精品解析：河南南阳市2025-2026学年高一下学期期中质量评估数学试题

2026年春期高中一年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ＝（ ） A. B. C. D. E. 【答案】C 【解析】 【详解】 ． 2. 已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【答案】C 【解析】 【分析】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G,可得， 又=-，则有=-，即AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上,即可得出结果. 【详解】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)， ∴， 又，可得=-，∴=-， ∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上.∴点O为三角形ABC的重心. 故选：C. 3. 函数的图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据正切函数的性质，的图象的对称中心的横坐标满足，， 解得，， 所以的图象的对称中心为，. 对照各选项，可知时，对称中心为. 4. 在边长为1的正方形中，P为BC的中点，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，选择正方形相邻的两边作为基底，将表示为的形式，利用数量积运算计算即可． 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为为边长为1的正方形，故，且； 故以为一组基底，因为P为BC的中点 故， ； 故． 5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】已知边a与其对角A，求边b可利用正弦定理，建立边b与角B之间的关系，因为△ABC有两个，故角B有两个，根据正弦函数图象确定范围即可． 【详解】由正弦定理可得：，因为a＝2，， 故，故， 因为△ABC有两个，故存在两个不同的角B满足题意， 则（否则角B不满足有两个三角形的条件），（否则B只能有直角一个值）， 故且，则， 故，解得．故只有B选项符合题意． 6. 若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法，求出函数在上的两个端点，结合函数在上有最大值没有最小值构造不等式，解不等式求出的取值范围． 【详解】令，，， 当时，；当时，； 则， 函数的最大值在处取得； 最小值在处取得； 已知函数在上有最大值没有最小值， 区间必须包含第一个最大值点，且不能包含第一个最小值点， ，解得． 7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 当点P运动秒时，距水面的高度为米 【答案】D 【解析】 【详解】筒车半径为2米，故振幅为，圆心距水面1米，故平衡位置，故A正确； 已知每分钟转4圈，周期秒，角速度，故B正确； 时，点在水面，，代入公式，解得， ，且在第四象限，，故C正确； 秒时，， 米，故D错误． 8. 关于x的方程在区间有两解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过换元法，将方程转化为一元二次方程，讨论方程解的个数对应上的解的个数，从而确定a的取值范围． 【详解】因为，则； 令，则可整理为：； 故在区间有两解 等价于在上的解，对应有两个不同的解； 当或时，一个t对应上的一个解， 当且时，一个t对应上的两个解； 分离参数：， 令，对称轴为，； 与对称的点为；，， 当时，与有一个交点， 此时，一个t对应上的两个解； 当时，，一个t对应上的一个解，不合题意； 当时，或，对应或两个解，符合题意； 当时，与有两个交点，即t有两个值， 此时，一个t对应上的两个解， 则在区间上，x有4个解，不合题意，舍去； 当时，，此时对应上的两个解，符合题意； 综上，实数a的取值范围为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 单位向量都相等 B. 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量的定义，既有大小又有方向的量叫做向量，可判断A选项，方向相同或相反为共线向量，可判断BC，根据投影向量公式在上的投影向量为计算． 【详解】单位向量模长相等，方向不确定，故不是相等向量，A错误； 力既有大小又有方向是向量，作用力与反作用力方向相反，是共线向量，故B正确； 因为，则， 整理得：，故； 因为，故为， 因为，故， 则与共线且反向，C正确； 在上的投影向量为， 与共线，故D错误． 10. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，．则（ ） A. B. 若，则 C. 若为的平分线，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，已知三边求角，由余弦定理计算即可；B选项，根据为的中点，利用向量的平行四边形法则计算长；C选项，利用等面积法，根据面积等于与的面积和，代入面积公式即可计算；D选项，根据面积公式等于面积，计算h． 【详解】A选项：由余弦定理：，因为， 则，故A正确； B选项：当时，D为AC的中点，则， 因为， 故 ，故B正确； C选项，因为为的平分线，故， 则， 代入数据可得：， 解得：，故C不正确； D选项，因为，故，因为在上, 故，，故D正确． 11. 如图，函数的图象交x轴于点B和点D，交y轴于点C，已知，点E的横坐标为，．则（ ） A. B. △BCE的面积为 C. 若在有n个解，则 D. 把函数的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再把纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变，最后向上平移一个单位得到函数的图象．若对任意的，方程在区间上至多有一个解，则正数k的范围为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据图象，给出一个周期的图象，即求出D点坐标即可知道半个周期的长度，求出周期，根据计算，再带点求出的值；B选项，根据可知C与D点关于E点对称，故可以将△BCE拆分为与，根据点的坐标计算长度求面积；C选项，一种方法可以代入求出解的值代入计算，也可通过对称性进行计算；D选项，根据图象的变换写出的解析式，利用翻折，伸缩，平移变换可画出的图象，根据函数的图象性质写出k的范围． 【详解】因为，所以D为CE的中点，因此点D的坐标为， 所以，即，从而＝2； 因为，故，因为，解得， 所以； 又，所以，解得A＝1， 所以，故A正确； 显然，△BCE的面积为．故B错误． 对于C：（方法一），． 令，则在有4个根， ， 所以在有4个解， 且满足（i＝1，2，3，4），所以， 所以． （方法二）作出的图象如图所示， 作出直线与相交，交点的横坐标依次即为， 由对称性可得：，所以， 故C正确； 对于D：由图象变换可得：， 所以，． 令，则，k＞0，作出的图象如图所示： 令，当时，解得：． 如图，要使在区间上至多有一个解，只需， 解得：．故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】，， ． 13. 已知，．当时，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据周期性，将转化成在内的值，代入解析式进行计算． 【详解】因为，用替换，可得：，故周期为6， 因为， 故， 因为当时，，故； 故． 14. 已知．对使得成立，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式化为余弦不等式，其解集为一系列间隔为的区间，给定区间长度为，欲使其与所有解集有交，进而得到不等式即可解答. 【详解】因为， 所以可化为． 由三角函数的定义（余弦线）解得：， 即：． 将其解集在数轴上表示如下： 对，使得成立， 只需的长度大于等于相邻解集之间的长度，所以 解得：． 又，所以y的最小值为． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）一个扇形的周长的数值为4，面积的数值为1，求这个扇形圆心角的弧度数； （2）已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴，终边过点，，求的值． 【答案】（1）弧度数为2；（2）. 【解析】 【分析】（1）由扇形周长和面积公式列方程组，解出半径和圆心角弧度数； （2）利用诱导公式化简三角函数式得正切，再根据终边上点坐标求出正切值. 【详解】（1）设一个扇形的半径为r，圆心角的弧度数为， 由题意可得：，解得：， 所以这个扇形圆心角的弧度数为2． （2）． 因为角的终边过点， 所以，所以． 16. 已知单位向量的夹角为，向量，向量． （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据向量共线定理可得； （2）根据非零向量垂直的充要条件是数量积为零可得； （3）由数量积的定义、运算律及向量模的求法列出方程，求解可得. 或根据题意，设的坐标，用坐标法求解. 【小问1详解】 ∵单位向量的夹角为，∴与不共线. ∵向量，向量， ∴由平面向量共线定理可知，存在唯一实数，使得， 即，则，解得； 方法二：∵单位向量的夹角为，∴不妨设，． 向量，向量． ∵，∴，解得：； 【小问2详解】 ． 若，则， 即，解得． 方法二：若，则，解得：． 【小问3详解】 ． 所以， ． 因为，所以，解得或． 方法二：， 因为所以，解得或． 17. 函数． （1）请用五点作图法画出函数的图象（先填表，再画图）； （2）若有2个根，求实数m的取值范围； （3）若在上的值域为，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）依次令取，可得的值，描点并用光滑曲线连接即可； （2）将有2个根，转化为的图象与直线有2个交点，由图象可得实数m的取值范围； （3）令，得或；令，得或；结合图象及函数的单调性，可得的最小值及最大值，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 函数． 按五个关键点列表： x 0 2 1 0 －1 0 1 3 0 1 0 3 描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示： 【小问2详解】 若有2个根，则的图象与直线有2个交点， 由图可知，或． 即实数m的取值范围或． 【小问3详解】 在，令，得或； 令，得，即，解得：或； 由图像可得：当时，函数单调递减；当时，函数单调递增. 若在上的值域为， 则（或）最小； 当时，最大．所以u的取值范围为． 18. 已知函数，，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数m的最大值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】(1)根据已知可求出的值，相邻两条对称轴之间的距离为，根据计算的值； (2)利用整体代换的思想，将看作整体，通过，得到整体的范围，根据正弦函数单调区间计算m的最大值； (3)通过x的取值范围计算的取值范围，利用换元法，根据二次函数图象性质求参数取值范围． 【小问1详解】 解：由，得，由，则， 因为函数图象的两条相邻对称轴间的距离为， 所以函数的最小正周期满足，可得, 因为，则＝2，所以． 【小问2详解】 令，因为，所以． 要使函数在区间上单调递增，只需， 解得：，所以实数m的最大值为． 【小问3详解】 ∵，∴，∴， 令，则由题可知恒成立， 令，，对称轴为，开口向上， 所以， 解得：，综上可知，的取值范围是． 19. 在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点． （1）若△ABC为正三角形，求； （2）已知 ①求证：； ②若，，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）在等边三角形中，利用正弦定理在两个小三角形中建立边与角的关系，由边相等推出角相等，解方程得到布洛卡角； （2）①通过正弦定理分别表示出两段线段，利用已知比例关系，结合正弦定理和边长关系，推导出边长平方的等式； ②将已知比例代入，利用余弦定理将余弦值表示为两边乘积的函数，进而得到面积平方关于该乘积的二次函数，结合三角形存在条件确定取值范围，由二次函数最值得出面积最大值. 【小问1详解】 为等边三角形． 因为，所以， 所以， 在中， 由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 因为为等边三角形，，所以， 又，所以，故． 【小问2详解】 ①证明：因为,所以，所以, ，即； 因为,所以，所以 在中，，即． 所以，由正弦定理得：． 因为，所以，即． ②由可得．在中，由余弦定理得，. 因为，所以，所以． 由三角形的面积公式可得：， 所以． 令，则，是关于x的方程的两个根， 所以且，解得． 因为且，所以，解得 又因为，所以． ， 对称轴，所以当时，， 所以．故最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期高中一年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ＝（ ） A. B. C. D. E. 2. 已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 3. 函数的图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 4. 在边长为1的正方形中，P为BC的中点，则＝（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（ ） A. 2 B. C. D. 3 6. 若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 当点P运动秒时，距水面的高度为米 8. 关于x的方程在区间有两解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 单位向量都相等 B. 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 D. 若，则在上的投影向量为 10. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，．则（ ） A. B. 若，则 C. 若为的平分线，则 D. 若，则 11. 如图，函数的图象交x轴于点B和点D，交y轴于点C，已知，点E的横坐标为，．则（ ） A. B. △BCE的面积为 C. 若在有n个解，则 D. 把函数的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再把纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变，最后向上平移一个单位得到函数的图象．若对任意的，方程在区间上至多有一个解，则正数k的范围为． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的取值范围为______． 13. 已知，．当时，，则______． 14. 已知．对使得成立，则的最小值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）一个扇形的周长的数值为4，面积的数值为1，求这个扇形圆心角的弧度数； （2）已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴，终边过点，，求的值． 16. 已知单位向量的夹角为，向量，向量． （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 17. 函数． （1）请用五点作图法画出函数的图象（先填表，再画图）； （2）若有2个根，求实数m的取值范围； （3）若在上的值域为，求的取值范围． 18. 已知函数，，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数m的最大值； （3）若，求的取值范围． 19. 在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点． （1）若△ABC为正三角形，求； （2）已知 ①求证：； ②若，，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $