专题8 一次函数十大题型分类训练 专题提优训练及压轴题易错题专项训练-2025-2026学年八年级数学人教版下册

专题8 一次函数十大题型分类训练 类型一 一次函数中的规律探究 1．（2024秋•秦都区月考）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和的图象分别为直线l1、l2，过点作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5…依次进行下去，则点A2024的横坐标为（　　） A．21010 B．﹣21010 C．﹣21011 D．21011 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，A2n的横坐标为（﹣2）n﹣1 （n为正整数），依此规律结合即可求解． 【解答】解：∵， ∴当x＝1时，代入y＝x中，得y＝1， ∴A2（1，1）， ∴当y＝1时，代入中，得x＝﹣2， ∴A3（﹣2，1）， 同理可得：A4（﹣2，﹣2），A5（4，﹣2），A6（4，4），A7（﹣8，4），A8（﹣8，﹣8），…， ∴A2n的横坐标为（﹣2）n﹣1 （n为正整数）， ∵2024＝1012×2， ∴点A2024的横坐标为（﹣2）1012﹣1＝﹣21011， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键． 2．（2025•蕲春县二模）如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…△AnBnAn+1都是等腰直角三角形，其中点A1，A2，…，An在x轴上，点B1，B2，…，Bn在直线y＝x上，已知OA1＝1，则OA2021的长为 　22020 ． 【分析】根据△A1B1A2为等腰直角三角形，得出A1B1⊥OA2，∠B1A2O＝45°，根据点B1在直线y＝x上，∠B1Ox＝45°＝∠B1A2O，OA1＝A1A2，即点A1为OA2的中点，根据OA1＝1，得出OA2＝2OA1＝2，根据△A2B2A3为等腰直角三角形，得出A2B2⊥OA2，∠B2A3O＝45°＝∠B2OA3，得出OA2＝A2A3＝2，可求OA3＝OA2+A2A3＝2+2＝4＝22，根据△A3B3A4，…△AnBnAn+1都是等腰直角三角形，可得∠B3A4O＝…＝∠BnAn+1O＝45°＝∠BnOAn，B3A3⊥OA4，…，Bn﹣1An﹣1⊥OAn，得出OA4＝2OA3＝2×4＝8＝23，…OAn＝2OAn﹣1＝2×2n﹣2＝2n﹣1，当n＝2021时，代入求值即可． 【解答】解：∵△A1B1A2为等腰直角三角形， ∴A1B1⊥OA2，∠B1A2O＝45°， 又∵点B1在直线y＝x上， ∴∠B1Ox＝45°＝∠B1A2O ∴OA1＝A1A2，即点A1为OA2的中点， 又∵OA1＝1， ∴A1B1＝A1A2＝1．OA2＝2OA1＝2， ∵△A2B2A3为等腰直角三角形，点B2在直线y＝x上， ∴A2B2⊥OA2，∠B2A3O＝45°＝∠B2OA3， ∴OA2＝A2A3＝2， ∴OA3＝OA2+A2A3＝2+2＝4＝22， ∵△A3B3A4，…△AnBnAn+1都是等腰直角三角形，点B3，Bn在直线y＝x上， ∴∠B3A4O＝…＝∠BnAn+1O＝45°＝∠B3OA4＝∠BnOAn，B3A3⊥OA4，…，Bn﹣1An﹣1⊥OAn， ∴OA4＝2OA3＝2×4＝8＝23， … ∴OAn＝2OAn﹣1＝2×2n﹣2＝2n﹣1 当n＝2021时， ∴OA2021＝22021﹣1＝22020． 故答案为：22020． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，规律型：图形的变化类，等腰直角三角形性质． 3．（2025秋•惠阳区月考）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4，…在x轴上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此规律，过点A1，A2，A3，A4，…作x轴的垂线分别与直线交于点B1，B2，B3，B4，…记△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4，…的面积分别为S1，S2，S3，S4，…，则S2025＝　　 ． 【分析】根据，，可得OAn，再根据点Bn在直线上，可得AnBn，根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：由条件可知，即点， ∵过点A1，A2，A3，A4，•••作x轴的垂线分别与直线交于点B1，B2，B3，B4，……， ∴点，，，，……， ∴，，，，……， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，数字规律探寻，解决本题的关键是根据规律得到OAn与AnBn． 类型二 动点问题的函数图象 4．（2025•长安区一模）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径A→B→C→D→E→F匀速运动，速度为1cm/s，点P到达终点F后停止运动，△APF的面积S（cm2）（S≠0）与点P的运动时间t（s）的关系如图2所示，以下结论：①AF＝4cm；②a＝3；③点P从点E运动到点F需要6s，正确的结论是（　　） A．③ B．①② C．①③ D．②③ 【分析】由题意和函数图象可知，AB＝1，BC＝a﹣1，CD＝7﹣a，当点P与B重合时，S△APFAF•AB＝2，可求AF＝4；进而可判断①的正误；当点P与D重合时，S△APF＝12，即4×（1+7﹣a）＝12，可求a＝2，进而可判断②的正误；CD＝5，FE＝6，然后求点P从点E运动到点F的时间，进而可判断③的正误． 【解答】解：由题意和函数图象可知，AB＝1，BC＝a﹣1，CD＝7﹣a， 当点P与B重合时，S△APFAF•AB＝2， ∴AF×1＝2， 解得AF＝4；①正确，故符合要求； 当点P与D重合时，S△APF＝12，即4×（1+7﹣a）＝12， 解得a＝2，②错误，故不符合要求； ∴CD＝5， ∴FE＝AB+CD＝6， ∵6÷1＝6（s）， ∴点P从点E运动到点F需要6s，③正确，故符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了动点运动问题，函数图象，一元一次方程的应用．理解题意，从图象中获取正确的信息是解题的关键． 5．（2025春•张店区期末）如图，线段AB＝6cm，动点P以2cm/s的速度从A﹣B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动；动点Q以1cm/s的速度从B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动．若动点P，Q同时出发，设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为S（单位：cm），则能表示S与t的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可以得到点P运动的快，点Q运动的慢，可以算出动点P和Q相遇时用的时间和点Q到达终点时的时间，从而可以解答本题． 【解答】解：设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为s（单位：cm）， 6＝2t+t 解得，t＝2 此时，点P离点B的距离为：6﹣2×2＝2cm，点Q离点A的距离为：6﹣2＝4cm， 相遇后，点P到达B点用的时间为：2÷2＝1s，此时两个动点之间的距离为3cm， 由上可得，刚开始P和Q两点间的距离在越来越小直到相遇时，它们之间的距离变为0，此时用的时间为2s； 相遇后，在第3s时点P到达B点，从相遇到点P到达B点它们的距离在变大，1s后P点从B点返回，点P继续运动，两个动点之间的距离逐渐变小，同时达到A点． 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确各个时间段内它们对应的函数图象． 类型三 一次函数的图象 6．（2025秋•宁阳县期末）已知（k，b）为第四象限内的点，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据点（k，b）为第四象限内的点，得出k＞0，b＜0，然后根据一次函数的图象的性质得出一次函数过一、三、四象限，接下来找出符合条件的选项即可． 【解答】解：∵点（k，b）为第四象限内的点， ∴b＜0，k＞0， ∴y＝kx+b经过一、三、四象限． 只有D符合题意，ACB不符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4．（2024春•青龙县期末）下列图象中可能是一次函数y＝mx﹣3的图象的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到一次函数y＝mx﹣3的图象经过哪几个象限． 【解答】解：当m＞0时，一次函数y＝mx﹣3的图象过一、三、四象限； 当m＜0时，一次函数y＝mx﹣3的图象过二、三、四象限； 符合条件的为C选项， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 7．（2026春•万州区月考）一次函数y1＝ax+b与y2＝bx﹣a的图象在同一坐标系中可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数y1＝ax+b的图象，确定a，b的符号，看与y2＝bx﹣a的符号是否一致即可． 【解答】解：A、由y1的图象可知，a＞0，b＞0；由y2的图象可知，b＜0，﹣a＞0，即a＜0，两结论矛盾，故不符合题意； B、由y1的图象可知，a＞0，b＜0；由y2的图象可知，b＜0，﹣a＞0，即a＜0，两结论矛盾，故不符合题意； C、由y1的图象可知，a＜0，b＜0；由y2的图象可知，b＜0，﹣a＜0，即a＞0，两结论相矛盾，故不符合题意； D、由y1的图象可知，a＞0，b＞0；由y2的图象可知，b＞0，﹣a＜0，即a＞0，两结论符合，故符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限； ②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限； ③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限； ④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限． 8．（2025秋•南山区期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝kx﹣k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据给出函数图象确定参数的取值，然后根据参数取值范围确定所求函数图象即可． 【解答】解：∵y随x的增大而减小， ∴k＜0； ∴由k＜0，得y随x的增大而减小； 由﹣k＞0，得直线与y轴交于正半轴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 类型四 一次函数的性质 9．（2025春•信阳期末）对于一次函数y＝3x﹣2，下列结论正确的是（　　） A．它的图象与y轴交于点（0，﹣2） B．y随x的增大而减小 C．当时，y＜0 D．它的图象经过第一、二、三象限 【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵当x＝0时，y＝﹣2， ∴函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），正确，符合题意； B、∵函数y＝3x﹣2中，k＝3＞0， ∴y的值随x值的增大而增大，原说法错误，不符合题意； C∵当x时，y＝0， ∴当x时，y＞0，原说法错误，不符合题意； D、∵函数y＝3x﹣2中，k＝3，b＝﹣2＜0， ∴函数图象经过第一、三、四象限，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 10．（2020春•璧山区期中）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，且一次函数y＝（m+1）x+2的图象经过一、二、四象限，则符合条件的所有整数m的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有4个整数解，可以得到m的取值范围，再根据一次函数y＝（m+1）x+2的图象经过一、二、四象限，可以得到m的取值范围，从而可以得到最后m的取值范围，从而可以写出符合条件的m的整数值，进而得到符合条件的所有整数m的个数． 【解答】解：由不等式组可得，mx≤4， ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴这四个整数解是1，2，3，4， ∴0m1， 解得﹣4≤m＜， ∵一次函数y＝（m+1）x+2的图象经过一、二、四象限， ∴m+1＜0， 解得m＜﹣1， 由上可得，﹣4≤m＜﹣1， ∴符合条件的所有整数m为﹣4，﹣3，﹣2， 即符合条件的所有整数m的个数为3个， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的性质、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法和一次函数的性质． 11．（2024秋•重庆期中）如图所示，在平面直角坐标系中，线段AB所在直线的函数表达式为y＝﹣x+4，C是AO的中点，P是AB上一动点，则PO+PC的最小值是 　　 ． 【分析】作点B关于AC的对称点B'，连接EB'交AC于点P'，PB+PE的最小值为EB'，分别求出点A，C的坐标，证明四边形ABCB'是正方形即可求出点B'的坐标，即可求出EB'的长度． 【解答】解：如图所示，作点O关于AB的对称点B'，连接OB'交AC于点P'， ∵线段AB所在直线的解析式为y＝﹣x+4， 当x＝0时，y＝4， 当y＝0时，x＝4， ∴AO＝BO＝4， ∴AC，BB'相互垂直平分， ∴四边形ABCB'是正方形， ∴点B'（4，4）， ∵点C（0，2）， ∴PO+PC的最小值为OB′． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是利用一次函数的解析式求出点A，C的坐标． 类型五 一次函数图象上点的坐标特征 12．（2024春•莒县期末）关于函数y1＝2x﹣1和函数y2＝﹣x+m（m＞0），有以下结论： ①当0＜x＜1时，y1的取值范围是﹣1＜y1＜1； ②函数y2随自变量x的增大而减小； ③函数y1的图象与函数y2的图象的交点一定在第一象限； ④若点（a，﹣2）在函数y1的图象上，点在函数y2的图象上，则a＜b； ⑤直线y1＝2x﹣1与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为线段AB中点，则． 其中正确结论的序号是　①②④　 ． 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的增减性逐项进行判断即可． 【解答】解：①当x＝0时，y1＝﹣1，当x＝1时，y1＝1， 而一次函数y1＝2x﹣1，y随x的增大而增大， 所以当0＜x＜1时，﹣1＜y1＜1，故①正确，符合题意； ②一次函数y2＝﹣x+m（m＞0）中﹣1＜0， 所以y随x的增大而减小，故②正确，符合题意； ③联立y＝2x﹣1y＝﹣x+m（m＞0），解得x＝m+13y＝2m﹣13， 所以函数y1与函数y2的交点坐标为2m﹣13，m+13， 当时，x＝m+13＞0y＝2m﹣13＜0，此时交点在第四象限，故③不正确，不符合题意； ④若点（a，﹣2）在函数y1图象上，在函数y2图象上， 则，即， 当m＞0时，，即b＞a，故④正确，符合题意； ⑤当x＝0时，y1＝﹣1，当y1＝0时，， 则A12，0，B0，﹣1，则AB＝122+12＝52，点C为线段AB中点，则，故⑤不正确，不符合题意； 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象和性质，不等式的性质，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的前提． 13．（2024春•朝阳区期末）直线y＝kx+3k﹣2（k≠0）一定经过一个定点，这个定点的坐标是 　（﹣3，﹣2）　 ． 【分析】由一次函数的解析式可得出（x+3）k＝y+2，由“无论k取何值，该函数图象总经过一个定点”可得出x+3＝0、y+2＝0，解之即可得出该定点的坐标． 【解答】解：∵y＝kx+3k﹣2＝k（x+3）﹣2， ∴（x+3）k＝y+2． ∵无论k取何值，该函数图象总经过一个定点，即k有无数个解， ∴x+3＝0，y+2＝0， 解得：x＝﹣3，y＝﹣2． ∴这个定点的坐标（﹣3，﹣2）． 故答案为：（﹣3，﹣2）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将一次函数解析式变形为（x+3）k＝y+2． 15．（2025秋•嵊州市期末）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，C是AB的中点，点M，N的坐标分别是（﹣1，0）和（2，0），P是线段MN上一个动点，则点P从点M向点N的运动过程中，△POC依次出现的特殊三角形为（　　） A．直角三角形→等腰三角形→等边三角形→直腰三角形 B．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形 C．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→等腰三角形 D．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 【分析】先利用一次函数的解析式可得，A（1，0），即得，得到，进而得到△AOC是等边三角形，即可得∠AOC＝∠OAC＝60°，再根据等腰三角形的定义和性质、等边三角形的性质进行判断即可求解． 【解答】解：当x＝0时，， ∴， ∴， 当y＝0时，x＝1， ∴A（1，0）， ∴OA＝1， ∵∠AOB＝90°， ∴， 由条件可知， ∴OC＝AC＝OA， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC＝∠OAC＝60°， ∴∠MOC＝120°， ∵点M，N的坐标分别是（﹣1，0）和（2，0）， ∴OM＝1，ON＝2， ∴AN＝1， ∴点P从点M向点N的运动过程中， 当点P与点M重合时，OP＝OC＝1，此时△POC是等腰三角形； 当点P运动到OA的中点位置时，CP⊥OA，此时△POC是直角三角形； 当点P与点A重合时，OC＝PC＝OP＝1，此时△POC是等边三角形； 当点P与点N重合时，由三角形外角性质可得，即得∠OCP＝90°，此时△POC是直角三角形； 综上，△POC依次出现的特殊三角形为等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 类型六 一次函数图象与几何变换 16．（2025秋•埇桥区月考）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，﹣1），（2，3），则下列结论正确的是（　　） A．该一次函数与x轴的交点坐标是（1，0） B．y＝kx+b向下平移2个单位得到的函数是y＝x C．若该函数图象上有两点（﹣1，y1），（3，y2），则y1＜y2 D．该函数的图象不经过第二象限 【分析】先求得函数解析式为y＝x+1，与x轴交点应为（﹣1，0），所以A选项错误；函数图象向下平移2个单位长度得到的应该是y＝x﹣1的图象，所以B选项错误；若点（﹣1，y1）、（3，y2）均在该函数图象上，由函数增减性可知，y2＞y1，所以C选项正确；由解析式可知函数经过一二三象限，所以D错误． 【解答】解：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，﹣1），（2，3）， 由题意得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝x+1， A、∵当y＝0时，x＝﹣1， ∴该函数的图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），原说法错误，不符合题意； B、将该函数的图象向下平移2个单位长度得y＝x﹣1的图象，原说法错误，不符合题意； C、∵1＞0，∴y随x的增大而减小， ∴若点（﹣1，y1）、（3，y2）均在该函数图象上，则y2＞y1，原说法正确，符合题意； D、∵1＞0， ∴该函数的图象经过第一、二、三象限，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换与一次函数的性质，熟练掌握基本性质是解题关键． 17．（2025春•海沧区期末）将直线y＝3x向上平移2个单位长度后，得到的直线是（　　） A．y＝3（x+2） B．y＝3（x﹣2） C．y＝3x+2 D．y＝3x﹣2 【分析】根据“上加下减”的平移规律解答即可． 【解答】解：将直线y＝3x向上平移2个单位长度，得到直线的解析式为：y＝3x+2． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 18．将直线l1：y＝﹣x﹣1向右平移2个单位长度后得到直线l2，则下列关于直线l2的说法错误的是（　　） A．经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小 C．与x轴交于点（﹣3，0） D．与y轴交于点（0，1） 【分析】根据“左加右减”的规律写出直线l2的解析式；然后由一次函数的性质进行分析判断． 【解答】解：将直线l1：y＝﹣x﹣1向右平移2个单位长度后得到直线l2：y＝﹣（x﹣2）﹣1，即y＝﹣x+1． A、直线y＝﹣x+1中，a＝﹣1＜0，b＝1＞0，则该直线经过第一、二、四象限，原说法正确，故本选项不符合题意； B、直线y＝﹣x+1中，a＝﹣1＜0，则y随x的增大而减小，原说法正确，故本选项不符合题意； C、在y＝﹣x+1中，令y＝0，则x＝1，所以该直线与x轴交于点（1，0），原说法不正确，故本选项符合题意； D、在y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，所以该直线与x轴交于点（0，1），原说法正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 19．（2024春•西城区期中）在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝2x+1向下平移2个单位长度后，所得的直线的解析式为（　　） A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+2 C．y＝2x+3 D．y＝2x﹣2 【分析】根据直线y＝kx+b平移k值不变，只有b发生改变解答即可． 【解答】解：由题意得：平移后的解析式为：y＝2x+1﹣2，即y＝2x﹣1． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键． 20．（2024春•仓山区期末）函数y＝2x的图象向上平移1个单位长度，得到解析式是 y＝2x+1　 ． 【分析】由函数上下平移的“上加下减”原则将函数直接加1即可． 【解答】解：函数y＝2x的图象向上平移1个单位长度，得到解析式是y＝2x+1． 故答案为：y＝2x+1． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记规律并准确应用是解题关键． 21．（2025春•庄河市期末）如图，把直线y＝﹣2x+3向下平移m个单位，与直线y＝x+2的交点在第一象限，则m的取值范围是 　0＜m＜1　 ． 【分析】解方程组，可得直线y＝﹣2x+3﹣m与直线y＝x+2的交点坐标为（，），依据交点在第一象限，即可得出m＞1． 【解答】解：把直线y＝﹣2x+3向下平移m个单位，可得y＝﹣2x+3﹣m， 解方程组，可得， ∴直线y＝﹣2x+3﹣m与直线y＝x+2的交点坐标为（，）， ∵交点在第一象限， ∴， 解得m＜1， ∴0＜m＜1， 故答案为：0＜m＜1． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横坐标大于0、纵坐标大于0． 类型七 待定系数法求一次函数解析式 22．（2024秋•霍邱县月考）对于一次函数y＝kx+b，当0≤x≤1时，函数值2≤y≤3，则一次函数的表达式为y＝x+2或y＝﹣x+3　 ． 【分析】分k＞0和k＜0两种情况，分别根据一次函数的性质和待定系数法求解即可． 【解答】解：当k＞0时，则一次函数过点（1，3），（0，2）， ∴，解得：， ∴y＝x+2； 当k＜0时，则一次函数过点（0，3），（1，2）， ∴，解得：， ∴y＝﹣x+3． 综上，一次函数的表达式为y＝x+2或y＝﹣x+3． 故答案为：y＝x+2或y＝﹣x+3． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 23．（2025秋•蜀山区月考）已知y﹣3与2x﹣1成正比例，且当x＝1时，y＝6． （1）求y关于x的函数解析式； （2）若点A（x，y1），B（x﹣1，y2）都在该函数图象上，则y1　＞　 y2．（填“＞”或“＜”） 【分析】（1）利用正比例函数的定义得到y﹣3＝k（2x﹣1），然后把已知的对应值代入求出k，从而得到y与x之间的函数解析式； （2）先判断出函数的增减性，进而可得出结论． 【解答】解：（1）设y﹣3＝k（2x﹣1）， ∵当x＝1时，y＝6， ∴6﹣3＝k（2×1﹣1）， 解得k＝3， ∴y﹣3＝3（2x﹣1）， ∴y与x之间的函数解析式为y＝6x； （2）由（1）知函数解析式为y＝6x， ∵k＝6＞0， ∴y随x的增大而增大， ∵x＞x﹣1， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 24．（2025秋•宜兴市月考）如图，已知点A（6，0）、点B（0，2）． （1）求直线AB所对应的函数表达式； （2）若点C为x轴上一动点，当△ABC的面积为3时，试求点C的坐标． 【分析】（1）依据题意，待定系数法求解析式即可； （2）依据题意，设点C的坐标为（m，0），则AC＝|6﹣m|，，计算求解，然后作答即可． 【解答】解：（1）由题意，设直线AB所对应的函数表达式为y＝kx+b， 将A（6，0）、B（0，2）代入得， 解得，， ∴直线AB所对应的函数表达式为．． （2）由题意，设点C的坐标为（m，0），则AC＝|6﹣m|， ∴， 解得，m＝3或m＝9， ∴点C的坐标为（3，0）或（9，0）． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数解析式，坐标与图形是解题的关键． 25．（2025秋•工业园区同步）已知y与x﹣1成正比例，当x＝2时，y＝3． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）求（1）中函数图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标； （3）在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【分析】（1）设y＝k（x﹣1）．解方程即可得到结论； （2）解方程即可得到结论； （3）根据题意画出函数的图象即可． 【解答】解：（1）由于y与x﹣1成正比例， 所以设y＝k（x﹣1）． ∵当 x＝2 时，y＝2， ∴2＝k（2﹣1）． ∴k＝2． ∴y＝2（x﹣1） 即y＝2x﹣2； （2）y＝2x﹣2 与坐标轴的交点为（1，0）、（0，﹣2）． （3）∵y＝2x﹣2 经过点 （1，0）、（0，﹣2）． ∴所以该一次函数的图象如图所示． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，待定系数法求函数的解析式，一次函数的性质，正确地画出函数的图象是解题的关键． 26．（2024春•路南区期末）如图，已知B中的实数y与A中的实数x之间的对应关系是某个一次函数．（1）求y与x之间的函数表达式； （2）求m的值． 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）在函数y＝﹣4x﹣3中，当y＝5时，求得x＝﹣2，即可求得m的值为﹣2． 【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b， ∵点（﹣3，9）（0，﹣3）在直线解析式上， ∴， 解得， 函数解析式为：y＝﹣4x﹣3； （2）在函数y＝﹣4x﹣3中，当y＝5时，则﹣4x﹣3＝5， 解得x＝﹣2， ∴m的值为﹣2． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是关键． 类型八 一次函数与一元一次不等式 27．（2025春•定州市期末）如表所示，取一次函数y＝kx+b（k≠0）的部分自变量x的值和对应的函数值y，根据信息，下列说法正确的个数是（　　） x ..． ﹣2024 0 2024 ..． y ..． ﹣3 ﹣2 ﹣1 ..． ①2024k﹣b＝3； ②当x＜0时y＜﹣2； ③2024k+b﹣1＝0； ④不等式kx+b＞﹣1的解集是x＞2024． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据表格数据利用一次函数的增减性逐项判定即可求解． 【解答】解：①由表格可知，x＝﹣2024时，y＝﹣3，即2024k﹣b＝3，故本选项说法正确，符合题意； ②由表格可知，x＝0时，y＝﹣2，且y随x的增大而增大，即当x＜0时y＜﹣2，故本选项说法正确，符合题意； ③由表格可知，x＝2024时，y＝﹣1，即2024k+b＝﹣1，则有2025k+b+1＝0，故本选项说法错误，不符合题意； ④由表格可知，x＝2024时，y＝﹣1，且y随x的增大而增大，即不等不等式kx+b＞﹣1的解集是x＞2024，故本选项说法正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键． 28．（2024秋•岑溪市期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为（　　） A．x≤a B．x≥2 C．x≥1 D．x＜2 【分析】首先将已知点的坐标代入直线l1：y＝x+1求得a的值，然后观察函数图象得到在点P的右边，直线l1：y＝x+1都在直线l2：y＝mx+n的上方，据此求解． 【解答】解：∵两直线相交于点P（a，2）， ∴a+1＝2， 解得：a＝1， 观察图象可知：关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为x≥1， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象，比较函数值的大小，确定对应的自变量的取值范围，解此题需要有数形结合的思想． 类型九 两条直线相交或平行问题 29．（2024春•枣阳市期末）下列说法正确的是（　　） A．函数y＝2x的图象是过原点的射线 B．直线y＝﹣x+2经过第一、二、三象限 C．函数y＝﹣2x+4图象与y轴相交于点（0，4） D．函数y＝2x﹣3，y随x增大而减小 【分析】根据一次函数的性质逐一分析判断即可． 【解答】解：A、函数y＝2x的图象是过原点的直线，原说法错误，故选项不符合题意； B、直线y＝﹣x+2，k＜0，b＞0，故经过第一、二、四象限，原说法错误，故选项不符合题意； C、函数y＝﹣2x+4图象与y轴相交于点（0，4），说法正确，故选项符合题意； D、函数y＝2x﹣3，因为k＝2＞0，所以y随x增大而增大，原说法错误，故选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质以及两条直线相交或平行问题，解题的关键是掌握一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 30．（2024秋•肥西县期末）已知一次函数y＝x+m与y＝x+n（m≠n），则两个函数图象交点的个数有（　　） A．无数个 B．1个 C．0个 D．2个 【分析】根据两条直线中k相同，且b不相等，图象平行判断即可． 【解答】解：∵一次函数y＝x+m与y＝x+n（m≠n）中x的系数都为1，且m≠n， ∴两条直线平行， ∴两个函数图象交点的个数有0个， 故选：C． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，属于基础题，关键掌握当k相同，且b不相等，图象平行． 31．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，直线l1的函数表达式为y＝2x，直线l2与x轴、y轴分别交于点A，B，且l1∥l2，OA＝2，则OB的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 【分析】首先设直线l2的解析式为y＝kx+b，然后将点A（﹣2，0）及k＝﹣2代入求出b的值即可得出答案． 【解答】解：设直线l2的解析式为：y＝kx+b， ∵点OA＝2， ∴点A的坐标为（﹣2，0）， ∵点A在直线l2上， ∴﹣2k+b＝0， 又∵l1∥l2，直线l1的函数表达式为y＝2x， ∴k＝2， 将k＝2代入﹣2k+b＝0之中，得：b＝4， ∴直线l2的解析式为：y＝2x+4， ∴点B的坐标为（0，4）， ∴OB＝4． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了两直线平行，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，理解两个一次函数图象平行时两个一次函数解析式之间的关系是解答此题的关键． 32．（2025秋•宿迁期末）某函数图象与正比例函数y＝﹣2x的图象平行，且经过点（0，2），则这个函数的表达式是y＝﹣2x+2　 ． 【分析】依据题意，设该函数表达式为 y＝kx+b，由函数图象平行可得k＝﹣2，再代入已知点求出b值． 【解答】解：由题意，设所求函数为y＝kx+b， ∵图象与y＝﹣2x平行， ∴k＝﹣2， 又∵图象过点（0，2）， ∴2＝﹣2×0+b， ∴b＝2， ∴所求函数为y＝﹣2x+2． 故答案为：y＝﹣2x+2． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，理解两直线平行k值相等是解题的关键． 33．（2024春•兴县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，a）是直线y＝2x与直线y＝x+b的交点，点B是直线y＝x+b与y轴的交点．点P是x轴上的一个动点，连结PA，PB，则当PA+PB的值最小时，点P的坐标是 　（1，0）　 ． 【分析】作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，则PA+PB的最小值即为A′B的长，先求出点A坐标，再待定系数法求出b的值，得出点B坐标，根据轴对称的性质可得点A′的坐标，设直线A′B的解析式为y＝kx+b，求出解析式，并把P（p，0）代入即可求出坐标． 【解答】解：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，如图所示： 则PA+PB的最小值即为A′B的长，将点A（3，a）代入y＝2x得： a＝2×3＝6， ∴点A坐标为（3，6）， 将点A（3，6）代入y＝x+b， 得3+b＝6， 解得b＝3， ∴点B坐标为（0，3）， 根据轴对称的性质，可得点A′坐标为（3，﹣6）， 设直线A′B的解析式为y＝kx+b， 将（0，3），（3，﹣6）代入得： ， 解得：， ∴直线A′B的解析式为y＝﹣3x+3， 设点P（p，0）代入y＝﹣3x+3得： ﹣3×p+3＝0， 解得：p＝1， ∴点P的坐标是（1，0）， 故答案为：（1，0）． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及两直线的交点问题，一次函数的性质，利用轴对称解决最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质以及一次函数的性质是解题的关键． 34．（2024春•鼓楼区月考）已知一次函数y1＝﹣x+1，y2＝2x﹣5的图象如图所示，根据图象，解决下列问题： （1）求出函数y1＝﹣x+1与y2＝2x﹣5交点P坐标； （2）求出△ABP的面积． 【分析】（1）由y1＝y2可得，﹣x+1＝2x﹣5，解方程求出x，即可求出交点P坐标； （2）利用一次函数解析式求出A、B的坐标，求出AB，再根据三角形的面积公式计算即可求解； 【解答】解：（1）由y1＝y2可得，﹣x+1＝2x﹣5， 解得x＝2， ∴y1＝﹣2+1＝﹣1， ∴点P坐标为（2，﹣1）； （2）当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5， ∴A（0，1），B（0，﹣5）， ∴AB＝1﹣（﹣5）＝6， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，三角形的面积，通过方程思想求出交点P的坐标是解题的关键． 35．（2026春•北京月考）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）． （1）求k，b的值； （2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的图象既与y＝kx+b的图象有交点，也与函数y＝﹣kx+3的图象有交点，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）作出函数图象，根据函数图象解答即可． 【解答】解：（1）由题知， 将点（2，1）代入y＝﹣kx+3得， ﹣2k+3＝1， 解得k＝1． 将点（2，1）代入y＝x+b得， 2+b＝1， 解得b＝﹣1； （2）由（1）知， 两个一次函数的解析式分别为y＝x﹣1和y＝﹣x+3． 由x﹣1＝﹣x+3得， x＝2， 则y＝2﹣1＝1， 所以两个函数图象的交点坐标为（2，1）． 如图所示， 因为当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的图象既与y＝kx+b的图象有交点，也与函数y＝﹣kx+3的图象有交点， 所以m＜﹣1或m＞1． 【点睛】本题主要考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象与系数的关系及待定系数法求一次函数解析式，熟知一次函数的图象与性质及巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 类型十 一次函数综合题 36．（2024春•平山县期末）如图，直线yx+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论： ①AB＝10； ②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6； ③点D（，）； ④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的横坐标是，以上所有结论中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，可判断①；由折叠的性质可得OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°，由勾股定理可求OC的长，可得点C坐标，利用待定系数法可求BC解析式，可判断②；由面积公式可求DH的长，代入解析式可求点D坐标，可判断③；由菱形的性质可得PD∥OC，可得点P纵坐标为，可判断④，即可求解． 【解答】解：∵直线yx+6分别与x、y轴交于点A、B， ∴点A（8，0），点B（0，6）， ∴OA＝8，OB＝6， ∴AB10，故①正确； ∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处， ∴OB＝BD＝6，OC＝CD，∠BOC＝∠BDC＝90°， ∴AD＝AB﹣BD＝4， ∵AC2＝AD2+CD2， ∴（8﹣OC）2＝16+OC2， ∴OC＝3， ∴点C（3，0）， 设直线BC解析式为：y＝kx+6， ∴0＝3k+6， ∴k＝﹣2， ∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6，故②正确； 如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵CD＝OC＝3， ∴CA＝5， ∵S△ACDAC×DHCD×AD， ∴DH， ∴当y时，x+6， ∴x， ∴点D（，），故③正确； ∵线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，且OC＝CD， ∴PD∥OC，PD＝OC＝3， ∴点P纵坐标为， ∵点D（，）， ∵点P（，）， ∴点P横坐标为，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，菱形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 37．（2024秋•漳州期末）如图，直线l：y＝kx+b经过点A（﹣1，0），B（0，3），点C在x轴上，且OB＝OC，连接BC． （1）求直线l的表达式； （2）若OD平分∠BOC，交BC于点D，连接AD，求△AOD的面积； （3）在线段AB上是否存在点E，使得∠ABO+∠BCE＝45°，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）直线l经过点A（﹣1，0），B（0，3），再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，如图．可得△ODM，△CDM均为等腰直角三角形，可得，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）取点F（0，1），连接CF，并延长与线段AB交于点E，证明△ABO≌△FCO，可得∠ABO＝∠FCO，∠ABO+∠BCE＝45°，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）∵直线l经过点A（﹣1，0），B（0，3）， ∴ 解这个方程组，得 ∴直线l的表达式为y＝3x+3． （2）∵A（﹣1，0），B（0，3）， ∴OA＝1，OC＝OB＝3 ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠BCO＝45°． 过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，如图． ∴△ODM，△CDM均为等腰直角三角形， ∴ ∴； （3）存在点E，使得∠ABO+∠BCE＝45°，理由如下： 取点F（0，1），连接CF，并延长与线段AB交于点E， ∴OF＝OA＝1． ∵∠AOB＝∠FOC＝90°，OC＝OB＝3， ∴△ABO≌△FCO（SAS）， ∴∠ABO＝∠FCO． ∵∠BCO＝∠FCO+∠BCE＝45°， ∴∠ABO+∠BCE＝45°． ∵点C在x轴的正半轴上， ∴C（3，0）， ∴直线CF的表达式为． 联立解得． ∴ ∴在线段AB上存在点，使得∠ABO+∠BCE＝45°． 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 38．（2024秋•宝安区期中）阅读材料，若点M到直线a，b的距离相等，则称点M为直线a，b的关联点． 例如：如图1，在平面直角坐标系中，点（3，﹣3）到x轴和y轴的距离相等，故（3，﹣3）是x轴和y轴的关联点． 在平面直角坐标系中，已知A（0，6），直线l1：y＝kx+4m（k＜0）交x轴于点B（n，0），交y轴于点C，点D为x轴上一个点； （1）直线l1经过点A， ①m＝　　 ，若（1，t）在直线l1上，则比较t与6的大小：t　＜　 6； ②当点D坐标为（8，0）时，点B恰好为CO、CD的关联点，求直线l1的解析式； （2）若n＝8m（m＞0），D为OB中点，点P为线段BC上一点，且为x轴和y轴的关联点，将PD绕点P逆时针旋转90°至PE， ①求证：点E为直线l1：y＝kx+4m与直线l2：y＝﹣kx+4m的关联点； ②对于直线l2：y＝﹣kx+4m上任意两点M、N，始终有S△AMN＝S△EMN，直接写出m的值． 【分析】（1）①把A（0，6）代入y＝kx+4m，即可求得m，把（1，t）代入y＝kx+6，可得k＝t﹣6，再由k＜0，即可求得答案； ②利用勾股定理可得CD＝10，作BH⊥CD于点H，根据新定义可得OB＝BH，利用三角形面积求得B（3，0），再运用待定系数法即可求得答案； （2）①根据中点坐标可得D（4m，0），将B（8m，0）代入l1：y＝kx+4m中，可求得k的值，进而得出点P的坐标，过点P作PM⊥x轴于点M，过点E作EN⊥PM交MP的延长线于点N，再证得△ENP≌△PMD（AAS），求得点E的坐标，得出yE＝yC，连接CE，则CE∥OB，根据新定义即可证得结论； ②根据题意可得AC＝|6﹣4m|，作EL∥AC，交l2于点L，作AJ⊥l2于J，作EK⊥l2于K，证得△ELK≌△ACJ（AAS），可得EL＝AC，再求得ELm，联立方程求解即可求得答案． 【解答】（1）①解：把A（0，6）代入y＝kx+4m，得4m＝6， 解得：m， 把（1，t）代入y＝kx+6，得k+6＝t， ∴k＝t﹣6， ∵k＜0， ∴t﹣6＜0， ∴t＜6， 故答案为：，＜； ②解：由①得：OC＝6， 则直线l1的解析式为y＝kx+6， ∵OD＝8， 在Rt△COD中，CD10， 作BH⊥CD于点H，如图， ∵点B恰好为CO、CD的关联点， ∴OB＝BH， ∵S△BOCOB•OC，S△BDCCD•BHBD•OC， ∴， ∴， ∴OB＝3， ∴B（3，0）， 把B（3，0）代入y＝kx+6，得：3k+6＝0， 解得：k＝﹣2， ∴直线l1的解析式为y＝﹣2x+6； （2）①证明：∵n＝8m（m＞0），D为OB中点， 则D（4m，0）， 将B（8m，0）代入l1：y＝kx+4m中，得：8mk+4m＝0， 解得：k， ∴yx+4m， ∵点P为线段BC上一点，且为x轴和y轴的关联点， ∴设P（a，a），则aa+4m， 解得：am， ∴P（m，m）， 过点P作PM⊥x轴于点M，过点E作EN⊥PM交MP的延长线于点N，如图， ∵∠EPN+∠DPM＝90°，∠PDM+∠DPM＝90°， ∴∠EPN＝∠PDM， 在△ENP和△PMD中， ， ∴△ENP≌△PMD（AAS）， ∴NE＝PMm，NP＝MDm， 故E（m，4m），yE＝yC， 连接CE，则CE∥OB， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， 由题知∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2， ∴点E为直线l1：y＝kx+4m与直线l2：y＝﹣kx+4m的关联点； ②解：∵直线l2：y＝kx+4m（k＜0）交y轴于点C， ∴C（0，4m）， ∵A（0，6）， ∴AC＝|6﹣4m|， 作EL∥AC，交l2于点L，作AJ⊥l2于J，作EK⊥l2于K， 则∠ELK＝∠ACJ，∠EKL＝∠AJC＝90°， 由（2）①知k，则直线l2：yx+4m， ∵对于直线l2：yx+4m上任意两点M、N，始终有S△AMN＝S△EMN， ∴AJ＝EK， ∴△ELK≌△ACJ（AAS）， ∴EL＝AC， ∵E（m，4m）， ∴L（m，m）， ∴ELm， ∴|6﹣4m|m， 解得：m或， ∴m的值为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，旋转变换的性质，新定义等，理解运用新定义是解题关键． 39．（2025春•蓬江区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A（﹣6，0）、B（0，3）两点，直线l2：y＝﹣2x+m与x轴负半轴、y轴、直线l1分别交于C、D、E三点，且OA＝3OD． （1）求直线l1的函数解析式； （2）求四边形ECOB的面积； （3）在坐标轴上是否存在点P，使得S△CDP？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法可得直线l1的函数解析式为yx+3； （2）连接EO，求出D（0，﹣2），直线l2的函数解析式为y＝﹣2x﹣2，可得C（﹣1，0），E（﹣2，2），即得S△EOCOC•|yE|＝1，S△EOBOB•|xE|＝3，故四边形ECOB的面积为4； （3）求出S△AEC5×2＝5，知S△CDP5＝3，分两种情况：当P在y轴上时，设P（0，p），可得|p+2|×1＝3，解得p＝4或p＝﹣8，有P（0，4）或（0，﹣8）；当P在x轴上时，设P（q，0），可得|q+1|×2＝3，解得q＝2或q＝﹣4，有P（2，0）或（﹣4，0）． 【解答】解：（1）把A（﹣6，0）、B（0，3）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴直线l1的函数解析式为yx+3； （2）连接EO，如图： ∵A（﹣6，0）， ∴OA＝6， ∵OA＝3OD， ∴OD＝2， ∴D（0，﹣2）， 把D（0，﹣2）代入y＝﹣2x+m得：m＝﹣2， ∴直线l2的函数解析式为y＝﹣2x﹣2， 在y＝﹣2x﹣2中，令y＝0得x＝﹣1， ∴C（﹣1，0）， 由得：， ∴E（﹣2，2）， ∴S△EOCOC•|yE|1×2＝1，S△EOBOB•|xE|3×2＝3， ∴S四边形ECOB＝S△EOC+S△EOB＝1+3＝4， ∴四边形ECOB的面积为4； （3）在坐标轴上存在点P，使得S△CDP，理由如下： ∵A（﹣6，0），C（﹣1，0）， ∴AC＝5， ∵E（﹣2，2）， ∴S△AEC5×2＝5， ∴S△CDP5＝3， 当P在y轴上时，设P（0，p），如图： ∵D（0，﹣2）， ∴PD＝|p+2|， ∵C（﹣1，0）， ∴|p+2|×1＝3， 解得p＝4或p＝﹣8， ∴P（0，4）或（0，﹣8）； 当P在x轴上时，设P（q，0），如图： ∵C（﹣1，0）， ∴CP＝|q+1|， ∵D（0，﹣2）， ∴|q+1|×2＝3， 解得q＝2或q＝﹣4， ∴P（2，0）或（﹣4，0）； 综上所述，P的坐标为（0，4）或（0，﹣8）或（2，0）或（﹣4，0）． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8 一次函数十大题型分类训练 类型一 一次函数中的规律探究 1．（2024秋•秦都区月考）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和的图象分别为直线l1、l2，过点作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5…依次进行下去，则点A2024的横坐标为（　　） A．21010 B．﹣21010 C．﹣21011 D．21011 2．（2025•蕲春县二模）如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…△AnBnAn+1都是等腰直角三角形，其中点A1，A2，…，An在x轴上，点B1，B2，…，Bn在直线y＝x上，已知OA1＝1，则OA2021的长为 　 ． 3．（2025秋•惠阳区月考）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4，…在x轴上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此规律，过点A1，A2，A3，A4，…作x轴的垂线分别与直线交于点B1，B2，B3，B4，…记△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4，…的面积分别为S1，S2，S3，S4，…，则S2025＝　　 ． 类型二 动点问题的函数图象 4．（2025•长安区一模）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径A→B→C→D→E→F匀速运动，速度为1cm/s，点P到达终点F后停止运动，△APF的面积S（cm2）（S≠0）与点P的运动时间t（s）的关系如图2所示，以下结论：①AF＝4cm；②a＝3；③点P从点E运动到点F需要6s，正确的结论是（　　） A．③ B．①② C．①③ D．②③ 5．（2025春•张店区期末）如图，线段AB＝6cm，动点P以2cm/s的速度从A﹣B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动；动点Q以1cm/s的速度从B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动．若动点P，Q同时出发，设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为S（单位：cm），则能表示S与t的函数关系的是（　　） A．B． C． D． 类型三 一次函数的图象 6．（2025秋•宁阳县期末）已知（k，b）为第四象限内的点，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•青龙县期末）下列图象中可能是一次函数y＝mx﹣3的图象的是（　　） A． B． C． D． 7．（2026春•万州区月考）一次函数y1＝ax+b与y2＝bx﹣a的图象在同一坐标系中可能是（　　） A． B． C． D． 8．（2025秋•南山区期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝kx﹣k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 类型四 一次函数的性质 9．（2025春•信阳期末）对于一次函数y＝3x﹣2，下列结论正确的是（　　） A．它的图象与y轴交于点（0，﹣2） B．y随x的增大而减小 C．当时，y＜0 D．它的图象经过第一、二、三象限 10．（2020春•璧山区期中）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，且一次函数y＝（m+1）x+2的图象经过一、二、四象限，则符合条件的所有整数m的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2024秋•重庆期中）如图所示，在平面直角坐标系中，线段AB所在直线的函数表达式为y＝﹣x+4，C是AO的中点，P是AB上一动点，则PO+PC的最小值是 　 ． 类型五 一次函数图象上点的坐标特征 12．（2024春•莒县期末）关于函数y1＝2x﹣1和函数y2＝﹣x+m（m＞0），有以下结论： ①当0＜x＜1时，y1的取值范围是﹣1＜y1＜1； ②函数y2随自变量x的增大而减小； ③函数y1的图象与函数y2的图象的交点一定在第一象限； ④若点（a，﹣2）在函数y1的图象上，点在函数y2的图象上，则a＜b； ⑤直线y1＝2x﹣1与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为线段AB中点，则． 其中正确结论的序号是　 　 ． 13．（2024春•朝阳区期末）直线y＝kx+3k﹣2（k≠0）一定经过一个定点，这个定点的坐标是 　 　 ． 15．（2025秋•嵊州市期末）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，C是AB的中点，点M，N的坐标分别是（﹣1，0）和（2，0），P是线段MN上一个动点，则点P从点M向点N的运动过程中，△POC依次出现的特殊三角形为（　　） A．直角三角形→等腰三角形→等边三角形→直腰三角形 B．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形 C．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→等腰三角形 D．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 类型六 一次函数图象与几何变换 16．（2025秋•埇桥区月考）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，﹣1），（2，3），则下列结论正确的是（　　） A．该一次函数与x轴的交点坐标是（1，0） B．y＝kx+b向下平移2个单位得到的函数是y＝x C．若该函数图象上有两点（﹣1，y1），（3，y2），则y1＜y2 D．该函数的图象不经过第二象限 17．（2025春•海沧区期末）将直线y＝3x向上平移2个单位长度后，得到的直线是（　　） A．y＝3（x+2） B．y＝3（x﹣2） C．y＝3x+2 D．y＝3x﹣2 18．将直线l1：y＝﹣x﹣1向右平移2个单位长度后得到直线l2，则下列关于直线l2的说法错误的是（　　） A．经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小 C．与x轴交于点（﹣3，0） D．与y轴交于点（0，1） 19．（2024春•西城区期中）在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝2x+1向下平移2个单位长度后，所得的直线的解析式为（　　） A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+2 C．y＝2x+3 D．y＝2x﹣2 20．（2024春•仓山区期末）函数y＝2x的图象向上平移1个单位长度，得到解析式是 　 ． 21．（2025春•庄河市期末）如图，把直线y＝﹣2x+3向下平移m个单位，与直线y＝x+2的交点在第一象限，则m的取值范围是 　 　 ． 类型七 待定系数法求一次函数解析式 22．（2024秋•霍邱县月考）对于一次函数y＝kx+b，当0≤x≤1时，函数值2≤y≤3，则一次函数的表达式为 　 ． 23．（2025秋•蜀山区月考）已知y﹣3与2x﹣1成正比例，且当x＝1时，y＝6． （1）求y关于x的函数解析式； （2）若点A（x，y1），B（x﹣1，y2）都在该函数图象上，则y1　 　 y2．（填“＞”或“＜”） 24．（2025秋•宜兴市月考）如图，已知点A（6，0）、点B（0，2）． （1）求直线AB所对应的函数表达式； （2）若点C为x轴上一动点，当△ABC的面积为3时，试求点C的坐标． 25．（2025秋•工业园区同步）已知y与x﹣1成正比例，当x＝2时，y＝3． （1）写出y与x之间的函数关系式；（2）求（1）中函数图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标； （3）在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 26．（2024春•路南区期末）如图，已知B中的实数y与A中的实数x之间的对应关系是某个一次函数．（1）求y与x之间的函数表达式； （2）求m的值． 类型八 一次函数与一元一次不等式 27．（2025春•定州市期末）如表所示，取一次函数y＝kx+b（k≠0）的部分自变量x的值和对应的函数值y，根据信息，下列说法正确的个数是（　　） x ..． ﹣2024 0 2024 ..． y ..． ﹣3 ﹣2 ﹣1 ..． ①2024k﹣b＝3；②当x＜0时y＜﹣2；③2024k+b﹣1＝0；④不等式kx+b＞﹣1的解集是x＞2024． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．（2024秋•岑溪市期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为（　　） A．x≤a B．x≥2 C．x≥1 D．x＜2 类型九 两条直线相交或平行问题 29．（2024春•枣阳市期末）下列说法正确的是（　　） A．函数y＝2x的图象是过原点的射线 B．直线y＝﹣x+2经过第一、二、三象限 C．函数y＝﹣2x+4图象与y轴相交于点（0，4） D．函数y＝2x﹣3，y随x增大而减小 30．（2024秋•肥西县期末）已知一次函数y＝x+m与y＝x+n（m≠n），则两个函数图象交点的个数有（　　） A．无数个 B．1个 C．0个 D．2个 31．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，直线l1的函数表达式为y＝2x，直线l2与x轴、y轴分别交于点A，B，且l1∥l2，OA＝2，则OB的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 32．（2025秋•宿迁期末）某函数图象与正比例函数y＝﹣2x的图象平行，且经过点（0，2），则这个函数的表达式是 ． 33．（2024春•兴县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，a）是直线y＝2x与直线y＝x+b的交点，点B是直线y＝x+b与y轴的交点．点P是x轴上的一个动点，连结PA，PB，则当PA+PB的值最小时，点P的坐标是 　 　 ． 34．（2024春•鼓楼区月考）已知一次函数y1＝﹣x+1，y2＝2x﹣5的图象如图所示，根据图象，解决下列问题： （1）求出函数y1＝﹣x+1与y2＝2x﹣5交点P坐标； （2）求出△ABP的面积． 35．（2026春•北京月考）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）． （1）求k，b的值； （2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的图象既与y＝kx+b的图象有交点，也与函数y＝﹣kx+3的图象有交点，直接写出m的取值范围． 类型十 一次函数综合题 36．（2024春•平山县期末）如图，直线yx+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处．以下结论： ①AB＝10；②直线BC的解析式为y＝﹣2x+6；③点D（，）； ④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的横坐标是，以上所有结论中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．（2024秋•漳州期末）如图，直线l：y＝kx+b经过点A（﹣1，0），B（0，3），点C在x轴上，且OB＝OC，连接BC． （1）求直线l的表达式； （2）若OD平分∠BOC，交BC于点D，连接AD，求△AOD的面积； （3）在线段AB上是否存在点E，使得∠ABO+∠BCE＝45°，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 38．（2024秋•宝安区期中）阅读材料，若点M到直线a，b的距离相等，则称点M为直线a，b的关联点． 例如：如图1，在平面直角坐标系中，点（3，﹣3）到x轴和y轴的距离相等，故（3，﹣3）是x轴和y轴的关联点． 在平面直角坐标系中，已知A（0，6），直线l1：y＝kx+4m（k＜0）交x轴于点B（n，0），交y轴于点C，点D为x轴上一个点； （1）直线l1经过点A， ①m＝　 ，若（1，t）在直线l1上，则比较t与6的大小：t　 　 6； ②当点D坐标为（8，0）时，点B恰好为CO、CD的关联点，求直线l1的解析式； （2）若n＝8m（m＞0），D为OB中点，点P为线段BC上一点，且为x轴和y轴的关联点，将PD绕点P逆时针旋转90°至PE， ①求证：点E为直线l1：y＝kx+4m与直线l2：y＝﹣kx+4m的关联点； ②对于直线l2：y＝﹣kx+4m上任意两点M、N，始终有S△AMN＝S△EMN，直接写出m的值． 39．（2025春•蓬江区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A（﹣6，0）、B（0，3）两点，直线l2：y＝﹣2x+m与x轴负半轴、y轴、直线l1分别交于C、D、E三点，且OA＝3OD． （1）求直线l1的函数解析式； （2）求四边形ECOB的面积； （3）在坐标轴上是否存在点P，使得S△CDP？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $