期中复习：条件概率、全概率公式专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

期中培优：条件概率、全概率公式专项训练 期中培优：条件概率、全概率公式专项训练 考点目录 条件概率 全概率公式 考点一 条件概率 例1．（2026·河南·模拟预测）某智能设备装有3个独立运行的芯片A，B，C，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中A，B正常运行的概率均为，C正常运行的概率为． (1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求C的运行不正常的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于，求p的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用条件概率及相互独立事件的概率计算即可； （2）该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行，结合相互独立事件的概率公式计算即可求解. 【详解】（1）设事件M为恰有2个芯片正常运行，事件N为C的运行不正常． 由题可知， ． 所以， 即在恰有2个芯片正常运行的条件下，C的运行不正常的概率为． （2）该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行， 所以该设备正常工作的 ． 由，得， 所以p的取值范围为． 例2．（2026·广东惠州·二模）某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为. (1)求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率； (3)对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) (3)随机变量的分布列如下表所示： Y 30 55 80 P 数学期望为. 【分析】（1）根据题意得出这个零件中不合格零件数，利用随机变量服从超几何分布即可求解； （2）通过条件概率公式即可求解； （3）根据题意得出随机变量与随机变量的关系，从而得到随机变量的取值范围和对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可. 【详解】（1）小明的解答不正确，正确的解答过程如下： 根据题意，这个零件中是有个不合格零件，个合格零件， 则从这个零件中抽到个不合格零件，个合格零件的组合数是种， 因此. （2）设事件为“抽到的个零件中至少有个为不合格零件”，事件为“抽到的个零件中恰好有个为不合格零件”， 由于事件是事件的子事件，所以， 而，， 根据条件概率公式，即恰好有个为不合格零件的概率为. （3）由于随机变量表示抽到的不合格的零件数，可能取值为，而对于每个的值，总费用， 因此随机变量的可能取值为，，， 由于，，， 因此，，， 所以随机变量的分布列为： 数学期望为，即随机变量的数学期望为. 例3．（25-26高二下·黑龙江绥化·月考）甲和乙两个箱子中各装有个大小相同的小球，其中甲箱中有个红球、个白球；乙箱中有个红球、个白球． (1)从甲箱中随机抽出个球，求抽到的个球中有红球的概率； (2)从甲箱中随机抽出个球，在已知抽到的个球中有红球的条件下，求个球都是红球的概率； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，从甲箱随机抽出个球；如果点数大于等于，从乙箱中随机抽出个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用间接法求解即可得； （2）利用条件概率公式求解即可得； （3）先根据全概率公式求解，再根据贝叶斯公式即可求解得. 【详解】（1）记事件表示“抽出的个球中有红球”，则； （2）记事件表示“两个球都是红球”，则， 故； （3）设事件表示“从乙箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，则事件表示“从甲箱中抽球”， 则，， 则， 故． 例4．（25-26高三下·贵州·月考）某研究小组为调查居民对一项政策落实的情况， 从某社区随机调查了 1200 位居民(其中出生月份在 6~8 月的有 400 人). 每位居民首先独立抛掷一枚质地均匀的骰子:若骰子朝上点数为奇数，则回答问题 1 :你的出生月份是 6 月、7 月或 8 月吗？若骰子朝上点数为偶数， 则回答问题 2: 你对该政策的落实是否感到满意?调查结束后，统计得到回答 “是” 的居民共有 620 人. 调查员不知道每位居民具体回答了哪个问题， 并假设所有居民都如实回答了自己的问题. (1)试估计该社区居民对该项政策落实感到满意的比例； (2)从该社区随机抽取一位居民，已知该居民在调查中回答“是”，求他所抛骰子是偶数点朝上的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，确定回答问题2的人数及问题2中回答“是”的人数即可. （2）由（1）的信息，利用条件概率公式求解. 【详解】（1）因为骰子朝上点数为奇数、偶数的概率各为 ， 所以估计回答问题 1 和问题 2 的居民各有 人. 由题意，出生月份在 月的比例为 ， 从而回答 “是” 的居民中回答问题 1 的应为 人， 所以回答 “是” 的居民中回答问题 2 的为 (人)， 故估计该社区居民对该项政策落实感到满意的比例为 . （2）由(1)知，该社区居民对该项政策落实感到满意的比例为 ， 设事件 A 表示居民回答 “是”，事件 B 表示居民所抛骰子是偶数点朝上. 回答 “是” 的概率为 . 回答 “是” 且点数是偶数的概率为 . 因此，所求条件概率为 ， 故已知居民回答 “是” 的条件下，他所抛骰子是偶数点朝上的概率约为 . 变式1．（2026·安徽阜阳·二模）随着2025年世界羽毛球锦标赛在法国巴黎举行，国内掀起了新一波的羽毛球热，激起了民众参加羽毛球运动的热情.某大学羽毛球协会组织了羽毛球双人比赛，已知有甲、乙、丙等8支球队参赛，现将这8支球队随机分为A，B两组，每组4支球队. (1)求甲、乙、丙恰好分在同一组的概率； (2)在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，求甲、乙、丙均分在A组的概率. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）从参赛的8支球队随机选4支进入A组，其余4支进入B组，共有种分组情况， 甲、乙、丙恰好分在同一组的情况种数为. 设事件E为“甲、乙、丙恰好分在同一组”，则， 即甲、乙、丙恰好分在同一组的概率为. （2）解法一：记事件M为“甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组”，事件N为“甲、乙、丙均分在A组”， 则，， 所以， 故在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，甲、乙、丙均分在A组的概率为. 解法二：记事件M为“甲、乙、丙中有2支球队分在A组”，事件N为“甲、乙、丙均分在A组”， 则， 故在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，甲、乙、丙均分在A组的概率为. 变式2．（2026·河北沧州·一模）先后掷一个质地均匀的骰子3次，得到向上的点数依次为x，y，z，记随机变量. (1)写出取值的集合； (2)比较取最小值和最大值时的概率值的大小； (3)在的条件下，求取得最大值的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据事件的所有可能结果，判断随机变量可能出现的情况即可； （2）根据古典概型概率计算公式，求出事件概率即可； （3）根据条件概率计算公式，求出事件概率即可； 【详解】（1）若，此时； 若x，y，z只有两个相等，则有，，三类，此时； 若x，y，z互不相等，不妨设，此时， 此时． 综上，取值的集合为． （2）由（1）知，， 掷骰子3次，共有个样本点， 当时，共有种不同的情况，； 对于，三个数中必有1和6， 若第三个数为1或6，则共有个样本点， 若第三个数为2，3，4，5中的一个，共有个样本点， 所以． 所以． （3）由（2）可知，则， 则. 变式3．（25-26高二下·江苏淮安·月考）某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．该大学要求所有面试学生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试． (1)求面试号码为2的是A校学生的概率； (2)求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率． (3)求前四个面试中有两个是A校学生的条件下，B校学生最后一个面试的概率． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）求出面试号码为的样本空间中样本点个数，再求出面试号码为的学生来自A校的事件所含样本点个数即可. （2）将所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，利用古典概率公式，结合排列组合求出概率. （3）根据条件概率公式计算即可. 【详解】（1）已知6名学生全都来自A、B、C三所学校，A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为． 则来自A校3人、B校1人、C校2人， 面试号码为的学生有个不同结果，面试号码为的学生来自A校的事件有3个不同结果， 所以面试号码为的学生来自A校的概率为. （2）依题意，名学生按编号的试验有个基本事件， 校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的事件，可分为两种互斥情况， 一是校学生的最大编号为，二是校学生的最大编号为且B校学生编号不小于5. 校学生的最大编号为的事件有个基本事件； 而校学生的最大编号为且B校学生编号不小于的事件有个基本事件， 所以校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的概率为； （3）记“前4个面试有两个A校学生”为事件M，“B校学生最后一个面试”为事件N， 则，， 所以在前四个面试中有两个是校学生的条件下， 校学生最后一个面试的概率为. 变式4．（25-26高二下·湖南郴州·月考）某空间站有甲、乙等多名航天员共同负责一项科学实验，现按照一个以一周为周期的值班表安排该实验的值班人员．已知每名航天员的值班日期不完全相同． (1)若每名航天员每周安排两天值班，则甲、乙两人每周恰好有一天共同值班的安排方式共有多少种？ (2)求甲、乙每周各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）甲被安排两天值班有种情况， 无论甲如何安排，乙都有种情况使得两人恰有一天共同值班， 甲、乙每周恰好有一天共同值班的安排方法有种． （2）记甲、乙每周被安排三天值班为事件，甲、乙两人没有被安排共同值班为事件．被安排三天值班的情况有种， 则甲、乙每周各被安排三天值班，且两名航天员的值班日期安排不完全相同的安排方式共有种， 无论甲如何安排，乙都有种情况使得甲、乙没有任何一天共同值班， 故甲、乙两人没有被安排共同值班的情况有种， 所以在每人各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率为． 考点二 全概率公式 例1．（25-26高二下·河北邯郸·期中）某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． (2)在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． (3)平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 【答案】(1)0.93； (2)11； (3)他愿意购买“准时保”. 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式求解. （2）由（1）的结论，利用二项分布的方差公式列式求解. （3）由（1）的结论，求出购买“准时保”的期望，与给定条件比对即可. 【详解】（1）令事件“外卖点餐准时送达”，“选择甲餐厅”，“选择乙餐厅”， 依题意，，， 由全概率公式得， 所以该用户每次外卖点餐准时送达的概率为0.93. （2）依题意，的所有可能取值为，， 则，由的方差大于，得， 解得，所以的最小值为11. （3）他愿意购买“准时保”. 设他购买“准时保”的净收益为元，则的所有可能取值为， ，， 显然，即亏损期望不超过元， 所以他愿意购买“准时保”. 例2．（2026·湖北·二模）某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 【答案】(1) (2)该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大 【分析】（1）记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件，结合全概率公式，即可求解； （2）当该运动员第一次选择2分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值；当该运动员第一次选择3分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值，结合，即可求解. 【详解】（1）解：记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件， 则 所以. （2）解：当该运动员第一次选择2分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 4 0.1 0.16 0.1 0.64 所以 当该运动员第一次选择3分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 6 0.1 0.4 0.25 0.25 所以， 因为，即， 所以该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大. 例3．（2026·广东肇庆·二模）树人中学积极践行“健康第一”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲､乙､丙三人通过第一轮的概率分别为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为，假设他们之间通过与否相互独立. (1)求从甲､乙､丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率； (2)记甲､乙､丙三人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 . 【分析】（1）利用全概率公式求解； （2）记甲､乙､丙通过第二轮的事件分别为分别求出，，，由题意得到的所有可能取值，分别求出每个可能取值的概率，求出的分布列和数学期望. 【详解】（1）记随机选择甲､乙､丙的事件分别为，进入第二轮的事件记为， 则， 由题意得， 所以 . （2）记甲､乙､丙通过第二轮的事件分别为 则 由题意得的所有可能取值为 则 . . 所以的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望为. 例4．（25-26高三下·上海·月考）人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【答案】(1) (2)①；②方案二 【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件， ， 所以试验一次结果为红球的概率为. （2）①因为、是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为； ②由①得， 所以方案一中取到红球的概率 为， 方案二中取到红球的概率 为， 因为，所以方案二中取到红球的概率更大. 变式1．（25-26高二下·吉林四平·月考）某自然保护区为预防森林火灾，安装了智能监控系统，数据显示在炎热干燥天气条件下，该保护区每天发生火灾的概率为0.04，当火灾发生时系统正确发出警报的概率为0.95，当火灾没有发生时，系统错误发出警报的概率为0.02． (1)求炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率； (2)若炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报，估计保护区该天实际发生火灾的概率（精确到0.01）． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）用A表示炎热干燥天气条件下该保护区某天发生火灾，用B表示系统发出警报， 则，所以， ，， 由全概率公式，得， 即炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率为． （2）由（1）知，， 所以炎热干燥天气条件下智能监控系统某天发出警报，保护区该天实际发生火灾的概率为． 变式2．（2026·河北衡水·模拟预测）现有甲、乙两个盒子，每个盒内均有10个小球，小球分红、白、黑三种颜色，小球除颜色外其他特征完全相同.已知两个盒子内均有3个黑球，甲盒内有个红球，乙盒内有个红球.先从甲盒内随机取1个小球放入乙盒内，再从乙盒内随机取1个小球. (1)若，，求在乙盒内随机取出的小球的颜色是黑色的概率； (2)若在乙盒内取出小球的颜色是红色的概率为，求，的值； (3)若在乙盒内取出红球得分，取出白球得分，取出黑球得分，试探究当，，满足什么关系时，得分的期望值与，无关. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用全概率公式计算； （2）由乙盒内取出小球的颜色是红色的概率为，利用全概率公式求，的正整数解； （3）列出期望值的算式，探究得分期望与无关的条件. 【详解】（1）甲盒初始：2红、5白、3黑(共10个)；乙盒初始：3红、4白、3黑(共10个)， 设事件A：甲取红球，事件B：甲取白球，事件C：甲取黑球，事件D：乙取黑球， ，，， ，，， 由全概率公式得 . （2）甲盒：红球个，白球个，黑球3个；乙盒：红球个，白球个，黑球3个， 设事件为乙取红球，由全概率公式得 ， 由题设，得，即， 结合范围、，得唯一整数解. （3）设取出红、白、黑球的概率分别为，得分的期望， 由（2）知，同理， 由得（与无关）， 代入期望得， 要求与无关，需系数为0，则，即. 变式3．（2026·宁夏·一模）某社团招新分为“线上初审”和“线下复试”两个环节，面试结果受学生准备状态影响：若学生提前认真准备，线上初审通过的概率为0.9，线下复试通过的概率为0.8；若学生未提前准备，线上初审通过的概率为0.5，线下复试通过的概率为0.4；已知参加面试的学生中，提前认真准备的占70%，未提前准备的占30%. (1)（Ⅰ）求一名学生线上初审通过的概率； （Ⅱ）已知一名学生线上初审通过，求他是提前认真准备的概率. (2)社团有两种面试流程方案：方案一：所有学生都依次完成线上初审和线下复试（共2次面试）；方案二：先进行线上初审，若通过则进入线下复试；若未通过，则直接淘汰（即只进行1次面试）.已知每次面试的组织成本相同，以面试次数的期望值为决策依据，应选择哪种方案？ 【答案】(1)（I） 0.78；（II）或0.8077 (2)选择方案二. 【分析】（1）根据全概率公式和贝叶斯公式计算结果； （2）根据题中两个方案计算随机变量的期望，判断哪个方案好. 【详解】（1）设事件：学生提前认真准备，事件：学生未提前准备；事件：线上初审通过. 由题意可得： （I） 根据全概率公式： 所以一名学生线上初审通过的概率为0.78. （II）根据贝叶斯公式： 所以已知线上初审通过，该生是提前认真准备的概率为或0.8077. （2）设方案一的期望面试次数为，方案二的期望面试次数为. ① 方案一：所有学生均参加2次面试，因此期望面试次数. ② 方案二： 设随机变量表示方案二的面试次数，的可能取值为1，2. 所以分布列为： 1 2 0.22 0.78 所以. 因为 所以方案二期望面试次数更少，组织成本更低，因此选择方案二. 变式4．（25-26高三下·河北衡水·月考）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数. (1)求的分布列和数学期望； (2)另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值； 【答案】(1)分布列为： 2 3 4 (2) 【分析】（1）由题设随机变量服从超几何分布，并求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列或超几何分布的期望求法求期望； （2）应用全概率公式求概率即可； 【详解】（1）由题意知随机变量服从超几何分布，其中，，， 且的所有可能取值为2，3，4，，，， 故的分布列为： 2 3 4 法一：所以的数学期望. 法二：根据超几何分布的期望公式知. （2）记“下达的动作指令表述清晰”为事件， 记“下达的动作指令表述模糊”为事件， 记“机器人成功完成指令”为事件. 由已知得，，，，. 因为， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：条件概率、全概率公式专项训练 期中培优：条件概率、全概率公式专项训练 考点目录 条件概率 全概率公式 考点一 条件概率 例1．（2026·河南·模拟预测）某智能设备装有3个独立运行的芯片A，B，C，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中A，B正常运行的概率均为，C正常运行的概率为． (1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求C的运行不正常的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于，求p的取值范围． 例2．（2026·广东惠州·二模）某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为. (1)求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率； (3)对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. 例3．（25-26高二下·黑龙江绥化·月考）甲和乙两个箱子中各装有个大小相同的小球，其中甲箱中有个红球、个白球；乙箱中有个红球、个白球． (1)从甲箱中随机抽出个球，求抽到的个球中有红球的概率； (2)从甲箱中随机抽出个球，在已知抽到的个球中有红球的条件下，求个球都是红球的概率； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，从甲箱随机抽出个球；如果点数大于等于，从乙箱中随机抽出个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 例4．（25-26高三下·贵州·月考）某研究小组为调查居民对一项政策落实的情况， 从某社区随机调查了 1200 位居民(其中出生月份在 6~8 月的有 400 人). 每位居民首先独立抛掷一枚质地均匀的骰子:若骰子朝上点数为奇数，则回答问题 1 :你的出生月份是 6 月、7 月或 8 月吗？若骰子朝上点数为偶数， 则回答问题 2: 你对该政策的落实是否感到满意?调查结束后，统计得到回答 “是” 的居民共有 620 人. 调查员不知道每位居民具体回答了哪个问题， 并假设所有居民都如实回答了自己的问题. (1)试估计该社区居民对该项政策落实感到满意的比例； (2)从该社区随机抽取一位居民，已知该居民在调查中回答“是”，求他所抛骰子是偶数点朝上的概率. 变式1．（2026·安徽阜阳·二模）随着2025年世界羽毛球锦标赛在法国巴黎举行，国内掀起了新一波的羽毛球热，激起了民众参加羽毛球运动的热情.某大学羽毛球协会组织了羽毛球双人比赛，已知有甲、乙、丙等8支球队参赛，现将这8支球队随机分为A，B两组，每组4支球队. (1)求甲、乙、丙恰好分在同一组的概率； (2)在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，求甲、乙、丙均分在A组的概率. 变式2．（2026·河北沧州·一模）先后掷一个质地均匀的骰子3次，得到向上的点数依次为x，y，z，记随机变量. (1)写出取值的集合； (2)比较取最小值和最大值时的概率值的大小； (3)在的条件下，求取得最大值的概率. 变式3．（25-26高二下·江苏淮安·月考）某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．该大学要求所有面试学生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试． (1)求面试号码为2的是A校学生的概率； (2)求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率． (3)求前四个面试中有两个是A校学生的条件下，B校学生最后一个面试的概率． 变式4．（25-26高二下·湖南郴州·月考）某空间站有甲、乙等多名航天员共同负责一项科学实验，现按照一个以一周为周期的值班表安排该实验的值班人员．已知每名航天员的值班日期不完全相同． (1)若每名航天员每周安排两天值班，则甲、乙两人每周恰好有一天共同值班的安排方式共有多少种？ (2)求甲、乙每周各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率． 考点二 全概率公式 例1．（25-26高二下·河北邯郸·期中）某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． (2)在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． (3)平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 例2．（2026·湖北·二模）某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 例3．（2026·广东肇庆·二模）树人中学积极践行“健康第一”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲､乙､丙三人通过第一轮的概率分别为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为，假设他们之间通过与否相互独立. (1)求从甲､乙､丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率； (2)记甲､乙､丙三人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 例4．（25-26高三下·上海·月考）人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 变式1．（25-26高二下·吉林四平·月考）某自然保护区为预防森林火灾，安装了智能监控系统，数据显示在炎热干燥天气条件下，该保护区每天发生火灾的概率为0.04，当火灾发生时系统正确发出警报的概率为0.95，当火灾没有发生时，系统错误发出警报的概率为0.02． (1)求炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率； (2)若炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报，估计保护区该天实际发生火灾的概率（精确到0.01）． 变式2．（2026·河北衡水·模拟预测）现有甲、乙两个盒子，每个盒内均有10个小球，小球分红、白、黑三种颜色，小球除颜色外其他特征完全相同.已知两个盒子内均有3个黑球，甲盒内有个红球，乙盒内有个红球.先从甲盒内随机取1个小球放入乙盒内，再从乙盒内随机取1个小球. (1)若，，求在乙盒内随机取出的小球的颜色是黑色的概率； (2)若在乙盒内取出小球的颜色是红色的概率为，求，的值； (3)若在乙盒内取出红球得分，取出白球得分，取出黑球得分，试探究当，，满足什么关系时，得分的期望值与，无关. 变式3．（2026·宁夏·一模）某社团招新分为“线上初审”和“线下复试”两个环节，面试结果受学生准备状态影响：若学生提前认真准备，线上初审通过的概率为0.9，线下复试通过的概率为0.8；若学生未提前准备，线上初审通过的概率为0.5，线下复试通过的概率为0.4；已知参加面试的学生中，提前认真准备的占70%，未提前准备的占30%. (1)（Ⅰ）求一名学生线上初审通过的概率； （Ⅱ）已知一名学生线上初审通过，求他是提前认真准备的概率. (2)社团有两种面试流程方案：方案一：所有学生都依次完成线上初审和线下复试（共2次面试）；方案二：先进行线上初审，若通过则进入线下复试；若未通过，则直接淘汰（即只进行1次面试）.已知每次面试的组织成本相同，以面试次数的期望值为决策依据，应选择哪种方案？ 变式4．（25-26高三下·河北衡水·月考）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数. (1)求的分布列和数学期望； (2)另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值； 2 学科网（北京）股份有限公司 $