期中复习：数列单调性问题、数列恒成立求参数问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

期中培优：数列单调性问题、数列恒成立求参数问题专项训练 期中培优：数列单调性问题、数列恒成立求参数问题专项训练 考点目录 数列单调性问题 数列恒成立求参数问题 考点一 数列单调性问题 例1.2526高三下甘肃金昌-月考)已知函数fx=n1++2x-1nn,neN,设fx的零点为a, x+2 (1)求a,的值； (2)证明：{an}为单调数列，并求{an}中的最小项； (3)证明： 2,1≤2n-1 1+a 例2.(2026陕西咸阳·二模)已知数列(an}满足ana+1-an）=1,a,=2 (1)证明：an≥√2n+2; (②设b,=g,证明：数列b为递减数列， n (3)设Sn为数列{ 的前项和，求[S0,其中x表示不超过x的最大整数(e'≈1097，c≈2981). 期中培优：数列单调性问题、数列恒成立求参数问题专项训练 例3.(2026山西运城二模)已知等差数列{an}的公差为d. (1)若a,=d=1,求数列{2an+2的前项和Sn: (2)若数列{an+(-1)”为递减数列，求d的取值范围. 变式1.(2026-湖北黄石一模)已知数列a,满足4，=0，a1=2a,+ a+2 0设么=品。正明6是等比数到、并求的适项公式 (2)判断数列a,}的单调性 2 期中培优：数列单调性问题、数列恒成立求参数问题专项训练 变式2.(2526高二下-重庆月考)递减等比数列a,满足a}4+a=4a,:等差数列么的前顺和为S, 且满足b=1,S,=9. (1)求数列{an},{bn}的通项公式： (2)若cn=Sn-入n+1,且数列{cn}为递增数列，求实数的取值范围； 6)若d,=a.6+4 n+,求数列d,的前项和工. 变式3.(25-26高二下江西九江·月考)记Sn是公差不为0的等差数列an}的前项和，己知a3+3a4=S, aa=S4,数列b,}满足b。=3b-1+2-(n≥2，且b=a1-1 (1)求{an}的通项公式 ②证明：数列会+1是等比数列 ③)若数列c满足C,-。一·求C的前项和的最大值、最小值 期中培优：数列单调性问题、数列恒成立求参数问题专项训练 考点二 数列恒成立求参数问题 例1.(25-26高二下·河南驻马店月考)设Sn是数列an}的前n项和，已知a1=2,S。=a+1+n-2. (1)证明：{a,-1是等比数列： (2)若bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tn; (3)记c,=[log,a,-l)],若不等式(a-a)m2c,-6恒成立，求实数m的取值范围. 例2.(25-26高二下湖北期中)己知数列an}的前n项和满足4S。=6a。-31. (1)证明数列 3 为等差数列 (②)求数列{a,}的前项和. (3)若不等式4n2-8n-5<1an对任意neN恒成立，求的取值范围. 期中培优：数列单调性问题、数列恒成立求参数问题专项训练 例3.(25-26高二下.四川成都月考)己知数列{a}的前项和为Sn,a=2an+2"(n∈N),a,=1. (①证明：数列马为等差数列，并求数列{a,的通项公式： 2 (2)若Sn≤2an-4n-1对任意n∈N恒成立.求实数2的取值范围. 变式1.(25-26高二下·安徽月考)已知数列{an}的前项和为Sn,满足S。=n2. (I)求数列{an}的通项公式： (2)若bn=2”an,求数列{bn}的前n项和，. (③若对任意nGN,不等式，品≤2m+u恒成立，且A,以为常数。已知入=2，求以的最小值， 5 期中培优：数列单调性问题、数列恒成立求参数问题专项训练 1 变式2.(2526高二下湖北期中)已知数列b的首项6=且66。+”0，方 41 (I)证明：数列{an}为等比数列： log1an,n为奇数 3 (2)若Cn= ,求数列{cn}的前2n项的和T2m; (2”,n为偶数 (3)若R,=Tn-n2,且不等式(-1)”2R,≤R2+14对任意的n∈N恒成立，求实数1的取值范围. 变式3.2526高=下四川南充期中)）已知数列a,的前n项和为，4=}，且S+30+9=0. (I)求{an}的通项公式： (2)设数列{bn}满足3b,+(n-4)an=0(n∈N),记{bn}的前n项和为Tn,求T; (3)若T,≤(2+1)b.对任意n∈N恒成立，求实数2的取值范围. 6期中培优：数列单调性问题、数列恒成立求参数问题专项训练 期中培优：数列单调性问题、数列恒成立求参数问题专项训练 考点目录 数列单调性问题 数列恒成立求参数问题 考点一 数列单调性问题 例1．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）已知函数，，设的零点为. (1)求的值； (2)证明：为单调数列，并求中的最小项； (3)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）当时，通过求导证明从而得到在上单调递增，再根据即可求出； （2）根据的零点为，将代入中，两式作差得到，令，通过求导证明在上单调递增，即可证明，即可证明为递增数列； （3）令，通过求导证明，进而得到，即，通过放缩得到时， ，即可证明. 【详解】（1）当时，的定义域为， 因，则此时在上单调递增， 又， 所以在内的唯一零点为，所以. （2）的零点为，得， 则， 两式相减，得， 所以， 令，由（1）分析可知在上单调递增，所以， 故为递增数列，且中的最小项为. （3）令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，当且仅当时等号成立， 又，所以， 因为的零点为，则， 移项得，则， 当时，有，则， 所以， 又，所以当时，， 当时，， 综上所述. 例2．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列满足，. (1)证明：； (2)设，证明：数列为递减数列； (3)设为数列的前项和，求，其中表示不超过的最大整数（）. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据条件得出，利用放缩可得，结合累加法可证； （2）化简，结合判断正负性即可； （3）根据得出，根据，得出， 以及，进一步得出，构造函数，令，得出，即可求出，最后得出. 【详解】（1）因为，，所以， 则，即， 则， 则， 又，所以， 若，则，则， 因为，所以恒成立， 故对任意恒成立； （2）由（1）可知， ， 因为，所以，， 则，故， 则，故数列为递减数列； （3）因为，所以， 则 ， 因为，所以，故， 因为，， 所以， 则 ， 令，则， 则在上单调递增，故，即， 令，则，则， 故， 则， 则，则，则， 故，故. 例3．（2026·山西运城·二模）已知等差数列的公差为． (1)若，求数列的前项和； (2)若数列为递减数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助等差数列定义计算可得，再利用等比数列与等差数列求和公式计算即可得解； （2）令，作差可得，结合递减数列定义，分为奇数与为偶数讨论即可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以 ； （2）设，则， 当为奇数时，， 因为数列为递减数列，所以，得， 当为偶数时，， 因为数列为递减数列，所以，得； 故的取值范围是． 变式1．（2026·湖北黄石·一模）已知数列满足. (1)设，证明是等比数列，并求的通项公式； (2)判断数列的单调性. 【答案】(1)证明见解析， (2)递增数列 【分析】（1）先得的表达式，即可得求解，根据等比数列的通项求解， （2）代入的通项，进而利用作差法，即可判断单调性. 【详解】（1）由，得： ， 故，即， 又， 故是以为首项，为公比的等比数列，且. （2）由，解得 ， 即，故数列为递增数列. 变式2．（25-26高二下·重庆·月考）递减等比数列满足，：等差数列的前项和为，且满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)若，且数列为递增数列，求实数的取值范围； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据等差和等比数列通项与求和公式直接构造方程公比和公差，进而求得结果； （2）根据数列单调性定义将问题转化为恒成立问题，采用分离变量法可求得结果； （3）由，采用裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 为递减数列，，； 由得：，解得：（舍）或， ； 设等差数列的公差为，则，解得：， . （2）由（1）得：，， 为递增数列，恒成立， 即，， ，当时，取得最小值，， 即实数的取值范围为. （3）由（1）得：， . 变式3．（25-26高二下·江西九江·月考）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且 (1)求的通项公式. (2)证明：数列是等比数列. (3)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据等差数列的相应公式列方程计算得，再求得通项公式； （2）根据递推关系，结合等比数列的定义证明即可； （3）根据裂项求和法得，再结合的单调性，分为奇数与偶数讨论对应的最值即可求得答案. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为, 由得，即，解得 所以. （2）解：由（1）可知，则 由，可得， 所以，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （3）解：由（1）可得 设的前项和为，则 所以，当为奇数时，，随着的增大而减小，可得. 当为偶数时，，随着的增大而增大，可得. 所以的最大值为，最小值为. 考点二 数列恒成立求参数问题 例1．（25-26高二下·河南驻马店·月考）设是数列的前n项和，已知，． (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前n项和； (3)记，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过作差法得到，再通过配凑即可求证； （2）由（1）确定通项公式，再结合错位相减法和等差数列求和公式即可求解； （3）通过分参得到，构造，通过作差法判断单调性，确定最大值，即可求解. 【详解】（1）已知， 当时，， 两式相减得： ， 整理得： ，， 当时，， ，满足， 又， 因此是首项为1，公比为2的等比数列，得证； （2）由(1)得， 因此： ， 设前项和为， 则， ， 两式相减得：， 即， 又数列前项和为， 因此； （3）由得：，因此， 化简不等式左边： ，， 因此， 不等式恒成立， 等价于对任意恒成立， 设 则 ， 当，， 即时，； 当时，， 因此的最大值为​，故， 即的取值范围为. 例2．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列的前项和满足． (1)证明数列为等差数列． (2)求数列的前项和． (3)若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）当时，代入可得，当时，根据，整理化简，结合等差数列的定义，即可得证. （2）由（1）可得的通项公式，根据错位相减求和法，即可得答案. （3）由条件得，令，分析的单调性，即可得答案. 【详解】（1）由题意知：当时，，得， 当时，，又， 两式相减得，即， ，又， ∴数列是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知：，即， 则， ， . （3）不等式等价于， 记，则，所以， 时，， ∴当时，，即， 当时，，即得， 所以. 例3．（25-26高二下·四川成都·月考）已知数列的前项和为． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式： (2)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式； （2）先根据错位相减法求得，再将问题化为恒成立，最后结合作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）证明：由，则，即， 又，所以数列是首项、公差均为的等差数列， 所以，所以. （2）解：由， 则， 所以， 所以. 因为对任意恒成立． 所以，整理得对任意恒成立， 令，则， 当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 综上，实数的取值范围为. 变式1．（25-26高二下·安徽·月考）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． (3)若对任意，不等式恒成立，且，为常数．已知，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据与的关系易得，需要检验首项是否符合； （2）利用错位相减法求和即得； （3）将代入并化简不等式，利用求解即可． 【详解】（1）当时，， 当时，， 显然也满足， 所以； （2）由（1）知， ①， ②， ①②得， ， 故． （3）把代入， 所以等价于，即， 对任意恒成立，所以， 设，显然递减， 当时，取最大值， 所以，的最小值． 变式2．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列的首项且，． (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项的和； (3)若，且不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）对取倒数，将代入化简可得，结合等比数列定义证明即可. （2）根据（1）得到，结合等差数列及等比数列的前项和公式分组求和即可. （3）求出，分为奇数或偶数两种情况，对分离参数，分别求出最值即可. 【详解】（1）证明：由，得， 又，则，所以，即. 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，. 当为奇数时，；当为偶数时，； 所以 . （3）由（2）知，. 则不等式可化为. ①当为奇数时，不等式可化为， 则， 令，因为为奇数，则， 函数在上的最小值为，所以的最大值为， 所以. ②当为偶数时，不等式可化为， 则， 令，因为为偶数，则， 函数在上的最小值为，所以的最小值为， 所以. 综上，. 所以实数的取值范围. 变式3．（25-26高二下·四川南充·期中）已知数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)设数列满足（），记的前n项和为，求； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用已知条件求出的递推关系，进而求出通项公式； （2）先求出，再利用错位相减法求前n项和； （3）先转化不等式，再分类讨论求实数的取值范围． 【详解】（1）已知①，当时，，， ， 当时，②， 由①减②得（），且， ，故（）， 又， 是首项为，公比为的等比数列， ． （2）由，得， ， ， 两式相减得 ， ． （3）由得，即恒成立， 时，恒成立，恒成立，得； 时，； 时，，，时，，得； 综上可得． 2 学科网（北京）股份有限公司 $