﹣3＝0， 解得：x1＝3，x2（不符合题意，舍去）． 答：x的值为3． 11．嘉海学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 嘉海学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2023.4.26 班级人员 802王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克． 解决问题 问题1 某天超市正好销售105千克的青菜，则获利多少元？ 问题2 若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克？ 【分析】问题1：设售价为x元/千克，，计算得x＝3.5即可得； 问题2：设青菜的售价为x元/千克，超市会一天销售青菜获利100元，，计算得x1＝3，x2＝4，即可得． 【解答】解：问题1：设售价为x元/千克， ， ， ， 5x﹣12.5＝2， 5x＝14.5， x＝2.9， 则获利：（2.9﹣2）×105＝94.5（元）， 答：某天超市正好销售105千克的青菜，则获利94.5元； 问题2：设青菜的售价为x元/千克，超市会一天销售青菜获利100元， ， （x﹣2）（250﹣50x）＝100， 50x2﹣350x+600＝0， x2﹣7x+12＝0， （x﹣3）（x﹣4）＝0， x1＝3，x2＝4， ∵帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠， ∴青菜的售价为3元/千克， 答：若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为3元/千克． 题型三 增长率与利润综合问题 1．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元． （1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 【分析】（1）设每次下降的百分率为x，根据相等关系列出方程，可求每次下降的百分率； （2）设涨价y元（0＜y≤8），根据总盈余＝每千克盈余×数量，可列方程，可求解． 【解答】解：（1）设每次下降的百分率为x 根据题意得：50（1﹣x）2＝32 解得：x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意舍去） 答：每次下降20% （2）设涨价y元（0＜y≤8） 6000＝（10+y）（500﹣20y） 解得：y1＝5，y2＝10（不合题意舍去） 答：每千克应涨价5元． 2．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256（1+x）件；三月份的销售量为：256（1+x）（1+x）件，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量×每件商品的利润＝4250求出即可． 【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得： 256（1+x）2＝400， 解得：x1，x2（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为25%； （2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得： （40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250， 解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商场获利4250元． 3．（2025春•义乌市校级月考）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为a，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①根据“上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列式即可求解； ②根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，即可求出结论． 【解答】（1）解：设月增长率为a， 依题意可得：150（1+a）2＝216， 解得：a1＝0.2＝20%，a2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）解：①y＝600﹣10（x﹣40）＝600﹣10x+400＝1000﹣10x； ②依题意，得：（x﹣30）（1000﹣10x）＝10000， 整理，得：x2﹣130x+4000＝0， 解得：x1＝80，x2＝50， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 4．（2025春•嵊州市期末）近几年，“浙东唐诗之路”山水挑战赛“贵门”轻越野跑的关注度越来越高．据某平台统计，赛事的参赛跑友逐年增多，从2023年的1000人增加到2025年的1210人． （1）求2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率． （2）某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组．当每组售价为50元时，3月份售出了1600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式．经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36000元，为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？ 【分析】（1）设2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为x，根据从2023年的1000人增加到2025年的1210人，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设该护膝肌贴组每组应降价m元，则4月份销售量为（1600+200m）组，根据该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36000元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为x， 由题意得：1000（1+x）2＝1210， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， 答：2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为10%； （2）设该护膝肌贴组每组应降价m元，则4月份销售量为（1600+200m）组， 由题意得：（50﹣m﹣30）（1600+200m）＝36000， 整理得：m2﹣12m+20＝0， 解得：m1＝2（不符合题意，舍去），m2＝10， 答：该护膝肌贴组每组应降价10元． 5．（2025春•莲都区期末）某服装店在销售A，B两款服装时，销售员记录了从4月到6月的销售情况，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题． 素材1 A款服装每销售一件可盈利100元，已知4月份销售量为64件，且销售量逐 月递增，6月份销售量达到100件． B款服装每销售一件可盈利150元，每月的销售量均为80件． 素材2 7月开始换季，服装店仅对A款服装进行降价销售，根据往年数据测算：以6 月份的月销售量为基准，A款服装每降5元，其月销售量增加25件，同时会 使B款服装月销售量减少10件． 素材3 问题1：求6月份销售A，B两款服装的利润之和． 问题2：求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率． 问题3：为了使7月份销售A，B两款服装的利润之和达到22500元，那么A款服装应降价多少元？ 【分析】（问题1）利用6月份销售A，B两款服装的利润之和＝每件A款服装的销售利润×A款服装的月销售量+每件B款服装的销售利润×B款服装的月销售量，即可求出结论； （问题2）设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为x，利用A款服装6月份的销售量＝A款服装4月份的销售量×（1+A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （问题3）设A款服装应降价y元，则每件A款服装的销售利润为（100﹣y）元，A款服装的月销售量为（100+5y）件，B款服装的月销售量为（80﹣2y）件，利用7月份销售A，B两款服装的利润之和＝每件A款服装的销售利润×A款服装的月销售量+每件B款服装的销售利润×B款服装的月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（问题1）根据题意得：100×100+150×80 ＝10000+12000 ＝22000（元）． 答：6月份销售A，B两款服装的利润之和为22000元； （问题2）设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为x， 根据题意得：64（1+x）2＝100， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为25%； （问题3）设A款服装应降价y元，则每件A款服装的销售利润为（100﹣y）元，A款服装的月销售量为10025＝（100+5y）件，B款服装的月销售量为8010＝（80﹣2y）件， 根据题意得：（100﹣y）（100+5y）+150（80﹣2y）＝22500， 整理得：y2﹣20y+100＝0， 解得：y1＝y2＝10． 答：A款服装应降价10元． 6．（2025春•余姚市月考）根据以下素材，探索完成任务1、任务2和任务3： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出两款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 芝士杨梅 价格 a元/杯 配料 芝士100mL/杯、茉莉清茶400mL/杯、杨梅肉、多肉 满杯杨梅 价格 b元/杯 配料 茉莉清茶500mL/杯、杨梅肉、多肉 素材2 6月1日当天，为了庆祝“6.1儿童节”，购买了这两款奶茶：1班购买30杯“芝士杨梅”和20杯“满杯杨梅”共花费1010元；2班购买20杯“芝士杨梅”和30杯“满杯杨梅”共花费990元． 素材3 经统计，某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280杯，7月份的销售量为2000杯；而“芝士杨梅”7月份销售量为1600杯． 素材4 由于芝士保质期将至，为了去库存，决定8月份对“芝士杨梅”作降价促销，已知每杯奶茶的成本为9元．经试验，发现该款奶茶每降价1元，月销售量就会增加100杯． 问题解决 任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2 确定奶茶的销售量月平均增长率 该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务3 拟定降价幅度 为了使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价多少元？ 【分析】（任务1）利用总价＝单价×数量，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务2）设该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是x，利用该奶茶店7月份的“满杯杨梅”奶茶销售量＝该奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量×（1+该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （任务3）设该款奶茶应该降价y元，则每杯“芝士杨梅”的利润为（21﹣y﹣9）元，月销售量为（1600+100y）杯，利用月销售毛利润＝每杯的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（任务1）根据题意得：， 解得：． 答：每杯“芝士杨梅”的售价是21元，每杯“满杯杨梅”的售价是19元； （任务2）设该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是x， 根据题意得：1280（1+x）2＝2000， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是25%； （任务3）设该款奶茶应该降价y元，则每杯“芝士杨梅”的利润为（21﹣y﹣9）元，月销售量为（1600+100y）杯， 根据题意得：（21﹣y﹣9）（1600+100y）＝16000， 整理得：y2+4y﹣32＝0， 解得：y1＝4，y2＝﹣8（不符合题意，舍去）． 答：该款奶茶应该降价4元． 题型四 图形面积问题 （核心考点：根据矩形、三角形等图形面积公式列方程） 1．某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、11m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为96m2．设小道的宽为xm，根据题意可列方程为（　　） A．（18﹣2x）（11﹣x）＝96 B．2x2＝96 C．（18﹣x）（11﹣2x）＝96 D．（18﹣2x）（11﹣2x）＝96 【答案】A 【分析】由小道的宽为x米，可得出种植菜园的部分可合成长为（18﹣2x）米，宽为（11﹣x）米的长方形，再根据种植面积为96平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵小道的宽为x米， ∴种植菜园的部分可合成长为（18﹣2x）米，宽为（11﹣x）米的长方形． 依题意得：（18﹣2x）（11﹣x）＝96． 故选：A． 2．“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长80cm，宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6300cm2．设边框的宽度为xcm，则列出的方程为（　　） A．（60+x）（80+x）＝6300 B．（60﹣x）（80﹣x）＝6300 C．（60+2x）（80+2x）＝6300 D．（60﹣2x）（80﹣2x）＝6300 【答案】C 【分析】当边框的宽度为xcm时，矩形挂图的长为（80+2x）cm，宽为（60+2x）cm，根据整个挂图的面积是6300cm2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：当边框的宽度为xcm时，矩形挂图的长为（80+2x）cm，宽为（60+2x）cm， 根据题意得：（60+2x）（80+2x）＝6300． 故选：C． 3．（2025秋•大理州期中）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程（　　） A．（30+x）（20+x）＝600 B．（30+2x）（20+2x）＝600 C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝1200 D．（30+2x）（20+2x）＝1200 【答案】D 【分析】根据原画的长、宽及四周彩纸的宽，可得出原画四周镶上彩纸后的长为（30+2x）cm，宽为（20+2x）cm，再结合原画四周镶上彩纸后的面积等于原画面面积的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵原画面是长为30cm，宽为20cm的矩形，且彩纸的宽度为xcm， ∴原画四周镶上彩纸后的长为（30+2x）cm，宽为（20+2x）cm． 根据题意得：（30+2x）（20+2x）＝2×30×20， 即（30+2x）（20+2x）＝1200． 故选：D． 4．（2025春•萧山区期中）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（　　） A．（10+x）（9+x）＝30 B．（10+x）（9+x）＝60 C．（10﹣x）（9﹣x）＝30 D．（10﹣x）（9﹣x）＝60 【答案】D 【分析】利用直角三角形面积求法列出方程求解即可． 【解答】解：由题意可得：（10﹣x）（9﹣x）＝10×910×9，即（10﹣x）（9﹣x）＝60． 故选：D． 5．（2025春•兰溪市期末）为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为480m2的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为70m的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的进出门（如图），设靠墙的长方形边长为x（m），则下列方程正确的是（　　） A．x（72﹣2x）＝480 B．x（68﹣2x）＝480 C．x（72﹣x）＝480 D．x（68﹣x）＝480 【答案】A 【分析】设靠墙的长方形边长为x（m），根据矩形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：设靠墙的长方形边长为x（m）， 根据题意得x（72﹣2x）＝480， 故选：A． 6．如图，是一个长为30m，宽为20m的长方形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　1　 米． 【答案】1 【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可． 【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532， 整理，得x2﹣35x+34＝0． 解得，x1＝1，x2＝34． ∵34＞30（不合题意，舍去）， ∴x＝1． 答：小道进出口的宽度应为1米． 故答案为：1． 7．（2025春•萧山区月考）如图，某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面粗线表示墙面（粗线A﹣B﹣C表示墙面）建饲养场．已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝9米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开），并在每个区域开一个宽2米的门，点F在线段BC的延长线上．设EF的长为x米，若要求所围成的饲养场BDEF面积为84平方米，则可列方程 　•x＝84　 （不用化简）． 【答案】•x＝84． 【分析】设EF的长为x米，则DE米，利用矩形的面积计算公式，列出一元二次方程即可． 【解答】解：设EF的长为x米，则DE（米）， 依题意得：•x＝84， 故答案为：•x＝84． 8．《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+10x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解是 　　 ． 【答案】 【分析】根据阴影部分的面积+四个正方形的面积＝大正方形的面积，得出50+4，解方程即可． 【解答】解：∵阴影部分的面积+四个小正方形的面积＝大正方形的面积， ∴50+4， 即75＝（x+5）2， 解方程得， ∴x的正数解为：， 故答案为：． 9．（2025秋•建平县期末）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃ABCD，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图2所示BC＝2AB，建成后所用木栏总长120米，在图2总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉， 花卉种植的面积为1728平方米． （1）求长方形ABCD花圃的长和宽； （2）求出网红打卡点的面积． 【分析】（1）设AB＝x米，根据三边所用木栏总长120米，列方程求解即可； （2）设网红打卡点的边长为m米，根据空白的面积＝长方形花圃的面积﹣花卉种植面积，列一元二次方程，求解即可． 【解答】解：（1）设AB＝x米， ∴BC＝2AB＝2x米， 根据题意，得2x+x+x＝120， 解得x＝30， ∴AB＝30米，BC＝60米， 答：长方形ABCD花圃的长为60米，宽为30米； （2）设网红打卡点的边长为m米， 根据题意，得（60﹣m）m2＝60×30﹣1728， 解得m1＝4，m2＝﹣24（舍去）， ∴网红打卡点的面积为4×4＝16（平方米）， 答：网红打卡点的面积为16平方米． 10．（2025秋•江汉区期中）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为240cm2，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm2，请计算剪去的正方形的边长． 【分析】（1）设减去的正方形的边长为xcm，则纸盒底面长方形的长为（30﹣2x）cm，宽为（16﹣2x）cm，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）设剪去的正方形的边长为acm，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【解答】解：（1）设减去的正方形的边长为xcm， 由题意得：（30﹣2x）（16﹣2x）＝240， 解得：x＝3或x＝20（舍去）， ∴剪去正方形的边长为3cm； （2）设剪去的正方形的边长为acm， 由题意得：， 解得：a＝2或a＝﹣17（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为2cm． 11．（2025春•温州期中）综合与实践． 项目主题：制作新学期的开学手册封面 素材一：小华设计的开学手册的封面是尺寸为长34cm，宽22cm的长方形，正中央有一个长方形边框，其四周是边衬．上下边衬等宽，左右边衬等宽，且上下边衬的宽度是左右边衬宽度的一半．小华设计的边衬面积为172cm2． 素材二：封面边框内需要张贴一张长方形的校园照片．为了使排版规范，照片的长宽比例等于边框的长宽比例．小华设计照片到边框下方的下距为22cm，到边框左右的左距与右距，以及到边框上方的上距都为1cm． 【任务一】设上边衬的宽度为xcm，用含x的代数式表示边框的长和宽． 【任务二】求边框的长和宽． 【任务三】通过计算说明，小华的设计是否规范． 【分析】【任务一】设上边衬的宽度为xcm，则下边衬的宽度为xcm，左、右边衬的宽度为2xcm，利用边框的长＝34﹣上边衬的宽度﹣下边衬的宽度及边框的宽＝22﹣左边衬的宽度﹣又边衬的宽度，即可用含x的代数式表示出边框的长和宽； 【任务二】根据小华设计的边衬面积为172cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入（34﹣2x）及（22﹣4x）中，即可求出结论； 【任务三】求出照片的长、宽，结合照片的长宽比例等于边框的长宽比例，即可得出结论． 【解答】解：【任务一】设上边衬的宽度为xcm，则下边衬的宽度为xcm，左、右边衬的宽度为2xcm， ∴边框的长为34﹣x﹣x＝（34﹣2x）cm，宽为22﹣2x﹣2x＝（22﹣4x）cm； 【任务二】根据题意得：34×22﹣（34﹣2x）（22﹣4x）＝172， 整理得：2x2﹣45x+43＝0， 解得：x1＝1，x2（不符合题意，舍去）， ∴34﹣2x＝34﹣2×1＝32（cm）， 22﹣4x＝22﹣4×1＝18（cm）． 答：边框的长为32cm，宽为18cm； 【任务三】小华的设计规范，理由如下： 照片的长为18﹣1﹣1＝16（cm）， 照片的宽为32﹣1﹣22＝9（cm）， ∵边框的长为32cm，宽为18cm，且32：18＝16：9， ∴小华的设计规范． 题型五 行程与运动问题 （核心考点：根据路程、速度、时间关系或运动中图形变化列方程） 1．甲、乙两个同时从圆形跑道同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即转身以同样的速度反向跑去，当两个再次相遇时，乙恰好跑了4圈，则甲的速度是乙的（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设甲的速度为a，乙的速度为b，圆形跑道的长度为s，则第一次相遇时，甲的路程为s，乙的路程为s，利用时间＝路程÷速度，结合两人第一次相遇时的运动时间相同，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设甲的速度为a，乙的速度为b，圆形跑道的长度为s，则第一次相遇时，甲的路程为5sss，乙的路程为4sss， 根据题意得：， 整理得：2（）22＝0， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴甲的速度是乙的倍． 故选：C． 2．（2025春•新昌县校级月考）如图，在△ABC中，AC＝50m，BC＝40m，∠C＝90°，点P从点A出发，以2m/s的速度沿AC边向点C匀速运动，同时另一点Q从点C出发，以3m/s的速度沿射线CB匀速运动，当△PCQ的面积为300m2时，运动时间为（　　） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【解答】解：由题意AP＝2tm，CQ＝3tm， ∴PC＝50﹣2t， ∴， ∴， 解得t＝20或5， ∴t＝20s或5s时，△PCQ的面积为300m2， 故选：C． 3．甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 　24　 米． 【答案】24． 【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t秒，则乙走了t米，甲斜向北偏东方向走了（1.5t﹣10）米，利用勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设甲、乙两人相遇的时间为t秒，则乙走了t米，甲斜向北偏东方向走了（1.5t﹣10）米， 依题意得：102+t2＝（1.5t﹣10）2， 整理得：t2﹣24t＝0， 解得：t1＝24，t2＝0（不合题意，舍去）， 即乙走了24米， 故答案为：24． 4．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm． （1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是6cm？ （2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； （3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1？ 【分析】（1）设经过x秒，点P和点Q间的距离是6cm，列出方程求解即可； （2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （3）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜m≤4）；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜n≤6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（k＞6）；进行讨论即可求解． 【解答】解：（1）设经过x秒，点P和点Q间的距离是6cm，依题意有 （6﹣x）2+（2x）2＝62， 解得x1＝0，x2＝2.4， 经检验，x2均符合题意． 故经过2.4秒点P和点Q间的距离是6cm； （2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有 △ABC的面积6×8＝24， （6﹣y）•2y＝12， y2﹣6y+12＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4×12＝﹣12＜0， ∴此方程无实数根， ∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分； （3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜m≤4）， 设经过m秒，依题意有 （6﹣m）（8﹣2m）＝1， m2﹣10m+23＝0， 解得m1＝5，m2＝5， 经检验，m1＝5不符合题意，舍去， ∴m＝5； ②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜n≤6）， 设经过n秒，依题意有 （6﹣n）（2n﹣8）＝1， n2﹣10n+25＝0， 解得n1＝n2＝5， 经检验，n＝5符合题意． ③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（k＞6）， 设经过k秒，依题意有 （k﹣6）（2k﹣8）＝1， k2﹣10k+23＝0， 解得k1＝5，k2＝5， 经检验，k1＝5不符合题意，舍去， ∴k＝5； 综上所述，经过（5）秒，5秒，（5）秒后，△PBQ的面积为1cm2． 题型六 数字与日历问题 （核心考点：根据数字规律、日历中数的关系列方程） 1．（2025春•杭州期末）已知两个连续正奇数的积是143，设其中较小的正奇数是x，可列方程x（x+2）＝143　 ． 【答案】x（x+2）＝143． 【分析】设其中较小的奇数为x，则较大的奇数为（x+2），根据两个奇数之积为143，即可得出关于x的一元二次方程． 【解答】解：设其中较小的奇数为x，则较大的奇数为（x+2）， 依题意得：x（x+2）＝143， 故答案为：x（x+2）＝143． 2．（2025春•瑞安市期中）如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为425，则这个最小数为 　17　 ． 【答案】17． 【分析】设最小数为x，则最大数为x+8，根据最小数与最大数的乘积为425，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：设最小数为x，则最大数为x+8， 由题意得：x（x+8）＝425， 解得：x1＝17，x2＝﹣25（不合题意，舍去）， 故答案为：17． 3．读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 　36　 ． 【答案】36 【分析】设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为x﹣3，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程即可． 【解答】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为x﹣3， 由题意得，10（x﹣3）+x＝x2， 解得：x1＝5，x2＝6， ∴他去世时年龄为25或36， 又∵他去世时的年龄大于30， ∴他去世时的年龄为36 故答案为：36． 4．（2025春•拱墅区校级月考）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． （1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． （2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设最小数是x，则最大数是（x+8），根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为y，则另外三个数分别是y+1，y+7，y+8，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出y的值，即可解决问题． 【解答】解：（1）设最小数为x，则最大数为x+8， 由题意得：（x+8）x＝180， 整理得：x2+8x﹣180＝0， 解得x＝﹣18或10， 当x＝﹣18时，不符合题意，舍去， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 所以最小数为10， 答：最小数为10； （2）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为y，则另外三个数分别是y+1，y+7，y+8， 由题意得：y（y+8）+y+（y+1）+（y+7）+（y+8）＝80， 整理得：y2+12y﹣64＝0， 解得y＝﹣16或4， 当y＝﹣16时，不符合题意，舍去， ∵y＝4在最后一列， ∴假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 题型七 握手与比赛问题 （核心考点：根据 “单循环” 规律列方程，核心公式： x(x−1)=n） 1．（2025春•萧山区校级月考）某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间都比赛一场，共需安排21场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝21 B． C．x（x+1）＝21 D． 【答案】B 【分析】利用比赛的总场次数＝七年级的班级数×（七年级的班级数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程． 【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝21． 故选：B． 2．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C．x（x+1）＝28 D．x（x﹣1）＝28 【答案】D 【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝4×7， 即x（x﹣1）＝28． 故选：D． 3．（2025春•杭州校级期中）某学校八年级要组织一次篮球班赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共36场比赛，该学校八年级共有 　9　 个班参加比赛． 【答案】该学校八年级共有9个班参加比赛． 【分析】设该学校八年级共有x个班参加比赛，根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共36场比赛，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设该学校八年级共有x个班参加比赛， 由题意得：x（x﹣1）＝36， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）． 即该学校八年级共有9个班参加比赛， 故答案为：9． 4．（2025春•鹿城区校级月考）八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： （1）若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ （2）小江的说法有道理吗？请通过计算说明； （3）赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为　4　 ． 【分析】（1）由题意可得出答案； （2）设有x人报名参赛，列出方程40，解方程可得出答案； （3）设有一人比赛了n场后退出比赛，由题意得出，解方程可得出答案． 【解答】解：（1）由题意，得6个人需比赛的局数为15（场）， 答：若参赛者有6人，按赛制共进行了15场比赛； （2）小江说的有道理， 理由如下：设有x人报名参赛， 由题意得40， 整理得 x2﹣x﹣80＝0，解得x，不为整数． ∴方程的解不符合实际，小江说的有道理； （3）设有一人比赛了n场后退出比赛，由题意得，， 整理得x2﹣3x+2n﹣78＝0， 解得x， 当n＝4时，x＝10（符合题意）或x＝﹣7（不符合题意）， ∴共有10名参赛者报名本次比赛． 故n的值为4． 故答案为：4． 题型八 传播与分配问题 （核心考点：根据传播规律、分配规则列方程） 1．为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A．（n+1）2＝1641 B．（n﹣1）2＝1641 C．n（n+1）＝1641 D．1+n+n2＝1641 【答案】D 【分析】根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可． 【解答】解：第一轮传播人数为：1+n，第二轮又增加n2， 由题意，得：1+n+n2＝1641； 故选：D． 2．王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（　　） A． B． C．x（x﹣1）+x＝2304 D．x（x﹣1）＝2304 【答案】C 【分析】王老师共赠送了x张签名卡，同学之间共赠送了x（x﹣1）张签名卡，由王老师购买了2304张签名卡可得答案． 【解答】解：根据题意，王老师共赠送了x张签名卡，同学之间共赠送了x（x﹣1）张签名卡， ∴x（x﹣1）+x＝2304； 故选：C． 3．（2025春•秀洲区校级月考）徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有 　41　 名学生． 【答案】41． 【分析】设班级共有x名学生，根据徐老师购买了1681张签名卡，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设班级共有x名学生， 根据题意得：x（x﹣1）+x＝1681， 整理得：x1＝41，x2＝﹣41（不符合题意，舍去）， 即班级共有41名学生， 故答案为：41． 题型九 与勾股定理结合的应用问题 （核心考点：结合勾股定理列方程） 1．（2025春•柯桥区期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一．其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”其大意为：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈＝10尺）如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（　　） A．x2+42＝（10﹣x）2 B．（10﹣x）2+42＝x2 C．x2+（10﹣x）2＝42 D．x（10﹣x）＝42 【答案】A 【分析】根据勾股定理列方程即可． 【解答】解：如图所示： 由题意得：∠AOB＝90°， 设折断处离地面的高度OA是x尺， 由勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2． 故选：A． 2．（2025春•义乌市期中）从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长x尺，则根据题意，可列方程（　　） A．（x+4）2+（x+2）2＝x2 B．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 C．（x﹣4）2+（x+2）2＝x2 D．（x+4）2+（x﹣2）2＝x2 【答案】B 【分析】根据题意，门框的长、宽以及竹竿长是直角三角形的三个边长，等量关系为：门框长的平方+宽的平方＝门的对角线长的平方，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺． ∴门框的长为（x﹣2）尺，宽为（x﹣4）尺， ∴可列方程为（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2， 故选：B． 题型十 剪拼与制作问题 （核心考点：根据剪拼后图形的边长、面积关系列方程） 1．（2025春•余姚市期末）小明准备进行如下实验操作：把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于34cm2，则这两个正方形的边长各是多少？ （2）小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于30cm2．你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【分析】（1）设其中一个正方形的边长为 xcm，则另一个正方形的边长为 （8﹣x）cm，根据题意得到方程，解方程即可得到结论； （2）根据两个正方形的面积和为30cm2，得到x2+（8﹣x）2＝30求出b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×17＝﹣4＜0，得到此方程无解，于是得到结论． 【解答】解：（1）设其中一个正方形的边长为 xcm，则另一个正方形的边长为 （8﹣x）cm， 根据题意得x2+（8﹣x）2＝34， 解得x1＝3，x2＝5， 因此这两个正方形的边长分别是3cm，5cm； （2）两个正方形的面积之和不可能等于30cm2，理由如下： 若两个正方形的面积和为30cm2， 则x2+（8﹣x）2＝30 ∴x2﹣8x+17＝0， ∵b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×17＝﹣4， ∴此方程无解， ∴两个正方形的面积之和不可能等于30cm2． 2．（2025春•温州期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示． 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为a（cm）（a＜50）的长方形纸板． 素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 将纸板①裁去角上4个长宽之比为1：2的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒． 目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽a为 　40　 cm（a＜50）． 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究． 目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是832cm2时储物盒的体积为多少？ 目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？ 【分析】（1）由储物位置的底面尺寸判断即可； （2）设小长方形的宽为x，长为2x，列方程求解，再计算体积即可； （3）根据面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）由题意储物位置的底面尺寸如图2可得；a＝40； 故答案为：40； （2）设小长方形的宽为x，长为2x， 则（40﹣2x）（60﹣4x）＝832， 解得：x1＝28（舍去），x2＝7； 分体积为832×7＝5824cm3； （3）， ∴40×30＝1200cm2． 答：储物盒的底面积为1200cm2． 学科网（北京）股份有限公司 $