河南郑州市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

2025~2026学年下学期期中考试 28届高一（数学)试题 命题人：张芸芸审题人：闫国栋 说明：1.本试卷分第1卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)，满分150分。 2.考试时间：120分钟。 3.将第I卷的答案代表字母填（涂)在答题卡上。 第卷（选择题，共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则z=（) A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2-i 2.化简AB-AD+BC的结果为（) A.CD B.0 C.DC D.BD 3.下列说法中，错误的是（) A.若直线l上有无数个点不在平面a内，则l/1a B.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱 C.梯形可确定一个平面 .连接圆锥顶点与下底面圆周上任意一点的线段是圆锥的母线 4.如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C与D,并测得∠BDC=120°， ∠BCD=15°，CD=20米，在点C处测得塔顶A的仰角为30°， 则塔高AB=() A.10W6米 B.10米 C.10√2米 D.11米 5.已知在△ABC中，BC=1,CA=V3,AB=2,则BC.CA+CA.AB+AB.BC=() A.4 B.-4 C.-25 D.2W5 高一（数学）试题第1页（共4页） 6.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体， 下列命题正确的是() A.AB与HG相交 B.AB与EF平行 C.HE与CD共面 D.EF与CD异面 7,在△4BC中，ab、c分别是内角A、B、C的对边，若Sc= 4(a2+b2-c2) 且(B BC=0,则△ABC的形状是() IABI AC A.有一个角是的等腰三角形 B.等边三角形 C.三边均不相等的直角三角形 D.等腰直角三角形 8.如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个 部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分 为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3，每个 四棱锥的体积为2，则该正四棱台的体积为() A.16 B.22 C.26 D.28 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=8,A=30°，若满 足条件的△ABC是唯一的，则a的值可以是() A.4 B.6 C.8 D.10 10.已知i为虚数单位，则下列选项中错误的是() A.复数(m2+3m-4)+(m-1)i是纯虚数，则m=-4 B.若z1-z2>0,则z>2 C.若z=1,则z+1+i的最大值为√2+1 D.若=，则z=z 高一（数学）试题第2页（共4页） 11.已知平面向量ā，五，c满足|a=2,b=4,.(a-b)=-12,(a-c)-(⑥-c)=0, 则下列说法正确的为（) A.(a-B)La B.Icl最大值为√7+√5 C.a-b1eeR)最小值为因 D.sin( 第Ⅱ卷 (非选择题，共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图为△ABC', 已知AO'=B'O=1,C'0=√5，则△ABC的周长为 B 13.已知向量ā=(1,1)，向量=(4，-3)，则向量在向量a上的投影向量的坐标 为 14.己知△ABC中内角A、B、C满足sin2A+sin2B+sin2C=2√3sin4 sinBsinC,若在 边AB,BC,CA上各取一点M、N、P,满足MW=25,MP=4,∠PMN=30°， 则△ABC的面积的最大值是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或验 算步骤。 15.已知复数z满足z(1-i)=3i. (1)求z; (2)若z是方程x2+ax+b=0(a∈R,b∈R)的一个根，求a-b的值. 16.已知向量a=(1,2),b=(2,-1) (1)若=5，且(2a+c1c,求向量a与向量c的夹角： (2)若G=10,且(2a+b)/1c,求向量c的坐标. 高一（数学）试题第3页（共4页） 17.如图，AB是圆柱底面圆的直径且AB=2,PA是圆柱 P 的母线且PA=2,点C是圆柱底面圆周上的点. （1)求圆柱的侧面积和体积； (2)若AC=1,D是PB的中点，点E在线段PA上， 求CE+ED的最小值. B 18.如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足3CD=DB,G是线段AB 上的点，且满足AG=GB,线段CG与线段AD交于点O. E 图1 图2 (1)若AD=xAB+yAC,求实数x,y的值； (2)若AO=tAD,求实数t的值； (3)如图2，过点O的直线与边AB,AC分别交于点E、F,且AE=1AB, AF=uAC,,4∈(O,),设△AEF的面积为S,四边形BEFC的面积为S2,求 受的取值范围。 19.在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若√3 bsinC+√5 csin B=4 asin BsinC,2 bsin B+2 esinC=bc+V3a. (1)求角A的大小： (2)求边a的值； (3)角A的角平分线AD与边BC交于点D,求角平分线AD长度的取值范围. 高一（数学）试题第4页（共4页） 2025~2026学年下学期期中考试 28届高一（数学）参考答案 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 A C A B D B C ACD BD 题号 11 答案 ABD 1 12.2+2√13 13 285 22 14. 3 1.A 【分析】先根据复数几何意义得z,再根据复数乘法法则得结果 【详解】由题意得z=1+2i 故选：A. 2.C 【详解】AB-AD+BC=DB+BC=DC. 故选：C 3.A 【分析】举例子可判断A;利用两个底面全等的斜棱柱拼接可判断B;由平面 性质可判断C:由母线定义可判断D 【详解】对于A,当直线I与平面α相交时，直线l上也有无 数个点不在平面内，故A错误；对于B,如图，利用两个底 面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足条件，但该几何体不是 棱柱，B正确；对于C,梯形有一组对边平行，由平面的基 本性质的推论知：梯形可确定一个平面，故C正确；对于D, 连接圆锥顶点与下底面圆周上任意一点的线段是圆锥的母线，D正确： 故选：A 4.C 【分析】先根据正弦定理求得BC,进而在Rt△ABC中，利用AB=BCtan∠ACB 求解 高一（数学）参考答案第1页（共12页） 【详解】在△BCD中，∠BDC=120,∠BCD=15°，CD=20, 则∠CBD=180°-120°-15°=45°， 由正弦定理得 BC CD sin∠BDCsin∠CBD'所以 BC= CDsinBDC_20xsinl20=10. sin∠CBD sin45 在Rt△ABC中，∠ACB=30,所以AB=BCtan∠ACB=106tan30°=10W2米. 故选：C 5.B 【分析】由BC=L,CA=√3，AB=2满足勾股定理，判断△ABC为直角三角形， 三个内角可求，利用数量积可解 【详解】因为8C=LC1=5,AB=2,所以A=若B-胥C 2 所以<ac,子<C6g<4c>= 3 所以ca+a,+西C-0+5x2x(5+2xk(3=一 故选：B 6.D 【分析】首先还原正方体，再根据选项判断线线的位 置关系。 G 【详解】由图可知AB与HG异面，AB与EF异面，HE 与CD异面，EF与CD异面. 故选：D 7.B 【分析】由需密-C-0推导可得<BC的平分线 垂直于边BC,进而可得b=c,再由给定面积导出∠BAC=90°得解 【详解】如图所示，在边AB、AC上分别取点D、E,使D=丽 、AE=AC IABI 高一（数学）参考答案第2页（共12页） 以AD、AE为邻边作平行四边形ADFE,则AF=AD+AE,显然IAD曰AE=1, 因此平行四边形ADFE为菱形，AF平分∠BAC,而 需瓷c=0,则有亦C=0,即A18C,于 是得△ABc是等腰三角形，即b=c;S,c=2 bsinC, 而5 a2+b-c)= 二×2 ab cos C,因此有tanC=√5，从而得C=60°， 所以△ABC是等边三角形 故选：B 8.C 【分析】设三棱柱的高为a,四棱锥的底面边长为b,棱台的高为h,依题意 列方程组可解得ah=6,然后可得棱台体积 【详解】由正四棱台性质可知，四棱锥的底面为正方形， 设三棱柱的高为a,四棱锥的底面边长为b,棱台的高为h, b2h=2 2 由题知 可得a2b2h2=a2hb2h=6a2h=36,解得a2h=6, bha=3 2 所以棱台的体积V=a2h+4×2+4×3=26, 故选：C 9.ACD 【分析】当a=bsinA或a≥b时△ABC是唯一的，即可判断， 【详解】因为b=8,A=30°，当a=bsind=8×=4或a≥b=8时，满足条 件的△ABC是唯一的，故符合题意的有A、C、D. 故选：ACD 10.BD 【分析】由纯虚数的概念可判断A,由复数的几何意义可判断B,利用特值法 可判断C,利用复数相等求出9可判断D: 高一（数学）参考答案第3页（共12页） 【详解】对A,由(m2+3m-4)+(m-1)i是纯虚数，可得 m2+3m-4=0 m-1≠0 解得：m=-4,故A正确； 对B,乙-22>0，所以z-22是正实数。举例：乙=3+i,22=1+i满足要求，但 虚数不能比较大小，所以不能说名>，故B错误。 对C,由z=1知，在复平面内表示复数z的点在以原点为圆心的单位圆上， z+1+可看作单位圆上的点到点(-1，-)的距离，因为圆心到(-1，-)的距离为 √2，则该单位圆上的点到点(-1，-)的距离最大值为√2+1，故C正确： 对D,当a=i,2=1时，z=-1,经=1，可见z≠z经，故D错误； 故选：BD 11.ABD 【分析】根据给定条件，结合数量积的运算律可得a.b=1及ā+b=√万，再逐 项求解判断 【详解】由1b=4,b.(a-b)=-12,得a.b-b=-12,解得a.b=b-12=4, |a+bva+b2+2ab=2√万。 对于A,|a上2，(a-ba=a-a-b=4-4=0, 又a-b,a是非零向量，因此(a-b)⊥a,故A正确； 对于B,由(a-c)(b-c)=0,得a.b-(a+b)c+c2=0, 则|cP-2万1c1cos(a+b,c)+4=0,即1c2+4=2√71c1cos(a+b,c)≤2√71c1, 当且仅当ā+，c同向共线时取等号，解1c2-2√71c|+4≤0，得 √万-√3cs√7+√3，故B正确； 对于C,1a-6+r-2a6=21-21+4-22r-+25,当 且仅当t=时取等号，故C错误； 高一（数学）参考答案第4页（共12页） 对于D,由|cP-2√万1c1cos(a+b,c》+4=0,得△=28cos2(a+b,c)-16≥0， 则号≤cos2a+6,d)≤1,0≤sin(a+6,8≤，而0sa+5,≤π， 因此0≤sina+5.d≤2，故D正确， 故选：ABD 12.2+213 【分析】作出原平面图形，由斜二测画法分析原图的数量关系，计算可得答案. 【详解】根据题意，作出原图△ABC, 由斜二测画法，在原图中C0=2C0'=2√5，A0=B0=1, 所以BC=AC=√13，故△ABC的周长为2+2W13 故答案为2+2√13 13. 【分析】根据平面向量数量积和模的坐标表示，结合投影向量的概念计算即可 求解 【详解】由题意知，a-=4-3=1,=2, 在为为背青0-为 故答案为： 22 14. 28V3 3 【分析】先应用正弦定理边角转化，再应用余弦定理结合基本不等式及正弦函 数的值域得出2sin 4+ =2,再根据图形边长结合正余弦定理应用两角差正弦 高一（数学）参考答案第5页（共12页） 及辅助角公式得出4C-怎m(口+，最后应用面积公式求解最大值 【详解】因为sin2A+sin2B+sin2C=2√3sin4 sinBsinC, 所以由正弦定理可得：a2+b2+c2=2√3 bcsinA, 又因为a2=b2+c2-2 bccosA,代入上式得：2b2+2c2-2 bccosA=2√3 bcsinA, 整理可得：名+分o4+n4-2n+引2 bx9=2, 所以2m4+引2，当且仅当6=c时，等号成立， 由于24+s2,所以2s(4+-2, 因为A∈(0，π)，所以A=,又此时b=c,所以△ABC为等边三角形，则A=牙： 如图，在△MP中，由余弦定理得：MP=2+4-2x25x4cos30°=2， 所以MW2+NP2=MP2,所以∠MNP=90°，从而∠MPN=60°， 设∠APM=a,则∠AMP=120°-a,∠CPN=120°-a,∠PNC=a, 在△CPN中，由正弦定理得PC-2 sina sin60o'则PC= -sina, 在△AMP中，由正弦定理 sn(120°-asin60,则AP=8 AP 4 sim(120°-a), 所以AC=AP+PC=8 sin(120°-a)+4 sin(a+), 其中0：受所以C的限大值为源，当a0-8时取得最大位 高一（数学）参考答案第6页（共12页） 所以（x 3.AC2=5×16x728w5 4 43 故答案为： 28V5 3 15.(1) 2=-33」 (2)4-b=- 22 2 【分析】(1)根据复数的除法得2=-3+3，再利用共轭复数概念即可； 2 (2)根据复数根的共轭关系结合韦达定理即可解出a,b,则得到a-b的值. 3i 3i(1+i)3,3 【详解】(1)由z(1-i)=3i得：z= +i, 1-i(1+i)1-i)2'2 则2=-33. …6分 22 33 (2)由（1)知：z=- -。i,显然z是方程的另一根， …8分 221 z+z=-a=-3 a=3 =别号解 …12分 3 ∴.a-b=- …13分 16.)君 (2)c=(8,6)或c=（-8,-6) 【分析】(1)由向量的模，结合向量的数量积运算律转化求出向量的数量积， 再求出夹角作答.(2)运用向量平行的坐标结论计算即可. 【详解】(1)因为(2a+c)1c,所以(2a+c)c=0.即2ac+c2=0.…2分 所以2acos<a,c>+|=0.即2×√5×V15×cos<a,c>+15=0, 所以cos<a,c- …6分 2 因为<a,c>e[0,,所以<a,c>-5 …8分 高一（数学）参考答案第7页（共12页） (2)因为a=(1,2),6=(2,-1),所以2a+b=(4,3). …10分 因为(2a+b)/1,设c=元(2a+b)=(4元，3)， 则=√2522=10，解得元=±2， …14分 故c=(8,6)或c=（-8,-6) …15分 17.(1)S侧=4元，V=2π；(2)√5 【分析】(1)利用圆柱的侧面积公式和体积公式直接计算可得； (2)将△PAC绕着PA旋转到PAC使C在AB的反向延长线上，利用余弦定理 求解即可. 【详解】(I)圆柱的底面半径r=号AB=l,高h=PA=2, …2分 圆柱的侧面积S侧=2π×1×2=4π， …4分 圆柱的体积V=元×12×2=2π. …6分 (2)将△PAC绕着PA旋转到PAC使C在AB的反向延长线上， AB=2,PA=2,.PB=AB2+PA2=22, …8分 cos∠PBA=2 BD=P=反，BC=BM+AC=3, …11分 2 ..C'D=CB2+BD2-2C'B.BD.cos /PBA, =3+万-2x3x2x9-5, CE+ED≥C'D=√5，当且仅当C,E,D三点共线时取等： …14分 即CE+ED的最小值为CD等于√5. …15分 高一（数学）参考答案第8页（共12页） 18【答案】)对y=是 (3)(5,1) 【分析】(1)根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得； (2)由共线定理及平面向量基本定理得到方程组，解答即可； 由题意可得40=花+3征，根据共线定理得到+3=5， 1.3 (3) 5 5u 13 根据三角形的面积公式可得 2-1，再结合元+ S,4 7+=5,将受转化为二次 函数，利用二次函数的性质求解即可 【详解】(1)因为3CD=DB,所以CD=CB, 4 所以AD=AC+CD=AC+CB=AC+aB-AC=AB+3 AC, 又D=x+yC,且丽、C不共线，所以x=,y=3； 4’y= ;…4分 4 (2)由(1)AD=AB+3AC, 又因为0=1D,即A0=1AD=3AC+1AB, 4 4 因为AG=GB,所以AG=AB, 2 所以A0=3AC+AB 4 31 因为G、0、C三点共线，∴.二t+二t=1, 41 2 所以1一手 …9分 高一（数学）参考答案第9页（共12页） (3)根据题意设A正=AB,AF=4AC,则，u∈(0，)， 由(2)a0=B+24C,所以40=花+3F, 5 5u 1+3=1,即 因为0、E、F三点共线，所以元十5 +3=5 13 …11分 u 8=丽sin∠BAC，Sx=S+S,=2H4Csin∠BAc 所以袋.西G网maC-如C 1-1.……13分 S 2sin∠BAC 13 因为元 =1-1=-3-1=-3+5-1, S,24 2 因为么4e0,所以ue(径D令1=e导， …15分 则受-3r+51-1=-30-吾+台，在0学上单闲选减 所以 …17分 19.【答案】1)4-号2)a=5(3)2 【分析】(1)利用正弦定理进行边化角，进一步整理得smA=5,即可求得 角A;(2)利用正弦定理将所给等式转化为关于a、b、c的等式，结合余弦定 理即可求出a:(3)利用面积或正弦定理，将角平分线AD表示为VBb,对 c+b 高一（数学）参考答案第10页（共12页） 边对角模型，b=2sinB,c=2sinC,转化为三角函数求值域。 【详解】(1)由√3 bsinC+√3 csin B=4 asin BsinC及正弦定理得： √5 sin Bsin C+√3 sin Csin B=4 sin Asin Bsin C, 因为0<B,C<牙，所以snB≠0，snC*0, 所以血4-9，又04受，所以4=号： …5分 (2)由正弦定理6=c=a=25。 S0B==sna=3a，得sinB=，sinC=3 2a 2a 由26sinB+2 sinC=bc+5a得：26B0+2c 2a c=bc+a 2a 即6+e2-G=5c, 3 由余弦定理得，b2+c2-a2=bc, 联立解得a=√5. …10分 (3)由(ID,A=号，由于SaMc=Sacw+am, 4B.AC.sin=1 ·AB·AD.sin + 2 32 62 AD.AC.sin π，1 6 .b.c.n.c.4D.nD.oin, π1 32 62 6 3cb=(c+b)D,D=3c …12分 c+b 由(2)知b=2sinB,c=2sinC, 因为A=骨所以snB=sm(4+C)=n(C+写}， 则 C+ 23sin C 1 4D=cb4sin Csing 2v3sin Csin -cos C 3 2 c+b 2(sinC+sinB) sin C+sin C+ 3 sinC+ sin C.3 2 -cos C 高一（数学）参考答案第1页（共12页） _sin'C+sin CcosC 1-cos2C3 +sin 2C- = sin2C 2 6 …14分 3 sin C+ 2 cosC smc+ 令C+”=0,则2C-亚=20- 6 6 2 因为AM8C是锐角三角形，则后cC<受，骨<0任， 3’ 2 <sin0≤1， I+sin 2c- 则AD=2 6 +sn20- -cos20 -=2sin0- 1 c+ sine sine 2sine' sin 令1=n9,由解析式可知y=21在 721 单调递增， 所以25<21-≤2，即25 2t2 3-2 <AD 即D长度的范围为(25,3 327. …17分 高一（数学）参考答案第12页（共12页）