第十九章二次根式 基础巩固测试卷 2025-2026学年八年级数学下学期期中复习专项训练（人教版）

八下数学第十九章二次根式基础巩固测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．要使有意义，则x的值可以是（   ） A．2 B． C．5 D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在中，，若的面积为，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 4．下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 7．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 9．由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式：，（其中为三角形三边长，）也可求出三角形面积．已知三边长分别为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 10．二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（   ） ①若是的小数部分，则的值为； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．计算的结果为________． 12．已知是整数，则正整数n的最大值为____． 13．对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________． 14．已知，则______． 15．若，则_____． 16．观察下列各式： ，，， 请利用你所发现的规律， 计算， 其结果为_____________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17．计算： (1)； (2)． 18．计算 (1)； (2)． 19．先化简，再求值：，其中． 20．已知，，求下列各式的值： (1) (2)． 21．请运用分母有理化及有理化因式的知识，解决下列问题： (1)①化简：______； ②比较大小：______；（用“”、“”或“”填空） (2)设有理数a、b满足：，求的值； (3)已知，求的值． 22．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：． 例2：，… (1)化简：_________． (2)观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子_________； (3)利用这一规律计算：． (4)利用上面的结论，不要计算近似值，比较与的大小（直接写出答案） 23．观察下列各式： ； ； ； … (1)请你按照上面每个等式反映的规律，猜想：①______=______； ②写出用n（n为正整数）表示的等式：______=______； (2)利用上述规律计算：． 24．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． (1)在中，已知，求的面积； (2)计算（1）中的边上的高． (3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八下数学第十九章二次根式基础巩固测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．要使有意义，则x的值可以是（   ） A．2 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义即被开方数为非负数得出x的取值范围，然后判断即可． 【详解】解：要使有意义， 则， 解得， 观察四个选项，选项D符合题意． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则和平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：，， A计算错误； 选项B：，， B计算错误； 选项C：表示的平方根，， ， C计算正确； 选项D：，， D计算错误． 3．在中，，若的面积为，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知三角形底边长和面积，直接代入三角形面积公式即可求出对应底边上的高． 【详解】解：设边上的高为h， ∵，， ∴， 解得． 4．下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最简二次根式是被开方数是整数且被开方数不含能开得尽方的因数． 【详解】解：、是最简二次根式，符合题意， 、被开方数不是整数，不属于最简二次根式，不符合题意， 、被开方数可以开的尽，不属于最简二次根式，不符合题意， 、被开方数不是整数，不属于最简二次根式，不符合题意． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式 ． 6．若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的化简． 先化简，再根据最简二次根式的定义作答即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式可以与合并， ∴， 解得：． 故选：C． 7．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 【详解】解：，，， ， ． 8．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式将分母有理化，化简后即可得到结果． 【详解】解：原式． 9．由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式：，（其中为三角形三边长，）也可求出三角形面积．已知三边长分别为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题直接利用题目给出的海伦公式计算三角形面积，先求出半周长，再代入公式化简即可得到结果。 【详解】解：∵三边长分别为 ， ∴半周长 代入海伦公式计算得： ． 10．二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（   ） ①若是的小数部分，则的值为； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键；因此此题可根据分母有理化依次排除选项即可． 【详解】解：①若是的小数部分，则， 故①错误，不符合题意； ②， ，故②正确，符合题意： ③ ，故③错误； ④， ， ， 均不能对其分母有理化，故④正确； ⑤， ， ， 同理， 两式相加得，，，故⑤正确； ⑥， ， ， ， ， ， ， ，故⑥正确； 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．计算的结果为________． 【答案】21 【分析】观察原式结构，符合平方差公式的特征，可利用平方差公式简化计算，再根据二次根式的性质化简计算得到结果． 【详解】解： ． 12．已知是整数，则正整数n的最大值为____． 【答案】18 【分析】根据二次根式有意义的条件可得被开方数非负，结合是正整数，可知为正的完全平方数，要得到正整数的最大值，只需要让取最小的正完全平方数即可求解． 【详解】解：∵是整数， ∴，是整数， 解得， ∴是完全平方数， 要使正整数的值最大，需使取最小的完全平方数，即， 解得． 13．对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键． 根据新定义运算的规则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．已知，则______． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∴， 当时，， ∴． 15．若，则_____． 【答案】2026 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质及二次根式的运算，熟练掌握根据被开方数非负确定字母取值范围并化简绝对值是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再依据绝对值的性质化简方程，通过移项、两边平方求出的表达式，最终计算出目标代数式的值． 【详解】解：由有意义，得， 所以． 代入方程得 ，即． 两边平方得， 所以． 因此， 故答案为：2026． 16．观察下列各式： ，，， 请利用你所发现的规律， 计算， 其结果为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的应用，根据已知规律，每个根式可化为的形式，然后求和，利用裂项相消法计算即可得出结果，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由规律可知，，其中从开始， 故 ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）按照二次根式乘除运算法则逐步计算，然后合并即可； （）利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)2 【详解】（1）解： . （2）解： . 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解：原式； 当时，原式． 20．已知，，求下列各式的值： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式将原式转化为，进而将已知数据代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 21．请运用分母有理化及有理化因式的知识，解决下列问题： (1)①化简：______； ②比较大小：______；（用“”、“”或“”填空） (2)设有理数a、b满足：，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①；② (2)26 (3)3 【分析】（1）①利用分母有理化的法则解答即可； ②根据分母有理化的法则得到，，再根据分数的性质解答即可； （2）将已知等式左边通分并进行分母有理化，与等式右边比较，利用无理数相等条件求出、的值，再计算的值即可； （3）设，，利用平方差公式得到，进而得到． 【详解】（1）解：①； ②∵，， ∴，， ， ， ； （2）解： ， ，都是有理数， ， 解得， ； （3）解：设，， ， ， ， ， 即． 22．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：． 例2：，… (1)化简：_________． (2)观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子_________； (3)利用这一规律计算：． (4)利用上面的结论，不要计算近似值，比较与的大小（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）根据给出的例题方法进行分母有理化，可得到化简结果和规律． （3）先利用规律对各项化简，通过抵消中间项得到最简结果，再用平方差公式计算． （4）利用得到的规律将两个差转化为分子为1的分式，再通过比较分母大小判断原式大小． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解：根据规律可得 ． 23．观察下列各式： ； ； ； … (1)请你按照上面每个等式反映的规律，猜想：①______=______； ②写出用n（n为正整数）表示的等式：______=______； (2)利用上述规律计算：． 【答案】(1)①，；②， (2)2 【分析】（1）根据已知算式的规律进行计算即可； （2）根据已知算式得出规律即可； （3）先将原式变形，再根据得出的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：①根据题意可知，； ②根据题意可知，． （2）解：． 24．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． (1)在中，已知，求的面积； (2)计算（1）中的边上的高． (3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，勾股定理． （1）根据公式求得，然后将和p的值代入公式即可求解； （2）设的边上的高为h，根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解． （3）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，勾股定理求得，利用海伦公式求得，进而根据即可求解． 【详解】（1）解：， ， 答：的面积是； （2）解：设的边上的高为h， ， ， 答：边的高是． （3）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴周长的一半为 ∴ ∴四边形的面积为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $