2026年中考数学模拟猜题卷（山东青岛专用）

**基本信息** 2026年中考数学模拟猜题卷以“神威·太湖之光”超算、非遗购物节等真实情境为载体，融合几何直观、运算能力与模型意识，覆盖中考高频考点。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/27|相反数、对称、科学计数法等|结合建筑设计考查对称性质，体现文化传承| |填空题|6/18|因式分解、方差、正方形性质等|以圆弧转弯车道为背景考查扇形面积，强化空间观念| |作图题|1/4|菱形作图|尺规操作培养几何直观| |解答题|9/71|新定义“直等补”四边形、二次函数应用等|掷实心球问题构建运动轨迹模型，凸显应用意识；综合实践题探究三角形面积分割，发展创新意识|

2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1．下列说法中正确的是（   ） A．是相反数 B．是相反数 C．正数与负数互为相反数 D．任何一个数都有相反数 2．下列古今中外的建筑与其反映的设计理念相符的是（   ） A．轴对称而非中心对称 B．中心对称而非轴对称 C．既轴对称又中心对称 D．既不轴对称也不中心对称 3．“神威·太湖之光”是我国自主研发的超级计算机，部署于国家超级计算无锡中心，核心硬件采用完全自主设计的SW26010处理器，全系统合计约有1065万计算核心，曾登顶全球超算TOP500榜单，该超算广泛应用于气候模拟、地震重现、生物医药等前沿科研领域，能将原本需要数年的计算任务缩短至数天完成．将1065万用科学计数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．一个正方体的木块中间挖去一个几何体后的三视图如图所示，由三视图可知挖去的几何体是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则的大小为（  ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，，则下列结论：①；②；③中一定成立的是（　　） A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③都成立 9．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（　　）个． ①； ②； ③； ④； ⑤（m为任意实数）． A．3 B．2 C．1 D．0 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10．因式分解______． 11．甲、乙两人5次射击的成绩分别如下（单位：环），甲：；乙：．则在这次射击中成绩稳定的是_____． 12．已知三个有理数在数轴上的位置如图所示，则、、中最大的是______． 13．如图，正方形中，对角线和相交于点，，分别是边，上的点，若，且，则的长为_______． 14．如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为________． 15．已知，矩形中，，，点E是线段上的一个动点，将线段DE绕点D逆时针旋转得到，过F作于点G，连接，取的中点H，连接，．点E在运动过程中，下列结论： ①；②当点H和点G互相重合时，；③平分；④． 正确的是_____________．（写出所有正确结论的序号） 3、 作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16．如图，为上一点，请用尺规作图法在上找两点A，C，使得四边形OABC为菱形．（不写作法，保留作图痕迹）． 4、 解答题（本大题共9小题，满分71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）计算：； （2）解不等式组：． 18．（6分）在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．随机地摸取出一张纸牌然后放回，在随机摸取出一张纸牌，（1）计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率； （2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由． 19．（6分）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图． (1)分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁； (2)若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果． 20．（8分）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 21．（6分）2025年湖南非遗购物节在湖南省文化馆举行，为吸引游客，景区推出特惠活动，活动前，3张古镇门票与5张非遗体验馆门票共540元，且古镇门票单价比非遗体验馆门票单价多20元． (1)求活动前古镇与非遗体验馆门票单价； (2)活动期间，古镇门票每张50元，非遗体验馆门票每张25元，某旅游团计划购买两种门票共30张，且非遗体验馆门票数量不低于古镇门票的2倍，则该旅游团在活动期间购票比活动前至少省多少钱? 22．（8分）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积． 23．（8分）定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题． (1)如图1，四边形是正方形，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接，，请根据定义判断四边形是否是“直等补”四边形，并说明理由． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，若，，求的长． 24．（10分）掷实心球是中考体育考试的选考项目，如图是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求抛物线的表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，则掷出点的高度至少达到______时，可得满分． 25．（11分）综合与实践 【情境】要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需找到合适的切割线． 【模型】如图1，在中，作边上的中线，切割线分成的两个三角形和的面积相等． 【操作】（1）请在图1中，用尺规作图作出切割线，使，切割线交于点．交于点（保留作图痕迹，不写作法） 【探究】（2）结合【操作】的作图，请判断与的数量关系，说明理由： 【拓展】（3）如图2，在中，，点，点分别为，的中点．若，垂足为点，求的值． 【应用】（4）如图3，在中，，点为的中点，点为的中点，与交于点，连接．已知，当最大时，直接写出的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟猜题卷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D A A C C D C D C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10． 11．乙 12． 13．5 14. 15.①②③ 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16． 【详解】解：如图，四边形即为所求． -------------------------------4分 1、 解答题（本大题共9小题，满分71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 【详解】解：（1） ； -----------------------------4分 （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． -----------------------------8分 18．（6分） 【详解】解：根据题意，列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 .3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 由上表可以看出，摸取一张纸牌然后放回，再随机摸取出纸牌，可能结果有16种，它们出现的可能性相等． （1）两次摸取纸牌上数字之和为5（记为事件A）有4个，P（A）=； -----------------------------2分 （2）这个游戏公平，理由如下： ∵两次摸出纸牌上数字之和为奇数（记为事件B）有8个，P（B）=， 两次摸出纸牌上数字之和为偶数（记为事件C）有8个，P（C）=， ∴两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平． ----------------------------6分 19．（6分） 【详解】（1）解：甲三项成绩之和为：9+5+9=23； 乙三项成绩之和为：8+9+5=22； ∴23>22 录取规则是分高者录取，所以会录用甲． -----------------------------2分 （2）“能力”所占比例为：； “学历”所占比例为：； “经验”所占比例为：； ∴“能力”、“学历”、“经验”的比为3：2：1； 甲三项成绩加权平均为：； 乙三项成绩加权平均为：； ∴8>7 所以会录用乙． ∴会改变录用结果 -----------------------------6分 20．（8分） 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； -----------------------------4分 （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， -----------------------------8分 21．（6分） 【详解】（1）解：设非遗体验馆门票单价为元，则古镇门票单价为元， 由题意得：， 解得：， 则（元）， 答：非遗体验馆门票单价为元，则古镇门票单价为元． -----------------------------2分 （2）解：设旅游团购买古镇门票张，则购买非遗体验馆门票张， 由题意得：， 解得：， 则设节省金额为元，由题意得：， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，取得最小值， ∴最小值（元）， 答：该旅游团在活动期间购票比活动前至少省元． -----------------------------6分 22．（8分） 【详解】（1）证明：垂直平分， ，， 四边形是平行四边形 ， ， 在与中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形； -----------------------------3分 （2）解：， ， ， 四边形为菱形， 为的中点， ∵为线段的中点， 是三角形的中位线． ， ， ，， ，， 如图，作，垂足为，则， ， 则． -----------------------------8分 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角函数，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 23．（8分） 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ，， ， 在与中， （）， ，， ， ， ， 四边形满足三个条件：①一组对角和互补，②一组邻边，③相等邻边夹角． 故四边形是“直等补”四边形； -----------------------------4分 （2）连接，如下图所示 四边形是“直等补”四边形，， ， ， ， ， ， ， ． 故的长为28． -----------------------------8分 24．（10分） 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为，把代入上式得： 解得：， ∴关于的函数表达式为； -----------------------------3分 （2）解：该女生在此项考试中没有得满分，理由如下： 当时，即， 解得，（舍去）， ∵， ∴该女生在此项考试中没有得满分； -----------------------------6分 （3）解：设掷出点的高度向上平移，可得满分， ∴新抛物线的解析式为，把代入得， 解得：， ∴， ∴掷出点的高度至少达到时，可得满分， 故答案为：． ----------------------------10分 25．（11分） 【详解】解：（1）如图：线段，点即为所求， -----------------------------2分 （2），理由如下： 如图，连接， ∵为边上的中线，为边上的中线， ∴，， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴, ∴； -----------------------------4分 （3）如图，连接， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； -----------------------------7分 （4）∵在中，，点为的中点，， ∴， 由（3）得：， ∴， ∵，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图，由图形并结合切线的性质可得，当时，最大，此时，， ∴， 即当最大时，的长为． -----------------------------11分 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1．下列说法中正确的是（   ） A．是相反数 B．是相反数 C．正数与负数互为相反数 D．任何一个数都有相反数 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的概念，熟练掌握相反数是指只有符号不同的两个数，且每个数都有唯一相反数是解题的关键．根据相反数的概念，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、相反数必须成对出现，该选项说法错误； B、相反数必须成对出现，该选项说法错误； C、正数与负数仅当绝对值相等时才互为相反数，该选项说法错误； D、任何数均存在相反数，该选项说法正确． 故选：D． 2．下列古今中外的建筑与其反映的设计理念相符的是（   ） A．轴对称而非中心对称 B．中心对称而非轴对称 C．既轴对称又中心对称 D．既不轴对称也不中心对称 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形，中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．选项图形是轴对称而非中心对称图形，与“轴对称而非中心对称”相符，符合题意； B．选项图形是轴对称而非中心对称图形，与“中心对称而非轴对称”不相符，不符合题意； C．选项图形是轴对称而非中心对称图形，与“既轴对称又中心对称”不相符，不符合题意； D．选项图形是轴对称而非中心对称图形，与“既不轴对称也不中心对称”不相符，不符合题意． 故选：A． 3．“神威·太湖之光”是我国自主研发的超级计算机，部署于国家超级计算无锡中心，核心硬件采用完全自主设计的SW26010处理器，全系统合计约有1065万计算核心，曾登顶全球超算TOP500榜单，该超算广泛应用于气候模拟、地震重现、生物医药等前沿科研领域，能将原本需要数年的计算任务缩短至数天完成．将1065万用科学计数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法表示较大数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：1065万， 故选：A． 4．一个正方体的木块中间挖去一个几何体后的三视图如图所示，由三视图可知挖去的几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟练掌握三视图的意义是解题的关键，根据三视图可得被挖去的几何体为三棱锥，即可求解． 【详解】解：根据三视图可得被挖去的几何体的主视图为矩形含有对角线，左视图和俯视图都是三角形，则被挖去的几何体为三棱锥， 故选：C 5．如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，结合对称点解答即可． 本题考查了旋转的性质，旋转中心的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上， 根据坐标特点，得到中心一定在y轴上， 根据旋转的全等性，发现到对应点的距离相等， 故旋转中心为． 故选：C． 6．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除，根据相关运算法则进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 7．如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行四边形的性质，四边形内角和，由圆内接四边形的性质得到，由平行四边形的性质，等量代换得到，再由圆周角定理即可求出，进而求，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，，则下列结论：①；②；③中一定成立的是（　　） A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③都成立 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识，先证明，进而证明，由此即可证明，即可判断①；延长，交延长线于M，证明，得到，再证明，即可证明，即可判断②；设，则，求出，得到，则，由此即可判断③． 【详解】解：是AD的中点， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，故①正确； 延长，交延长线于M． 四边形是平行四边形， ， ， 为AD中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ， ③设，则， ， ， ， ， ，故③正确． 故选：D． 9．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（　　）个． ①； ②； ③； ④； ⑤（m为任意实数）． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据开口方向可得，根据对称轴公式得到，则，根据抛物线与轴交于正半轴，可判断，据此可判断①②；根据当时，，可判断③；由图象可知，抛物线与轴有两个不同的交点，利用一元二次方程根的判别式，可判断④；由二次函数的图象可知最大值在时，即最大值为，据此解题可判断⑤． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下，则， ∵对称轴为直线， ∴， ，即，故②正确； ∵抛物线与轴交于正半轴， ， ，故①不正确； 由图象可知，当时， ，故③正确； 由图象可知，抛物线与轴有两个不同的交点，即关于x的一元二次方程有两个不同的实数根， ∴， ，故④正确； 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴该函数的最大值为， （m为任意实数） （m为任意实数），故⑤正确， 综上所述，不正确的只有① ． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10．因式分解______． 【答案】 【分析】先提取公因式.再利用平方差公式分解即可. 【详解】解： . 11．甲、乙两人5次射击的成绩分别如下（单位：环），甲：；乙：．则在这次射击中成绩稳定的是_____． 【答案】乙 【分析】本题考查求方差并用方差判定稳定性，掌握求方差的方法是解题的关键． 先求出甲乙的方差，再判定即可． 【详解】甲的平均成绩：， 甲的方差：； 乙的平均成绩：， 乙的方差：； ∵，即乙的方差较小， ∴这次射击中成绩稳定的是乙， 故答案为：乙． 12．已知三个有理数在数轴上的位置如图所示，则、、中最大的是______． 【答案】 【分析】本题考查数轴上有理数的大小关系、有理数的减法运算的符号判断以及分数的大小比较．首先根据数轴上数的位置，比较的大小，移项后得到减法运算后的符号和大小，继而得到三个分数的符号和大小． 【详解】解：由图可知，， ∴移项得，，， ∴，，， ∴最大． 故答案为：． 13．如图，正方形中，对角线和相交于点，，分别是边，上的点，若，且，则的长为_______． 【答案】5 【分析】连接，根据证明得，再求出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， 又， ∴，即， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又， ∴， 在中，． 14．如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为________． 【答案】 【分析】连接，先求出圆心角，进而求出扇形的面积，再求出，根据三角函数得到，然后求出四边形面积，由四边形面积减去扇形面积即可求解． 【详解】解：连接， ，是圆的切线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 危险区（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 15．已知，矩形中，，，点E是线段上的一个动点，将线段DE绕点D逆时针旋转得到，过F作于点G，连接，取的中点H，连接，．点E在运动过程中，下列结论： ①；②当点H和点G互相重合时，；③平分；④． 正确的是_____________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】根据旋转性质、矩形性质等条件判断，确定①正确；通过判定四边形是正方形，得到，确定②正确；由得到四点共圆，利用圆周角定理即可得到平分，确定③正确；由题意得到，结合，点是线段上的一个动点，从而确定当运动到点时，最短，，；当运动到点时，最长，，，即可确定，确定④错误；综上所述即可得到答案． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和， ∴，故①正确； 当互相重合时，如图1所示： ∵是中点，，， ∴是等腰直角三角形，且，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，故②正确； ∵， ∴四点共圆，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； 过作，交延长线于点，如图3所示： ∵AH平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵四点共圆， ∴， ∵， ∴， 在和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴最短时，最短；最长时，最长， 当运动到点时，最短，此时，； 当运动到点时，最长，此时，； ∴，故④错误； 综上所述，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题综合性强、难度较大，涉及旋转性质、矩形性质、两个三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、角平分线定义、动点最值问题等，熟练掌握相关知识点，熟记相关判定与性质是解决问题的关键． 3、 作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16．如图，为上一点，请用尺规作图法在上找两点A，C，使得四边形OABC为菱形．（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见详解 【分析】以点为圆心，的长度（即的半径长）为半径画弧，该弧与交于两个点，分别标记为和；连接，四边形即为所求菱形；（说明：此时和都是等边三角形，，符合菱形要求）． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 4、 解答题（本大题共9小题，满分71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、实数的运算、零指数幂及特殊角的三角函数值，熟知实数的运算法则及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值和零指数幂，再计算绝对值，最后计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 18．（6分）在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．随机地摸取出一张纸牌然后放回，在随机摸取出一张纸牌，（1）计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率； （2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）这个游戏公平，理由见解析 【分析】（1）先列表展示所有可能的结果数为16，再找出两次摸取纸牌上数字之和为5的结果数，然后根据概率的概念计算即可； （2）从表中找出两次摸出纸牌上数字之和为奇数的结果数和两次摸出纸牌上数字之和为偶数的结果数，分别计算这两个事件的概率，然后判断游戏的公平性． 【详解】解：根据题意，列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 .3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 由上表可以看出，摸取一张纸牌然后放回，再随机摸取出纸牌，可能结果有16种，它们出现的可能性相等． （1）两次摸取纸牌上数字之和为5（记为事件A）有4个，P（A）=； （2）这个游戏公平，理由如下： ∵两次摸出纸牌上数字之和为奇数（记为事件B）有8个，P（B）=， 两次摸出纸牌上数字之和为偶数（记为事件C）有8个，P（C）=， ∴两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平． 19．（6分）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图． (1)分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁； (2)若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果． 【答案】(1)甲 (2)乙 【分析】（1）根据条形统计图数据求解即可； （2）根据“能力”、“学历”、“经验”所占比进行加权再求总分即可． 【详解】（1）解：甲三项成绩之和为：9+5+9=23； 乙三项成绩之和为：8+9+5=22； ∴23>22 录取规则是分高者录取，所以会录用甲． （2）“能力”所占比例为：； “学历”所占比例为：； “经验”所占比例为：； ∴“能力”、“学历”、“经验”的比为3：2：1； 甲三项成绩加权平均为：； 乙三项成绩加权平均为：； ∴8>7 所以会录用乙． ∴会改变录用结果 【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，根据图表信息进行求解是解题的关键． 20．（8分）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 21．（6分）2025年湖南非遗购物节在湖南省文化馆举行，为吸引游客，景区推出特惠活动，活动前，3张古镇门票与5张非遗体验馆门票共540元，且古镇门票单价比非遗体验馆门票单价多20元． (1)求活动前古镇与非遗体验馆门票单价； (2)活动期间，古镇门票每张50元，非遗体验馆门票每张25元，某旅游团计划购买两种门票共30张，且非遗体验馆门票数量不低于古镇门票的2倍，则该旅游团在活动期间购票比活动前至少省多少钱? 【答案】(1)非遗体验馆门票单价为元，则古镇门票单价为元 (2)该旅游团在活动期间购票比活动前至少省元 【分析】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设非遗体验馆门票单价为元，则古镇门票单价为元，根据“3张古镇门票与5张非遗体验馆门票共540元”建立一元一次方程求解； （2）设旅游团购买古镇门票张，则购买非遗体验馆门票张，由题意得：，求出，则设节省金额为元，然后建立起关于的一次函数解析式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设非遗体验馆门票单价为元，则古镇门票单价为元， 由题意得：， 解得：， 则（元）， 答：非遗体验馆门票单价为元，则古镇门票单价为元． （2）解：设旅游团购买古镇门票张，则购买非遗体验馆门票张， 由题意得：， 解得：， 则设节省金额为元，由题意得：， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，取得最小值， ∴最小值（元）， 答：该旅游团在活动期间购票比活动前至少省元． 22．（8分）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由垂直平分，可得，，根据平行四边形的性质可得，推出，证明，得到，得到四边形是平行四边形，结合，即可得证； （2）由可得，推出，根据题意可推出是的中位线，得到，根据三角函数求出，，进而得到，作，垂足为，进而求出，即可求解． 【详解】（1）证明：垂直平分， ，， 四边形是平行四边形 ， ， 在与中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形； （2）解：， ， ， 四边形为菱形， 为的中点， ∵为线段的中点， 是三角形的中位线． ， ， ，， ，， 如图，作，垂足为，则， ， 则． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角函数，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 23．（8分）定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题． (1)如图1，四边形是正方形，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接，，请根据定义判断四边形是否是“直等补”四边形，并说明理由． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，若，，求的长． 【答案】(1)四边形是“直等补”四边形，理由见解析． (2)28． 【分析】（1）本题考查了对于“直等补”四边形定义的理解，要判断四边形是否是“直等补”四边形，关键在于根据定义，找到满足定义的三个条件即可．根据已知可证，由此可得到，，，即证明四边形是“直等补”四边形． （2）本题同样考查了“直等补”四边形定义的理解，作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．根据“直等补”四边形定义，可得到，然后利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ，， ， 在与中， （）， ，， ， ， ， 四边形满足三个条件：①一组对角和互补，②一组邻边，③相等邻边夹角． 故四边形是“直等补”四边形； （2）连接，如下图所示 四边形是“直等补”四边形，， ， ， ， ， ， ， ． 故的长为28． 24．（10分）掷实心球是中考体育考试的选考项目，如图是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求抛物线的表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，则掷出点的高度至少达到______时，可得满分． 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)该女生在此项考试中没有得满分，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的应用和一元二次方程的解法，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可； （）设掷出点的高度向上平移，可得满分，得到新抛物线的解析式为 ，解方程即可得到结论. 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为，把代入上式得： 解得：， ∴关于的函数表达式为； （2）解：该女生在此项考试中没有得满分，理由如下： 当时，即， 解得，（舍去）， ∵， ∴该女生在此项考试中没有得满分； （3）解：设掷出点的高度向上平移，可得满分， ∴新抛物线的解析式为，把代入得， 解得：， ∴， ∴掷出点的高度至少达到时，可得满分， 故答案为：． 25．（11分）综合与实践 【情境】要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需找到合适的切割线． 【模型】如图1，在中，作边上的中线，切割线分成的两个三角形和的面积相等． 【操作】（1）请在图1中，用尺规作图作出切割线，使，切割线交于点．交于点（保留作图痕迹，不写作法） 【探究】（2）结合【操作】的作图，请判断与的数量关系，说明理由： 【拓展】（3）如图2，在中，，点，点分别为，的中点．若，垂足为点，求的值． 【应用】（4）如图3，在中，，点为的中点，点为的中点，与交于点，连接．已知，当最大时，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）；（4） 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接交于点，则是的中线，和的面积相等； （2）连接，则是的中位线，再证明即可得出结果； （3）连接，则是的中位线，再证明，从而可得，再证明，设，则，求出，由勾股定理可得，，最后由正弦的定义即可得出结果； （4）由直角三角形的性质可得，由（3）得，求出 ，由点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，得出点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，由图形并结合切线的性质可得，当时，最大，此时，，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：（1）如图：线段，点即为所求， （2），理由如下： 如图，连接， ∵为边上的中线，为边上的中线， ∴，， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴, ∴； （3）如图，连接， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）∵在中，，点为的中点，， ∴， 由（3）得：， ∴， ∵，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图，由图形并结合切线的性质可得，当时，最大，此时，， ∴， 即当最大时，的长为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $