第三章 函数 第6节 二次函数与线段、周长问题 同步练习题 2026年中考数学一轮复习

第三章 函数 第6节 二次函数与线段、周长问题 同步练习题 2026年中考数学一轮复习 【例题精炼】 1．如图，抛物线经过、两点，对称轴与x轴交于点C． (1)求该抛物线和直线的解析式； (2)设抛物线与直线相交于点D，求D点的坐标； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及最小周长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，最小周长为 【分析】（1）将点A、点B的坐标代入可得出抛物线的解析式，从而得出点C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； （2）联立直线与抛物线的解析式即可求解； （3）由点A、点B是定点，则长度固定，只需满足最小即可，找点A关于抛物线对称轴的对称点为，连接与对称轴交于点Q，即为所要找的点Q，求出坐标即可，且最小周长为． 【详解】（1）解：把、代入抛物线得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为， ∵对称轴与x轴交于点C， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：联立直线与抛物线的解析式得 解得，， ∴D点的坐标为． （3）解：存在点Q，使得的周长最小． 如图，点A关于抛物线对称轴的对称点为，连接与对称轴交于点Q，连接，则取得最小值，即的周长最小值为， 设， ∵，抛物线对称轴为， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴的周长最小值为． 2．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，且B，C两点间的距离为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点E是线段上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，交抛物线于点F，过点F作轴，交y轴于点G，求四边形周长的最大值及此时点E的坐标． 【答案】(1) (2)，四边形周长最大值为 【分析】（1）根据B，C两点间的距离为，求得点坐标，由待定系数法即可求解； （2）分两种情况讨论，即点在线段上，或点在线段上，设，列出四边形周长的表达式，利用二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得点在轴负半轴， 设， 根据勾股定理可得， 即， 解得（正数舍去）， ， 设抛物线的解析式为， 把代入可得 ， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：设点，则， 当点在线段上时， 四边形周长， 当时，取得最大值，此时无法组成四边形，故不符合题意； 当点在线段上时， 四边形周长， 当时，四边形周长取最大值，为． 即时，四边形周长最大值为． 3．如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 【答案】(1)①；②最大值为9；③见解析 (2)不发生变化，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的判定和性质，待定系数法确定函数解析式，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键． （1）①利用待定系数法代入计算求解即可； ②设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后结合图形得出，然后利用二次函数的性质求解即可； ③根据二次函数的性质结合图象求解即可； （2）根据题意重新确定二次函数的解析式为，得出，然后即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②设直线的解析式为，将点A、B代入得： ，解得：， ∴， ∵点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． ∴，， ∴， 由题意得：， ∴当时，取得最大值为9； ③∵，， ∴当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； （2）解：不发生变化，理由如下： ∵抛物线经过、两点． ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵点是线段上的动点， ∴， ∵点Q在抛物线上， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致， ∴问题（1）中③的结论未发生变化． 4．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线：经过点A，B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线第一象限的一个动点，点P的横坐标为m，作轴于点M，交直线于点N． ①若长度随m增大而增大，求m的取值范围； ②平移抛物线得到抛物线，使抛物线的顶点在抛物线第一象限内的图象上，且抛物线过原点，直线与其相交于点Q，若，求m的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的综合，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，熟练用未知数表示出各个线段的长度是解题的关键． （1）根据一次函数解析式求得点坐标，再根据待定系数法即可解答； （2）①用表示出的长度的解析式，即可求得长度随m增大而增大时，的取值范围； ②先求的解析式，再表示出点的坐标，最后列方程即可解答． 【详解】（1）解：令，解得， 令，得， ∴，， ∵抛物线：经过点A，B， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵轴，点P的横坐标为m， ∴点N的横坐标为m， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∵， ∴当时，长度随m的增大而增大， ∵点P为抛物线第一象限的一个动点， ∴， ∴m的取值范围是； ②抛物线的顶点在抛物线第一象限内的图象上， 设抛物线的解析式为：， ∵抛物线过原点， ∴， 解得（舍去）或， ∴抛物线的解析式为：． ∵点P为抛物线第一象限的一个动点， ∴． 令， 解得， 的交点横坐标为， 当时，， ∵， ∴， 解得（舍去）， 当时，， ∵， ∴，解得． 综上所述，m的值为． 5．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，连接，点A的坐标为，抛物线的对称轴为直线．    (1)求抛物线的表达式和顶点坐标； (2)在直线上找一点，使的和最小，并求出点的坐标； (3)将线段沿轴向右平移个单位长度，若线段与抛物线有唯一交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的表达式为，抛物线的顶点坐标为 (2) (3) 【分析】（1）根据对称轴得出，再将点代入确定解析式，即可确定顶点坐标； （2）连接，交直线于点，点即为所求，连接，利用两点之间线段最短得出的和最小，由待定系数法确定直线的表达式为，即可确定点P的坐标； （3）根据题意得：点的运动轨迹为射线，点A的运动轨迹为射线，若线段与抛物线有唯一交点，则线段在线段间平移（含线段），由抛物线的对称性得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得． ∴． 把点代入，得， 解得． ∴抛物线的表达式为． 把代入，得， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）如图1，连接，交直线于点，点即为所求． 连接，由抛物线的对称性可知点A与点关于直线对称， 则点的坐标为． 此时，即的和最小． ，令，则． ∴点的坐标为． 设直线的表达式为， 把点，代入可得解得 ∴直线的表达式为． 当时，． ∴点的坐标为．    （3）． 如图2，根据题意得：点的运动轨迹为射线，点A的运动轨迹为射线， 若线段与抛物线有唯一交点，则线段在线段间平移（含线段）， 由抛物线的对称性得，， ∴当线段与抛物线有唯一交点时，的取值范围为．      【点睛】题目主要考查待定系数法确定函数解析式，线段最短问题及交点问题，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 6．已知抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P为直线下方抛物线上一点，于点Q，当长度最大时，求点P的坐标： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）先求得直线的函数解析式为，设与直线平行的直线的函数解析式为，由题意，当直线与抛物线相切时，长度最大，此时点P为切点．联立方程组得，由根的判别式列方程求得，进而求得方程的解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点． ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的函数解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设与直线平行的直线的函数解析式为， ∵， ∴当直线与抛物线相切时，长度最大，此时点P为切点． 联立方程组，整理，得， 则，解得， ∴方程为，即， 解得，此时， ∴点P坐标为； 7．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，拋物线的顶点为点，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴及点关于对称轴的对称点的坐标； (2)点是线段上的一个点，过点作轴的垂线，与抛物线交于点． ①若点在对称轴上，判断此时点是否为线段的中点，说明理由； ②当最大时，求点的坐标； (3)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位得到线段，若抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，直线， (2)①点是线段的中点，理由见解析；② (3)或或 【分析】（1）将点代入可求，则，抛物线的对称轴为直线，可求，进而可得点关于对称轴的对称点的坐标； （2）①待定系数法求直线的解析式，进而可求的坐标为，由的坐标为，可知点为线段的中点．②设，，则，，然后求解作答即可； （3）由平移可知为，为，，①当时，图象开口向下，顶点为，当时，；此时顶点在线段上，抛物线与线段只有一个交点；当时，，可求；当时，，可求，即；②时，图象开口向上，当顶点在线段上时，同理①，（舍去）；当时，，可求；当时，，可求，即；然后作答即可． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，，即， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， ∴，抛物线的对称轴为直线，点关于对称轴的对称点的坐标为； （2）①解：点是线段的中点，理由如下； 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时点的坐标为， 当时，，即的坐标为， ∴点为线段的中点． ②解：设，，则， ∴， ∵， ∴当时，最长， 将，代入得，，即， ∴当线段最长时，点的坐标为； （3）解：由平移可知为，为， ∴， ①当时，图象开口向下，顶点为， 当时，； 此时顶点在线段上，抛物线与线段只有一个交点，如图： 当时，，如图： 解得； 当时，，如图： 解得（舍）； ∴； 综上所述，当或时，抛物线与线段只有一个交点； ②当时，图象开口向上， 当顶点在线段上时，同理①，（舍去）； 当时，，如图： 解得； 当时，， 解得（舍）， ∴； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与长度综合，一次函数解析式．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与长度综合，一次函数解析式是解题的关键． 【A组基础达标】 1．如图1，抛物线交轴于点，点，交轴于点 (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)当时，的取值范围为___________；（直接写出答案） (3)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (4)如图2，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为，求证：是一个定值． 【答案】(1)抛物线的表达式为，顶点的坐标为； (2) (3) (4)见解析 【分析】（1）将A、B两点的坐标代入抛物线表达式中，求得待定系数，从而可得抛物线的表达式，再配方求得顶点坐标； （2）根据自变量的范围，结合对称性求得函数值的范围； （3）利用轴对称的性质，根据两点之间线段最短求得当的周长最小时，P点的坐标； （4）设过原点O的直线为，与抛物线联立得到关于x的方程，再利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线开口向下，对称轴在范围内， ∴在处取得最大值． 当时，； 当时，． ∴的最小值为0． ∴， 故答案为：； （3）解：的周长． 其中的长度一定， 当最小时，的周长最小． ∴点A关于对称轴的对称点为， ∴． ∴只需在对称轴上找一点P，使最小． 当B，P，C三点共线时，最小，即为的长． 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为． 当时，， ∴； （4）解：设过原点O的直线为， 与抛物线联立，得， 整理得：， ∵过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为， ∴该方程的两个根即为M，N的横坐标m，n， ∴， 由于−3是与k无关的常数， ∴是一个定值． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，的最值，待定系数法求二次函数解析式，线段周长问题(二次函数综合)，根据成轴对称图形的特征进行求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 2．如图，抛物线与轴交于原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形周长最小，求出的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出顶点的坐标为，再设抛物线的解析式为，根据抛物线过原点，即可求出其解析式； （2）先求出点的坐标，分别作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，交轴于点，交轴于点，则点即为所求 【详解】（1）解：顶点关于轴的对称点坐标为， ， 将点、点、点代入抛物线， 得到， 解得， ； （2）作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴、轴分别于点， ， 四边形周长， 点是该抛物线上的一点 ， ， ， 直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， ． 3．如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)对称轴是直线，顶点坐标为 (3)存在， 【分析】本题考查了二次函数的图形及性质、待定系数法求解析式以及利用对称轴性质解决最短路径： （1）用待定系数法求解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，根据顶点式求出对称轴及顶点坐标； （3）利用轴对称的性质，将求周长最小值问题转化为求两点之间线段最短的问题，点在对称轴上，而点和点关于对称轴对称，因此，的周长，当三点共线时，最小，其值为线段的长度，因此，点是直线与对称轴的交点． 【详解】（1）解：将代入抛物线中，得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． （2）， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． （3）存在． 解：连接交对称轴于点，连接， 两点关于抛物线的对称轴对称， 直线与的交点即为点，此时的周长最小， ，抛物线交轴于点， 当时，，即， 设直线的解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 的解析式为：， 在对称轴上， 当时，，即． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）对称性求出点坐标，两点式写出函数解析式即可； （2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点 ∴设，； ∵旋转， ∴， 当点在轴上方时， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴当时，满足题意，此时点与点重合，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：或； 5．如图，抛物线的图象经过点，交轴于点(点在点左侧)，连接直线与轴交于点与上方的抛物线交于点与交于点．    （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，当时，有最大值且最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）直接将代入求出a，即可确定抛物线解析式；然后令y=0求得x的值，再结合已知即可确定A、B的坐标； （2）作轴，交于点，由平行线等分线段定理可得；再根据题意求出D点坐标和CD的长，可得；然后再根据B、C的坐标求出直线BC的解析式；再设，则，运用两点间距离公式求得EG，然后再代入，根据二次函数的性质即可说明 【详解】解：把代入，即，解得 ∴抛物线的解析式为 令 可得: ∴； 存在， 如图，由题意，点在轴的右侧，作轴，交于点    直线与轴交于点 ∴， 设所在直线的解析式为， 将代入上述解析式得： 解得: 的解析式为 设 则，其中. ∴抛物线开口方向朝下 ∴当时，有最大值，最大值为. 将t=2代入=-2+3+2=3 ∴点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了求一次函数和二次函数解析式、平行线等分线段定理以及运用二次函数的性质求最值，掌握平行线等分线段定理是解答本题的关键． 6．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为，点D的坐标为． (1)求该二次函数的表达式； (2)点E是线段上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且，求点E的坐标． 【答案】（1）；（2）点E的坐标为；（3）存在，点G的坐标为或 【分析】（1）依题意，利用二次函数的顶点式即可求； （2）可通过点B，点D求出线段所在的直线关系式，点E在线段上，即可设点E的坐标，利用点与点的关系公式，通过即可求； 【详解】（1）解：依题意，设二次函数的解析式为， 将点B代入得，得， ∴二次函数的表达式为：； （2）解：依题意，点，点，设直线的解析式为， 代入得，解得， ∴线段所在的直线为， 设点的坐标为：， ∴， ， ∵， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， 故点E的纵坐标为， ∴点E的坐标为； 7．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求y的最大值与最小值的差； (3)过点作与x轴平行的直线，交该抛物线于C，D两点（点C在点D左侧），当时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)4 (3)5或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先化为顶点式，求出顶点坐标及对称轴，可求出y的最小值，根据开口向上，抛物线上的点离对称轴越远y值越大可得y的最大值，进而得解； （3）设，，则是方程的两根，可得，再分情况讨论，当时，，当时，，即可求出，再把其中一根代入方程即可得解，当 时，与 矛盾，故舍去． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得：， 抛物线的表达式． （2）解：抛物线的表达式， 顶点坐标为，对称轴为直线， ， 当时，y有最小值，此时， ， 当时，y有最大值，此时， y的最大值与最小值的差为． （3）解：过点作与x轴平行的直线，交该抛物线于C，D两点， 设，，则是方程的两根， 整理得， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当 时， ， 此时由 得 ，即 ， ∵ ，解得 ，这与 矛盾，故舍去； t的值为5或． 8．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的距离取得最大值时，点P的坐标； (3)如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线l：与该图形有交点，求t的取值范围． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为． (3)时，直线l与“心形图”有交点． 【分析】（1）求出，再代入求出即可； （2）设，过点P作于点M，过点P作轴交于点N，求出，得出，根据二次函数性质求出结论即可； （3）当直线l与抛物线只有一个交点时，求出，再根据对称性求出当时，直线l与“心形图”左下方只有一个交点，进而求出结论． 【详解】（1）解：一次函数与x 轴分别交于点A、B两点， 当时，；当时，； 则， 把代入： 则， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：设， 过点P作于点M，过点P作轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴当时，最大为， 此时点 ∴点P到直线的距离取得最大值时，点P的坐标为． （3）解：当直线l与抛物线只有一个交点时， 令，即， 则， ∴， ∴， ∴当时，直线l与“心形图”右上方只有一个交点， 此时直线l与y轴交点， ∵直线l解析式的k值与直线解析式的k值相同，为， ∴直线l与直线平行， 根据“心形图”关于直线对称，且直线可知： ∴上方直线l到直线的距离与下方直线l到直线的距离相等， 设下方直线l与轴交点为点E， 根据平行线分线段成比例可得， ， ， ，即， ∴当时，直线l与“心形图”左下方只有一个交点， 由图可知，当时，直线l与“心形图”有交点． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第6节 二次函数与线段、周长问题 同步练习题 2026年中考数学一轮复习 【例题精炼】 1．如图，抛物线经过、两点，对称轴与x轴交于点C． (1)求该抛物线和直线的解析式； (2)设抛物线与直线相交于点D，求D点的坐标； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及最小周长；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，且B，C两点间的距离为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点E是线段上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，交抛物线于点F，过点F作轴，交y轴于点G，求四边形周长的最大值及此时点E的坐标． 3．如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 4．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线：经过点A，B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线第一象限的一个动点，点P的横坐标为m，作轴于点M，交直线于点N． ①若长度随m增大而增大，求m的取值范围； ②平移抛物线得到抛物线，使抛物线的顶点在抛物线第一象限内的图象上，且抛物线过原点，直线与其相交于点Q，若，求m的值． 5．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，连接，点A的坐标为，抛物线的对称轴为直线．    (1)求抛物线的表达式和顶点坐标； (2)在直线上找一点，使的和最小，并求出点的坐标； (3)将线段沿轴向右平移个单位长度，若线段与抛物线有唯一交点，请直接写出的取值范围． 6．已知抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P为直线下方抛物线上一点，于点Q，当长度最大时，求点P的坐标： 7．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，拋物线的顶点为点，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴及点关于对称轴的对称点的坐标； (2)点是线段上的一个点，过点作轴的垂线，与抛物线交于点． ①若点在对称轴上，判断此时点是否为线段的中点，说明理由； ②当最大时，求点的坐标； (3)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位得到线段，若抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【A组基础达标】 1．如图1，抛物线交轴于点，点，交轴于点 (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)当时，的取值范围为___________；（直接写出答案） (3)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (4)如图2，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为，求证：是一个定值． 2．如图，抛物线与轴交于原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形周长最小，求出的坐标． 3．如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； 5．如图，抛物线的图象经过点，交轴于点(点在点左侧)，连接直线与轴交于点与上方的抛物线交于点与交于点．    （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为，点D的坐标为． (1)求该二次函数的表达式； (2)点E是线段上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且，求点E的坐标． 7．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求y的最大值与最小值的差； (3)过点作与x轴平行的直线，交该抛物线于C，D两点（点C在点D左侧），当时，请直接写出t的值． 8．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的距离取得最大值时，点P的坐标； (3)如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线l：与该图形有交点，求t的取值范围． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $