特殊四边形中的动点问题、四边形中的线段最值问题专项训练-2026年中考数学二轮复习

特殊四边形中的动点问题、四边形中的线段最值问题专项训练 特殊四边形中的动点问题、四边形中的线段最值问题专项训练 考点目录 特殊四边形中的动点问题 四边形中的线段最值问题 考点一 特殊四边形中的动点问题 例1．（25-26九年级下·山东青岛·开学考试）如图，在中，，，，为边的中点，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．过点作交的边于点，以和为边作．设点的运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示长； (2)点在边上运动时（不含、），若的面积为，求出关于的函数关系式，并求出为何值时，； (3)当点不与的顶点重合时，连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 【答案】(1)长为或 (2)； (3)或 【分析】（1）先根据勾股定理和中点的定义求出，；再利用分类讨论的思想方法，结合时间，路程与速度的关系式解答即可得出结论； （2）根据题意可得，，根据平行四边形的性质得出，根据相似三角形的判定和性质得出，根据平行四边形的面积公式即可求得关于的函数关系式，根据题意，列出方程，解方程即可求出的值； （3）分两种情况讨论：①当时，连接、，交于点，利用平行四边形的性质和已知条件得到，结合直角三角形的性质得出，，根据等边对等角推得，根据平行线的判定定理得出，根据平行线分线段成比例得出，据此列出方程，解方程求出的值；②当时，连接、，交于点，根据平行四边形的性质得出，，根据相似三角形的判定和性质求出，，类比①的方法得出，据此列出方程，解方程求出的值． 【详解】（1）解：在中，，， 故， ∵为边的中点， ∴． 当时，此时点在边上运动， 则， 故； 当时，此时点在上运动， 则， 故； 综上所述：长为或 （2）点在边上运动时（不含、），此时， 故，； ∵四边形是平行四边形， ∴， 故， ∴， 即， ∴； 故， ； 根据题意可得， 解得； 故当时，． （3）①当时，连接、，交于点，如图： ∵将分成面积相等的两部分，是的对角线， ∴经过平行四边形的中心， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵为边的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据题意可得，，， 故， 解得； ②当时，连接、，交于点，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 故， ∴， ∴， ∵，，，， 故， ∴，， 即， ∴， ， ∵将分成面积相等的两部分，是的对角线， ∴经过平行四边形的中心， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵为边的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， 解得； 综上所述，满足条件的t的值为或． 例2．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，，为边的中点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为t（秒） (1)当点与点重合时，的值为_____； (2)用含的代数式表示长； (3)将分成的两部分．其中的三角形与相似时，求t的值： (4)当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和为边作．连接，直接写出将分成面积相等的两部分时的值． 【答案】(1)（秒） (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）先运用勾股定理求得的长，进而求得点Q运动的路程，即的长，再根据时间，路程与速度的关系列式求时间t即可； （2）分和两种情况，分别利用时间、路程与速度的关系列式即可； （3）分和两种情况，分别利用t的代数式表示出相应线段的长度，再利用相似三角形的性质列比例求解即可； （4）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，连接交于点O，利用平行四边形的性质和已知条件得到，利用相似三角形的判定与性质得到关于t的方程求解即可；②当时，连接交于点O，类比①的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴当点与点重合时，点Q运动的路程为， ∴当点与点重合时，的值为（秒）． （2）解：当时，， ∵， ∴； 当时，， ∴． 综上所述：长为或． （3）解：由题意得：， ， 当时，若，则， ，解得：； 若， ， ∴，解得：（不合题意，舍去）． 当时， 由（2）知：， ， 若，则， ，解得：； 若，则， ，解得：（不合题意，舍去）； 综上，将分成的两部分，其中的三角形与相似时，t的值为或． （4）解：①如图∶当时，连接交于点O， 平分平行四边形的面积， 经过平行四边形的中心， ， ， ， ， ∵为边的中点，， ， ， ， ∵， ，即，解得：； ②如图，当时，连接交于点O， 平分平行四边形的面积， 同理可得：， ， ∵四边形为平行四边形， ，， ， ，，， ，解得：． 综上所述，满足条件的t的值为或． 例3．（24-25九年级上·吉林长春·月考）如图，在中，，，．动点P、Q同时从点A出发，点P沿向终点B运动，速度为每秒2个单位长度，点Q沿射线运动，速度为每秒1个单位长度．当点P停止运动时，点Q继续运动，以、为邻边作．设运动时间为t秒（）． (1)在点P运动的过程中，________（用含t的代数式表示）； (2)当点D在线段上时，求t的值； (3)当与重叠部分为四边形时，设重叠部分面积为S，求S的表达式，并写出自变量的取值范围； (4)当点D落在的角平分线所在直线上时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，分情况讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，进一步得到，，根据即可得到答案； （2）证明，根据相似三角形的性质即可得到答案； （3）分点两种情况进行解答即可； （4）分四种情况进行分析解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵动点、同时从点出发，点沿向终点运动，速度为每秒个单位长度．点沿射线运动，速度为每秒个单位长度，运动时间为秒， 当点与点重合时，；当点与点重合时，， ∴，， ∴， （2）解：如图，点在上，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）①当点在上时，由（2）得，， 如图， 当在内部时， ，，作于点T， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形； ∴， ②如图，当点与点重合时，， 当点与点重合时，， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴ ∴当时，， 综上所述，当平行四边形与重叠部分为四边形时， （4）如图，当点D在角平分线上，作于点L， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， 解得 如图，当点D在角平分线上，延长交于点R， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得 如图，当点P停止运动前，作于点K，作于点L， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴当点P停止运动前，点D不能在的平分线上， 如图，当点P停止运动后，点D在角平分线上， ∵， ∴ ∴ 综上可知，或或 变式1．（25-26九年级下·江苏宿迁·月考）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度．设运动时间为，其中． (1)若，分别是，的中点，则四边形一定是____________（，相遇时除外）． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)平行四边形 (2)2或8 【分析】（1）根据矩形的性质结合平行线的性质可得到，，通过中点可证明，进而证明，利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形． 由题意得：, ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，分别是，中点， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图①，连接． ，分别是，的中点，四边形是矩形， 四边形是矩形， ． 分以下两种情况讨论： ①如图①，当四边形是矩形时，． ，，， ． ， ， ； ②如图②，当四边形是矩形时，，． ， ， ． 综上所述，四边形为矩形时，的值为2或8． 变式2．（25-26九年级上·广东广州·月考）在四边形中，为边上一点，为延长线上一点，，分别是，中点，连接． (1)如图1，若四边形为正方形，且，试猜想：与之间的数量关系为________，与之间的数量关系为________； (2)如图2，若四边形为矩形，，，且，，求的长． (3)如图3，若四边形为平行四边形，，，，当时，求的长． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的边角性质，结合，证明，即得；连接，根据直角三角形斜边中线性质，结合结果可得，证明，即得； （2）连接，根据矩形边角性质，结合，证明，得，，根据直角三角形斜边中线性质和等腰三角形性质证明 ，得，结合，得； （3）连接，延长交于点I，连接，过点C作于点J，根据平行四边形性质和等腰三角形性质证明，结合，得，得，得，结合中点性质得，得，得，得，证明，得，得， ,证明，可得，根据，得，得点I、J重合，即得． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 连接， ∵G，H分别是中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵矩形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵ G，H分别是中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，延长交于点I，连接， ∵在平行四边形中，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵G、H分别是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点J， 则， ∴， ∴， ∴点I、J重合， ∴． ∴． 变式3．（25-26九年级上·吉林松原·月考）如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边运动．过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．以为边向其右侧作正方形，设点的运动时间为，正方形与的重叠部分图形的面积为． (1)当点与点重合时，的值为______； (2)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，当平分正方形的边时，直接写出的值． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意可得为等腰直角三角形，可得，即可求解； （2）由（1）得：点Q到达点A所用时间为1秒，点P到达点C所用时间为2秒，分两段：当时；当时，结合平行四边形的性质解答即可； （3）分两种情况：当平分时，当平分时，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 当点Q在上时， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当点与点重合时，， ∴， 故答案为：1； （2）解：由（1）得：点Q到达点A所用时间为1秒，点P到达点C所用时间为2秒， 当时，正方形与的重叠部分图形为正方形， 由（1）得：为等腰直角三角形， ∴， ∴正方形的面积为， 即此时； 当时，如图，设交于点E，过点A作于点F，则为等腰直角三角形，此时正方形与的重叠部分图形为为多边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与之间的函数关系式为； （3）解：如图，当平分时，设，交于点H， 由（1）得：，， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：； 如图，当平分时，设交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴， 解得：； 综上所述，t的值为或． 考点二 四边形中的线段最值问题 例1．（25-26九年级上·河南周口·期末）某数学兴趣小组对正方形内部的点展开了如下探究． 已知为正方形内任意一点． (1)如图1，若点在对角线上，过点作于点，于点，则四边形的形状为___________． (2)如图2，连接，以为对角线作正方形，连接，，求证：． (3)如图3，连接绕点逆时针旋转得到线段，延长交于点，交的延长线于点，连接，若，求证：． (4)如图4，若，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1)正方形 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形，证明四边形是矩形，再利用一组邻边相等的矩形是正方形判定即可． （2）连接，证明，即可得到，根据相似三角形的性质，列式证明即可． （3）先证明，得到，然后等量代换，变形证明，得到，根据三角形的面积，证明即可． （4）将绕点C逆时针旋转得到，证明三点共线，连接根据两点之间线段最短，得到，利用勾股定理，计算即可． 【详解】（1）解：正方形． （2）解：连接, ∵正方形，正方形， ∴，， ， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （3）证明：∵线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （4）解：将绕点C逆时针旋转得到， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， 连接， ∵， ∴当四点共线时，取得最小值，且最小值为的长度， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为， ∵，， ∴的最小值为． 例2．（25-26九年级上·山东济南·期末）【问题引入】 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，，求的最小值． 【问题解决】 （1）小明同学提出了以下思路：如图，延长至点，使得，连接，当，，三点共线时，最小． ①与的数量关系是____________． ②的最小值为____________． 【能力运用】 （2）小涵同学发现，若将题目中的“”改为“”，我们就可以求出的最小值，如图，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】 （3）小晴同学又发现，当点，在矩形的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图，点，在对角线上，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①，②；（2）的最小值为，理由见解析；（3） 【分析】（1）①根据矩形的性质证明即可； ②连接，由勾股定理求得，结合①的结论得，则当点，，共线时，取得最小值为； （2）延长至点，使得，连接，，证明得，继而得到，当点，，共线时，取得最小值为，再由勾股定理求出即可； （3）延长至点，使得，连接，，证明得，继而得到，则当点，，三点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； ②连接，如图， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 在中，， ∵， ∴当点，，共线时，取得最小值为， 故答案为：； （2）解：的最小值为． 理由：延长至点，使得，连接，，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点，，共线时，取得最小值为， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 在中，， ∴的最小值为； （3）解：延长至点，使得，连接，，如图， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点，，三点共线时，取得最小值为， ∵四边形是矩形，，， ∴，， 在中，， ∴的最小值为． 例3．（24-25九年级下·广西南宁·月考）【问题发现】 （1）如图1，在矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，则： ①______，______，______，______； ②______填“”“”或“； 【类比探究】 （2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，的反向延长线于点，，②中的结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，是外一点，，，，请求出的最小值． 【答案】（1）①5，，，；②；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）由矩形的性质得，，则得，则四边形和四边形都是矩形，所以，，，则，因为，，即可根据勾股定理求得问题的答案； 由，，得，于是得到问题的答案； （2）先证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，求得；再由，，求得，所以，则，所以中结论成立； （3）作交的延长线于点，则，所以，，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、，可证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，则，求得，则，所以，求得的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：如图， 四边形是矩形，，， ，， 过点作，分别交，于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，，， ， ， ，， ， ，， 故答案为：，，，． ，， ， 故答案为：． （2）解：成立，理由如下： 如图， 四边形是矩形， ， ， 过点作，分别交，反向延长线于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ； ，， ， ， ． （3）解：如图，作交的延长线于点，则， ，， 作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、， ， ， ， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 的最小值为． 变式1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)的大小是定值，定值为 (3) 【分析】（1）利用正方形的性质证明，得到，再利用角的和差得到，即可证明； （2）由的周长为4，得到，由正方形的边长为2得到，得到，进而利用线段的和差推出，通过证明得到，结合即可得出结论； （3）连接，利用全等三角形的性质得到，利用三角形的面积公式得到，利用勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为4， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的大小是定值，定值为； （3）解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴是的高， ∵， ∴是的高， 由（2）得，， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． 变式2．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接． (1)当点E在上时，作，垂足为M，求证； (2)当时，求的长； (3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值． 【答案】(1)见详解 (2)或 (3) 【分析】（1）证明即可得证． （2）分情况讨论，当点E在BC上时，借助，在中求解；当点E在CD上时，过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，借助并利用勾股定理求解即可． （3）分别讨论当点E在BC和CD上时，点F所在位置不同，DF的最小值也不同，综合比较取最小即可． 【详解】（1）如图所示， 由题意可知，，， ， 由旋转性质知：AE=AF， 在和中， ， ， ． （2）当点E在BC上时， 在中，，， 则， 在中，，， 则， 由（1）可得，， 在中，，， 则， 当点E在CD上时，如图， 过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H， 同（1）可得， ， 由勾股定理得； 故CF的长为或． （3）如图1所示，当点E在BC边上时，过点D作于点H， 由（1）知，， 故点F在射线MF上运动，且点F与点H重合时，DH的值最小． 在与中， ， ， ， 即， ，， ， 在与中， ， ， ， 即， ， 故的最小值； 如图2所示，当点E在线段CD上时，将线段AD绕点A顺时针旋转的度数，得到线段AR，连接FR，过点D作，， 由题意可知，， 在与中， ， ， ， 故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，DF的值最小； 由于，，， 故四边形DQRK是矩形； ， ， ， ， 故此时DF的最小值为； 由于，故DF的最小值为． 变式3．（25-26九年级下·福建厦门·月考）如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足． (1)求点A的坐标； (2)取中点M，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P． ①求的长； ②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你求出线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由．可得，，即可求解； （2）①证明，得到，可得，即可求解；②取的中点，连接，．当点、、三点共线时，的长度最大，进而求解． 【详解】（1）解：． ，， 解得，， 点的坐标为； （2）①与关于所在直线对称， ，，， 如图，连接， ， ，， 设，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 点为的中点， ， ∴； ②取的中点，连接，． ，点是的中点， ． ， ， ， 由中点坐标可知：点的坐标为， ， ， ， 当点、、三点共线时，的长度最大， 则的最大值， ，， ， 的最大值． 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $特殊四边形中的动点问题、四边形中的线段最值问题专项训练 特殊四边形中的动点问题、四边形中的线段最值问题专项训练 考点目录 特殊四边形中的动点问题 四边形中的线段最值问题 考点一 特殊四边形中的动点问题 例1．（25-26九年级下·山东青岛·开学考试）如图，在中，，，，为边的中点，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．过点作交的边于点，以和为边作．设点的运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示长； (2)点在边上运动时（不含、），若的面积为，求出关于的函数关系式，并求出为何值时，； (3)当点不与的顶点重合时，连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 例2．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，，为边的中点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为t（秒） (1)当点与点重合时，的值为_____； (2)用含的代数式表示长； (3)将分成的两部分．其中的三角形与相似时，求t的值： (4)当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和为边作．连接，直接写出将分成面积相等的两部分时的值． 例3．（24-25九年级上·吉林长春·月考）如图，在中，，，．动点P、Q同时从点A出发，点P沿向终点B运动，速度为每秒2个单位长度，点Q沿射线运动，速度为每秒1个单位长度．当点P停止运动时，点Q继续运动，以、为邻边作．设运动时间为t秒（）． (1)在点P运动的过程中，________（用含t的代数式表示）； (2)当点D在线段上时，求t的值； (3)当与重叠部分为四边形时，设重叠部分面积为S，求S的表达式，并写出自变量的取值范围； (4)当点D落在的角平分线所在直线上时，直接写出t的值． 变式1．（25-26九年级下·江苏宿迁·月考）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度．设运动时间为，其中． (1)若，分别是，的中点，则四边形一定是____________（，相遇时除外）． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 变式2．（25-26九年级上·广东广州·月考）在四边形中，为边上一点，为延长线上一点，，分别是，中点，连接． (1)如图1，若四边形为正方形，且，试猜想：与之间的数量关系为________，与之间的数量关系为________； (2)如图2，若四边形为矩形，，，且，，求的长． (3)如图3，若四边形为平行四边形，，，，当时，求的长． 变式3．（25-26九年级上·吉林松原·月考）如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边运动．过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．以为边向其右侧作正方形，设点的运动时间为，正方形与的重叠部分图形的面积为． (1)当点与点重合时，的值为______； (2)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，当平分正方形的边时，直接写出的值． 考点二 四边形中的线段最值问题 例1．（25-26九年级上·河南周口·期末）某数学兴趣小组对正方形内部的点展开了如下探究． 已知为正方形内任意一点． (1)如图1，若点在对角线上，过点作于点，于点，则四边形的形状为___________． (2)如图2，连接，以为对角线作正方形，连接，，求证：． (3)如图3，连接绕点逆时针旋转得到线段，延长交于点，交的延长线于点，连接，若，求证：． (4)如图4，若，连接，直接写出的最小值． 例2．（25-26九年级上·山东济南·期末）【问题引入】 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，，求的最小值． 【问题解决】 （1）小明同学提出了以下思路：如图，延长至点，使得，连接，当，，三点共线时，最小． ①与的数量关系是____________． ②的最小值为____________． 【能力运用】 （2）小涵同学发现，若将题目中的“”改为“”，我们就可以求出的最小值，如图，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】 （3）小晴同学又发现，当点，在矩形的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图，点，在对角线上，，请直接写出的最小值． 例3．（24-25九年级下·广西南宁·月考）【问题发现】 （1）如图1，在矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，则： ①______，______，______，______； ②______填“”“”或“； 【类比探究】 （2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，的反向延长线于点，，②中的结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，是外一点，，，，请求出的最小值． 变式1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 变式2．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接． (1)当点E在上时，作，垂足为M，求证； (2)当时，求的长； (3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值． 变式3．（25-26九年级下·福建厦门·月考）如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足． (1)求点A的坐标； (2)取中点M，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P． ①求的长； ②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你求出线段长度的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $