专项03 椭圆7大题型（大题专练）（天津专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

专项03 椭圆 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年天津卷考情，圆锥曲线（椭圆为主）是解答题必考主干，分值稳定15分． 命题趋势： 解答题：稳定考查椭圆综合（一般为第18题或19题），核心是利用椭圆定义与标准方程，结合直线与椭圆联立、韦达定理处理定点、定值、面积、向量及存在性等综合问题． 2026年预测：极可能仍为椭圆常规综合题，延续两问结构，第一问求方程，第二问直线与椭圆综合． 备考核心：熟记椭圆基本量关系，解答题强化“设线—联立—韦达—条件转化”训练，提升复杂运算与几何条件代数化能力． 题型01 弦长与面积问题 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津武清·月考）已知椭圆的焦距为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)过定点的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求直线的方程及的长. 【思路分析】 （1）由题意可得，，可求得，进而可求得椭圆方程； （2）由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，，与椭圆方程联立，可得，，进而求得弦长与点到直线的距离，结合题意可得，求解即可. 【规范答题】 （1）因为点在椭圆上，所以， 又椭圆的焦距为，所以，即. 又因为，所以，解得或（舍去）； 所以椭圆的方程. （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，，三点共线，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 与椭圆方程联立，消去得， 展开并整理得， 则，所以或， 所以，， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， 所以，所以，所以， 所以，即， 所以直线方程为， 所以弦长. 研考点·通技法 1、核心思路：设直线方程，与椭圆联立得到一元二次方程，用判别式保证有两个交点，借助根与系数的关系整体代入； 2、弦长依托交点横坐标差与斜率表示； 3、面积常用底乘高，以弦长为底、点到直线距离为高，或用坐标割补法计算； 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知椭圆方程短轴长为，离心率为． (1)求的方程； (2)过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）题意可知，椭圆的短轴长为， ∴，．又因为离心率为，可得， 解得，所以椭圆的方程为． （2）由椭圆，可得，则右焦点为， 由题意知，直线的斜率不为零，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 可得， 设，，则，， 所以 ， 又由点到直线的距离， 故的面积， 解得或（舍），所以， 所以l的方程为或， 即直线l的方程为或． 2．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知椭圆的离心率，且椭圆过点，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作斜率存在的直线交椭圆于、两点，过点作轴的垂线，交椭圆于另一点，连接交轴于点，求面积的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为. （2）如下图所示： 设点、，则点，易知点. 若直线与轴重合，则点与原点重合，不符合题意， 根据题意，设直线的方程为，其中， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，， 所以 直线的方程为， 在直线的方程中，令可得， ，即点， 所以， 因为，所以，故. 故面积的取值范围是. 3．（25-26高三上·天津·月考）已知和为椭圆上两点． (1)求C的标准方程； (2)若过点A的直线l交C于另一点B，的面积为24，且的外接圆圆心在y轴上，求直线l的方程； 【答案】(1)；(2)直线l的方程为 【解析】（1）将和代入椭圆方程可得，解， 所以C的标准方程为. （2）由题意，则AP的垂直平分线的斜率， 由的中点坐标为，即为， 所以AP的垂直平分线方程为，即， 令，可得，即的外接圆圆心为， 所以的外接圆的半径， 设点B坐标为，由题意得， 所以，解得或4， 当时，代入可得或6（舍，与P点重合），则， 当时，代入可得或2（舍，与A点重合），则， 当时，的面积，不符合题意，故舍去； 当时，的面积，符合题意， 所以，所以直线l的方程为，即. 题型02 最值与范围问题 析典例·建模型 1．（2026·湖南常德·一模）已知椭圆：过点，且离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上在第一象限内的一个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线，分别交椭圆于点，，直线，的斜率分别为，，求的最小值. 【思路分析】 （1）根据题意列出关于的方程组，解出即可得结果； （2）设出，，的坐标，分别联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系得到的坐标，结合斜率公式和基本不等式计算得到的最大值. 【规范解答】 （1）根据题意可得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）设，，，由（1）可知，， 因为点在椭圆上，所以. 由题意：，：， 将直线与椭圆联立，可得， 整理可得：.所以. 所以，，即. 同理，将直线与椭圆联立.可得. 整理可得：，所以， 所以，，即. 所以的斜率为，的斜率为. 故 因为点在第一象限内.故，. 所以的最小值为，当且仅当在处取到等号. 研考点·通技法 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津南开·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在椭圆C上，且直线的斜率与直线的斜率之积为． (1)求椭圆C的方程； (2)M为C的上顶点，直线l交C于E，Q（异于A，B）两点，记直线，的斜率分别为，，若，求M到l的距离的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，， 由题意得，，解得，， 所以椭圆方程为． 又因为点在椭圆C上，所以，解得，， 所以椭圆C的方程为． （2）由E，Q不同于A，B，当直线l垂直于y轴时，与异号，不满足题意， 所以直线l不与y轴垂直，设其方程为，，， 联立，得， ，即， 则，． 又因为，， 所以，，直线的斜率， 由在C上，得，即， 因此， 因为，所以， 由 ，解得， 所以直线l的方程为，所以直线l过定点． 又因为，则当时，点M到直线l的距离取得最大值， 即点M到直线l的距离的最大值为． 2．（25-26高三上·天津河北·期中）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，过点的直线与椭圆的另一个交点为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线的斜率为0，求的值和的取值范围. 【答案】(1)，离心率为；(2)，. 【解析】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为. （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 设直线的方程为，，， 联立化简并整理得， 由题意得，即，应满足， 所以，， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以直线的方程为，令， 得 ，所以， 此时应满足即应满足，或， 综上所述，满足题意，此时. 13．（24-25高三下·天津南开·月考）设椭圆的下顶点为，右焦点为，离心率为．已知点是椭圆上一点，当直线经过点时，原点到直线的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为离心率为 由题意可知：， 则直线，即， 可得原点到直线的距离为，即， 由题意得：，解得：， 所以椭圆方程为. （2）由（1）可知：，且直线与椭圆必相交，且斜率不为0， 可设直线为， 联立椭圆方程，消去x可得， 则， 可得， 其中， 可得， 因为直线PQ为线段MN的垂直平分线， 则直线PQ：， 令得：，即， 所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 题型03 定值问题 析典例·建模型 1．（24-25高三上·天津西青·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，的面积为，求直线的斜率之积的值. 【思路分析】 （1）根据离心率，焦点坐标及关系列方程组求得，得椭圆标准方程； （2）直线斜率不存在时直接求得斜率之积，斜率存在时，设直线的方程为，设，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，由弦长公式求得，计算原点在的距离，得三角形面积，从而得出关系，此关系式代入斜率之积的表达式化简可得结论． 【规范解答】 （1）由题意可得 ，解得 椭圆的标准方程为. （2）设 ①当直线的斜率不存在时，根据陏圆的对称性不妨设点在第一象限，则 因为，所以 又因为，解得 所以 ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由联立，得 得 点到直线的距离为， 则 解得 综上所得，求直线的斜率之积的值. 研考点·通技法 1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津·调研）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，点关于轴的对称点为，求证：四边形为菱形. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因椭圆顶点为，离心率为， 则，所以，故椭圆方程为：； （2）由题，设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立， 可得. 即得 化简得 因直线与椭圆交于不同的两点，则. 设，由韦达定理. 又设，令得； 设，令得； 又因为 . 所以，，所以平分，所以四边形为菱形.    2．（24-25高三上·天津红桥·期末）已知椭圆的焦距为2，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上的两个动点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析， 【解析】（1）因为焦距为2，所以， 又，且，解得， 椭圆的方程为； （2）设直线方程：得，代入， 得， 设， ， 且，则，， 又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代，可得 ， 所以直线的斜率， 即直线的斜率为定值，其值为. 3．（2025·天津宝坻·一模）已知椭圆C：的长轴长为4，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆C交于A、B两点，与y轴交于点M，线段的垂直平分线与交于点P，与y轴交于点Q，O为坐标原点，如果，求k的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题设得，解得，，， 所以椭圆C的方程为. （2） 联立，得， 由，得， 设，，则，， 所以点的横坐标，纵坐标为， 所以直线的方程为， 令，则点的纵坐标，则， 因为，所以点、点在原点两侧， 因为，所以， 法一：由上可得， 因为，， 所以，解得， 所以. 法二：因,故有，即， 因为，，所以， 解得，所以. 题型04 定点问题 析典例·建模型 1．（25-26高三下·天津武清·开学考试）已知椭圆（）的离心率为，且椭圆C过点. (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C的左、右顶点分别为A，B两点，直线l交椭圆C于M，N两点（点M，N异于点A，B），直线，的斜率分别为，，且.证明：直线l过定点. 【思路分析】 （1）根据椭圆的性质，结合已知条件求出的值，进而得出椭圆的方程； （2）设出直线的方程，联立椭圆方程，利用根与系数的关系得到的表达式，再根据斜率公式和已知条件建立等式，化简等式后求出直线所过的定点. 【规范解答】 （1）因为椭圆C过点  ， 又离心率为 ， 所以椭圆C的方程为； （2）由条件可得直线的斜率不为，故设直线l方程为，，， 由  消去x，得， 方程的判别式， ，， 又因为，， 点在椭圆C上，则， 由，得， 所以， 所以， 所以， 即  或（舍去）， 故直线l方程为，所以直线l过定点. 研考点·通技法 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津西青·期末）已知椭圆的离心率为，左顶点到右焦点的距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于，两点（异于点），且满足，试证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)；(2)证明见解析，定点坐标为 【解析】（1）由题意： ，解得， 所以方程是 . （2）设，，联立， 消可得， 由，得， ， ， 则， 因为，所以， 又因为，所以，， 所以，即， 所以，即， 解得或，均满足， 当时，，直线过点，与已知矛盾， 当时，，直线过点， 综上，直线过定点，定点坐标为. 2．（25-26高三上·天津红桥·期中）已知椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)A,B是椭圆上关于x轴对称的两点，设,连接DB交椭圆于另一点E，证明直线AE 恒过x轴上的定点P. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4， 所以，解得，又因为椭圆的离心率为，所以，解得， 故，则椭圆的标准方程为； （2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得，① 设点，则，直线的方程为， 令得， 将代入整理得，② 由①得， 代入②整理得， 所以直线与轴相交于定点． 3．（24-25高三上·天津北辰·期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的长轴和短轴端点为顶点的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设经过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，，经过点且平行于轴的直线与椭圆交于点.证明：直线AC过定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）依题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）当直线AB斜率为0时，直线AB与椭圆无交点，不符合题意， 从而设， 联立，化简并整理得 ， 由题意， 即应满足，此时或， 所以， 因为直线BC斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以， 又因为， 所以， 所以直线AC过定点. 题型05 存在性探究问题 析典例·建模型 1．（2025·天津河北·二模）已知椭圆的上、下顶点与一个焦点是等腰直角三角形的三个顶点，且点在椭圆上． (1)求椭圆C的离心率及标准方程； (2)过点且斜率存在的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，问在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路分析】 （1）根据已知有，即，再将已知点代入方程求参数值，即可得标准方程和离心率； （2）先假设点存在，并设，，直线，联立椭圆并应用韦达定理得到，，根据已知方程恒成立得到，即，整理化简求参数m，即可得. 【规范解答】 （1）由上下顶点与一个焦点是等腰直角三角形的三个顶点，所以，则， 所以，且，又在椭圆上，则， 所以标准方程为； （2）假设在轴上存在与点不同的定点，使得恒成立，    设，，直线， 由，可得，显然， 则，， 由，而， 所以，即，则， 所以，即，则， 所以，则不论为何值，恒成立， 所以，即，使得恒成立. 研考点·通技法 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． （1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论； （2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； （3）当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意． 破类题·提能力 1．（2025·天津武清·一模）已知椭圆 过点 ，分别为椭圆的左、右焦点且 (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆交于两点(在的左侧)，都是圆的切线且？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在， 【解析】（1），即. 将代入，得，代入， 化简得，解得，（负值舍去），所以， 故椭圆的标准方程为. （2）设圆心在轴上的圆与椭圆相交，，是两个交点，且，. 由圆和椭圆的对称性可知，，，. 由（1）知，，所以，. 因为，则，即，可得. 又因为点在椭圆上，所以，联立可得. 整理得，解得或. 当时，，重合，此时题设要求的圆不存在. 当时，. 过，分别与，垂直的直线的交点即为圆，设. 因为，即，解得. 则圆的半径. 所以圆的方程为. 2．（2025·天津·一模）已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）抛物线的准线方程为， 椭圆的左焦点为，即， 椭圆的短轴长为，，即，， 椭圆的方程为； （2）设，， 当直线的斜率不存在时，：， 此时M，N分别为椭圆的上、下顶点，不妨设，， 要使是以为底边的等腰直角三角形，则， ，，，不合题意； 当直线的斜率为时，：， 此时M，N分别为椭圆的左、右顶点，不妨设，， 要使是以为底边的等腰直角三角形，则， ，，，满足题意； 当直线的斜率存在且不为时，设：， 由，得， ，， ， 设的垂直平分线方程为， 由，得， 是以为底边的等腰直角三角形， ， ， 化简得，，或(舍)，：， 综上，直线的方程为或. 3．（2025·天津·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点，直线与直线分别交于点，线段的中点为. 是否存在实数，使得以为直径的圆总与轴相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；；(2)存在，. 【解析】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，过的直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 由消去得，设， 则，在中，令，得，点， 直线的方程为，令，得，则， 同理得，设中点，则 ， 即点，设中点为，则. 假设存在实数，使得以为直径的圆与轴相切，则点到轴的距离为， 而，则， 整理得，解得， 所以存在，使得以为直径的圆总与轴相切. 题型06 向量条件综合问题 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津河西·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为B，离心率，． (1)求椭圆的标准方程； (2)点D是椭圆C上非顶点的一动点，直线交x轴于点P，直线交直线于点Q，是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【思路分析】 （1）由椭圆的几何性质进行求解; （2）设直线的方程为，交x轴于点,与椭圆方程联立,求出,再联立两直线与直线,求出,再由数量积求解. 【规范解答】 （1）因为离心率所以，，， 因为，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）因为，， 因为点D是椭圆C上非顶点的一动点，所以直线的斜率一定存在且不为0，设为k 所以直线的方程为，交x轴于点 , 所以联立得, 因为，所以，所以， 直线的斜率, 直线的方程为, 因为直线的方程为, 联立得, 所以, 所以为定值12. 研考点·通技法 1、解题通法： （1）向量垂直、共线、数量积为定值，全部转化为坐标运算； （2）交点坐标用根与系数关系整体代入，不单独求解坐标； （3）列式化简后得到方程，解参数并检验合理性． 2、易错点：（1）向量坐标表示写错，点差顺序颠倒；（2）数量积展开漏项、符号错误；（3）联立后代入不彻底，仍保留单个交点坐标；（4）忽略判别式导致参数范围错误． 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津·期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 过 的直线交椭圆C于点M，N， 的周长为8，过点Q(4，0)的直线m交椭圆C于不同的两点A，B. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若D为线段AB 的中点，在x轴上存在一点E，使 成立，求 的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为左、右焦点分别为 ，所以 ， 的周长为， 所以 ，所以 ， 所以椭圆方程. （2）设过点 的直线 m 方程为（斜率不存在时无交点，舍去）， 联立椭圆方程：，得. 设，中点， 则；由得到； ；所以， 由，化简得到，所以， 所以直线方程，令， 得. 所以，因为， 令，所以 ，函数， 因为，所以在上单调递增， ，； 所以. 2．（24-25高三上·天津滨海新·月考）已知椭圆（）的右顶点为A，下顶点为B，椭圆的离心率为，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知点M在椭圆上（M异于椭圆的顶点），点P满足（O为坐标原点），直线与以P为圆心的圆相切于点Q，且Q为中点，求直线斜率. 【答案】(1)；(2)2或. 【解析】（1）由题意得， 又，且，解得，，， 所以椭圆的方程为； （2）因为椭圆的右顶点为A，下顶点为B，所以，， 因为点M在椭圆上（M异于椭圆的顶点），所以直线的斜率存在且不为零，如下图所示： 设直线为， 联立，整理得， 因为，所以， 因为Q为中点，所以， 所以，所以， 因为，，所以. 因为直线与以P为圆心的圆相切于点Q， 所以，即， 整理得，解得或， 所以直线斜率为2或. 3．（2025·天津河西·二模）已知椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点为，点关于直线的对称点为点，若四边形为正方形，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，所以，则， 所以椭圆的方程为， 由消去，得， 因为椭圆与直线相切， 所以令，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，设点、，的中点为， 联立消去，得， ， 由韦达定理得，， 所以，代入，解得， 故线段的中点的坐标为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 令，解得，即， 因为线段和线段互相垂直平分，所以四边形为菱形， 要使四边形为正方形，需满足， 所以 , 即，解得，则的值为. 题型07 几何条件转化问题 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津·月考）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的上、下顶点，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点，若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程． 【思路分析】 （1）根据离心率，焦距，短轴的概念，计算即可； （2）设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由题意可得，设直线的方程为：，联立方程组，由根与系数的关系可得，求解即可. 【规范解答】 （1）由题意知，解得 可得椭圆方程为 （2）如图所示： 设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为， ，， 又， ， 由题意的斜率不为0，设直线的方程为：， 由，得， 设，则，又， ，即， 整理得， ，， 的方程为. 研考点·通技法 1、统一路径：几何条件→坐标条件→代数方程； 2、角平分线、角度相等常用斜率关系或距离比； 3、对称点用中点与垂直联立表示； 4、圆过定点转化为向量垂直或斜率乘积为-1． 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津宝坻·月考）椭圆W：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P为椭圆上一点，面积的最大值为2. (1)求椭圆W的方程； (2)直线与椭圆W交于M、N两点，与y轴交于T点，线段的垂直平分线与交于点G，与y轴交于点H，O为坐标原点，如果是的2倍，求k的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题可得，即 因为，化简得到， 当点P为椭圆上顶点或下顶点时，面积的最大值为2， 则，解得， 所以椭圆方程为. （2）设，联立方程得到， 即， 由，得, 则，故 G 的横坐标； 则，所以. 设， 由题可得， 因为，所以，得到 所以. 2．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知椭圆：过点，焦距是短半轴长的倍， (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，解得， 所以，椭圆的方程为； （2）由，得， 由，得， 设、，则，， 所以点的横坐标，纵坐标， 所以直线的方程为， 令，则点的纵坐标，则， 因为，所以点、点在原点两侧， 因为，所以，所以， 法一：又因为，， 所以，解得，所以. 法二：取中点，则，， ，，则 ， 所以，. 3．（25-26高三上·天津西青·月考）已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，上顶点为，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点的坐标为，，是直线上的两点（在轴上方，在轴下方），直线，与椭圆分别交于，两点.若，，三点共线，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为. （2）由题意可设，，，且，. 直线的方程为. 由消去，整理得. 成立. 由，解得. 所以.所以. ①当直线轴时，，解得， 由椭圆的对称性可得. 又因为，所以. ②当直线不垂直轴时，即时，， 直线的斜率.同理. 因为，，三点共线，所以.所以. 在和中，，， 所以.因为，均为锐角，所以. 综上，若，，三点共线，则. （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·天津·一模）已知椭圆过点，且离心率为，右顶点为，上顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)已知斜率为的直线与椭圆有唯一公共点，与y轴交于点，过点与直线平行的直线交x轴于点，若线段的中点在直线上，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）因为椭圆过点，且离心率为， 所以，解得，则椭圆的方程为. （2）如图，设的方程为，设，， 联立方程组，可得， 解得，，则， 因为直线与椭圆有唯一公共点，所以直线与椭圆相切， 得到，解得， 由题意得，，则的斜率是， 而过点与直线平行的直线交x轴于点， 则该直线方程为，令，解得，得到， 设线段的中点为，由中点坐标公式得， 因为在直线上，所以， 化简得，而，，故解得， 代入中，得到，解得， 则的方程为或. 2．（2026·天津河西·一模）已知椭圆的右焦点为F，离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C相切，过F作直线l的垂线，垂足为H，线段的长度是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1)；(2)是，定值为2 【解析】（1）因为离心率，所以，，， 所以椭圆的标准方程为， 因为经过点，所以，所以 所以椭圆的标准方程为 （2） 因为直线l不垂直于坐标轴，所以直线的斜率存在且不为0， 设不垂直于坐标轴的直线的方程为 所以联立得 因为直线l与椭圆C相切， 所以，即， 因为右焦点为F的坐标为， 所以过F作直线l的垂线的方程为， 因为垂足为H，所以联立，得，即 所以 将代入得， 所以，线段的长度是定值，这个值为2． 3．（2026·天津红桥·一模）已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于不同两点，与圆相切于点． ①证明：（为坐标原点）； ②设，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)①证明见解析；②. 【解析】（1）依题意，解得， ∴椭圆的方程为． （2）①∵直线与相切， ∴，即． 联立消去得， 设，则， 所以 ， ∴． ②直线与椭圆交于不同的两点，∴， ∴， 由①知，∴，即， ∴，又，∴的取值范围为． 4．（2026·天津南开·一模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，短轴长为2，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且. (1)求椭圆的方程； (2)直线：（）与椭圆交于点，，若椭圆上存在点使得四边形为平行四边形.且，求的值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为，， 所以，. 因为，， 所以，因为，所以，， 所以椭圆方程为. （2）设，， 联立方程得， 所以，整理得    ①， 所以，， . 因为上存在点使得四边形为平行四边形， 所以，即， 将代入得， 整理得   ②， 所以 ， 由②知， ， 因为， 所以， 整理得，解得， 由②知，符合①，因为，所以 5．（2026·天津滨海新区·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，且椭圆经过点，点为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为椭圆上任意一点，点，求的取值范围； (3)已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于不同的两点，且直线不与坐标轴垂直，设直线的斜率分别为，试探究：是否为一个定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由椭圆过点，可知，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）如图所示，设点,由,可得 所以， 由，得， 所以. 设，由，得，且对称轴， 所以在，， 因为，， 所以在的值域为，故的取值范围是. （3）由题意知椭圆右焦点，左右顶点分别为, 设直线的方程为，，联立， 消去得，故. 由，得， 即， 代入， 得，再代入， 得， 所以为定值. 刷真题 1．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . （2）由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 法三：则，， 故， 又， 所以，即平分. 法四：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为， 所以平分. 2．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，使得恒成立. 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 3．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为；(2). 【解析】（1）如图， 由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 4．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 离心率为. （2）由（1）可知椭圆的方程为， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立得， 由，① ，， 由可得，② 由可得，③ 联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为． 5．（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）易知点、，故， 因为椭圆的离心率为，故，， 因此，椭圆的方程为； （2）设点为椭圆上一点， 先证明直线的方程为， 联立，消去并整理得，， 因此，椭圆在点处的切线方程为. 在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点， 直线的斜率为，所以，直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 因为，则，即，整理可得， 所以，，因为，，故，， 所以，直线的方程为，即. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项03 椭圆 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年天津卷考情，圆锥曲线（椭圆为主）是解答题必考主干，分值稳定15分． 命题趋势： 解答题：稳定考查椭圆综合（一般为第18题或19题），核心是利用椭圆定义与标准方程，结合直线与椭圆联立、韦达定理处理定点、定值、面积、向量及存在性等综合问题． 2026年预测：极可能仍为椭圆常规综合题，延续两问结构，第一问求方程，第二问直线与椭圆综合． 备考核心：熟记椭圆基本量关系，解答题强化“设线—联立—韦达—条件转化”训练，提升复杂运算与几何条件代数化能力． 题型01 弦长与面积问题 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津武清·月考）已知椭圆的焦距为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)过定点的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求直线的方程及的长. 研考点·通技法 1、核心思路：设直线方程，与椭圆联立得到一元二次方程，用判别式保证有两个交点，借助根与系数的关系整体代入； 2、弦长依托交点横坐标差与斜率表示； 3、面积常用底乘高，以弦长为底、点到直线距离为高，或用坐标割补法计算； 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知椭圆方程短轴长为，离心率为． (1)求的方程； (2)过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 2．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知椭圆的离心率，且椭圆过点，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作斜率存在的直线交椭圆于、两点，过点作轴的垂线，交椭圆于另一点，连接交轴于点，求面积的取值范围. 3．（25-26高三上·天津·月考）已知和为椭圆上两点． (1)求C的标准方程； (2)若过点A的直线l交C于另一点B，的面积为24，且的外接圆圆心在y轴上，求直线l的方程； 题型02 最值与范围问题 析典例·建模型 1．（2026·湖南常德·一模）已知椭圆：过点，且离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上在第一象限内的一个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线，分别交椭圆于点，，直线，的斜率分别为，，求的最小值. 研考点·通技法 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津南开·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在椭圆C上，且直线的斜率与直线的斜率之积为． (1)求椭圆C的方程； (2)M为C的上顶点，直线l交C于E，Q（异于A，B）两点，记直线，的斜率分别为，，若，求M到l的距离的最大值． 2．（25-26高三上·天津河北·期中）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，过点的直线与椭圆的另一个交点为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线的斜率为0，求的值和的取值范围. 13．（24-25高三下·天津南开·月考）设椭圆的下顶点为，右焦点为，离心率为．已知点是椭圆上一点，当直线经过点时，原点到直线的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值． 题型03 定值问题 析典例·建模型 1．（24-25高三上·天津西青·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，的面积为，求直线的斜率之积的值. 研考点·通技法 1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津·调研）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，点关于轴的对称点为，求证：四边形为菱形. 2．（24-25高三上·天津红桥·期末）已知椭圆的焦距为2，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上的两个动点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值. 3．（2025·天津宝坻·一模）已知椭圆C：的长轴长为4，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆C交于A、B两点，与y轴交于点M，线段的垂直平分线与交于点P，与y轴交于点Q，O为坐标原点，如果，求k的值. 题型04 定点问题 析典例·建模型 1．（25-26高三下·天津武清·开学考试）已知椭圆（）的离心率为，且椭圆C过点. (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C的左、右顶点分别为A，B两点，直线l交椭圆C于M，N两点（点M，N异于点A，B），直线，的斜率分别为，，且.证明：直线l过定点. 研考点·通技法 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津西青·期末）已知椭圆的离心率为，左顶点到右焦点的距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于，两点（异于点），且满足，试证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 2．（25-26高三上·天津红桥·期中）已知椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)A,B是椭圆上关于x轴对称的两点，设,连接DB交椭圆于另一点E，证明直线AE 恒过x轴上的定点P. 3．（24-25高三上·天津北辰·期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的长轴和短轴端点为顶点的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设经过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，，经过点且平行于轴的直线与椭圆交于点.证明：直线AC过定点. 题型05 存在性探究问题 析典例·建模型 1．（2025·天津河北·二模）已知椭圆的上、下顶点与一个焦点是等腰直角三角形的三个顶点，且点在椭圆上． (1)求椭圆C的离心率及标准方程； (2)过点且斜率存在的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，问在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 研考点·通技法 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． （1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论； （2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； （3）当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意． 破类题·提能力 1．（2025·天津武清·一模）已知椭圆 过点 ，分别为椭圆的左、右焦点且 (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆交于两点(在的左侧)，都是圆的切线且？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由. 2．（2025·天津·一模）已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程． 3．（2025·天津·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点，直线与直线分别交于点，线段的中点为. 是否存在实数，使得以为直径的圆总与轴相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型06 向量条件综合问题 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津河西·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为B，离心率，． (1)求椭圆的标准方程； (2)点D是椭圆C上非顶点的一动点，直线交x轴于点P，直线交直线于点Q，是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 研考点·通技法 1、解题通法： （1）向量垂直、共线、数量积为定值，全部转化为坐标运算； （2）交点坐标用根与系数关系整体代入，不单独求解坐标； （3）列式化简后得到方程，解参数并检验合理性． 2、易错点：（1）向量坐标表示写错，点差顺序颠倒；（2）数量积展开漏项、符号错误；（3）联立后代入不彻底，仍保留单个交点坐标；（4）忽略判别式导致参数范围错误． 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津·期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 过 的直线交椭圆C于点M，N， 的周长为8，过点Q(4，0)的直线m交椭圆C于不同的两点A，B. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若D为线段AB 的中点，在x轴上存在一点E，使 成立，求 的取值范围. 2．（24-25高三上·天津滨海新·月考）已知椭圆（）的右顶点为A，下顶点为B，椭圆的离心率为，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知点M在椭圆上（M异于椭圆的顶点），点P满足（O为坐标原点），直线与以P为圆心的圆相切于点Q，且Q为中点，求直线斜率. 3．（2025·天津河西·二模）已知椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点为，点关于直线的对称点为点，若四边形为正方形，求的值. 题型07 几何条件转化问题 析典例·建模型 1．（25-26高三上·天津·月考）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的上、下顶点，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点，若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程． 研考点·通技法 1、统一路径：几何条件→坐标条件→代数方程； 2、角平分线、角度相等常用斜率关系或距离比； 3、对称点用中点与垂直联立表示； 4、圆过定点转化为向量垂直或斜率乘积为-1． 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津宝坻·月考）椭圆W：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P为椭圆上一点，面积的最大值为2. (1)求椭圆W的方程； (2)直线与椭圆W交于M、N两点，与y轴交于T点，线段的垂直平分线与交于点G，与y轴交于点H，O为坐标原点，如果是的2倍，求k的值. 2．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知椭圆：过点，焦距是短半轴长的倍， (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值. 3．（25-26高三上·天津西青·月考）已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，上顶点为，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点的坐标为，，是直线上的两点（在轴上方，在轴下方），直线，与椭圆分别交于，两点.若，，三点共线，求证：. （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·天津·一模）已知椭圆过点，且离心率为，右顶点为，上顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)已知斜率为的直线与椭圆有唯一公共点，与y轴交于点，过点与直线平行的直线交x轴于点，若线段的中点在直线上，求直线的方程． 2．（2026·天津河西·一模）已知椭圆的右焦点为F，离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C相切，过F作直线l的垂线，垂足为H，线段的长度是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 3．（2026·天津红桥·一模）已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于不同两点，与圆相切于点． ①证明：（为坐标原点）； ②设，求实数的取值范围． 4．（2026·天津南开·一模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，短轴长为2，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且. (1)求椭圆的方程； (2)直线：（）与椭圆交于点，，若椭圆上存在点使得四边形为平行四边形.且，求的值. 5．（2026·天津滨海新区·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，且椭圆经过点，点为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为椭圆上任意一点，点，求的取值范围； (3)已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于不同的两点，且直线不与坐标轴垂直，设直线的斜率分别为，试探究：是否为一个定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 刷真题 1．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 2．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 3．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 4．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 5．（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $