题型8 二次函数综合题-【众相原创·减负中考】2026年中考数学广西解答题专项（广西专用）

7.解：(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁，说明如下： 作出示意图如解图， 由题意知，AB=AC=BC=7cm,折叠后CD=CE= ×10 1 5(cm). ~底面周长=2×10m=5m(cm), ∴.DE·T=5m,∴.DE=5cm, DECDCE 六ABCA-CB△CDE∽△CAB, ·.滤纸能紧贴此漏斗内壁， (2)由(1)知CD=DE=CE=5cm,∴.∠CDE=60°， 如图，过点C作CFLD于点P,则DF=DB= (cm), 在R△CDF中，CF=VCD-DF-55 2(cm), (停5 23=24m(cm3) ÷滤纸围成圆锥形的体积是25,5。 24 m cm3 8.解：由题意，得∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形 .∴.EF=AD=26米，AD∥EF, .∠ABE=∠DAB=37°.∠ACE=∠DAC=8.5 设BE=CF=x米，则CE=(26-x)米，BC=(26-2x)米. 在R△ABE中，LAEB=90,an∠ABE=Ag BE .AE=BE·tan∠ABE=x·tan37o 在R△ACE中，∠AEC=90,tanLACF=1 CE ∴.AE=CE·tan∠ACE=(26-x)·tan8.5°， 六名·an379=(26-)·am8.5°，解得 3 六BC≈26-2x13 17（米） 3 答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米 9.解：(1)B(8,0),C(8,6),D(0,6) (2)抛物线L,和L,的顶点坐标分别为(4,14)，(4，-4). 【解法提示】小：装置整体图案为轴对称图形，如解图，作出 对称轴，分别交抛物线L,于点M,交抛物线L于点Q,交 矩形ABCD于点N,P.结合矩形和抛物线的对称性，可得直 G线M0是抛物线h,和L的对称轴，AP=B即=子B=4, ●∠DNP=∠APN=90°，.四边形DAPN是矩形，.NP=AD= 6..抛物线L,的高度为8cm,抛物线L,的高度为4cm,直 线MQ是抛物线L,和L,的对称轴， .MP=MW+NP=8+6=14(cm), QP=4cm,.抛物线L1和L2的顶 点坐标分别为M(4,14),Q(4,- 4). 分别设抛物线L,和L,的函数表 (0) 达式为y=a1(x-4)2+14,y=a2(x- 4)2-4, 将D(0,6)代入y=a,(x-4)2+14,解得a1=-2, 1 1 则抛物线乙，的函数表达式为)=2(x-4)+14= 2t+4+ 6.将A(0,0)代入y=a,(x-4)2-4,解得a=4 1 1 则抛物线L的函数表达式为)4(x-4)°-4= 4t2 (3)·装置整体图案为轴对称图形， .EF⊥MQ.HG⊥MQ .·MQ⊥x轴，∴.EFHG∥x轴. :四边形EFGH是矩形，.HE⊥EF, .HE⊥x轴，.xs=x 1 是x6=x=n,m三2+4n+6,yg=4n-2m 3 ÷BH=my:=4n+6+6=15,解得n=2或6 ∴.xe=2,xp=6,由抛物线对称性可得EF=xp-xg=4. 题型八二次函数综合题 (1)证明：，·△ABC是等边三角形， .AB=BC=CA,∠A=∠B=∠C=60° AD=BE=CF,..BD=CE=AF .△ADF≌△BED(SAS). (2)解：如解图，过点F作FG⊥AB于点G. G D .·∠A=60°，AB=BC=CA=4,CF=AD=x, ·AB2=45,AF=4-x, 4 ∴.FG=AF·sinA= 2 -(4-x), S△n=)AD·FGE-Ax2+3 由(1)知，△ADF≌△BED 同理易得△ADF兰△BED兰△CFE. .S△Er=SABc-3 SAAFD= 5-3v54a +830+33 y关于：的函数解折式为)3，-3石46 7x-2=0,解得x 7±√33 +33 4 (3)解：点D在边AB上运动，.0≤x≤4 ·平移后的函数图象与x轴的交点坐标分别为(-√3觅 4 由(2)得y=32-33x+43 0)和(7433 ∴.抛物线的对称轴为直线x= 2 4,0). 3.解：(1)由图可知，初始位置时S=0, :36 .从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大而增 >0，.抛物线开口向上、 4 大 当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，即△DEF的面积随 (2)由图3，此时点P落在BC上，则x=3. AD的增大而减小；当2<x≤4时，y随x的增大而增大，即 △DEF的面积随AD的增大而增大. 由(0)知当=3时，5=2号2x1=2x3-1=5, 2解：1)号 ∴.图3情形时，x=3,S=5. (3)当3<x≤4时，如解图，设口MNPQ向右移动xm后得 (2)在△ABC中，D,E分别是AC,AB的中点， 到☐MN'P'Q',设M'Q'交AD于点J,P'N'交BC于点K,P DE是△ABC的中位线.DE/BC,DE=BC. Q'交BC于点H,则P'H=x-3,AM'=4-x, 此时遮阳区的面积为六边形AW'KHQ'J的面积。 .△ADE△ACB,S△HDE:S△AB= D5=1 1 3 六Sa0e=4SaiC.S形0cE=4Sa4a, NMA N'B 4 .Sa4Cs=3S国助形Dc, 由平移可知Q'MW'∥QM∥PN∥P'N',P'Q'∥l,SGMNPQ= .当四边形BCDE的面积最大时，△ABC的面积最大. SOMNPO=6, ∴.∠PNA=∠JM'A=∠KN'B=∠P' 如解图，过点B作BM⊥CE于点M,过点D作DW⊥CE于 点N,则BM≤BG,DN≤DG. ∠P'HIK=∠CBA=90°， AW=ian∠JW'A=tan∠PNM=2, JA KH P'H =tanP'=tan∠PWA=2, .JA=2AM'=2(4-x),KH=2P'H=2(x-3). 1 S边形Ce=SaE+S△=CE·BM+ CE·DN≤ 2 S=M-S=6-1 A·JA- CE(GDG)CF-BD. P'H:=6-2(4)×2(4-)-2×(x-3)×2(x-3) 1 1 1 =-2x2+14x-19, 四边形BCDE的最大面积S=)CE·BD 从图3情形起右移至M与A重合，该过程中S关于x的 BD+CE= ,BD=…CE=3 2x, 解析式为S=-2x2+14x-19(3<x≤4). S=4x13 2 3×2(2)= 3( (④当造阳区面积最大时，OMNP0向右移动了子m 4.解：(1)①当a=-4时，y=x2+2ax+a-3=x2-8x-7. 当：=子时8绿大为受 4 ②1>0当x=-2(-4)=4时，y取得最小值，最小值 2 为16-32-7=-23. 平移后的数解析式为：(：-1)+令1 (2)合理. 二次项系数为1>0， ·.抛物线开口向上，函数有最小值 解得a1=3-√5，a=3+√3（舍去）. 当=口时，y取得最小值。 综上所述，a的值为5或3-√5. 故甲同学的说法合理 6.(1)解：在二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3中，1>0， ·二次函数的图象开口向上 (3)正确. 二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点， 当x=-a时，y=x2+2ax+a-3=-a2+a-3. ∴.二次函数的最小值小于2a2. 1 -1<0,当a=2x-刀2时，y取得最大值，最大值 :二次函数的最小值为4(30-2a+3)-4(a+1) -=2a2-4at 4 为 4 5.解：(1)-4≤y≤5【解法提示】根据小伟的作法：y=(x+ 即2a2-4a+2<2a2,解得a>2 1 1)2-4,.二次函数y=x2+2x-3的图象的对称轴为直线 (2)解：二次函数的图象与x轴有交点， x=-1.-2≤-1≤2，且12-(-1)1>1-2-(-1)1，.当x= .4=4(a+1)2-4×1×(3a2-2a+3)=-8(a-1)2≥0， -1时，y有最小值-4，当x=2时，y有最大值5，∴.-4≤y≤5. .8(a-1)2≤0 (2)y=x2+2x-3=(x+1)2-4,.对称轴是直线x=-1. ①当a-1≥-1，即a≥0时，x=a+1,y有最大值，y大做=(a+ 又：(a-1)2≥0，.8(a-1)2=0,解得a=1. 1+1)2-4=a2+4a. (3)证明：当=0时y=3a2-2a+3=3(a}产+>0， ②当a+1≤-1，即a≤-2时，x=a-1,y有最大值，y大做=(a .该二次函数的图象不经过原点. -1+1)2-4=a2-4. 7.解：(1)当y=0时，即-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3. ③当a-1<-1<a+1,即-2<a<0时， 点A在点B的左侧，∴.A(-1,0),B(3,0) i.若-1-(a-1)≤a+1-(-1),即a≥-1. (2)联立 y=-x-1, 当-1≤a<0,x=a+1时，y有最大值， 解得-1，华=4， y=-x2+2x+3. y1=0,y2=-5, y级大ǜ=(a+1+1)2-4=a2+4a. C(4,-5). iⅱ.若-1-(a-1)≥a+1-(-1),即a≤-1， 抛物线y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4的对称轴为直线x= .当-2<a≤-1，x=a-1时，y有最大值， 1,P(1,m) y最大值=(a-1+1)2-4=a2-4. PA=PC, 综上所述，y大雀= (a2+4a,(a≥-1)， .√1+1)+(m-0)=√(1-4)+(m+5),.m=-3. a2-4,(a≤-1). (3)y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,对称轴是直线x=3. (3加的取值范周为aE-1或a子或a>号 ①当a≥3时，x=a,y1=-a2+6a-5. 【解法提示】A(-1,0),B(3,0),由平移性质可知M(0, x=a+3,y2=-a2+4. 5),N(4,5).根据题意，当抛物线y=a(-x2+2x+3)(a≠0) y13=3,.-a2+6a-5-(-a2+4)=3,解得a=2(舍去). 与线段MN只有一个交点时，可分两种情况进行讨论：①当 ②当a+3≤3，即a≤0时，x=a+3,y1=-a2+4. a>0时，y=a(-x2+2x+3)=-a(x-1)2+4a,开口向下.如解 x=a,y3=-a+6a-5. 图1，当顶点(1,4a)在线段MN上时，有且只有一个交点， y3=3,.-a2+4-(-a2+6a-5)=3,解得a=1(舍去). 4u=5,解得a子如解图2，当抛物线y=a(-+2+3)刚 ③若a<3<a+3,即0<a<3时， 3.3 i.若3-a≤a+3-3,即a≥22≤a<3. 好过点M0,5)时，a(-0+2x0+3)=5,解得a=了：抛物 x=3,y1=4,x=a+3,y2=-a2+4. 线y=a(-x2+2x+3)恒过A,B两点，.当a> 时，物线， y1-y2=3,4-(-a2+4)=3, =a(-x2+2x+3)与线段MN只有一个交点.②当a<0时，y 解得a,=√3，a2=-3(舍去). =a(-x+2x+3)=-a(x-1)2+4a,开口向上.如解图3，当抛物 i.若3-a>a3-3,即a<0a<号 线y=a(-x2+2x+3)刚好过点N(4,5)时，a(-42+2×4+3)= 5,解得a=-1.抛物线y=a(-x2+2x+3)恒过A,B两点， x=3,y1=4;x=a,32=-a2+6a-5. ∴.当a≤-1时，抛物线y=a(-x2+2x+3)与线段MW只有一 y1-y3=3,.4-(-a2+6a-5)=3, 个交点.综上所述，若抛物线y=a(-x2+2x+3)(a≠0)与线 段只有一个交点a的取值范用为a怎-1或a或。 :直线BC的解析式为y=-x+3, 设直线CE的解析式为y=x+c 5 把点C(0,3)代人得c=3, 3 .直线CE的解析式为y=x+3. --- 联立x+3, 3解得 或/0 E(1,4) y=-x2+2x+3,y=4y=3. ②当四边形BCFE是矩形时，则BE⊥BC 设直线BE的解析式为y=x+n 将点B(3,0)代入得3+n=0,解得n=-3, 解图1 解图2 解图3 .直线BE的解析式为y=x-3. 8.解：(1)将B(1,0),C(2,5)代入y=ax2+bx-3(a≠0)得 =x-3, 联立 解得-2或=3， (a+b-3=0, 4a+2b-3=5 解得01， y=-x2+2x+3, (y=-5(y=0. （b=2 E(-2,-5) ∴.抛物线的解析式为y=x2+2x-3. 综上所述，存在以C,B,E,F为顶点且以CB为边的矩形， (2)①令y=0,则x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1, 此时点E的坐标为(1,4)或(-2.-5). .点A的坐标为(-3,0)， 题型九几何综合题 ②-3<x<1. 1.解：(1)③ (3)存在符合条件的点P,点P的坐标为(0,7)或(0，-3) (2)∠BAC=90°，AB=3,AC=4,.BC=√AB2+AC=5. 【解法提示】设点P的坐标为(0，m).:A(-3,0),C(2, .:四边形ABCD是邻等内接四边形，∠BAC=90°， 5),∴.AC=(2+3)2+(5-0)2=50,AP=(0+3)2+(m-0)2=9+ .A,B,C,D四点共圆，且BC为直径 m2,Cp2=(0-2)2+(m-5)2=m2-10m+29.△ACP是以 如解图，把BC的中点记为点O,即A,B,C,D四点在⊙0 AC为直角边的直角三角形，.分以下两种情况讨论：当AP 上，连接BD,AO相交于点H. 为斜边时，则Ap2=AC2+CP,.9+m2=50+m2-10m+29,解得 m=7,.点P的坐标为(0,7)；当CP为斜边时，则CP2=AC2+ BC=5B0=A0=5 AP2,.m2-10m+29=50+9+m2,解得m=-3,.点P的坐标 设0A=x,则AH=5 飞， 为(0，-3).综上所述，存在符合条件的点P,点P的坐标为 (0,7)或(0，-3) AB=AD,∴.AO⊥BD,BH=DH. 9.解：(1)将x=0代人y=-x+3中，得y=3,C(0,3) 在Rt△ABH中，BP=AB-AR. 在Rt△BOH中，B=BO-OH2 将y=0代入y=-x+3中，得x=3,B(3,0). 把A(-1,0),B(3,0)代人y=ax2+bx+3中，得 0-0mr=hB-Af,即（子--3-(3月 a-63=0解得a=l (9a+3b+3=0.（b=2. 解得 10 ∴.抛物线的解析式为y=-x2+2x+3, (2)B(3,0),C(0,3),∴.0B=0C=3. 号则√(号m .OH=7 5 .DQ∥C0,∴.∠OCB=∠OBC=∠BPQ=∠DPC=45° BC是直径，∠BDC=90. .·∠DCP=∠DPC,·.∠DCO=90°」 BH=DH,B0=OC,∴.OH是△BDC的中位线， ∴.CD//AB .点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，即为3. DC=20M=7 251 当y=3时，由-x2+2x+3=3,解得x=2或x=0, S△mA= .点D的横坐标为2 25 P点在DQ上，且DQ%轴， 84.108192 S0形D=S%G+5amF252525 .点P与点D的横坐标相等，∴m=2 2.(1)证明：如解图，连接AC (3)存在.理由如下： .AB=AD,∠ABC=∠ADC,BC=DC ①当四边形BCEF是矩形时，则CE⊥BC. .∴.△ABC≌△ADC(SAS),题型八二次函数综合题 (3年3考，必考) 类型1建立二次函数模型解决几何问题(2025.22,2023.24) 1.(2023广西24题)如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D,E,F分别在边AB,BC,CA 上运动，满足AD=BE=CF (1)求证：△ADF≌△BED: (2)设AD的长为x,△DEF的面积为y,求y关于x的函数解析式； (3)结合(2)所得的函数，描述△DEF的面积随AD的增大如何变化. 28 2.如图，在△ABC中，D,E分别是AC,AB的中点，连接DE,CE,BD,BD和CE交于点G. (I)若BD1CE,BD=1,CE=子则四边形BCDE的面积为 3 (2)若BD+CE=了△MBC的最大面积为8设BD=x,求S与x之间的函数关系式，并求S 的最大值； (3)若(2)问中x取任意实数，将函数S的图象依次向右、向上平移1个单位长度，求平移 后的函数图象与x轴的交点坐标. 29 3.(2025广西22题)综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动.九(5)班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮 阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影口MWPQ的平面图如图2所示，P在AD上，MN= 3m,AN=1m,AP=2m,AB=3m,BC=2.5m,由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平 移遮阳伞.在移动过程中，口MNPQ也随之移动(MN始终在AB边所在直线1上)，且形 状、大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状.如图3为 口MNPQ移动到P落在BC上的情形 D 遮阳伞 义卖区 遮阳区 投影 M NA B M A 图1 图2 图3 【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时口MWPQ的位置. 设遮阳区的面积为Sm,口MWPQ从初始时向右移动的距离为xm. 【直观感知】(1)从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大如何变化？ 【初步探究】(2)求图3情形的x与S的值； 【深入研究】(3)从图3情形起右移至M与A重合，求该过程中S关于x的解析式； 【问题解决】(4)当遮阳区面积最大时，口MWPQ向右移动了多少？（直接写出结果） 30 类型2二次函数性质探究题(2024.25) 4.（2024广西25题)课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x2+2ax+a-3 的最值问题展开探究 【经典回顾】二次函数求最值的方法 (1)老师给出a=-4,求二次函数y=x2+2ax+a-3的最小值 ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多α的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值 记录结果，并整理成下表： … -4 -2 0 2 4 米 2 0 -2 -4 y的最小值 -9 -3 -5 -15 注：*为②的计算结果 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x=-a,就能得到y的最小值.” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大 后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值.” (2)请结合函数解析式y=x2+2ax+a-3,解释甲同学的说法是否合理？ (3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值：若不正确，说明理由. 31 5.(2025广西模拟)(1)【问题初探】综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已 知二次函数y=x2+2x-3,当-2≤x≤2时，y的取值范围为 ①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成y=(x-h)2+k的形式，确定抛物线的对称 轴为直线x=h,通过比较-2，h和2的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y 的取值范围； ②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围. 请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是 (2)【类比分析】张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让 同学们更好地感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知 二次函数y=x2+2x-3,当a-1≤x≤a+1时，求y的最大值，并写出a的取值范围； (3)【学以致用】已知二次函数y=-x2+6x-5,当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为y1, 最小值为y2,若y,-y2=3,求a的值. 0 32 类型3交点问题(2022南宁25题) 6.（2025连云港)已知二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3,a为常数. (1)若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，求a的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； (3)求证：该二次函数的图象不经过原点 33 7.（2022北部湾)已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）. (1)求点A,点B的坐标； (2)如图，过点A的直线1：y=-x-1与抛物线的另一个交点为C,点P为抛物线对称轴上 的一点，连接PA,PC,设点P的纵坐标为m,当PA=PC时，求m的值； (3)将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN,若抛 物线y=a(-x2+2x+3)(a≠0)与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围 34 类型4二次函数与几何图形结合题(2022柳州26题，2022桂林25题) 8.（2025青海)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A,B两 点，点B的坐标为(1,0)，点C(2,5)在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当y<0时，根据图象直接写出x的取值范围 (3)连接AC交y轴于点D,在y轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由 A 35 9.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3交坐标轴于B,C两点，抛物线y=ax2+bx+3经 过B,C两点，且交x轴于另一点A(-1,0).D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作 DQ∥C0,DQ交BC于点P,交x轴于点Q. (1)求抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m,在点D的移动过程中，存在∠DCP=∠DPC,求出此时m的值； (3)在抛物线上取点E,在平面直角坐标系内取点F,问是否存在以C,B,E,F为顶点且以 CB为边的矩形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由， 36