期中培优：利用三角函数与基本不等式求最值问题、爪形三角形与四边形中的解三角形问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期中培优：利用三角函数与基本不等式求最值问题、爪形三角形与四边形中的解三角形问题专项训练 期中培优：利用三角函数与基本不等式求最值问题、爪形三角形与四边形中的解三角形问题 专项训练 考点目录 利用三角函数求解三角形中的最值问题 利用基本不等式求解三角形中的最值问题 爪形三角形中的解三角形问题 四边形中的解三角形问题 考点一 利用三角函数求解三角形中的最值问题 例1．（25-26高一下·河北保定·月考）在中，角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由正弦定理将已知关系式化为边的二次式，再利用余弦定理求角； （2）由是锐角三角形求出的范围，由正弦定理及将转化为关于的三角函数，求出范围，进而得到周长的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理，可转化为，即， 由余弦定理，又，所以； （2）因为为锐角三角形，所以，解得， 由正弦定理可得，， 所以 ， 因为，所以，所以，所以， 所以，即周长的取值范围是. 例2．（2026·重庆·二模）已知向量，，且，. (1)求的值； (2)在中，内角的对边分别为. 若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量点积公式列方程，用辅助角公式化简为单一三角函数，结合的取值范围求解； （2）结合三角形内角和，用正弦定理将边的比转化为角的正弦比，再用三角恒等变换化简，最后求三角函数值域. 【详解】（1）根据向量点积公式：， 用辅助角公式化简：，即. 已知，故，则， 解得. （2）已知，故，即 ，. 根据正弦定理，得， 代入，化简得 ， 因此：. 由得，故，代入得. 例3．（2026·安徽淮北·二模）已知的三个顶点在半径为2的圆上，. (1)求； (2)若为锐角，求周长的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由正弦定理可求得，可求； （2）由正弦定理可得，结合三角恒等变换，以及的范围可求得周长的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理可得，所以， 又因为，所以或. （2）若为锐角，由（1）可知， 由正弦定理可得， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以周长的取值范围为. 变式1．（25-26高一下·黑龙江鸡西·月考）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可化简整理得到结论； （2）利用面积比可求得，根据，利用余弦定理可构造方程求得，进而得到结果； （3）利用正弦定理边化角，结合两角和差和二倍角公式进行化简，将问题转化为三角函数值域的问题，即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得：， ， ， ； ，， 或， 即或（舍）， ； （2） 由（1）知：，又为的平分线， ， ， ， ， 设，则， ， ， 又， ， ， 解得：或（舍），即， ， ； （3），，， ， 为锐角三角形， ， 解得：， ， ， . 变式2．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的值. (2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）30（ii） 【分析】（1）切化弦整理可得，结合分析判断可得，即可得结果； （2）（i）根据等面积法可得，即，再利用正、余弦定理可得，即可得周长；（ii）整理可得，利用正弦定理边角转化结合三角恒等变换可得，进而分析最值. 【详解】（1）因为，即， 整理可得，即， 因为，则，， 则或或， 即或（舍去）或（舍去）， 且，解得. （2）（ⅰ）由题意可知：， 则，可得， 又因为，则， 由余弦定理可知， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的周长； （ⅱ）由（ⅰ）可知： ，即， 则， 可得 ， 且，则，可得， 则，所以的最大值为. 变式3．（25-26高一下·湖南常德·月考）在中，角，，的对边分别为，，，，. (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． （2）由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． （3）由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 考点二 利用基本不等式求解三角形中的最值问题 例1．（25-26高三下·云南曲靖·月考）已知，（），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的单调递增区间； (2)若锐角的内角的对边分别为，且，，求面积的最大值． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）首先根据向量数量积的坐标公式求出的表达式，然后根据周期确定，根据三角函数性质确定单调区间； （2）根据已知条件求出角，结合余弦定理得出方程，利用重要不等式求最值. 【详解】（1）由已知 . 又的图象上相邻两条对称轴之间的距离为， 可得，可得，解得， 所以， 令， 解得， 即函数的单调递增区间为, （2）因为，， 所以， 即， 又，则，解得. 由， 因为，所以，即， 当且仅当时成立，此时为等边三角形符合题意， . 例2．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且满足． (1)求角C的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求c； (3)若的平分线交AB于D，且，求的面积S的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题设结合正弦定理边角互化可得答案； （2）由，可得，由，可得，然后由余弦定理可得答案； （3）由结合可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】（1）因为，由正弦定理边角互化，可得： ， 又，则； （2）， 又， 由余弦定理：， 所以； （3）由题可得， 则 ， 由基本不等式，， 则，当且仅当时取等号. 例3．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知中，角所对的边分别为，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值； (3)若，为线段上一点，满足，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将已知条件进行边角转化，利用三角恒等变换求解即可； （2）结合余弦定理及基本不等式求解即可； （3）设，利用余弦定理及与互补，可得①，在中，由余弦定理可得②，由①②，求得，代入面积公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以． 整理得：， 即，， 而,故，又因为，所以； （2），， 由余弦定理可得：， 即， 又因为，当且仅当时，等号成立； 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以周长，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为； （3）如图所示： 设， 则， 在中，由余弦定理可得： ， 在中，由余弦定理可得： ， 又因为与互补， 所以， 所以①， 在中，由余弦定理可得： ， 整理得，② 由①②可得：， 解得， 所以 变式1．（25-26高一下·福建厦门·月考）已知中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且． (1)若的面积为，求角C的大小； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换和正弦定理得，结合三角形的面积可求得，可求角C的大小； （2）由（1）结合基本不等式可求得的最大值． 【详解】（1）原式变形为 即，， 又， ， ，， （2）， 又，， ，， 当时，取到最大值，最大值为 变式2．（25-26高二上·湖南·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求； (2)若BC边上的中线，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正弦定理得到，再利用余弦定理即可求出答案； （2）在中根据余弦定理得，利用基本不等式求出，即可求出答案. 【详解】（1）由正弦定理，且， 可得， 即，所以， 又，故. （2）在中，由余弦定理得， 化简得， 因为（当且仅当时取等号）， 所以，解得， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以面积的最大值为. 变式3．（25-26高三上·上海·期中）在中，角所对边的边长分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若外接圆的直径等于4，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理证出，结合题目信息可得，求出，进而可得角大小； （2）根据正弦定理求出，结合余弦定理推导出，然后根据基本不等式算出，再利用三角形的面积公式求出面积的最大值，可得答案． 【详解】（1）根据余弦定理得， 由，可得， 因为，所以， 又因为，解得， 所以角的值为. （2）若外接圆的直径， 根据正弦定理得， 由余弦定理得， 即，可得， 根据基本不等式，可得，所以， 解得，当且仅当时，等号成立， 可得的面积， 所以当时，的面积取得最大值， 所以面积的最大值为． 考点三 爪形三角形中的解三角形问题 例1．（25-26高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若是的角平分线，，，求的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得； （2）由题意，进而根据向量模的关系求得，再计算面积即可； （3）根据题意，结合得，再根据余弦定理求解即可. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； （2）解：因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； （3）解：已知平分，且，故， 由 得； 将 ，代入得 ，解得 ∵ ∴ 例2．（2026·河南郑州·二模）如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理可得、，由可得，再结合即可得的值； （2）设，利用余弦定理可表示出、，再利用（1）中所得即可得解. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得，则， 在中，由正弦定理可得，则， 故， 由，则， 则，故； （2）设，则，， 在中，由余弦定理可得 ， 在中，由余弦定理可得 ， 由（1）知，则， 故， 解得. 例3．（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求的角平分线的长. 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理，将已知的边角关系进行转化，最后求解即可； （2）利用余弦定理建立关于未知边 的一元二次方程，求解后再代入面积公式即可； （3）先利用角平分线将原三角形 分割成两个小三角形 和 ，得到它们的面积之和等于原三角形的面积，最后代入求解即可. 【详解】（1），，， 由得，. （2）由（1）得，， ，或（舍去）， 的面积. （3）设， 则，， ， . 变式1．（24-25高二上·广东广州·期中）已知的内角的对边分别为，且．    (1)求； (2)如图，若点是边上一点，且，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理化简再结合余弦定理，结合特殊角即可解； （2）先设角以减少未知量，应用正弦定理求出正切，再结合角的范围计算求出结果. 【详解】（1）由及正弦定理得， 整理得，又由余弦定理推论及三角形内角性质得 （2）因为，所以， 设，所以， 在中，①， 在中，由正弦定理得②， 由①②及得，即，解得. 由，解得. 变式2．（25-26高三上·四川成都·月考）在中，分别是角所对的边，且满足. (1)求的大小； (2)点是边上一点，且满足， ①求的值； ②求的值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据正弦定理由边化角，再根据两角和的正弦公式解三角形. （2）①根据正弦定理，列出方程组，进而求出结果； ②方法一：根据两角和的正弦公式和二倍角公式，求出角的值，再根据正弦定理，求出结果； 方法二：根据前面两个小问的结果，列出方程，根据两角和的余弦公式，求出角的值，再根据正弦定理，求出结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得：. 由于，则，所以 由于在中，， 代入上式化简得：，则， 由于，所以； （2）①由于，则， 在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得， 所以，由于满足， 所以， ②法1.由于在中，， 所以，即， 所以，所以， 由于，则， 所以则或，解得或， 当时，，所以， 当时，，则，与已知矛盾. 综上，. 法2.由①知，又由（1）知 且，在中，， ， 又，故，又，所以， 所以. 变式3．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）在中，角的对边为，，，，且. (1)求； (2)若的周长为，求边上的高. 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）由余弦定理可以求出，再由三角函数的性质求解； （2）在中，过点作，设，将的周长表示出来即可求解． 【详解】（1）因为，所以， 又因为， 所以， 所以， 得， 得，又因为，所以． （2）在中，过点作， 所以， 设，则在中，， 则在中，， 所以的周长为 所以， 记边上的高为， 所以． 考点四 四边形中的解三角形问题 例1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的面积为. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合三角形的面积公式和余弦定理求解即可； （2）由正弦定理可得，由为锐角三角形，可得，从而可得范围，根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据四边形的内角和为，可得，设，在，中，结合正弦定理可得，代入，可求得，求出两三角形的面积即可得答案. 【详解】（1）因为， 所以， 整理得， 又， 所以 （2）在中，由正弦定理知，， 所以 ， 若为锐角三角形， 则, 解得， 所以，， 所以， 所以的面积， 故的面积的取值范围为. （3）因为四边形的内角和为， 所以， 设，则， 又， 在中，由正弦定理知，， 即， 在中，由正弦定理知，， 即， 两式作商得，， 又， 则， 整理得，即， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，， 而， 所以． 例2．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在平面凸四边形中，． (1)若． ①求的长； ②求四边形的面积； (2)若，求的长． 【答案】(1)①  ② (2) 【分析】（1）第①小问用两次余弦定理即可，第②小问直接用面积公式即可. （2）设，用表示各边，再对用余弦定理即可. 【详解】（1）①，，即 由余弦定理得， 代入得：， 化简得：，解得. ②设四边形的面积为，， . （2）如下图，过点作垂线交于，设， ， 四边形是矩形，， 对用勾股定理得：， 对用勾股定理得：， 对用余弦定理得：， 即，化简得 两边平方得：， 再化简得：， 解得或4，，或2， 又是锐角三角形，， 即，得，. 例3．（23-24高一下·福建龙岩·期中）现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形. (1)求出所有可能的三角形的面积. (2)如图，在平面凸四边形中，，，，. ①当大小变化时，求四边形面积的最大值，并求出面积最大时的值. ②当时，所在平面内是否存在点P，使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)①，；②存在， 【分析】（1）分三角形三边分别为3，3，4和2，4，4两种情况，利用三角形面积公式，求得三角形面积即可； （2）①利用余弦定理及三角恒等变换，结合已知条件计算可得； ②假设存在符合条件的点，把绕点逆时针旋转，结合图形及线段关系可得最小值． 【详解】（1）根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知，所有可能符合情况的三角形的三边长为，3，4和2，，4， 当三角形三边为，3，4时，由余弦定理知等腰三角形顶角的余弦值，，. 当三角形三边为2，，4时，由余弦定理知等腰三角形顶角的余弦值，，. （2）①连接BD，由余弦定理知，， ∴，， ∴， ∴. 又， ∴. 又∵， ∴. ∴. 故 ， 当且仅当时，，取得最大值， 此时，， ∴，，，，. ②把绕A逆时针旋转60°，如图，则，，连接. 为等边三角形，则，，，， ∴（当且仅当，，P，B共线时取得最小值）， 此刻， ∴最小值为. 变式1．（24-25高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简得到，再由，两式相除求得，即可求解； （2）根据题意，利用，求得，结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以， 因为，两式相除得，所以， 又因为，可得，所以. （2）因为，所以， 又因为平分，可得， 因为，且，， 所以， 即，解得， 在中，由余弦定理得 ，所以. 变式2．（24-25高一下·辽宁·期中）古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，    (1)若，，，（图1），求线段长度的最大值； (2)若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值； (3)在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值. 【答案】(1) (2)时，四边形面积取得最大值，且最大值为． (3) 【分析】（1）由题意可得，进而求出的最大值； （2）由题意可得，分别在，中，由余弦定理可得的表达式，两式联立可得的值，进而求出角的大小，进而求出此时的四边形的面积． （3）根据余弦定理可得，即可结合不等式求解最值. 【详解】（1）由，，，，可得， 由题意可得， 即， 即，当且仅当四点共圆时等号成立 即的最大值为； （2）如图2，连接，因为四点共圆时四边形的面积最大，，，， 所以，即，， 在中，，① 在中，由余弦定理可得，② 由①②可得， 解得，而，可得， 所以， 此时． 所以时，四边形面积取得最大值，且最大值为．    （3）由题意可知所以，即， 在中，由余弦定理可得, 故, 故， 故，当且仅当时等号成立， 故最大值为 变式3．（24-25高二下·江苏南京·期中）某市遇到洪涝灾害．在该市的某湖泊的岸边的O点处（湖岸可视为直线）停放着一艘搜救小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑（假设小船沿直线匀速漂移）． (1)为了找回小船，需要测量小船的漂移速度（请使用km/h作为单位，精确到0.1km/h）． 现有两种方案： ①如图1，在湖岸设置一个观察点A，A点距离O点20m．当小船在漂移到B处时，测得；经过15s，小船漂移到C处，测得．又在O点处测量得小船的漂移方向与河岸成30°．请根据以上数据，计算小船的漂移速度． ②如图2，在岸边设置两个观察点A，B，且A，B之间的直线距离为20m，当小船在C处时，测得和；经过20s，小船漂移到D处，测得和．请根据以上数据，计算小船的漂移速度． (2)如图3，若小船从点O开始漂移的同时，在O点处的一名安全员沿河岸以4km/h开始追赶小船，在此过程中获知小船的漂移方向与河岸成30°，漂移的速度为2.2km/h，于是安全员在河岸上选择合适的地点A下水，以2km/h的速度游泳沿直线追赶小船．问安全员是否能追上小船？请说明理由． 参考数据：，，，． 【答案】(1)①（km/h） ；②（km/h） (2)安全员可以追上小船，理由见解析 【分析】（1）①由正弦定理求出和，求出即可求出小船的速度； ②根据正弦定理求出和，根据余弦定理求出即可求出小船的速度； （2）设安全员经过t小时与小船相遇，小船的漂移速度是v km/h，根据余弦定理和二次函数的性质即可判断安全员是否能追上小船. 【详解】（1）①如图1，在中，由，， 所以，由正弦定理， 得，所以， 在中，由，， 所以，由正弦定理， 得，所以， 所以（m）， 所以小船的速度（km/h）， ②如图2，在中，由，， 所以，由正弦定理，得， 所以，在中， 因为，， 所以，由正弦定理，得， 所以，又在中， ， ， 所以（m），小船的速度（km/h）； （2）如图3，设安全员经过t小时与小船相遇，其中游泳时间为小时，小船的漂移速度是v km/h， 则，，， 由余弦定理可知， 整理化简可得， 设，，令， 因为，， 的对称轴是直线， ． 所以函数在上有零点，即方程在内有解，所以安全员可以追上小船． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：利用三角函数与基本不等式求最值问题、爪形三角形与四边形中的解三角形问题专项训练 期中培优：利用三角函数与基本不等式求最值问题、爪形三角形与四边形中的解三角形问题 专项训练 考点目录 利用三角函数求解三角形中的最值问题 利用基本不等式求解三角形中的最值问题 爪形三角形中的解三角形问题 四边形中的解三角形问题 考点一 利用三角函数求解三角形中的最值问题 例1．（25-26高一下·河北保定·月考）在中，角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 例2．（2026·重庆·二模）已知向量，，且，. (1)求的值； (2)在中，内角的对边分别为. 若，求的取值范围. 例3．（2026·安徽淮北·二模）已知的三个顶点在半径为2的圆上，. (1)求； (2)若为锐角，求周长的取值范围. 变式1．（25-26高一下·黑龙江鸡西·月考）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 变式2．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的值. (2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 变式3．（25-26高一下·湖南常德·月考）在中，角，，的对边分别为，，，，. (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 考点二 利用基本不等式求解三角形中的最值问题 例1．（25-26高三下·云南曲靖·月考）已知，（），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的单调递增区间； (2)若锐角的内角的对边分别为，且，，求面积的最大值． 例2．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且满足． (1)求角C的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求c； (3)若的平分线交AB于D，且，求的面积S的最小值． 例3．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知中，角所对的边分别为，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值； (3)若，为线段上一点，满足，求的面积． 变式1．（25-26高一下·福建厦门·月考）已知中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且． (1)若的面积为，求角C的大小； (2)若，求的最大值． 变式2．（25-26高二上·湖南·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求； (2)若BC边上的中线，求面积的最大值. 变式3．（25-26高三上·上海·期中）在中，角所对边的边长分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若外接圆的直径等于4，求面积的最大值． 考点三 爪形三角形中的解三角形问题 例1．（25-26高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若是的角平分线，，，求的长. 例2．（2026·河南郑州·二模）如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 例3．（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求的角平分线的长. 变式1．（24-25高二上·广东广州·期中）已知的内角的对边分别为，且．    (1)求； (2)如图，若点是边上一点，且，，求． 变式2．（25-26高三上·四川成都·月考）在中，分别是角所对的边，且满足. (1)求的大小； (2)点是边上一点，且满足， ①求的值； ②求的值. 变式3．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）在中，角的对边为，，，，且. (1)求； (2)若的周长为，求边上的高. 考点四 四边形中的解三角形问题 例1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的面积为. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值. 例2．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在平面凸四边形中，． (1)若． ①求的长； ②求四边形的面积； (2)若，求的长． 例3．（23-24高一下·福建龙岩·期中）现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形. (1)求出所有可能的三角形的面积. (2)如图，在平面凸四边形中，，，，. ①当大小变化时，求四边形面积的最大值，并求出面积最大时的值. ②当时，所在平面内是否存在点P，使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由. 变式1．（24-25高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 变式2．（24-25高一下·辽宁·期中）古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，    (1)若，，，（图1），求线段长度的最大值； (2)若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值； (3)在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值. 变式3．（24-25高二下·江苏南京·期中）某市遇到洪涝灾害．在该市的某湖泊的岸边的O点处（湖岸可视为直线）停放着一艘搜救小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑（假设小船沿直线匀速漂移）． (1)为了找回小船，需要测量小船的漂移速度（请使用km/h作为单位，精确到0.1km/h）． 现有两种方案： ①如图1，在湖岸设置一个观察点A，A点距离O点20m．当小船在漂移到B处时，测得；经过15s，小船漂移到C处，测得．又在O点处测量得小船的漂移方向与河岸成30°．请根据以上数据，计算小船的漂移速度． ②如图2，在岸边设置两个观察点A，B，且A，B之间的直线距离为20m，当小船在C处时，测得和；经过20s，小船漂移到D处，测得和．请根据以上数据，计算小船的漂移速度． (2)如图3，若小船从点O开始漂移的同时，在O点处的一名安全员沿河岸以4km/h开始追赶小船，在此过程中获知小船的漂移方向与河岸成30°，漂移的速度为2.2km/h，于是安全员在河岸上选择合适的地点A下水，以2km/h的速度游泳沿直线追赶小船．问安全员是否能追上小船？请说明理由． 参考数据：，，，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $