2026年中考数学解答题专题训练：面积问题（二次函数综合）

2026年中考数学解答题专题训练：面积问题（二次函数综合） 1．如图，抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标及的最小周长； (4)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 2．如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 4．在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）经过，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线的上方，过点P作轴，交直线于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，若，求点P的坐标； (3)如图2，连接与交于点F，连接，当与的面积都等于S时，求S的值． 5．如图，已知抛物线的图象与x轴相交于点与点B，与y轴交于点，抛物线的顶点为D，其对称轴为直线，对称轴与x轴相交于点E，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)直线上有一点P，并且时，求的面积． (3)设点G在抛物线的对称轴上，若线段绕点G顺时针旋转后，点A的对应点恰好也落在此抛物线上，请直接写出点G的坐标． 6．在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B、C，已知，． (1)求抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)如图1，D为线段上方抛物线上一点，连接、，当的面积取到最大值时，求点D的坐标； (3)如图2，抛物线的顶点为E，轴于点F，N是线段上一动点，是x轴一个动点，若，请求出m的取值范围． 7．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为B．抛物线关于x轴对称的抛物线为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，点D是抛物线在第四象限上的一点，连接．若，求点D的坐标； (3)当时抛物线与时抛物线组成新的函数G，函数G的图象上有不重合的两点P和Q，点P和点Q的横坐标分别为和，若函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关，求t的取值范围． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 9．如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标； (2)点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角． 10．如图，在直角体系中,直线AB交x轴于点A(5,0),交y轴于点B,AO是⊙M的直径,其半圆交AB于点C,且AC=3.取BO的中点D,连接CD、MD和OC． （1）求证：CD是⊙M的切线； （2）二次函数的图象经过点D、M、A,其对称轴上有一动点P,连接PD、PM,求△PDM的周长最小时点P的坐标； （3）在（2）的条件下,当△PDM的周长最小时,抛物线上是否存在点Q，使S△PDM=6S△QAM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 11．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点、（左右），交轴于点，直线，经过点，交轴于点． (1)如图，求的值； (2)如图2，点在第一象限内的抛物线上，过点、作轴的垂线，分别交直线于点、，若，求点的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，点在第一象限内的抛物线上，过点作于点，交直线于点，连接、，当时，求的面积． 12．抛物线交轴于，两点（在的左边）． （1）的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴右侧的抛物线上． ①如图（1），若点的坐标是，点的横坐标是，直接写出点，的坐标； ②如图（2），若点在抛物线上，且的面积是12，求点的坐标； （2）如图（3），是原点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点，若直线与抛物线只有一个公共点，求证的值是定值． 13．已知二次函数图象的顶点在原点，且点在此二次函数的图象上．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，直线与二次函数的图象交于A、B两点（点C在直线下方），若,求m的值； (3)如图2，直线与二次函数的图象交于D、E两点，过点D的直线交二次函数的图象于点F，求证：直线过定点． 14．已知，抛物线y＝x2﹣x+与x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点F． （1）A点坐标为　 　；B点坐标为　 　；F点坐标为　 　； （2）如图1，C为第一象限抛物线上一点，连接AC，BF交于点M，若BM＝FM，在直线AC下方的抛物线上是否存在点P，使S△ACP＝4，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，D、E是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线AD、AE分别交y轴于M、N两点，若OM•ON＝，求证：直线DE必经过一定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)抛物线的解析式为：； (2)是直角三角形 (3)，的最小周长为： (4)存在， 【分析】（1）根据点在抛物线上，解出，得到抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出点的坐标； （2）根据（1）得抛物线的解析式，求出点的坐标，根据勾股定理的逆定理即可； （3）当点在与对称轴的交点上，根据点，点是对称点，连接，则且，，三点在一条直线上，距离最短，设的解析式为：，求出的解析式，则得到点的坐标，即可； （4）以为底，则，当点到的距离最远时，的面积最大如图所示，作直线,当直线与抛物线仅有一个交点时，最大，交点即为点． 【详解】（1）∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； ∵顶点坐标公式为：， ∴点． ∴抛物线的解析式为：；． （2）∵抛物线与轴交于点， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点， ∴， ∴，， ∴点， ∴，，， ∵；；， ∴， ∴是直角三角形． （3）∵点，点是对称点，点在与对称轴的交点上， ∴ 此时，，三点在一条直线上，距离最短， ； 设的解析式为：， ∴， 解得：， ∴ 当时，， ∴点； ∴点的坐标为，的最小周长为：． （4）存在，理由如下： ∵以为底， ∴， 当点到的距离最远时，的面积最大，作直线，且与仅有一个交点， 设直线的解析式为， ∵， ∴，即， ∵直线与仅有一个交点， ∴仅有一个实数根， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 由，解得， ∴点． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，勾股定理的逆定理，线段的距离． 2．(1) (2)当时，的面积最大 (3)或 【分析】（1）将，代入抛物线，即可解得、的值，即求得抛物线的函数表达式； （2）先求出点的坐标为，设点的坐标是，过点作交于点，表示出的面积，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）连接，求得，再求出的解析式，设点，求得分两种情况讨论，即①当时，②当时，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线的解析式为， 令，即， 解得，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 设点的坐标是， 点是直线下方抛物线上的动点， ， 过点作于点，则， ， 的面积， 当时，的面积最大值为， 当时，； （3）解：， ， 如图，连接， 设的解析式为， 将、代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 令，即，解得， 点的坐标为， ，且， ， ， 设点， 点在线段上， ， 则， ， 分情况讨论： ①当时，有， ， 解得，满足， 则此时， 此时点的坐标为． ②当时，有， ， 解得，满足， 此时， 此时点的坐标为， 点的坐标为或． 【点睛】第三小问需要利用分类讨论的思想，优先证明，可将分类情况固定为两种，大大简化题目难度． 3．(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）先求出直线的解析式为．求得面积的最大值即可求得结论； （3）利用分类讨论的方法分两种情况，结合平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1） 解：二次函数的图像经过点，点， ， 解得：， 该二次函数的解析式为， ， 顶点； （2）解：对称轴为直线，点，轴， ， ，， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 过作轴交于点， 设，则， ， ， ， 当时 ，为最大值， 四边形面积的最大值为； （3）解：当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或， 理由：①当四边形为平行四边形时，． 连接，过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴，， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ． 过点作轴于点， 设，则， ∵， ， ． ， ∴． ∴； ②当四边形为平行四边形时，．连接， 过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， 设，则， ∵， ∴， ， ． ∴，． 综上，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或． 4．(1) (2)点 (3) 【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式，可得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，进而得到抛物线表达式． （2）先求出直线的解析式，设点P的横坐标为m，并表示出P、E的坐标，进而得到和的长度表达式；根据列方程求解，得到m的值后即可得到点P的坐标． （3）先根据与的面积相等，推出；再结合与的相似关系，表示出相关线段长度，求解出点P的坐标，最后计算出S的值． 【详解】解：（1）由题意，把点，分别代入， 得，解得． ∴抛物线的表达式为． （2）当时，， ∴点． 设直线的表达式为， 把点和分别代入，得，解得， ∴直线的表达式为． 设点， ∵轴于点D，交直线于点E， ∴， ∴点，． ∴． ∴． 由，得． 解得，（不合题意舍去）． ∴，即点． （3）如答图，过点A作轴交延长线于点G，过点F作轴于点H． ∴． 同（2）设，则，，． 又由，得． ∵和的面积相等， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 解得，． 经检验，，，是原方程的解，但不符合题意，舍去． ∴，． ∴． 5．(1) (2) (3)点G的坐标为或 【分析】（1）由抛物线对称轴，得即，结合、，列方程组，进行求解即可； （2）先求、，得直线，设，由列，解得，证为等腰直角三角形，进而即可求解； （3）设点为，分①点在轴上方，此时，作对称轴于，由，求出点，代入抛物线解析式，进而求出的值，②点在轴下方，通过等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴ ∴抛物线解析式为， 又∵其图象经过，， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接， 由题意得，点E的坐标为， 当时， ， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 则将点B和点D的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为， ∵直线上有一点P， ∴设点的坐标为， 则，，， ， ． ， 解得， 则， 点的坐标为， ， ∴是等腰直角三角形， ∴的面积为； （3）解：设点为， ①如图，点在轴下方时，此时，作对称轴于， ∴， 由旋转可得，，， ∵， ∴， 又∵，， ， ，， ， ， 将其代入中， 得 解得：（舍），， ，； ②如图，点在轴上方时，此时， 由旋转可得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， 综上所述，点G的坐标为或． 【点睛】本题核心是待定系数法、动点距离转化、旋转全等，第2问利用列方程求点，第3问通过旋转全等转化坐标，关键是几何性质与代数计算的结合． 6．(1)，顶点坐标 (2) (3) 【分析】（1）把抛物线上的点，代入抛物线的解析式，求出抛物线的解析式，再化为顶点式即可找到顶点坐标； （2）首先，根据抛物线的解析式令，解得，，得，再求得直线的解析式为，然后，过点D作y轴的平行线，交直线于点F，设，则，得到的长度，再根据，得到当时，的面积最大，最大面积是4，进而求得； （3）由（1）知，然后，设，则，由，得，再根据，，得，进而得当时，m有最小值是，当时，m有最大值是，即可取得m的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线的解析式为， 令，得， 解得，， ∴，， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 如图，过点D作y轴的平行线，交直线于点F， 设，则， ∴． ∴， ∴当时，的面积最大，最大面积是4． 当时，， ∴． （3）解：由（1）知，E是顶点坐标． ∴． 设，则， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴当时，m有最小值是． 当时，m有最大值是． ∴m的取值范围是． 【点睛】根据已知条件求得抛物线的解析式及顶点坐标，再运用已知条件及面积公式，得出D点坐标，能根据，得出，并代入数据得到是解题的关键． 7．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）求得的解析式和直线的解析式，再设点的横坐标为，根据题意列方程即可解答； （3）设的顶点为，过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点，求得的横坐标为，根据题意确定的位置，列不等式组即可解答． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：， 抛物线的顶点为， 抛物线关于x轴对称的抛物线为， 抛物线的顶点为，与轴交点为， ， 把代入可得， 解得， ， 令， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于点， 设，， ， ，， ， ， 解得（负数舍去）， ， ； （3）解：如图，设的顶点为，过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点， 令， 解得，， 在对称轴左侧， 点的横坐标为， 当时，， 要使函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关， 则点要在函数G的段，点要在函数G的段，如图， 即， 解得； 当时，， 同理，点要在函数G的段，点要在函数G的段，如图， 即， 解得； 综上，或． 8．(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）过P作轴，交于F，求出，从而可得直线解析式为，进而得出直线的解析式为，联立，可得， 设，则，，表示出，结合二次函数的性质可得当时，最大，由是定值，且，可得最大，即可得出结果； （3）设与交于点L，由勾股定理可得，结合二次函数图象平移的性质可得，先证明，从而可得，求出解析式为，解析式为，当时，联立，计算即可得出；设关于x轴对称点为，求出 直线解析式为，联立，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为； （2）解：如图，过P作轴，交于F， 在中，令，则． ∴． 设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是定值，， ∴最大， ∴当面积最大时，； （3）解：设与交于点L， ， ∵，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为， 即， ∵点为点P的对应点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 当时，联立， 解得或（舍去）， ∴； 设关于x轴对称点为，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴联立， 解得（舍去）或， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—角度问题，求一次函数的解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 9．(1) (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)见解析 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）如图所示，过点作轴于点，交于点，得出直线的解析式为，设，则，得出，当取得最大值时，面积取得最大值，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）设、，的中点坐标为，联立，消去，整理得：，得出，则，设点到的距离为，则，依题意，，，得出，则，，点总在上，为直径，且与相切，即可得证． 【详解】（1）解：将代入，得 ， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点，    由，令， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ ， 当时，的最大值为 ∵ ∴当取得最大值时，面积取得最大值 ∴面积的最大值为， 此时， ∴ （3）解：设、，的中点坐标为， 联立，消去，整理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为，则， ∵、， ∴， ∴ ∴， ∴    ∴， ∴点总在上，为直径，且与相切， ∴为直角． ∴无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程根与系数的关系，切线的性质与判定，直角所对的弦是直径，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．解：（1）证明：连接CM， ∵OA 为⊙M直径，∴∠OCA=90°．∴∠OCB=90°． ∵D为OB中点，∴DC=DO．∴∠DCO=∠DOC． ∵MO=MC，∴∠MCO=∠MOC． ∴． 又∵点C在⊙M上，∴DC是⊙M的切线． （2）∵A点坐标（5，0），AC=3 ∴在Rt△ACO中，． ∴，∴，解得 ． 又∵D为OB中点，∴．∴D点坐标为（0，)． 连接AD，设直线AD的解析式为y=kx+b，则有 解得． ∴直线AD为． ∵二次函数的图象过M（，0)、A(5，0)， ∴抛物线对称轴x=． ∵点M、A关于直线x=对称，设直线AD与直线x=交于点P， ∴PD+PM为最小． 又∵DM为定长，∴满足条件的点P为直线AD与直线x=的交点． 当x=时，． ∴P点的坐标为（，）． （3）存在． ∵， 又由（2）知D（0，)，P（，）， ∴由，得，解得yQ=±． ∵二次函数的图像过M(0，)、A(5，0）， ∴设二次函数解析式为， 又∵该图象过点D（0，)，∴，解得a=． ∴二次函数解析式为． 又∵Q点在抛物线上，且yQ=±． ∴当yQ=时，，解得x=或x=； 当yQ=时，，解得x=． ∴点Q的坐标为（，)，或（，)，或（，）． 【详解】试题分析：（1）连接CM，可以得出CM=OM，就有∠MOC=∠MCO，由OA为直径，就有∠ACO=90°，D为OB的中点，就有CD=OD，∠DOC=∠DCO，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出结论． （2）根据条件可以得出和，从而求出OB的值，根据D是OB的中点就可以求出D的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接AD交对称轴于P，先求出AD的解析式就可以求出P的坐标． （3）根据，求出Q的纵坐标，求出二次函数解析式即可求得横坐标． 11．(1) (2) (3) 【分析】（1）由与轴交于点，可求出点的坐标，将点的坐标代入中即可求解； （2）过点作轴于，根据二次函数解析式求出点坐标，设，根据平行线分线段成比例定理得出，，根据可得出，得出关于的方程，求出的值即可得答案； （3）连接，，过点作轴，过作轴，先证明，结合线段垂直平分线可得到，，由等角的余角相等判断出，得出，根据全等三角形的性质可推出：，，设，则，，，根据点在抛物线上，可得：，从而求出值，得到、的坐标，根据，求出点坐标，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：与轴交于点， 点， 将点代入， 得：， 解得：； （2）如图2，过点作轴于， 抛物线解析式为， 当时，， 解得：， ∴，， 设在第一象限， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴，即， 解得：， ∴， ∴ （3）连接，，过点作轴，过作轴， ∵交轴于点， ，， 抛物线解析式为， ，， ，， 轴， ， ，， 在和中，， ， ，， ， ， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， 设， ∴，，， 点在抛物线上， ， 或（舍）， ，， 设点， ， ， 解得：，即点， 由， 轴，且， ， ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理及三角形的面积，解题的关键是熟练掌握相关性质及判定定理，理解题意，正确作出辅助线． 12．（1）①，；②点的坐标是．（2）见解析 【分析】（1）①根据函数图象与x轴的交点，令y=0，求出，点E在抛物线上，求出纵坐标为，再根据平行四边形的性质，求出； ②连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为，设点坐标为，点坐标为，根据平行四边形的性质，与点在抛物线上，得到，再由则，列出方程求解； （2）方法一：先求出G、H两点的横坐标，再利用求解即可；方法二：先用待定系数法求出直线与直线l的表达式，根据直线l与抛物线有唯一的交点，求出点坐标为，点坐标为，再求出结果． 【详解】（1）解：①∵抛物线交轴于，两点（在的左边）， ∴令=0，解得：，， ∴， ∵点E在抛物线上，点的横坐标是， ∴， ∵四边形ACDE是平行四边形， ∴ ∴； ②设点坐标为，点坐标为． ∵四边形是平行四边形， ∴将沿平移可与重合，点坐标为． ∵点在抛物线上，∴． 解得，，所以． 连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为． 则， ∵，， ∴． ∴，解得，（不合题意，舍去）． ∴点的坐标是． （2）方法一：证明：依题意，得，，∴ 设直线解析式为，则，解得． ∴直线的解析式为． 同理，直线的解析式为． 设直线的解析式为． 联立，消去得． ∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴，． 联立，且，解得，， 同理，得． ∵，两点关于轴对称，∴． ∴． ∴的值为． 方法二：证明：同方法一得直线的解析式为． 设直线的解析式为，与抛物线唯一公共点为． 联立，消去得，∴． 解得．∴直线的解析式为． 联立，且，解得． ∴点坐标为．同理，点坐标为． ∵，∴． ∴的值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数、一次函数、三角形面积、方程组等知识点，解题的关键是学会利用参数，学会用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会把问题转化为方程解决，属于压轴题． 13．(1) (2)， (3)见解析 【分析】（1）根据顶点是原点，设函数解析式为，将代入求得a的值即可得到二次函数的表达式； （2）过点C作y轴平行线交直线于点M，由，设，则，设底边的高为，的底边的高为，，，，联立解析式求得或，由A，B为图象定点，且A在B点左侧得到，，则，，解得，； （3）联立得到，则①，联立得到，则②，令：，联立得到，③，整理得到，得到：，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵为顶点， ∴设函数解析式为， 将代入得， ∴， ∴函数解析式为； （2）过点C作y轴平行线交直线于点M，    ∴， 设， ∴， 设底边的高为，的底边的高为， ∴，，， ∴， 解得：， 解得或， ∵A，B为图象定点，且A在B点左侧， ∴，， 则， ， ∴， 解得，； （3）解：联立得到， ∴①， 联立得到， ②， 令：， 联立得到， ③， 由①可得代入③得， ， ∴④， ， ∴， ∴⑥， 由∵， ∴， ∴⑤ 将⑤代入⑥ ， ， 即， ∴：， ∴过定点． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了求二次函数解析式，以及两函数的交点问题，解决问题的关键是联立方程组求解． 14．（1）（1，0），（3，0），（0，）；（2）在直线AC下方的抛物线上不存在点P，使S△ACP＝4，见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据坐标轴上点的特点建立方程求解，即可得出结论； （2）在直线AC下方轴x上一点，使S△ACH＝4，求出点H坐标，再求出直线AC的解析式，进而得出点H坐标，最后用过点H平行于直线AC的直线与抛物线解析式联立求解，即可得出结论； （3）联立直线DE的解析式与抛物线解析式联立，得出，进而得出，，再由得出，进而求出，同理可得，再根据，即可得出结论． 【详解】（1）针对于抛物线， 令x＝0，则， ∴， 令y＝0，则， 解得，x＝1或x＝3， ∴， 综上所述：,,； （2）由（1）知，，， ∵BM＝FM， ∴， ∵， ∴直线AC的解析式为：， 联立抛物线解析式得：， 解得：或， ∴， 如图1，设H是直线AC下方轴x上一点，AH＝a且S△ACH＝4， ∴， 解得：， ∴， 过H作l∥AC， ∴直线l的解析式为， 联立抛物线解析式，解得， ∴， 即：在直线AC下方的抛物线上不存在点P，使； （3）如图2，过D，E分别作x轴的垂线，垂足分别为G，H， 设，，直线DE的解析式为， 联立直线DE的解析式与抛物线解析式联立，得， ∴，， ∵DG⊥x轴， ∴DG∥OM， ∴， ∴， 即， ∴，同理可得 ∴， ∴， 即， ∴， ∴直线DE的解析式为， ∴直线DE必经过一定点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数与一次函数的综合应用，交点的求法，待定系数法求函数解析式等方法式解决本题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $