期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题专项训练 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题专项训练 考点目录 周长问题 面积问题 线段长度最值与范围问题 考点一 周长问题 例1．（2026·四川广安·二模）记的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果； （2）根据三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，即可得结果. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 则， 又因为，则，可得， 即，所以. （2）因为的面积为，可得， 由余弦定理可得， 即，可得， 所以的周长为. 例2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且. (1)求角； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量平行的坐标表示和正弦定理边化角得到，再结合，化简求解即可； （2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理求得，即可求解. 【详解】（1）由得：， 边化角得：， 在中，， 故， 代入上式得：， 展开化简得：， 因为，， 两边同除以得：​， 又， 因此：； （2）由三角形面积公式， 代入， 得： 由，代入，， 得， 即， 因为，故， 故的周长为​. 例3．（25-26高一下·陕西西安·月考）已知分别为三个内角的对边，且. (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和公式即可求角，然后利用余弦定理求第三边； （2）利用正弦定理来边化角，借助三角函数性质来求周长的取值范围. 【详解】（1）在中，因为，结合正弦定理边化角可得： ，所以， 因为，，所以，则； 因为的面积为，所以，可得， 又由余弦定理可得 解得，所以周长为 （2）由正弦定理可得， 则，， 由， 因为为锐角三角形，则，，所以， 即，则， 故， 所以周长的取值范围为. 变式1．（2026·江西九江·二模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，结合，即可求出； （2）由数量积的定义可求出，再由余弦定理求出，即可求出的周长. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为，所以，即， 又因为，所以. （2）由， 所以，又因为， 由余弦定理可得：， 所以， 所以，所以， 所以的周长为：. 变式2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）中，角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求角； (2)求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理或余弦定理边角互化求解即可； （2）利用正弦定理将三角形周长的最值问题转化成三角函数的最值问题即可. 【详解】（1）由余弦定理可得， 代入，得 化简可得： 由余弦定理可得，又 故. （2）周长， 由正弦定理：， 故， . 由，知当时取最大值. 故的周长的最大值为. 变式3．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求B； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理将边的关系转化为角的关系，再结合同角三角函数的关系求解角B; （2）先利用正弦定理将a、c用角A、C表示，再结合三角形内角和定理将周长转化为关于单一角的函数，最后利用三角函数的性质求解取值范围. 【详解】（1）由和余弦定理，得， 则，显然，所以， 又，故. （2）因为，所以，， 又，所以，， 所以， 又，则，所以 ，所以， 所以，故的周长的取值范围为. 考点二 面积问题 例1．（25-26高一下·浙江杭州·月考）在中，角所对的边分别是，已知，. (1)求； (2)若上一点满足，且，求的面积. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用余弦定理求角，再根据正弦定理和三角恒等变换求得角； （2）根据正弦定理求得，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）由，得到， 即，，于是， 由，根据正弦定理得到，， ，于是，即， 因为，所以，故. （2）由题意得， 又在中，由，，则， 由正弦定理得， 于是， 故的面积为. 例2．（2026·江西·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，点D在边CA的延长线上，，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由与余弦定理，得， 所以，所以， 所以，又， 故． （2）由正弦定理及，得， 所以，又，所以， 在中，由正弦定理，得，即，所以． 则， 故的面积为． 例3．（25-26高一下·安徽淮南·期中）在中，角的对边分别为．且满足. (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解即可； （2）由面积可得，由内切圆半径可得，结合余弦定理可得答案； （3）由等面积法可得，结合由基本不等式可得，即可得面积最小值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 因为，则，可得， 又因为，则，， 可得，即， 可得，所以. （2）由（1）知， 则的面积，即， 又因为内切圆的半径为，则， 可得，即， 由余弦定理可得， 即，解得. （3）因为的平分线交于，由（1）知， 则， 又， 可得， 又， 则， 则，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积最小值为. 变式1．（25-26高一下·天津·月考）在中，已知： (1)求角； (2)若，，求边及的面积． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理求解. （2）利用余弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，而， 则，因此，而， 所以. （2）由（1）知，由余弦定理及， 得，而，所以，的面积. 变式2．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）在中，角所对的边分别为，已知，． (1)求角的大小； (2)求边的长度； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理可求得，可求角的大小； （2）利用勾股定理可求边的长度； （3）由三角形是直角三角形可求的面积． 【详解】（1）在中，由正弦定理得，又因为，， 所以，所以， 又因为，所以，所以； （2）由（1）可得，又，所以， 所以由勾股定理可得，所以. （3）由（2）知是直角三角形，且，所以. 变式3．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，，求周长. (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理与三角恒等变换公式，推导出角的三角函数值，进而确定角的大小； （2）先利用三角形面积公式求出边的长度，再结合余弦定理求出边的长度，最后将三边相加得到周长； （3）利用正弦定理将另外两边用角表示，再结合锐角三角形的条件确定角的取值范围，最后代入三角形面积公式，利用三角恒等变换与三角函数的性质求出面积的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理，得： ， 代入原等式：， 整理得， 因为， 所以， 由于，所以，所以， 又，所以； （2）因为且，所以， 由余弦定理可得， 则，解得， 所以，即的周长为； （3） ， 因为是锐角三角形，又， 所以，解得， 所以，则， 从而. 考点三 线段长度最值与范围问题 例1．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知中，角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理化简计算求解； （2）由正弦定理可得，结合三角恒等变换可得，结合题意可得，根据正切函数性质计算求解. 【详解】（1）可化为， 由余弦定理可得， 因为，所以. （2）由正弦定理可得，即， 因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，， 所以，即的取值范围为. 例2．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知锐角中，角所对的边分别为，且， (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用正弦定理将边化成角，再结合三角恒等变换进行推导. (2)利用正弦定理将表达式化为关于角的函数，再根据三角函数单调性求函数值域. 【详解】（1）证明：因为，所以由正弦定理可得， 又 ，即， 解得或(舍去)，所以. （2）因为，由正弦定理可得 ， 因为是锐角三角形，所以， ，所以， 因为在上单调递增，，， 所以. 例3．（25-26高三下·云南楚雄·月考）在锐角中，内角，，所对的边分别是，，，且. (1)求的大小； (2)若，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解； （2）由正弦定理得到，，由诱导公式得到.则，利用两角和差的正弦公式和辅助角公式化简，由为锐角三角形得到的范围，利用正弦函数的图像和性质得到的范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得. 即， 因为在中，， 所以， 又，所以. （2）因为，，结合正弦定理，得. 所以，. 在中，. 所以. 因为为锐角三角形， 所以，解得. 则. 所以. 所以. 变式1．（25-26高一下·黑龙江大庆·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若D为边BC上一点，满足，且，求的面积最大值； (3)若D为边BC上一点，AD为角A的平分线，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式化简计算即可得； （2）借助向量线性运算、模长与数量积的关系及基本不等式可得的最大值，再利用面积公式计算即可得解； （3）借助等面积法及基本不等式计算即可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 所以， 因为，所以，可得，所以， 又因为，故； （2）因为D为边BC上，满足， 所以，所以，所以， 所以， 即有， 即， 所以，所以，即， 当且仅当时，即时，取等号， 所以， 即的面积最大值为； （3）由， 则， 可得，则， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为. 变式2．（2026·河北衡水·二模）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积 (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式与题目给定的面积表达式建立等式，结合余弦定理 ，推导出，再根据的取值范围求值； （2）由正弦定理将边转化为角的正弦形式，结合降幂公式与三角恒等变换，将化简为关于角的三角函数，再根据锐角三角形的条件确定的取值范围，最终求出 的取值范围. 【详解】（1）因为，且，所以， 所以，所以， 即，由，所以； （2）因为，所以，， 所以 又，所以， 所以 因为是锐角三角形，所以，得， 所以，， 所以 变式3．（25-26高一下·河北石家庄·月考）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若为锐角三角形，，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用正弦定理把边的关系转化为角的关系，再利用三角形内角和与辅助角公式，结合角的范围即可求得结果； （2）先通过余弦定理得到与的关系，再用向量表示出，结合正弦定理转化为角的三角函数，最后根据锐角三角形角的范围即可求出取值范围. 【详解】（1）根据题意可知，， 由正弦定理得：， 即， 所以， 即． 又，则， 故，即，所以 ． 又，所以 ， 即，故． （2）根据余弦定理得：， 即． 又因为，两边平方得． 根据正弦定理可知，，故，， 所以 ． 又由于是锐角三角形，因此可得，解得． 因此，所以，即， 所以，则． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题专项训练 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题专项训练 考点目录 周长问题 面积问题 线段长度最值与范围问题 考点一 周长问题 例1.(2026四川广安·二模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 2acosA+bcosC =ccos(A+C). (1)求角A的大小； (2)若a=√2I,ABC的面积为√5，求ABC的周长. 例2.(25-26高一下江苏扬州期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,向量 m=(cos B,2a+b),n=(1,2c),m//n (1)求角C; ②若c=3,且ABC的面积为32，求ABC的周3 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题专项训练 例3.(25-26高一下·陕西西安月考)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且bcosC+ccosB=2 acosA. 者6+c=5,4BC的面积为5，求4BC的周长： 2 (2)若ABC为锐角三角形，a=1,求ABC周长的取值范围. 变式1.(2026江西九江二模)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a sin B=bcosA. (1)求A; (2)若AB.AC=2,a=√2，求ABC的周长. 2 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题专项训练 变式2.(25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考)ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 2a-2 bcosC=c,b=√5 (I)求角B; (2)求ABC周长的最大值 变式3.(25-26高三下·甘肃金昌月考)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 2acsin B=3(a2+c2-b2) (1)求B; (2)若b=√3，求ABC的周长的取值范围 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题专项训练 考点二 面积问题 例1.(25-26高一下·浙江杭州月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,己知b2+c2-a2=√2bc, √3 bsinC=c1+cosB (1)求A,B: (2)若AC上一点D满足BD⊥AC,且BD=1,求ABC的面积 例2.(2026江西·二模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos A=c. (1)求B; (2)若sinA=V5sinC,点D在边CA的延长线上，∠BDC=元，且BD=V6,求ABC的面积. 4 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题专项训练 例3.(25-26高一下·安徽准南期中)在ABC中，角4，B,C的对边分别为a,b,c.且满足ccos=4sinC 2 (1)求角A的大小： (2)若ABC的面积S=9√3，内切圆的半径为r=√3，求a; (3)若∠BAC的平分线交BC于D,且AD=3,求ABC的面积S的最小值. 变式1.(25-26高一下·天津·月考)在ABC中，己知：√3 bcos A=asin B (1)求角A; (2)若a=√7，b=2,求边c及ABC的面积. 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题专项训练 变式2.(25-26高一下·贵州贵阳月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2√5，b=2, A=60°. (I)求角B的大小： (2)求边C的长度； (3)求ABC的面积. 变式3.(25-26高一下·贵州贵阳·月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosC=2 a cos B-ccosB (1)求角B的大小； 2)若b=2,S.Bc=V5,求ABC周长 (3)若ABC为锐角三角形，且c=2,求ABC面积的取值范围 6 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题专项训练 考点三 线段长度最值与范围问题 例1.(25-26高一下·湖北武汉·期中)己知ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a-b+c(a+b-c=bc. (1)求角A的大小： (②)若ABC为锐角三角形，求的取值范围. 例2.(25-26高一下·江苏常州期中)己知锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a(1+2cosB)=c, (1)求证：B=2A; ②求sin4的取值范围. b 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题专项训练 例3.(25-26高三下·云南楚雄月考)在锐角ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,C,且 bcosC ccosB 2acosA (1)求A的大小： (2)若a=V5,求b+c的范围 变式1.(25-26高一下·黑龙江大庆期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 b -csin A+acos C. 3 (1)求角A的大小： (2)若D为边BC上一点，满足BD=2CD,且AD=2,求ABC的面积最大值； (③)若D为边BC上一点，AD为角A的平分线，且AD=1,求b+2c的最小值. P 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题专项训练 变式2.(2026·河北衡水二模)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且ABC的面积 59e+6-c (I)求角C的大小： (2)若c=√5，求a2+b的取值范围. 变式3.(25-26高一下·河北石家庄月考)己知a4,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且 acosC+3asinC-b-c=0. (1)求角A; (2)若ABC为锐角三角形，a=√3，求边BC上的中线AD的取值范围. 9