精品解析：河南郑州外国语学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章8.4． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 三脚架的三脚着地就可以支撑照相机进行拍照，从中可以得到的道理是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 不在同一直线上的三点确定一个平面 C. 两条相交直线确定一个平面 D. 三条相交直线确定一个平面 2. 设，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 3. 在中，角所对的边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 欧拉公式是由瑞士数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，是的中点，是的中点，是的中点，直线与平面相交于点，则下列结论不正确的是（ ） A. 三点共线 B. 四点共面 C. 四点共面 D. 四点共面 6. 已知平面向量，满足，，在方向上的投影向量为，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个测量小组为了测量学校的两棵树底部（位于池塘的两端）间的距离，在两棵树之间的一条南北走向的路上取两个测量点，测得，从点测得树底在北偏西方向上，树底在北偏东方向上，在处测得树底在北偏西方向上，树底在北偏东方向上．均处于同一水平面内，则两棵树底部间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知内接于圆，圆心在边上，的面积为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过球心作该球的截面所截得的圆面的半径等于该球的半径 B. 斜棱柱的侧面中不可能有矩形 C. 用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是四棱锥 D. 正方形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体是由两个共底面的圆锥组合而成的 10. 已知的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，这样的三角形有两解，则的取值范围为 D. 若，则 11. （或）是的一种向量表达．同样，三角形还有其他向量表达：已知是内的一点，内角的对边分别为，则，其中分别是的面积．下列结论正确的是（ ） A. 若，则为的重心 B. 若为的内心，则 C. 若为的外心，，则 D. 若点是锐角的垂心，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量满足，且，则与的夹角的余弦值为___________． 13. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为梯形，已知，若梯形的面积为，则四边形的周长为___________． 14. 在中，角所对的边分别为，若，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是复平面内的四个点，其中，向量对应的复数分别为，且． （1）求的值以及； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围． 16. 在锐角中，内角的对应边分别为，若，且外接圆的半径为． （1）求角； （2）求周长的取值范围． 17. 如图，在中，延长至点，使得，点在线段上，延长，交于点，且，记，． （1）请用表示向量； （2）若为的中点，求实数的值； （3）在（2）的条件下，若，求的值． 18. 手工课上，某学生手工制作圆锥模型：如图1，从一张半径的圆形纸片上，剪去一个圆心角为的扇形，再将剩余部分中的重合，卷成一个如图2所示的无底面的圆锥（接缝忽略不计），已知该圆锥的高． （1）求剪去的扇形圆心角的大小（用弧度制表示），并求圆锥的侧面积； （2）给上述无底面的圆锥补一个底面，变成有底面的圆锥，在该圆锥内部放置一个球，使得球与圆锥的底面和侧面都相切（即球为圆锥的内切球），求球的表面积； （3）给上述无底面的圆锥补一个底面，变成有底面的圆锥，若要将一个棱长为的正方体木块放入该圆锥内，且木块可以在圆锥内任意转动，求正方体棱长的最大值． 19. 在正三棱台中，，，，且该正三棱台的高为． （1）求正三棱台的体积； （2）若为的中点，为上一点，连接，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章8.4． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 三脚架的三脚着地就可以支撑照相机进行拍照，从中可以得到的道理是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 不在同一直线上的三点确定一个平面 C. 两条相交直线确定一个平面 D. 三条相交直线确定一个平面 【答案】B 【解析】 【详解】三脚架的三只脚不在同一直线上，根据基本事实1，可知选B． 2. 设，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】因为 ，所以， 故选：C． 3. 在中，角所对的边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理、诱导公式及和差公式即可求解. 【详解】由，得， 则， 所以， 化简得，即． 故选：. 4. 欧拉公式是由瑞士数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，则． 5. 如图，在正方体中，是的中点，是的中点，是的中点，直线与平面相交于点，则下列结论不正确的是（ ） A. 三点共线 B. 四点共面 C. 四点共面 D. 四点共面 【答案】D 【解析】 【详解】连接．因为平面， 所以平面．又因为平面， 所以点在平面与平面的交线上， 即三点共线，故A正确； 因为，所以四点共面，又因为三点共线， 所以四点共面，四点共面，故B，C正确； 因为平面，平面， 所以四点不共面，D错误． 6. 已知平面向量，满足，，在方向上的投影向量为，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意根据投影向量公式可得，再利用向量夹角公式即可求解. 【详解】由题知，所以， 所以，， 解得， 所以，又，所以． 故选：. 7. 如图，一个测量小组为了测量学校的两棵树底部（位于池塘的两端）间的距离，在两棵树之间的一条南北走向的路上取两个测量点，测得，从点测得树底在北偏西方向上，树底在北偏东方向上，在处测得树底在北偏西方向上，树底在北偏东方向上．均处于同一水平面内，则两棵树底部间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长与交于点，在中，利用正弦定理可得，在中，利用余弦定理运算求解. 【详解】延长与交于点， 在中，因为，，， 所以，则为等腰三角形，． 在中，因为，，， 所以， 由正弦定理，即，解得． 在中，因为，，， 由余弦定理得， 所以两棵树底部间的距离为． 8. 已知内接于圆，圆心在边上，的面积为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，由的面积为得，进而得的范围，利用数量积运算得，令，由函数的单调性即可求解. 【详解】设． 由圆心在边上，得，由的面积为5，得， 即，由，得， 即，所以， 所以． ， 又在上为增函数， 当，， 所以，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过球心作该球的截面所截得的圆面的半径等于该球的半径 B. 斜棱柱的侧面中不可能有矩形 C. 用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是四棱锥 D. 正方形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体是由两个共底面的圆锥组合而成的 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据截面圆的性质、斜棱柱的性质、旋转体等逐项判断即可. 【详解】过球心的截面圆的圆心就是球心，根据截面的性质，这个圆的半径等于该球的半径，A正确； 如平行六面体，其中一对侧面可以为矩形，B错误； 经过四棱锥的顶点和底面的一条对角线去截，截面是三角形，所以这个几何体可能是四棱锥，故C正确； 将正方形绕对角线所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，可知得到的组合体是由两个共底面的圆锥组合而成的，故D正确． 10. 已知的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，这样的三角形有两解，则的取值范围为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由三角形内角范围，结合正弦函数性质即可判断，对于B，由余弦定理可判断角，无法判断，即可；对于C，由题意得到即可求解，对于D，由向量数量积的定义即可求解. 【详解】对于A，因为，，所以，则，A正确． 对于B，由余弦定理，可知为锐角， 但无法判断和是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，B错误． 对于C，由得到， 因为三角形有两解，即由可以得到两个的值，即需满足， 即，且， 故得，即， 即的取值范围为，C正确． 对于D，因为，所以，D错误． 11. （或）是的一种向量表达．同样，三角形还有其他向量表达：已知是内的一点，内角的对边分别为，则，其中分别是的面积．下列结论正确的是（ ） A. 若，则为的重心 B. 若为的内心，则 C. 若为的外心，，则 D. 若点是锐角的垂心，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题利用题目给出的三角形内点的向量面积公式，结合重心、内心、外心、垂心的几何性质，分别对四个选项进行验证：通过向量线性运算与中点性质判断A，利用内心的面积比例关系判断B，结合外心的向量恒等式与三角恒等变换判断C，借助垂心的垂直关系与向量点乘、余弦定理判断D，最终得出正确选项为ACD． 【详解】对于A， 取的中点，因为， 所以，所以为的重心，A正确； 对于B， 设内切圆的半径为，因为， 所以由，可得，B错误； 对于C， 为的外心，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，从而，C正确； 对于D， 延长，交于． 因为，所以， 又，所以， 即， 化简得，则， 所以，整理得①， 同理，因为，所以②， 由①②解得，所以，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量满足，且，则与的夹角的余弦值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，即，解得． 故， 所以与的夹角的余弦值为. 13. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为梯形，已知，若梯形的面积为，则四边形的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则还原原四边形的边长即可求解. 【详解】 过点作垂直于轴，垂足为． 由梯形的面积为，得， 又，所以，则， 由斜二测画法易得四边形为直角梯形，过点作，垂足为， 且， 在中，由勾股定理得， 故四边形的周长为． 14. 在中，角所对的边分别为，若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换即可求解. 【详解】由，由正弦定理得， 又， 所以， 又由，所以， 所以， 所以，即， 解得或． 又因为，且， 所以，所以，即． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是复平面内的四个点，其中，向量对应的复数分别为，且． （1）求的值以及； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据点的坐标求出、对应的复数​、​的表达式，再根据复数相等的条件，可列出关于、的方程组，求解得到、的值，进而得到​、； （2）先将​、​代入的表达式，利用复数的除法运算法则化简，利用复数对应的点在第三象限，列出关于的不等式组，求解得到的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以． 又，所以，解得， 所以． 【小问2详解】 因为，所以． 又， 在复平面内对应的点位于第三象限， 所以， 解得， 即的取值范围为. 16. 在锐角中，内角的对应边分别为，若，且外接圆的半径为． （1）求角； （2）求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果； （2）利用正弦定理边化角结合三角恒等变换可得，再根据正弦函数的有界性运算求解即可. 【小问1详解】 因为，则，， 可得，， 又因为，即， 由正弦定理得， 且，则，可得，即， 且，则，则，可得， 则，所以． 【小问2详解】 因为外接圆的半径为， 则，，， 可得 ， 在锐角中，则，解得， 则，则，可得， 即，所以周长的取值范围为． 17. 如图，在中，延长至点，使得，点在线段上，延长，交于点，且，记，． （1）请用表示向量； （2）若为的中点，求实数的值； （3）在（2）的条件下，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用向量的基本定理求解； （2）利用向量共线的推论求解； （3）利用向量的数量积求解. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 因为为的中点，由（1）知， 所以． 因为三点共线， 所以， 所以，解得，所以. 【小问3详解】 ． 由（1）知，由（2）知，， 则， 所以， 所以，得， 所以． 18. 手工课上，某学生手工制作圆锥模型：如图1，从一张半径的圆形纸片上，剪去一个圆心角为的扇形，再将剩余部分中的重合，卷成一个如图2所示的无底面的圆锥（接缝忽略不计），已知该圆锥的高． （1）求剪去的扇形圆心角的大小（用弧度制表示），并求圆锥的侧面积； （2）给上述无底面的圆锥补一个底面，变成有底面的圆锥，在该圆锥内部放置一个球，使得球与圆锥的底面和侧面都相切（即球为圆锥的内切球），求球的表面积； （3）给上述无底面的圆锥补一个底面，变成有底面的圆锥，若要将一个棱长为的正方体木块放入该圆锥内，且木块可以在圆锥内任意转动，求正方体棱长的最大值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的侧面展开图及弧长公式计算即可； （2）作圆锥的轴截面，设该轴截面为等腰，求的面积和周长，利用即可求出，最后利用球的表面积公式即可求解； （3）正方体可以在圆锥内任意转动，等价于正方体的外接球完全在圆锥内部，且该外接球是圆锥内可容纳的最大球，利用正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长即可求解. 【小问1详解】 已知圆形纸片的半径，即圆锥的母线长，且圆锥的高， 则由勾股定理可知圆锥底面圆的半径， 因为圆锥底面圆的周长等于剩余扇形的弧长，即，所以． 圆锥的侧面积； 【小问2详解】 作圆锥的轴截面，设该轴截面为等腰，其中，， 内切球的一个轴截面为的内切圆，设该内切圆的半径为（即球的半径）， 的面积， 的周长． 由三角形内切圆的半径公式，解得， 所以球的表面积； 【小问3详解】 正方体可以在圆锥内任意转动，等价于正方体的外接球完全在圆锥内部，且该外接球是圆锥内可容纳的最大球， 因为正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长， 圆锥内可容纳的最大球（内切球）的半径，所以，解得， 即正方体棱长的最大值为． 19. 在正三棱台中，，，，且该正三棱台的高为． （1）求正三棱台的体积； （2）若为的中点，为上一点，连接，，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将正三棱台补形为正三棱锥，利用相似比求下底边长，再用棱台体积公式计算． （2）利用侧面展开图，将空间折线转化为平面内的线段，用余弦定理计算． 【小问1详解】 将正三棱台补形为如图1所示的正三棱锥． 因为，所以正三棱锥的每个侧面都是全等的正三角形． 因为，所以， 因为，，所以，所以． 因为该正三棱台的高为， 所以正三棱台的体积． 【小问2详解】 将正三棱锥、正三棱台的侧面展开，得到图2． 在中，， 由余弦定理得． 在中，， 由余弦定理得． 当为和的交点时，取得最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $