2026年中考数学解答题专题训练：线段周长问题（二次函数综合）

2026年中考数学解答题专题训练：线段周长问题（二次函数综合） 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点 (1)求A，B，C三点坐标． (2)求证：∠ACB=90° (3)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．求DE+BF的最大值． 2．抛物线中，b，c是非零常数，无论a为何值（0除外），其顶点M一定在直线y=kx+1上，这条直线和x轴，y轴分别交于点E，A，且OA=OE. （1）求k的值； （2）求证：这条抛物线经过点A； （3）经过点A的另一条直线y=mx+n和这条抛物线只有一个公共点，经过点M作x轴的平行线和直线y=mx+n交于点B，经过点B作x轴的垂线和这条抛物线交于点C，和直线y=kx+1交于点D，探索CD和BC的数量关系. 3．已知，如图，二次函数y=ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：对称． （1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上； （2）求二次函数解析式； （3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点． (1)直接写出的值和，两点的坐标； (2)如图（1），点是抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图（2），点，是抛物线对称轴上两点，直线，分别交抛物线于点，，设点，的纵坐标分别为，，，求点到直线的距离的最大值． 5．已知抛物线与x轴交于点A，点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上一点，过点A作交y轴于点D，在直线上有一动点M，当四边形面积的最大时，求P点坐标及的最小值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点E为点A经过平移后的对应点；在抛物线上是否存在点M，满足，若存在，直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作于点M，过点P作x轴的平行线交抛物线于点N，E，F为y轴上的动点，E在F的下方，满足，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）成立的情况下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，点K为平移后抛物线上的一动点，Q点坐标为，连接，当时，请直接写出K点的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程． 7．已知抛物线的顶点．      (1)该抛物线的解析式为______； (2)如图1，直线交轴于，交抛物线于、，轴于轴于，试比较与的大小关系． (3)如图2，，，点是抛物线上一点，轴于， ①求证：； ②是否存在点，使得取得最小值，若存在，直接写出的坐标和最小值，若不存在，说明理由． 8．如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论； ⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标，交y轴负半轴于点C，C点坐标． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，若抛物线上有一点D，，求点D的坐标； (3)如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线与抛物线交于另外一点Q．连接、，分别交y轴于M、N两点．若，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点．    (1)当时，求三点坐标； (2)过点作交抛物线于另一点，交轴于点，若，求的值； (3)如下图，直线分别交抛物线于两点，直线交轴于点，，点的纵坐标分别为，求证：．    11．如图1，直线与x轴，y轴分别交于点C，A，二次函数经过点A，C． (1)求二次函数解析式； (2)如图2，点P为抛物线上一点，过点P作轴交直线于点Q，若，求点P的横坐标； (3)如图1，连接，在x轴上找一点M，使得，直接写出点M的坐标； (4)二次函数与组成新函数G：，点，，，当函数G的图象与矩形四条边有且只有一个交点时，请直接写出此时m的取值范围． 12．如图1，抛物线M1：y＝﹣x2+4x交x正半轴于点A，将抛物线M1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M2，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C． （1）求抛物线M2的解析式； （2）点P是抛物线M1上AB间的一点，作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ．设点P的横坐标为m，当m为何值时，使△CPQ的面积最大，并求出最大值； （3）如图2，将直线OB向下平移，交抛物线M1于点E，F，交抛物线M2于点G，H，则的值是否为定值，证明你的结论． 13．将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线．        （1）直接写出抛物线，的解析式； （2）如图（1），点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； （3）如图（2），直线（，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)A（-2，0），B（8，0），C（0，4）； (2)见解析 (3)DE+BF的最大值是9． 【分析】（1）由抛物线y=-x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点，即可求出A，B，C坐标； （2）求得△ABC三边长，用勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形即可； （3）由B（8，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y=-x+4，设第一象限D（m，−m2+m+4），则E（m，-m+4），可得DE+BF=（-m2+2m）+（8-m）=-（m-2）2+9，即可得DE+BF的最大值是9． 【详解】（1）解： y=-x2+x+4中， 令x=0得y=4， 令y=0得x1=-2，x2=8， ∴A（-2，0），B（8，0），C（0，4）； （2）证明：∵A（-2，0），B（8，0），C（0，4）， ∴OA=2，OB=8，OC=4，AB=10， ∴AC2=OA2+OC2=20，BC2=OB2+OC2=80， ∴AC2+BC2=100， 而AB2=102=100， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°； （3）①设直线BC解析式为y=kx+b，将B（8，0），C（0，4）代入可得： ， 解得， ∴直线BC解析式为y=-x+4， 设第一象限D（m，−m2+m+4），则E（m，-m+4）， ∴DE=（−m2+m+4）-（-m+4）=-m2+2m，BF=8-m， ∴DE+BF=（-m2+2m）+（8-m） =-m2+m+8 =-（m-2）2+9， ∴当m=2时，DE+BF的最大值是9． 【点睛】本题考查二次函数综合知识，涉及抛物线与坐标轴交点、线段和的最大值等，要学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 2． 【详解】试题分析：（1）根据直线解析式可得点A的坐标为（0，1），则可得点E的坐标为（-1，0），代入直线解析式，可求出k的值． （2）将顶点M的坐标代入直线解析式，再由无论a为何值（0除外），其顶点M一定在直线y=kx+1上，可得出b、c的值，继而可判断这条抛物线经过点A． （3）根据抛物线与直线只有一个交点，求出m的值，继而得出B、C、D的坐标，求出BC、CD的长度，即可得出CD和BC的数量关系． 试题解析：(1)k＝1 (2)将顶点M坐标代入y＝x＋1化简得： ∵无论a为和何值，等式都成立，所以4c－4＝0， ∴c＝1，b＝2 （也可以取两个特殊值得到点M的坐标，代入直线表达式求出b，c的值） ∴抛物线经过点A (3)由题意：方程的△＝0， ∴，m＝2 ∴点B，C，D的坐标分别是B(，)，C(， )，D(， ) 用a表示出BC，CD的长度，得到BC＝CD＝|| 考点：一次函数的解析式，二次函数的图像与性质，综合应用题 3．解：（1）依题意，得ax2+2ax﹣3a=0（a≠0）， 解得x1=﹣3，x2=1， ∵B点在A点右侧， ∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0）， 答：A、B两点坐标分别是（﹣3，0），（1，0）． 证明：∵直线l：， 当x=﹣3时，， ∴点A在直线l上． （2）解：∵点H、B关于过A点的直线l：对称， ∴AH=AB=4， 过顶点H作HC⊥AB交AB于C点， 则，， ∴顶点， 代入二次函数解析式，解得， ∴二次函数解析式为， 答：二次函数解析式为． （3）解：直线AH的解析式为， 直线BK的解析式为， 由， 解得， 即， 则BK=4， ∵点H、B关于直线AK对称， ∴HN+MN的最小值是MB，， 过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E， 则QM=MK，，AE⊥QK， ∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值， ∵BK∥AH， ∴∠BKQ=∠HEQ=90°， 由勾股定理得QB=8， ∴HN+NM+MK的最小值为8， 答HN+NM+MK和的最小值是8． 【详解】（1）求出方程ax2+2ax﹣3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上； （2）根据点H、B关于过A点的直线l：对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式； （3）解方程组，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案． 4．(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）将代入求出，得到抛物线，然后令求出，； （2）根据题意分两种情况讨论：点E在x轴上方和点E在x轴下方，然后分别求出所在直线表达式，然后和抛物线联立求解即可； （3）首先得到，，可得所在直线的表达式为，所在直线的表达式为，然后分别于抛物线联立求出，，然后结合表示出所在直线表达式，设，得到，然后求出所在直线过定点，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得 ∴抛物线 ∴当时， 解得或 ∴，； （2）解：如图，当点E在x轴上方时，设与y轴交于点F， ∵抛物线 ∴当时， ∴，即 ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 与抛物线联立得， 解得或 ∴将代入得， ∴； 如图，当点E在x轴下方时，设与y轴交于点F， 同理可得，所在直线表达式为 与抛物线联立得， 解得或 ∴将代入得， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：∵ ∴抛物线对称轴为直线 ∵设点，的纵坐标分别为，， ∴， ∵ ∴可得所在直线的表达式为，所在直线的表达式为， ∴联立和得， 整理得， ∴，即 ∴ 将代入得， ∴ 同理可得， ∴可得所在直线表达式为 ∵ ∴所在直线表达式为 设 ∴ ∴当时，即时， ∴所在直线过定点 ∵是定点 ∴当时，点到直线的距离取得最大值 ∵ ∴点到直线的距离的最大值为． 5．(1) (2)； (3)，；过程见解析 【分析】（1）先求出点C坐标，再得出点B坐标，结合对称轴，利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式为，由，得出，可得．则当面积取最大值时，四边形的面积也有最大值．过点P作轴交于点Q，设，则，得出．利用二次函数性质求出最大时．过点M作轴，交x轴于点N．得出，则，当P，M，N共线时，取最小值，即可求解； （3）先利用平移求出新抛物线解析式为，再求出，证明．得出，当点M在下方时，设交x轴于点G，得出，求出直线的表达式为：，与联立求解即可；当点M在上方时，在上取一点K，使得，求出，可得直线的表达式为，证明，可得直线的表达式为：，与联立求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ． ． ， ， ． 由抛物线过点，抛物线的对称轴是直线， 得，解得， 所以抛物线的表达式为； （2）解：由，抛物线的对称轴是直线， ∴点的横坐标为， ∴， 设直线的表达式为：， 则，解得， 直线的表达式为， ， ∴与同底等高， ． ． 当面积取最大值时，四边形的面积也有最大值． 过点P作轴交于点Q， 设，则， ， ． ， 当时，有最大值，此时， ∴此时． 过点M作轴，交x轴于点N． ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当P，M，N共线时，取最小值， 此时轴． 此时的最小值为； （3）解：当M点的坐标为，，满足，理由如下： ，， ， ∴将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，即水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度， ∴新抛物线解析式为， ，由平移可得． ， 又，， ． ， 当点M在下方时，设交x轴于点G， ． ，即， ∴， ∴，则， 如图，可设直线的表达式为：， 代入，，则，解得， 直线的表达式为：， 由题意可得：点为直线与的交点， 令得：． 解得：，（舍去）， ， ； 当点M在上方时，在上取一点K，使得，如图， 设， 由，得， 解得：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，，则，解得， 直线的表达式为：， 由题意可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为：， 将代入，得，即直线的表达式为：， 令得：． 解得：，（舍去）， ， ； 综上，当M点的坐标为，． 6．(1) (2) (3)点K的坐标为或 【分析】（1）把A，B坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解； （2）先求出，进而求出直线的解析式为，设，，如图1，设直线交直线于点D，根据，可知点P与点D的纵坐标相等，则，计算的长，计算，连接，作关于y轴的对称点，连接，当，E，B三点共线时，有最小值，其最小值是的长，即可解答； （3）先求平移后抛物线解析式，再求抛物线与轴的交点坐标，可得的长，求出，当点K在x轴的上方，设，则，得，解方程求出的值，即可得点K的坐标；同理可求当点K在x轴的下方时点K的坐标． 【详解】（1）解：将，代入中得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线的对称轴是：直线， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，如图1，设直线交直线于点D，， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，，点P与点D的纵坐标相等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，有最大值，此时点P的坐标为， 把点P的坐标为向下平移个单位得， 连接，作关于y轴的对称点，连接， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当，E，B三点共线时，有最小值，其最小值是， ∵，， ∴， ∴的最小值是； （3）解：， ∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，就是向右平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：， 令，则， 解得：或 设点为函数与轴正半轴的交点， ∴， 分两种情况： ①点K在x轴的上方，如图，过点P作轴，过点K作轴于点F， 由（2）知：， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得或（此时与点重合，不合题意，舍去） ∴, ∴ ②点K在x轴的下方时，同理可得，， ∴， 综上，点K的坐标为或． 7．(1) (2) (3)①见解析；②存在，． 【分析】（1）将点代入中，得，再根据二次函数的图象与性质即可得； （2）设的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，联立得，再根据根与系数的关系，，再令的纵坐标为，得，最后根据进行解答即可得； （3）①过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，设点的横坐标为，则纵坐标为，勾股定理求得，进而可得，即可求解； ②过点作轴，垂足为交抛物线于，连接，过点作垂足为，得则四边形是矩形，根据二次函数的性质和矩形的性质得则点即为所求点将点的横坐标代入中即可得． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 由图象可知，抛物线的对称轴为轴， 所以， 解得， 抛物线的解析式为：， 故答案为：； （2）设的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， 轴，轴， 、横坐标相同且均为，横坐标相同且均为， 联立，得， ∴，① ，② 令的纵坐标为0， 则， 解得， 即，③ ，， ④ 将① ② ③代入④得：， ∵， ∴ （3）①如图所示，过点作轴，垂足为，    过点作轴，垂足为， 设点的横坐标为，则纵坐标为，则点，， 在中，根据勾股定理， ， ， ， ②存在，． 过点作轴，垂足为交抛物线于，连接， 过点作轴，垂足为，连接， 设的横坐标为，则纵坐标为，则点， 在中，根据勾股定理， ， ， ， 过点作垂足为， ， 四边形是矩形， ， ， 点即为所求点 点的横坐标为2， 将代入得 当点时存在取得最小值点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数，一元二次方程，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 8．（1）抛物线的解析式为y=x2-x-2 顶点D的坐标为 (, -). （2）△ABC是直角三角形，理由见解析； （3）. 【分析】（1）把点A坐标代入抛物线即可得解析式，从而求得顶点坐标； （2）分别计算出三条边的长度，符合勾股定理可知其是直角三角形； （3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小． 【详解】解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2 +bx-2上 ∴× (-1 )2 +b× (-1) –2 = 0 解得b = ∴抛物线的解析式为y=x2-x-2. y=x2-x-2 =(x2 -3x- 4 ) =(x-)2-, ∴顶点D的坐标为 (, -). （2）当x = 0时y = -2, ∴C（0，-2），OC = 2． 当y = 0时，x2-x-2 = 0， ∴x1 = -1, x2 = 4 ∴B (4,0) ∴OA =1, OB = 4, AB = 5. ∵AB2 = 25, AC2 =OA2 +OC2 = 5, BC2 =OC2 +OB2 = 20, ∴AC2 +BC2 =AB2. ∴△ABC是直角三角形. （3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC +MD的值最小． 解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E. ∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DEM. ∴ ∴，∴m=． 解法二：设直线C′D的解析式为y =kx +n , 则，解得n = 2，. ∴. ∴当y = 0时，， ∴. 9．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）过作交于点，作轴于点，证明，可得，用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线联立解即可得出的坐标； （3）设，联立直线与抛物线解析式得出，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，可得，得出，进而根据，结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 代入可得，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，， 解得：或， ， 如图 1，过作交于点，作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），或， ∴． （3）解：设， 依题意，， 消去得，， ， 如图所示，过点P， Q分别作x轴的垂线，垂足分别为G， F， ， ， ， 即， ， 又， ， 即， ， ． 整理得：． 10．(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）根据题意，令，得到，当时，得到；当时，得到，解得或，从而得到； （2）作轴于，如图所示，根据平行线分线段成比例定理得到，令，求出，再由求出，代入抛物线解析式求解即可得到答案； （3）根据直线与抛物线相交，联立方程组，结合消元法转化为相应的一元二次方程，再由一元二次方程根与系数的关系得到，，，结合即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，， 当时，得到，即； 当时，得到，即，解得或， 点在点左侧， ， ； （2）解：作轴于，如图所示：    ∵， ∴， 令，即，解得， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，， ∴代入抛物线中，解得（舍），， ∴； （3）证明：如图所示：    由（2）知， ∴， 设，经过， ， ∵， 可设，与抛物线联立，消元得， 根据一元二次方程根与系数关系可得， 由，直线交轴于点，点的纵坐标分别为，可设，则；设，则， ∴， 联立与抛物线得，消元得， 根据一元二次方程根与系数关系可得， ∴ 联立与抛物线得，消元得， 根据一元二次方程根与系数关系可得， ， 由可知，即， ∴． 【点睛】本题考查抛物线综合，涉及求抛物线与坐标轴交点坐标，抛物线与线段综合，抛物线与直线相交综合等，熟练掌握二次函数图像与性质，掌握相关题型解法是解决问题的关键． 11．(1) (2)2或或 (3)， (4)， 【分析】（1）求出A、C点坐标，将A、C代入中，即可求函数的解析式； （2）设，则，根据题意可得，求出t的值即可； （3）过点M作交于N，由，，可得，则，设，则，，求出，即可求出，即可得点M的坐标； （4）当时，，解得，，解得，当时，G与矩形四条边有两个交点，当时，G与矩形四条边有两个交点，再结合图象可得或时，函数G的图象与矩形四条边有且只有一个交点． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， 将A、C代入中， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵过点P作轴交直线于点Q， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或或， ∴点P的横坐标为2或或； （3）解：过点M作交于N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， 当在左边时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在右边时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或； （4）解：当时，， 解得， ， 解得， 当时，，，G与矩形四条边有两个交点， 当时，，，G与矩形四条边有两个交点， ∴或时，函数G的图象与矩形四条边有且只有一个交点． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，三角函数值的求法是解题的关键． 12．（1）y＝﹣x2+10x﹣18；（2）4，6；（3）定值1，见解析 【分析】（1）先将抛物线M1：y=-x2+4x化为顶点式，由平移规律“上加下减，左加右减”可直接写出抛物线M2的解析式； （2）分别求出点A，点B，点C的坐标，求出m的取值范围，再用含m的代数式表示出△CPQ的面积，可用函数的思想求出其最大值； （3）设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，分别求出点E，F，G，H的横坐标，分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，构造相似三角形△GEM与△HFN，可通过相似三角形的性质求出的值为1． 【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∴将其先向右平移3个单位，再向上平移3个单位的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+7＝﹣x2+10x﹣18； （2）∵抛物线M1与M2交于点B， ∴﹣x2+4x＝﹣x2+10x﹣18， 解得，x＝3， ∴B（3，3）， 将点B（3，3）代入y＝kx， 得，k＝1， ∴yOB＝x， ∵抛物线M2与直线OB交于点C， ∴x＝﹣x2+10x﹣18， 解得，x1＝3，x2＝6， ∴C（6，6）， ∵点P的横坐标为m， ∴点P（m，﹣m2+4m）， 则Q（m，﹣m2+10m﹣18）， ∴QP＝﹣m2+10m﹣18﹣（﹣m2+4m）＝6m﹣18， ∴S△PQC＝（6m﹣18）（6﹣m） ＝﹣3m2+27m﹣54， ＝﹣3（m﹣）2+， 在y＝﹣m2+4m中，当y＝0时， x1＝0，x2＝4， ∴A（4，0）， ∵B（3，3）， ∴3≤m≤4， ∴在S＝﹣3（m﹣）2+中，根据二次函数的图象及性质可知，当m＝4时，△PCQ有最大值，最大值为6； （3）的值是定值1，理由如下： 设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH， 则yEH＝x﹣k， ∴令x﹣k＝﹣x2+4x， 解得，x1＝，x2＝， ∴xF＝，xE＝， 令x﹣k＝﹣x2+10x﹣18， 解得，x1＝，x2＝， ∴xH＝，xG＝， ∴ME＝xG﹣xE＝﹣＝3， FN＝xH﹣xF＝＝3， 分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，交点分别为M，N，Q， 则∠HFN＝∠GEM，∠HNF＝∠GME＝90°， ∴△GEM∽△HFN， ∴＝＝＝1， ∴的值是定值1． 【点睛】本题考查了二次函数的图象平移规律，二次函数的图象及性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是掌握用函数的思想求极值等． 13．（1）抛物线的解析式为： y=x2-4x-2；抛物线的解析式为：y=x2-6；（2）点的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线经过定点（0，2） 【分析】（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可； （2）先判断出点A、B、O、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证出是等腰直角三角形．设点A的坐标为（x，x2-4x-2），把DC和AC用含x的代数式表示出来，利用DC=AC列方程求解即可，注意有两种情况； （3）根据直线（，为常数）与抛物线交于，两点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定系数法求出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可． 【详解】解：（1）∵抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x2-4x-2， 抛物线的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x2-6． （2）如下图，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AD，    ∵是等腰直角三角形， ∴∠BOA =45°， 又∵∠BDO=∠BAO=90°， ∴点A、B、O、D四点共圆， ∴∠BDA=∠BOA=45°， ∴∠ADC=90°-∠BDA=45°， ∴是等腰直角三角形， ∴DC=AC． ∵点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上， ∴抛物线的对称轴为x=2， 设点A的坐标为（x，x2-4x-2）， ∴DC=x-2，AC= x2-4x-2， ∴x-2= x2-4x-2， 解得：x=5或x=0（舍去）， ∴点A的坐标为（5，3）； 同理，当点B、点A在x轴的下方时， x-2= -(x2-4x-2)， x=4或x=-1（舍去）， ∴点的坐标为（4，-2）， 综上，点的坐标为（5，3）或（4，-2）． （3）∵直线（，为常数）与抛物线交于，两点， ∴， ∴x2-kx-6=0， 设点E的横坐标为xE，点F的横坐标为xF， ∴xE+xF=k， ∴中点M的横坐标xM==， 中点M的纵坐标yM=kx=， ∴点M的坐标为（，）； 同理可得：点N的坐标为（，）， 设直线MN的解析式为y=ax+b（a≠0）， 将M（，）、N（，）代入得： ， 解得：， ∴直线MN的解析式为y= ·x+2（）， 不论k取何值时（），当x=0时，y=2， ∴直线经过定点（0，2）． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A、B、O、D四点共圆的方法、用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $