期中培优：数列插项问题、数列新定义问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

期中培优：数列插项问题、数列新定义问题专项训练 期中培优：数列插项问题、数列新定义问题专项训练 考点目录 数列插项问题 数列新定义问题 考点一 数列插项问题 例1．（25-26高二下·天津·月考）已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． (3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列： ，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和． 【答案】(1)，. (2) (3)21216 【分析】（1）根据题意结合等差数列和等比数列的通项公式可求出和的通项公式； （2）由（1）得，分别利用错位相减法和裂项求和计算； （3）根据题意求得的前211项中有中的前203项和中的前8项，再分别求和. 【详解】（1）由得公差， 又因为， 得， 化简得，解得， 所以. 由，，成等差数列，得 由是等比数列，设代入， 得，消去， 得，化简并解得， . （2）由（1）得， ， 第一部分为， 令， ， 两式相减： ， ， ， 第二部分利用裂项求和： ， 合并：； （3）由题可知新数列中，前有项， 令，得前有项， 令，得前有项， 恰好位于与之间，所以前项中包含的前八项， 剩下的全是中的项，，即的前项， . 例2．（25-26高三下·四川绵阳·月考）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推关系写出，再两式作差即可求得答案； （2）根据等差数列的通项公式得公差，再结合错位相减法求解的前项和即可. 【详解】（1）解：因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 当时，，满足， 故的通项公式为． （2）解：因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为， 所以，即，， 所以① ② ①－②得：， 所以． 例3．（25-26高二上·重庆·期末）已知数列满足：对任意的，，，正项递增等差数列中，为与的等比中项， (1)求、； (2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，令的前项和为，求使得成立的的最小值； (3)令，求 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）分析可知数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可得出数列的通项公式，即可得出数列的通项公式；设等差数列的公差为，根据题意可得出，结合题意可得出关于的方程，解出的值，即可得出数列的通项公式； （2）将新数列进行分组：与个分为组，假设前组共有项，求出的表达式，令，分析数列的单调性，结合以及可得出的最小值； （3）求出的表达式，计算得出，可得出，令，利用错位相减法可求得的表达式，即为所求. 【详解】（1）对任意的，，所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 设等差数列的公差为， 因为为与的等比中项，，由可得， 整理可得，解得或， 又因为等差数列递增，故， 所以. （2）将新数列进行分组：与个分为组， 则前组中包含中的前项，以及个， 假设一共有项，则 ， 令， 则，故单调递增， 当时，，当时，， 此时，即， 故使得的最小的值为. （3）由题意可得， 对任意的，， 所以， 令①， 则②， ①②：， 所以， 所以. 变式1．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若对数列，，在与之间插入个1（），组成一个新数列，求数列的前75项的和. 【答案】(1)， (2)96 【分析】（1）设出公差，结合题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到，根据题目条件得到时，，两式相减求出，经过检验，得到的表达式； （2）在中，从开始到项为止，计算出项数，从而确定数列前75项是项之后，还有5项为1，分组求和即可. 【详解】（1）为等差数列，设其公差为d， 则，解得， 故； 又①， 故当时，②， 两式相减得， 故，所以，，又，故，满足， 从而； （2）由（1）知，，， 所以在中，从开始到项为止， 共有项数为， 当时，， 当时，， 所以数列前75项是项之后，还有5项为1， 故. 变式2．（2025·广东汕头·模拟预测）已知各项均为正数的数列{an}中，a1=1且满足，数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn+1=3bn. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设，求数列的前n项和Sn； (3)若在bk与bk+1之间依次插入数列{an}中的k项构成新数列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，……，求数列{cn}中前50项的和T50. 【答案】(1), (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式将变形，得出数列是等差，可求出数列的通项；利用消去得到与的递推关系，得出数列是等比数列，可求出通项； （2）根据等差等比数列的求和公式求解即可； （3）分析中前50项中与各有多少项，分别求和即可． 【详解】（1）由 得： ∵ 是首项，公差为2的等差数列 ∴ 又当时，得 当，由…① …② 由①－②整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故； （2） （3）依题意知：新数列中，（含）前面共有：项． 由，（）得：， ∴新数列中含有数列的前9项：，，……，，含有数列的前41项：，，，……，； ∴． 变式3．（25-26高三上·天津南开·期末）已知数列的前n项和．等比数列满足：，． (1)求数列，的通项公式； (2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中）组成新的数列，记的前n项和为． （i）求； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)， (2)（i）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据与之间的关系求数列的通项公式，根据等比数列的定义可得，即可得数列的通项公式； （2）（i）整理可得，讨论n的奇偶性，结合错位相减法求；（ⅱ）根据题意利用放缩法可得，结合裂项相消法分析证明. 【详解】（1）因为， 当时，； 当时，，满足上式； 所以； 设等比数列的公比为， 因为，即，解得， 且，所以． （2）（i）因为， 当n为偶数时，则 ， 可得， 两式相减得： ， 所以； 当n为奇数时，； 综上所述：； （ⅱ）由（i）可知：， 则 所以. 考点二 数列新定义问题 例1．（25-26高三下·天津·月考）函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如：，，．对于任意的实数x，定义数列满足． (1)求，的值． (2)设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有． 【答案】(1)， (2)①；②证明见解析 【分析】（1）由，，利用给定的定义即可求出，； （2）①按，分段讨论的取值，即可求出；②利用①的结论，结合单调性并借助裂项相消法求和即可推理得证． 【详解】（1）由，得，则， 所以； 由，得，则， 所以． （2）①依题意，，则， 对于给定的，存在唯一确定的，使得，即， 而， 则当时，，设，， 此时，即，； 当时，，设，， 此时，即，， 因此， 恰好跳过，即所有正整数中恰好少了， 因为，所以． ②由，得，则为递增数列，且， 当时，， 则 ， 所以对任意的，都有． 例2．（2026·重庆·二模）已知正项数列的首项且满足：. (1)令，证明是等差数列，并求的通项公式； (2)设是互不相同的正整数，求证：； (3)记.若对于任意，均存在正整数，使得，则称具有“积回归性”.请判断数列是否具有“积回归性”，并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 (3)数列具有“积回归性”，证明见解析 【分析】（1）通过变形公式和数列与的关系即可求解，然后利用累加法可求数列的通项公式； （2）通过放缩法即可求解； （3）根据题意得到和，然后设即可证明. 【详解】（1）由可得，令，则，所以，， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列， 由， 因此当时，有，得 由于，所以，所以，即， 当时，，符合上式，所以， 因为是正项数列，所以. （2）由（1）得，由于是互不相同的正整数，不妨设， 显然，并且在时单调递减，所以， 当时，， 当时，由于， 所以， 得， 即， 所以， 因此，对任意互不相同的正整数，都有. （3）由（1）得，则， 对任意的，， 所以， 不妨设，则， 要使，即，得， 即当时，有，由于，是正整数， 因此对任意，均存在正整数，使得，即数列具有“积回归性”. 例3．（25-26高二下·北京丰台·期中）对于数列，定义变换，将数列变换成数列，记，，对于数列与，定义.若数列满足，则称数列为数列. (1)若，直接写出，； (2)对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列；若不存在，说明理由； (3)若数列满足，求数列的个数． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用变换的定义即可得解； （2）利用数列的定义，记中有个，有个，则，进而即得； （3）由题可得，进而可得，然后结合条件即得. 【详解】（1），； （2）因为， 由数列为数列，所以， 对于数列中相邻的两项， 令，若，则，若，则， 记中有且个，则有个1， 则. 因为与的奇偶性相同，与的奇偶性不同， 所以不存在符合题意的数列. （3）首先证明， 对于数列，，…，，有，，…，，， ，，…，，，，，…，，， ，，…，，，，，…，，， 因为， 所以， 故， 其次，由数列为数列可知，， 解得， 这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次， 若数列中的个数为个，此时数列有个， 所以数列的个数为个. 变式1．（2026·天津红桥·一模）在信息传输过程中，为确保信息安全，需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第轮对密钥片段进行一次变换，具体变换规则如下：若为奇数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加1，偶数项的值减少；若为偶数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加，偶数项的值减少2．若初始密钥序列，，则加密序列的所有项之和为，已知数列的前项和，且满足． (1)写出，并求出数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)证明：． 【答案】(1)，； (2)； (3)证明过程见解析. 【分析】（1）本小问是两个独立的问题，前一部分是新定义，按新定义求出；后一部分是已知数列的和，求数列的通项，求和与通项的关系求解，是常规考法； （2）先找到题中给出的关系，再分奇偶讨论； （3）先放缩，再求和，最后证明不等式. 【详解】（1）因为， 所以， ， ， ； 因为，所以，； 时，， ， ，， 所以数列是首项为1，公比为4的等比数列， . （2）经过变换后，奇数项的每一项都增加1，偶数项的每一项都减少，各项之和增加； 经过变换后，奇数项的每一项都增加，偶数项的每一项都减少2，各项之和增加； 所以经过和两轮变换后，各项之和增加， ， 所以， 即为偶数时，； 为奇数时，为偶数，令，则， ， ； 综上，. （3），， 所以， 所以， 设， 所以， 两式相减得， 设， 则， 两式相减得， ， 所以， 所以， ， 所以. 变式2．（2026·贵州六盘水·一模）若正项数列满足对于给定的正数，，，（为的前n项和），则称为“稳定数列”. (1)若为“稳定数列”，且，求的取值范围. (2)若，证明：数列为“稳定数列”. (3)若为“稳定数列”，证明，． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）结合定义，由得，代入n=2对应的不等式，解一元二次不等式即可得到​的取值范围； （2）先化简得，对前n项和做裂项放缩，得到放缩范围后，代入证明对任意正整数n都有； （3）利用变形，结合稳定数列定义对差式放缩，再累加放缩后的不等式，分别证明不等式的左右两边. 【详解】（1）由题意，是稳定数列，故对，. 已知，则​（），对，有， 解左边不等式，得正根​； 解右边不等式，得正根​， 故的取值范围为. （2）当时，，满足， 当时，对于任意正整数，有，则， 则由，可得， 又由，可得, 所以， 则， 所以数列为“稳定数列”. （3）因为为“稳定数列”，所以，则，， 则，由，可得， 由为“稳定数列”可得，则， 当时，，则， 因为，所以，故，. 由得，结合，则，则， 当时，，则， 当时，，故， 从而，. 变式3．（25-26高二上·江苏常州·期末）若正项数列的前项和为，且对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列． (1)若数列是“”数列，求的值； (2)若数列是“”数列，且，求数列的通项公式； (3)是否存在实数，使得数列为“”数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2) (3)存在，． 【分析】（1）根据可直接得到结果； （2）根据“”数列定义可推导得到，由等比数列通项公式可求得，根据与关系可求得； （3）根据题意，得，利用换元转化为方程的问题即可求得结果. 【详解】（1）数列是“”数列， ． （2）正项数列是“”数列，， ，即，又，故，则数列是以1为首项，为公比的等比数列，， 当时，， 当时，不满足， （3）由“”数列定义知：， 则， ， ， ，令， 故在有解， 当时，不符合； 当时，令，图象为开口向上的抛物线，此时，此方程有解； 当时，对称轴，所以在上无解， 即实数的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：数列插项问题、数列新定义问题专项训练 期中培优：数列插项问题、数列新定义问题专项训练 考点目录 数列插项问题 数列新定义问题 考点一 数列插项问题 例1．（25-26高二下·天津·月考）已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． (3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列： ，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和． 例2．（25-26高三下·四川绵阳·月考）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 例3．（25-26高二上·重庆·期末）已知数列满足：对任意的，，，正项递增等差数列中，为与的等比中项， (1)求、； (2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，令的前项和为，求使得成立的的最小值； (3)令，求 变式1．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若对数列，，在与之间插入个1（），组成一个新数列，求数列的前75项的和. 变式2．（2025·广东汕头·模拟预测）已知各项均为正数的数列{an}中，a1=1且满足，数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn+1=3bn. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设，求数列的前n项和Sn； (3)若在bk与bk+1之间依次插入数列{an}中的k项构成新数列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，……，求数列{cn}中前50项的和T50. 变式3．（25-26高三上·天津南开·期末）已知数列的前n项和．等比数列满足：，． (1)求数列，的通项公式； (2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中）组成新的数列，记的前n项和为． （i）求； （ⅱ）证明：． 考点二 数列新定义问题 例1．（25-26高三下·天津·月考）函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如：，，．对于任意的实数x，定义数列满足． (1)求，的值． (2)设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有． 例2．（2026·重庆·二模）已知正项数列的首项且满足：. (1)令，证明是等差数列，并求的通项公式； (2)设是互不相同的正整数，求证：； (3)记.若对于任意，均存在正整数，使得，则称具有“积回归性”.请判断数列是否具有“积回归性”，并证明你的结论. 例3．（25-26高二下·北京丰台·期中）对于数列，定义变换，将数列变换成数列，记，，对于数列与，定义.若数列满足，则称数列为数列. (1)若，直接写出，； (2)对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列；若不存在，说明理由； (3)若数列满足，求数列的个数． 变式1．（2026·天津红桥·一模）在信息传输过程中，为确保信息安全，需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第轮对密钥片段进行一次变换，具体变换规则如下：若为奇数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加1，偶数项的值减少；若为偶数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加，偶数项的值减少2．若初始密钥序列，，则加密序列的所有项之和为，已知数列的前项和，且满足． (1)写出，并求出数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)证明：． 变式2．（2026·贵州六盘水·一模）若正项数列满足对于给定的正数，，，（为的前n项和），则称为“稳定数列”. (1)若为“稳定数列”，且，求的取值范围. (2)若，证明：数列为“稳定数列”. (3)若为“稳定数列”，证明，． 变式3．（25-26高二上·江苏常州·期末）若正项数列的前项和为，且对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列． (1)若数列是“”数列，求的值； (2)若数列是“”数列，且，求数列的通项公式； (3)是否存在实数，使得数列为“”数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $