期中培优：数列求和3种高频考点专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

期中培优：数列求和3种高频考点专项训练 期中培优：数列求和3种高频考点专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组（并项）求和 考点一 裂项相消法 例1．（25-26高二下·福建厦门·月考）设数列的前项和为，且. (1)证明：是等差数列； (2)设，求数列的前项和 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用得到，用定义法证明是等差数列； （2）用裂项相消法求和. 【详解】（1）当时，因为，所以， 所以，则. 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）可知，， 所以， 所以 . 例2．（2026·四川德阳·模拟预测）已知数列中，． (1)求； (2)设，证明：数列是等比数列； (3)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由递推公式可得答案； （2）证明为常数即可完成证明； （3）由（2）分析可得，，然后由裂项求和法可得答案. 【详解】（1）数列中，， 则，； （2）由，则，则， 从而是以为首项，公比为2的等比数列； （3）由（2）， 则 ， 从而. 例3．（2026·福建厦门·二模）记数列的前项和为，已知． (1)证明是等差数列，并求； (2)记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）利用，结合等差数列的定义即可求解； （2）使用等差数列前项和公式求得，再使用裂项相消结合的取值范围即可得证. 【详解】（1）当时，， 则， 即， 由于，所以， ，解得，， 所以是首项为3，公差为2的等差数列，得证， 即. （2）由（1）知，， 所以， 则 即， 又因为，所以，故得证. 变式1．（2026·四川·模拟预测）已知是正项数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，先求出，根据，整理化简，结合等差数列的定义，即可得答案. （2）由（1）得，根据裂项相消求和法，即可得答案. 【详解】（1）当时，. 因为是正项数列，所以. 由，得， 两式相减，得，即. 因为，所以， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以. （2）因为， 所以. 变式2．（2026·湖南·模拟预测）已知正项数列满足，且. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明为等差数列，即证为常数，对条件化简即可证明； （2）先求的表达式，求出，化简通项，再分奇偶讨论前项和即可. 【详解】（1）由得，， 所以 ， 故是首项为1，公差为1的等差数列； （2）因为，所以由（1）可知，，则. 所以 . 当为偶数时， 当为奇数时， 综上所述，. 变式3．（25-26高二下·江西九江·月考）已知函数（且）的图象经过点，记数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求的取值范围． 【答案】(1)数列的通项公式为(2)，． 【分析】（1）利用函数过定点求参数，建立和的关系，使用求解通项公式，最后验证即可； （2）通过裂项相消法求和，结合的单调性分析出取值范围． 【详解】（1）由函数的图象经过点，得，解得， 所以，因此， ①当时，， ②当时，， 因为也满足， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知， 所以 ， 因为，所以，即， 所以，且． 考点二 错位相减法 例1．（2026·甘肃兰州·二模）已知数列的前n项和为，且. (1)证明数列是等比数列并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用得出数列的递推关系，结合等比数列的通项公式求得； （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）由，当时，， 两式相减得， 即时，，即， 由，可得当时，，解得， 所以是首项和公比均为2的等比数列， 所以，即； （2）因为， 所以①， 则②， ①-②得 ， 所以. 例2．（2026·广东惠州·模拟预测）已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解； (2) (3) 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；进而求出的通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）根据（1）得到，根据作差法得到数列的单调性，再求范围即可. 【详解】（1）已知，故，当时，. 因为，代入， 整理得. 因此是首项为、公比为的等比数列， 所以，故. （2） 两边同乘​得 得，， 整理得. （3）由​得，设​，对任意正整数恒成立， 只需的最大值. ， 当时，，即； 当时，，即， 故最大值为. 因此的取值范围为. 例3．（25-26高二下·浙江·期中）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式，解方程组即可； （2）利用错位相减法求和可得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由，可得，可得① 由可得，整理可得②. 联立①②可得，. 所以. （2）因为，则. 所以， 上式-下式得 . 因此，. 变式1．（25-26高二下·江西赣州·期中）在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）利用数列的递推关系和等比数列的性质可得； （2）根据（1）得到数列的表达式，采用错位相减法即可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，且， 因为，且，，成等比数列， 所以，即，解得(舍)， 所以； 数列的前n项和满足①， 所以当时，， 当时，②， 所以由①②得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）可得， 所以③， ④， 由③④得 ， . 变式2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求数列的通项公式，再根据公式，求解数列的递推关系式，通过构造求数列的通项公式； （2）首先利用倒序相加法求数列的通项公式，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）因为，且数列是公差为的等差数列，所以， 所以， 当时，，两式相减，得， 所以，所以， 所以数列是常数列，所以，即. （2）因为，所以. 又， 两式相加，得. 所以. 所以， ， 两式相减，得 . 所以. 变式3．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列满足：，；数列的前项和． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式，由可求得数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， ， 当时， 当时，符合， 所以. （2）由（1）可得：， ① ② ①②可得： ， 所以. 考点三 分组（并项）求和 例1．（2026·江苏镇江·二模）已知数列的首项是，且． (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最小整数n的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 所以， 又， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 可得. （2）由（1）得为等比数列， 设数列的前项和为，， 所以， 构造函数令，根据增函数减去减函数为增函数，可得函数为增函数， 为整数，所以当，，不成立， 当，，成立， 所以满足条件的最小整数n的值为. 例2．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据的关系求的通项公式；根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出数列的通项公式; （2）分为偶数，奇数，分组后由等差、等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式， 所以； 由得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； （2）当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以 例3．（2026·安徽安庆·模拟预测）设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用等差数列基本量运算结合等差数列求和公式计算，再应用计算求解； （2）应用等比数列求和公式及对数运算分组求和计算求解. 【详解】（1）因为与的等比中项为3，，所以，所以，即， 设等差数列的公差为d，因为，所以，即，， 所以，即. 当时，， 当时，，满足上式， 所以. （2）由（1）知， 则 . 所以数列的前项和为. 变式1．（25-26高二下·北京顺义·月考）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等比数列通项公式和等差中项的含义得到关于的方程，解出即可； （2）利用分组求和法结合等差、等比数列前项和公式即可得到答案． 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 由已知，，成等差数列，所以，即， 又，所以，解得或， 又是各项均为正数的等比数列，则，所以； （2）由（1）可得，， 所以 . 变式2．（2026·四川达州·二模）已知数列为等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)在数列的相邻两项与之间插入个1（）后，构成一个新数列，数列的前项和记为，求. 【答案】(1) (2)609 【分析】（1）列出关于的方程组，然后根据等差数列的通项公式即可求解； （2）首先求出到原数列第项为止插入的总项数，令得出，即得出插入510个1，然后利用分组求和即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由得： ，，解得，， 故通项公式为 . （2）根据题意，在和之间插入个，设到原数列的第项为止， 则新数列的总项数， 令，代入验证得时，，刚好满足， 即包含原数列前9项和所有插入的1： 插入1的总个数为，插入部分和为， 原数列前9项和：， 因此： . 变式3．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）在等比数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）由题设数列公比为，据此可得公比，即可得等比数列通项公式. （2）由（1）结合分组求和法可得答案. 【详解】（1）设数列公比为，则. 两式相除可得，又， 则； （2）由（1），. 则 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：数列求和3种高频考点专项训练 期中培优：数列求和3种高频考点专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组（并项）求和 考点一 裂项相消法 例1.(25-26高二下…福建厦门月考)设数列{an}的前项和为Sn,且Sn=2n2+n. (I)证明：{an}是等差数列； ②设，=，求数列6，}的前项和工 anans 例2.(2026-四川德阳模拟预测)己知数列a,}中，a=3a3-a 4 -2neN利. (1)求a2,a3 (2)设bn= 证明：数列b,是等比数列： (3)记cn=(an1-1)(2-an),求数列{cn}的前n项和Sn. 期中培优：数列求和3种高频考点专项训练 例3.(2026福建厦门二模)记数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=3,Sn=nan-n(n-1). (I)证明{an}是等差数列，并求an; (2)记数列 1 的前项和为，证明：工<子 变式1.(2026四川模拟预测)已知Sn是正项数列{an}的前项和，且a=2Sn-ann∈N) (1)求数列{an}的通项公式： (2)设b=1 一，求数列bn}的前n项和n a2n-a2n+ 期中培优：数列求和3种高频考点专项训练 变式2.(2026：湖南：模拟预测)已知正项数列a,满足a=1,且」-0 anan+1 (1)证明：{为等差数列； (2)求数列 ()” 一的前n项和Tn an+an 变式3.(25-26高二下·江西九江·月考)已知函数f(x=a-1(a>0且a≠1)的图象经过点(1,2)，记数列an}的 前n项和为Sn,且Sn=f(n. (1)求数列{an}的通项公式： 3-1 ②设6-a+j川a+,数列的前n项和为7，求的取值范围。 期中培优：数列求和3种高频考点专项训练 考点二 错位相减法 例1.(2026甘肃兰州二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-n. (I)证明数列an+1是等比数列并求数列{an}的通项公式： (2)设bn=(-1)”n(an+1,求数列{bn}的前项和Tn、 例2.(2026广东数州核拟预0》已知数列a的前厦和为，4分1-a小5，=2a (1)证明： n 是等比数列，并求出{Sn}的通项公式： (2)求数列{Sn}的前n项和Tn; (3)若2≥nSn,求1的取值范围. 期中培优：数列求和3种高频考点专项训练 例3.(25-26高二下，浙江期中)己知等差数列an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2m=2an+1n∈N） (I)求数列{an}的通项公式； (2)若b.=2-,令cn=abn,求数列{cn}的前n项和Tn 变式1.(2526高二下·江西赣州期中)在公差不为零的等差数列{an}中，4=1，且a,,a,a3成等比数列，数列 {bn}的前n项和Sn满足Sn=2b,-2. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式： (2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和T,. 期中培优：数列求和3种高频考点专项训练 变式2.(2026-陕西榆林模拟预测)已知S,是数列a,的前项和，4=1，数列S 是公差为)的等差数列， a (1)求数列{a}的通项公式： ②考6，-aC,求数列b}的前喷和工 变式3.(25-26高二下湖北期中)己知数列an}满足：a,=1,am1=2an+1;数列bn}的前项和Sn=n2. (I)求数列{an}和{bn}的通项公式： 2)设c,= a,+,求数列{c}的前项和T. 6 期中培优：数列求和3种高频考点专项训练 考点三 分组（并项）求和 例1.(2026-江苏镇江二模)已知数列a,的首项是a-亏且a.2a.+1 3 (1)证明数列 L-是等比数列，并求出数列a,的通项公式： a. 11,1 1 (2)若 >2026,求满足条件的最小整数n的值. a az a3 a 例2.(25-26高三下·湖南长沙.月考)己知数列{am}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=n2，数列{bn}满足=1，b1=2b,+1 (1)求数列an},{bn}的通项公式， an,n为奇数 (2)若数列{cn}满足cn= b,n为偶数，求数列c的前n项和工. 期中培优：数列求和3种高频考点专项训练 例3.(2026安徽安庆模拟预测)设Sn为数列an}的前n项和，已知a=1,S,与S4-1)的等比中项为3，且 为等差数列 (I)求数列{an}的通项公式： ,n+3 1g ,n为奇数 (2)若数列{b}满足bn= n+1 ,求{bn}的前2n项和T2n 2,n为偶数 变式1.2526高=下北京顺义月考)已知a是各项均为正数的等比数列，4子且，4，-34成等差数列. (I)求{an}的通项公式： (2)求数列{a,+n}的前项和Sn. P 期中培优：数列求和3种高频考点专项训练 变式2.(2026四川达州二模)已知数列{an}为等差数列，且a,=11,a,=15 (I)求{an}的通项公式； (2)在数列{an}的相邻两项a,与a1之间插入2个1（i=1,2,3,…)后，构成一个新数列{bn},数列{bn}的前项和记 为Tn,求T19 变式3.(25-26高二下·河北邢台开学考试)在等比数列an}中，a=3,a6=81. (I)求{an}的通项公式； (2)求数列{a,+l0g;an}的前n项和Tn, 9