专题1.2 平行线中的拐点模型（期中复习讲义）2025-2026学年人教版数学七年级下册

专题1.2 平行线中的拐点模型 【重难点突破】 类型一平行线中基本图形一一“M”模型 1.(2026七年级下.重庆永川专题练习)如图，直线AB∥CD,点E,G分别在直线AB,CD上且 EF⊥FG,若LAEF=25°，则∠CGF的度数是() E -B F D A.75° B.65° C.55° D.45 【答案】B 【分析】过点F作FH∥AB,由AB∥CD得FH∥CD;根据平行线的内错角相等得∠EFH=∠AEF=25°； 由EF⊥FG得∠EFG=90°，故LHFG=90°-25°=65°；再由FH∥CD得∠CGF=∠HFG=65° 【详解】解：过点F作FH∥AB, A -B H.:AB CD. FH∥CD, :FH∥AB, ∠EFH=∠AEF=25°. :EF⊥FG, .∠EFG=90°， ∠HFG=90°-25°=65°. :FH∥CD, ∠CGF=∠HFG=65°. 2.(25-26七年级下江苏苏州月考)图，AB∥CD,A=<CDE,2=∠ABE,则∠DE8:∠DF8为 () A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:3 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点F作FG∥CD,得∠DFB=∠1+∠2，同理 ∠DEB=∠CDE+∠ABE,再求出比值即可. 【详解】解：过点F作FG∥CD, G 4 :AB∥CD, FG∥CD∥AB, .∠DFG=∠L,∠BFG=∠2， .∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠1+∠2， 同理可得：∠DEB=∠CDE+∠ABE, :A=∠CDE,∠2=∠ABE, 3 3 .∠1+∠2=∠DFG+∠BFG, ∠DEB:∠DFB=(∠CDE+∠ABE):(∠A+∠2)=（∠CDE+∠ABE):∠CDE+∠ABE)=3:1. 故选：B 3.(25-26七年级下.浙江宁波月考)如图，AB∥CD,则x+y= 135 -B 130° y C 30 D 【答案】 105 【分析】作平行线，根据平行线的性质构造等量关系即可求解。 【详解】解：分别过点G,H,I作KL川AB,MN‖AB,OP‖AB, 135 A E K-- M-月30----N 0-1y ------P C J309 D 则KLII MN II OPII AB II CD, :∠BEF=135°， ∠AEG=135°， ∠KGE=180°-∠AEG=45°， :∠FGH=x°， :∠KGH=x°-45°， .∠GHN=∠KGH=x°-45°， ∠GH1=30°， .∠NHI=30°-∠GHN=30°-x°-45）=75°-x°， :∠HI0=∠NHI=75°-x°， :∠HJ=y° ∠01W=y°-75°-x）=x°+y°-75°， ∴.∠IJD=∠O1W=x°+y°-75°=30°， .x+y=105 4.(25-26七年级下·上海崇明·月考)如图，AB∥CD,点P位于两平行线之间且在点A、C的右侧，分别 作∠BAP和∠DCP的平分线交于点B,再分别作∠BAP和∠DCP的平分线交于点P,…设∠APC的度数是 o,则∠APC的度数用a表示为 P P C>P3… C D 【答案】 1 21Q 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键，过点乃作 MN∥AB,利用平行线性质得到∠APC=∠BAP+∠DCP,进而得到∠ABC=)∠APC,同理可得 ZARC-3ARC- 乞a一2交a,…依此类推得到∠PC=a,即可解答。 111 【详解】解：如图，过点P作MN∥AB, -B 2>乃 C>P3… D :MN∥AB, ∠I=∠BAP, :MN∥AB,AB∥CD, :MN∥CD, ∠2=∠DCP, ∠APC=∠1+∠2=∠BAP+∠DCP, :∠BAP和∠DCP的平分线交于点B, ∠ARC, :同理可得∠AC=∠B+∠DCR=∠BAC+∠DCR)=) LARC-C. :∠APC=a, ∠APC=-a, 21 同理，∠AC=1。 11 2 2202a, ∠APC=二×5a= 1 依此类推，∠APC= 210. :LAP.C的度数用Q表示为2后. 1 故答案为： 1 2. 5.(25-26七年级下四川成都月考)如图，AB∥CD,定点E,F分别在直线AB,CD上，在平行线AB, CD之间有一动点P,满足0°<LEPF<I80°. B F 图1 图2 D 图3 图4 (1)试问∠AEP,∠EPF,LPFC满足怎样的数量关系？ (2)如图3，QE,QF分别平分∠PEB和LPFD,且点P在EF左侧. ①若∠EPF=60°，则LEQF=_ ②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由； ③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点g,∠BEQ与∠DFQ,的角平分线交于点Q,∠BEQ,与 ∠DFQ,的角平分线交于点Q;以此类推，则∠EPF与LEQ1F满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】(1)LAEP+∠PFC=∠EPF或LAEP+∠PFC+LFPE=360 (2)①150°；②∠EPF+2LEQF=360°；③LEPF+22019LE01F=360 【分析】(1)对于图1，过点P作PN∥AB,根据平行线的判定与性质，可得∠AEP=∠EPN, ∠PFC=∠FPN,两式相加即可得到答案；对于图2，过点P作PM∥AB,根据平行线的判定与性质，可 得∠AEP=180°-∠EPM,∠PFC=180°-∠FPM,两式相加，即可求得答案； (2)①根据(1)可得∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°，逐步求出∠BEP+∠DFP=300°， ∠BEQ+∠DFQ=150°，再根据(1)的结论，即可求得答案； ②根据(2)①可逐步推海∠BEP+∠DFP:360-∠EPF,结合∠BE0+∠DFQ-∠BEP+∠DFP,可推 得∠BE0+∠DFQ=360-∠BPF,再由1)知LE0F=∠0+∠0F0,可得∠B0F=360-∠EPF, 即得答案； ③根据(1)，可逐步求得∠EQF=2∠EQ,F,∠EQF=2∠EQ,F,以此类推，可得LEQF=2”∠EQ,F,再 由②知，∠EPF+2∠EQF=360°，可得∠EPF+2×2”∠EQ,F=360°，即得答案. 【详解】(1)解：如图①，当点P在EF左侧（图1位置） 过点P作PN∥AB, ∠AEP=∠EPN, :AB∥CD, PN∥CD, ∠PFC=∠FPN, :.∠AEP+∠PFC=∠EPN+∠FPN=∠EPF: A E B P--------------N C D 图1 如图②，当点P在EF右侧（图2位置） 过点P作PM∥AB, ∠AEP=180°-∠EPM, 'AB∥CD, .PMCD, LPFC=180°-LFPM, ∠AEP+∠PFC=180°-∠EPM+180°-∠FPM =360°-∠EPM+∠FPM =360°-∠EPF, 即∠AEP+∠PFC+∠FPE=360°； A E B M-------------P F 图2 (2)解：①当∠EPF=60°时，如图3， 由(1)可知∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°， ∠BEP+∠DFP=180°-∠AEP+180°-∠PFC =360°-∠AEP+∠PFC =360°-60°， =300°， OE,QF分别平分∠PEB和LPFD, ∠BE0=BEP,∠DrQ-5Drn, ∠BE0+∠DrQ=∠BEP+<DFP-<∠BEP+∠DFP=x30e=Is0, 2 同(1)得，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=150°； ②由(2)①知，∠AEP+∠PFC=∠EPF, ∠BEP+∠DFP=180°-∠AEP+180°-∠PFC=360°-（∠AEP+∠PFC=360°-∠EPF, 由(2)①知∠BE0+∠DFQ-∠BEP+∠DFP, ÷∠BEQ+∠DFQ=(360°-∠EPF), 由(1)知LEQF=LBEQ+LDFQ, :∠EQF=360°-∠EPF), 整理得∠EPF+2∠EQF=360°； ③由(1)知，∠EQF=LBEQ+LDFQ, :∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点g, ∠BE0,=B0,tDFg,=DFQ, 同(1)∠EgF=∠BEg+∠DFg-∠BEQ+∠DFQ-(∠BEQ+∠DFO-)∠BoP, _Lx∠EOF, ∠eF=ag+Drg,-AQ+5Dre=ag+∠DrQ)-r号 ∴∠EQF=2LEQ,F,∠EQF=2∠EQ,F, 以此类推，可得∠EQF=2”∠EQF, 由②知，∠EPF+2∠EQF=360°， ·∠EPF+2×2"LE0nF=360°， ∠EPF+2+∠EQ,F=360°， 当n=2018时，∠EPF+22019∠E0oF=360°. 【点晴】对于平行线的问题，通常添加平行线，根据平行线的性质与判定解题，本题还需根据(1)中的计 算结论以及角平分线的定义，探求∠EQF与LEQ,F存在的规律，是本题的难点 类型二平行线中基本图形一一铅笔头模型 6.(25-26七年级下江苏南京·月考)如图，直线a∥b,点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一 点，那么∠1+∠2+∠3等于 P<2 N 【答案】360 【分析】此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a,根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是解决问 题的关键 先过点P作PA∥ā，构造三条直线平行，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论. 【详解】解：如图，过点P作PA∥a, .alb, a∥b∥PA, M -1 P2-----A∠3+∠NPA=180°，∠1+∠MPA=180°， b .∠1+∠2+∠3=180°+180°=360°. 故答案为：360°， 7.(24-25七年级下山东济宁期末)如图①，AP∥BP,则∠P+∠P=180°； 如图②，AP∥BP,则∠P+∠P+∠P=360°： 如图③，AP∥BP,则∠P+∠P+∠P+∠P=540°； 如图④，AP∥BP,……,则第n个图中的∠P+∠P+∠+…+∠P+= ·(用含n的代数式表 示) P P P P P g… B P ◇ P B- P P ① ② ③ ④ 【答案】180°n 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，根据两直线平行，同 旁内角互补得出规律，即可求解. 【详解】解：如图①，：AP∥BP, ∠P+∠P=180°； 如图②，过P作AP∥QP, A P ------ P:AP∥BP, B AP∥BP∥QP, ∠P+∠PPQ=180°，∠P+∠QP￡=180°， ∠P+∠P2+∠P=360°： 如图③，过E作AP∥QP,过B作AP∥NP, A P EAR∥BP, B、 ÷AP∥QP∥NP∥BP, :∠P+∠PP0=180°，∠NPD+∠QPE=180°，∠NPP+∠P=180°， ·∠P+∠P+∠P+∠P4=540°， …… 第n个图中的∠P+∠P2+∠P+…+∠Pn+1=180°n, 故答案为：180°n. 类型三平行线中基本图形一一 拐弯模型 8.(25-26七年级下.全国课后作业)如图，∠BAC和∠AGE互补，∠AGE=∠ACD.设LBAC=, ∠E=B,∠ACE=Y,则下列结论正确的是() B G a E D A.a=2B+3y B.a=B+3y C.a+B+y=180° D.a-β+y=90° 【答案】c 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理推论，掌握以上知识点是解题的关键， 先根据同旁内角互补，两直线平行得到ABEF,同位角相等两直线平行得到EF‖CD,再根据平行公理推 论得到AB‖EF‖CD,最后根据平行线的性质即可得到、B、Y之间的关系： 题多解：延长CA至H,由解法一可知AB‖EF‖CD,然后根据平行线的性质，结合邻补角的性质即可得 到、B、Y之间的关系. 【详解】解：：∠BAC和LAGE互补，即∠BAC+∠AGE=180°， ∴.AB川EF. :∠AGE=∠ACD, ∴.EFCD, ∴.AB‖EF CD, ∴.+∠ACD=a+Y+∠DCE=180°，B=∠DCE, ∴.a+B+y=180°」 9.(24-25七年级下.上海普陀期中)如图，如果AB∥CD∥EF,那么x、y、z之间的数量关系是 A B X E 【答案】x+z=y 【分析】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补，解题关键是掌握两直线平行，同旁内角互补 依据平行线的性质得出x+z+∠CEF=180°，y+∠CEF=180°，进而得到LCEF=180°-(x+z), ∠CEF=180°-y,据此可得x+z=y. 【详解】解：：AB∥CD∥EF, x+z+∠CEF=180°，y+∠CEF=180°， ∴∠CEF=180°-(x+z),∠CEF=180°-y, .x+2=y. 故答案为：x+z=y. 类型四平行线中基本图形 一一“5”字模型 10.(25-26七年级下.海南海口月考)如图，已知直线AB∥CD,则a、B、Y之间的关系是() C A工a -B A.a+B-2y=180° B.B-a=Y C.a+B+y=360° D.B+y-a=180° 【答案】D 【分析】过点E作EF‖DC,结合两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角相等即可得解， 【详解】解：过点E作EF‖DC, C 20 D F---E A-a B .ABII CD, .ABICD‖FE, .∠AEF=a,∠DEF+Y=180°， .∠DEF+∠AEF=B=180°-Y+a, 即B+y-a=180°，D选项符合题意 11.(24-25七年级下.江苏宿迁·周测)如图，∠BCD=90°，AB∥DE,则La与∠B满足 B ay D E 【答案】∠B-∠a=90° 【分析】过点C作CF∥AB,根据平行线的性质可得∠1=∠a,∠2=180°-∠B,将复杂的角转化为平行线 间的内错角或同旁内角，从而建立已知角与未知角之间的联系 【详解】解：如图，过点C作CF∥AB, B a .AB‖DE, B D E AB∥DE∥CF, ∠1=∠a,∠2=180°-∠B, .∠BCD=∠1+∠2=∠a+180°-∠B）=90°， 整理得：∠B-∠a=180°-90°， 即∠β-∠o=90°， 故答案为：∠B-∠a=90° 类型五拐点模型的综合应用 12.(25-26七年级下辽宁铁岭月考)【材料阅读】 材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关 系有多种多样： < 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从 而解决问题 为此，老师给出如下问题：如图①，AB∥CD,EF⊥AB,交AB于点Q.FG交CD于点P,请判断LEFG 与∠DPG有怎样的数量关系 如图②，明明同学通过在点F处作MN∥CD,利用平行线的性质实现了角的转移.进而解决了问题： 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作QN∥FG,同样也有着异曲同工之妙 E E B B M ----------·W -D P G 图① 图② 图③ 【问题解决】 (1)请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 (2)如图④，AB∥CD,反向延长∠ABP的平分线BE,交直线CD于点F,点H在直线CD上，连接PH, 若∠EFC=50°，∠PHC=70°，求∠P的度数； B D FH 图④ 【变式探究】 (3)如图⑤，AB∥CD,DN平分∠CDP,且AP⊥PD,∠PAB+2∠PAN=180°，直接写出∠DNA的度数. D 图⑤ 【答案】(1)∠EFG=90°+4DPG,证明见详解 (2)30° (3)45° 【分析】(1)根据两位同学的不同思路分别利用平行线的性质，角度和差关系结合已知条件即可得出结果： (2)过点P作PM∥CD,利用平行线的性质及角平分线的性质即可得出结果； (3)过点P作PM∥AB,过点N作NT I CD并延长BA交DP于点A,利用平行线的性质，角平分线的性 质，三角形内角和定理结合已知条件即可得出结果 【详解】(1)解：∠EFG=90°+∠DPG, 选择明明同学的思路： :AB∥CD,MN∥CD, ∴AB∥MN,∠DPG=∠NFG, :EF⊥AB, ∴EF⊥MN,即∠EFN=90°， ∴.EFG=LEFN+LNFG=90°+LDPG, 即∠EFG=90°+∠DPG; 选择欣欣同学的思路： 如图，CD与QW交点M, MD .∠EFG=∠EQN,∠DPG=∠DMN, :AB∥CD, .∠DMN=∠BQN, :EF⊥AB, .∠EQB=90°， ∴.∠EFG=∠EQN=90°+∠BQN=90°+∠DPG, 即∠EFG=90°+∠DPG. (2)解：如图，过点P作PM∥CD, M D B C F H -D :AB∥CD, AB∥PM∥CD, ∠MPH=180°-∠PHC=110°，∠ABE=∠EFC=50°， :BE平分∠ABP, ∴.∠ABP=2LABE=2×50°=100°， ∠MPB=180°-LABP=80°， ∴∠BPH=∠MPH-∠MPB=30°， (3)解：如图，过点P作PM∥AB,过点N作NT‖CD并延长BA交DP于点O, -.T ----M B :AB∥CD, AB∥PM∥CD∥NT, .∠MPD=∠CDP,∠PAQ=∠MPA, ∴.∠APD=∠MPD-∠MPA=∠CDP-∠QAP, AP⊥PD, .∠APD=90°， .∠CDP-∠QAP=90°， :∠PAB+2∠PAN=180°，∠PAB+∠PAN+∠NAQ=180°， :.2∠PAN=∠PAN+∠NAQ, :∠PAN=∠NAQ=∠PAQ,即∠PAQ=2∠NAQ, :ND平分∠CDP, .∠CDP=2∠NDC, .2∠NDC-2∠NAQ=90°， ∴∠NDC-∠NAQ=45°， :NT∥CD∥AB, .∠TND=∠NDC,∠ANT=∠NAO, ∴.∠AND=∠TND-∠TNA=∠NDC-∠NAQ=45°， 即∠DNA的度数为45°. 13.(25-26七年级下陕西咸阳月考)综合实践： B N E B P、DM D P M 图① 图② 图③ (1)【问题情境】如图①，AB∥CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数.小明的思路是：过 点P作PE∥AB,通过平行线性质可得∠APC的度数是 (2)【间题迁移】如图②，AB∥CD,点P在射线OM上运动，记∠PAB=a,LPCD=B,当点P在B,D两 点之间运动时，∠APC与α，阝之间有何数量关系？小颖根据小明的思路，过点P作PQ∥AB,即可求得 ∠APC与，B之间的数量关系，请说明理由； (3)【联想拓展】在(2)的条件下，当点P在BD的延长线上时，如图③.请求出∠APC与a,B之间的 数量关系 【答案】(1)110°； (2)∠APC=a+B: (3)∠APC=a-B. 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，理解题意、作出适合的辅助线是解题的关键. (1)过点P作PE∥AB,则PE∥AB∥CD,然后根据平行线的性质进行计算，即可求解： (2)过点P作PQ∥AB,则PQ∥AB∥CD,然后根据平行线的性质进行计算，即可求解： (3)过点P作PT∥AB,则PT∥AB∥CD,然后根据平行线的性质进行计算，即可求解， 【详解】(1)解：如图①，过点P作PE∥AB, A B D 图① PE∥AB∥CD, .∠PAB+∠APE=180°，∠CPE+∠PCD=180°， :∠PAB=130°，∠PCD=120°， ∠APE=50°，∠CPE=60°， .∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°， 故答案为：110°； (2)解：∠APC=a+B,理由： 如图②，过点P作PQ∥AB, B D\M 图② .PQ∥AB∥CD, ·.∠PAB=∠APQ=a,∠CPQ=∠PCD=B, .∠APC=∠APQ+∠CPQ=a+B: (3)解：如图③，过点P作PT∥AB, A Q B P、M 图③ ∴PT∥AB∥CD, LPAB=LAPT=a,∠CPT=∠PCD=B, ∴∠APC=∠APT-∠CPT=a-B 14.(25-26七年级下.陕西宝鸡月考)经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路. C 图1 图2 图3 (1)如图1，AB∥CD,∠ABD与∠CDB的平分线相交于点P,则∠P= (2)如图2，AB∥CD,∠F-∠E=6°，∠ABE与∠CDF的平分线相交于点P,求∠P的度数： (3)如图3，AB∥CD,，∠E=Q,LF=B,LG=y,∠ABE与∠CDG的平分线相交于点P,求∠P的度数 (用a,B,Y的代数式表示) 【答案】(1)90° (2)87 时u+7-时 【分析】(1)如图，过P点作直线EF∥AB,则可得EF‖CD,根据平行线的性质和角平分线的定义可得 ∠BPD=∠BPF+∠DPF=∠ABP+∠CDP=90°. (2)如图，过E点作直线EG∥AB,过F点作直线HF∥AB,则可得AB EG HF CD.根据平行线的 性质可得∠1=∠ABE，∠2=∠3，∠4+∠CDF=180°，根据角平分线的定义可得 ∠1=∠8=ABE=4,5=26=CDF,由∠DFE-∠FE8=6可得4-1=6，结合1)中的 结论可得∠P=∠5+∠7，进而可得=90-24-∠)LP=∠6+18=87°， (3)如图，过F点作直线HF∥AB,则可得AB∥HF∥CD·由(1)得∠BEF=∠ABE+∠1， ∠DGF=∠CDG+∠2，进而可得∠ABE+∠CDG=a+7-B,由角平分线的定义可得么=)∠ABE。 24=∠CDc,由)得P=∠3+24-a+7-B. 本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量 关系是解题的关键， 【详解】(1)解：如图，过P点作直线EF∥AB, :AB∥CD, ∴.EF川CD, .∠BPF=∠ABP,LDPF=LCDP, :AB∥CD, ∠ABD+∠CDB=180°， :BP、DP分别平分∠ABD和∠CDB, ∠ABP=∠ABD,∠CDP=∠CDB, 2 ∴∠ABP+∠CDP=90°， LBPD=∠BPF+∠DPF=90°. C E--- A B (2)解：如图，过E点作直线EG∥AB,过F点作直线HF∥AB, :AB∥CD, .AB EG HF CD, ∠1=∠ABE,∠2=∠3，L4+∠CDF=180°， :BP、DP分别平分∠ABE和LCDF, 27=28=48E=5A,5=6=5c0, :LDFE-∠FEB=6°， 即（∠3+∠4）-∠1+∠2)=6°， ∠4-∠1=6°， 由(1)知∠P=∠5+∠7， ∠P=∠6+∠8， =1∠CDF+l∠A 2 2 180-24+4 1 =90-引c4- =90°-39 =87°. D 3( ---G 8 A B (3)解：如图，过F点作直线HF∥AB. :AB∥CD, .AB∥HF∥CD, 由(1)得∠BEF=∠ABE+∠1，LDGF=LCDG+L2, ∴.∠BEF+∠DGF=∠ABE+∠I+LCDG+∠2， :∠BEF=a,∠DGF=Y,∠GFE=∠I+∠2=B, .a+Y=∠ABE+∠CDG+B, .∠ABE+∠CDG=a+Y-B, :BP、DP分别平分∠ABE和LCDG, :B=∠ABE,∠4=∠CDG, 2 由(1)得∠P=∠3+∠4 2<CDG =∠ABE+ 2 E,∠ABE+∠CDG e7-A. D 49 G 37 B 15.(25-26七年级下新疆期中)问题情境：如图1，AB∥CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC 度数.小明的思路是：过P作PE∥AB,如图2，通过平行线性质来求∠APC. N 图1 图2 图3 备用图 (1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为 问题迁移： (2)如图3，AD∥BC,点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠a, LBCP=∠B,则∠CPD、∠a、∠邛之间有何数量关系？请说明理由； (3)在(2)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你判断 LCPD、∠a、∠B间的数量关系并证明. 【答案】(1110°，理由见解析： (2)∠CPD=∠+∠β，理由见解析； (3)当P在BA延长线时，∠CPD=∠B-∠a;当P在AB延长线时，∠CPD=∠a-∠B 【分析】(1)过P作PE∥AB,通过平行线性质求∠APC即可； (2)过P作PE∥AD交CD于E,推出AD∥PE∥BC,根据平行线的性质得出a=LDPE, ∠B=∠CPE,即可得出答案； (3)画出图形，根据平行线的性质得出∠a=∠DPE,∠邛=∠CPE,即可得出答案. 【详解】(1)解：过点P作PE∥AB,如图2所示， B ----E AB∥CD, D 图2 :PE∥AB∥CD, ·∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°， :∠PAB=130°，∠PCD=120°， ∠APE=180°-130°=50°，∠CPE=180°-120°=60°， ·∠APC=∠APE+∠CPE=110°. (2)解：∠CPD=∠a+∠β， 理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E, M D B :AD∥BC, O D E 图3 :AD∥PE∥BC, ∠a=∠DPE,∠B=∠CPE, ∴.∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠a+∠B: (3)解：当P在BA延长线时，如图所示， A B E :AD∥PE∥BC, NE D C 图4 La=LDPE,∠B=∠CPE, ∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠B-∠a. 当P在AB延长线时，如图所示， M B D :AD∥PE∥BC, N D 图5 La=LDPE,∠B=∠CPE, ∠CPD=∠a-∠β 专题1.2 平行线中的拐点模型 【重难点突破】 类型一 平行线中基本图形——“M”模型 1．（2026七年级下·重庆永川·专题练习）如图，直线，点E，G分别在直线，上且．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）如图，，则________． 4．（25-26七年级下·上海崇明·月考）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    5．（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，，定点E，F分别在直线，上，在平行线，之间有一动点P，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ (2)如图3，，分别平分和，且点P在左侧． ①若，则______． ②猜想与的数量关系，并说明理由； ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，，与的角平分线交于点；以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 类型二 平行线中基本图形——铅笔头模型 6．（25-26七年级下·江苏南京·月考）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ______________ ． 7．（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图①，，则； 如图②，，则； 如图③，，则； 如图④，，，则第个图中的__________．（用含的代数式表示） 类型三 平行线中基本图形——拐弯模型 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和互补，．设，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是______． 类型四 平行线中基本图形——“5”字模型 10．（25-26七年级下·海南海口·月考）如图，已知直线，则、、之间的关系是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·江苏宿迁·周测）如图，，，则与满足_________． 类型五 拐点模型的综合应用 12．（25-26七年级下·辽宁铁岭·月考）【材料阅读】 材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题 为此，老师给出如下问题：如图①，，，交于点Q．交于点，请判断与有怎样的数量关系． 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移．进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 (1)请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 (2)如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 (3)如图⑤，，平分，且，，直接写出的度数． 13．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）综合实践： (1)【问题情境】如图，，，，求的度数．小明的思路是：过点作，通过平行线性质可得的度数是________； (2)【问题迁移】如图，，点在射线上运动，记，，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？小颖根据小明的思路，过点作，即可求得与，之间的数量关系，请说明理由； (3)【联想拓展】在（）的条件下，当点在的延长线上时，如图．请求出与，之间的数量关系． 14．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，与的平分线相交于点P，则_________°； (2)如图2，，，与的平分线相交于点P，求的度数； (3)如图3，，，，，与的平分线相交于点P，求的度数．（用，，的代数式表示） 15．（25-26七年级下·新疆·期中）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： (2)如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $