三角恒等变换、三角函数图像、图像变换与三角函数性质综合专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

三角恒等变换、三角函数图像、图像变换与三角函数性质综合专项训练 三角恒等变换、三角函数图像、图像变换与三角函数性质综合专项训练 考点目录 三角恒等变换与三角函数性质综合 三角函数图像与三角函数性质综合 图像变换与三角函数性质综合 考点一 三角恒等变换与三角函数性质综合 例1．（25-26高三上·江苏苏州·月考）已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（   ） A．1或2 B．1 C．2 D．3 例2．（2026·重庆渝中·二模）若，将的图象纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，得到的图象，则在区间的最大值是（   ） A． B．1 C． D． 例3．（25-26高三下·四川遂宁·开学考试·多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 B．直线是的图象的一条对称轴 C．在区间上单调 D．在区间上有6个零点 例4．（25-26高三上·江苏无锡·月考·多选）函数，则下列说法正确的有（　　） A． B．的最大值为2 C．是函数图像的一条对称轴 D．是偶函数 例5．（2026·四川·二模）已知函数在区间上的最小值为3，则_____________． 例6．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围为_____________． 变式1．（2026·江苏·模拟预测）已知函数是奇函数，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 变式2．（25-26高一下·江苏南通·月考）函数的最小正周期为（   ） A．4π B．2π C．π D． 变式3．（2026·甘肃张掖·模拟预测·多选）已知函数（其中）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．若在区间上的值域为，则 D．若在上有且仅有3个零点，则 变式4．（2026·河南·模拟预测·多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．在区间上单调递增 D．当时， 变式5．（2026·陕西榆林·一模）函数的最大值为_______． 变式6．（2025·广西·模拟预测）已知函数，若函数为偶函数，则的最大负值是______. 考点二 三角函数图像与三角函数性质综合 例1．（25-26高三下·四川成都·月考·多选）已知函数（，，）的部分图象如图，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是函数的图象的一个对称中心 D．函数的对称轴方程为， 例2．（2026·河北衡水·二模·多选）2026年3月3日是第27个全国“爱耳日”.活动的主题是“全民科学爱耳，共护听力健康——安全用耳、健康成长”.新科技产品智能降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的单调递减区间为 D．若，且，则 例3．（2026·河北保定·二模·多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象与函数的图象只有2个交点 C．函数在区间上有6个零点 D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 变式1．（2026·河北沧州·模拟预测·多选）若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B． C．的图象关于直线对称 D．若方程在上有且只有3个根，则 变式2．（25-26高三下·陕西咸阳·月考·多选）函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．关于的不等式的解集为 变式3．（2026·四川资阳·模拟预测·多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的最小正周期为 B． C． D．若将的图象向右平移个单位，则所得函数是偶函数 考点三 图像变换与三角函数性质综合 例1．（25-26高三上·湖北黄石·月考）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，所得函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·安徽安庆·月考）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·上海·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是______ 例4．（25-26高二下·广西南宁·月考）已知函数，将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，求实数t的取值范围为______． 变式1．（25-26高三上·江西南昌·月考）已知函数（）的图象关于点对称，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的一个可能取值为（    ） A．0 B． C． D． 变式3．（25-26高三下·河北雄安·开学考试）已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象，且是偶函数，则的最小值为__________. 变式4．（25-26高一上·广东深圳·期末）将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图象，若不存在使得，则的取值范围是______. 2 学科网（北京）股份有限公司 $三角恒等变换、三角函数图像、图像变换与三角函数性质综合专项训练 三角恒等变换、三角函数图像、图像变换与三角函数性质综合专项训练 考点目录 三角恒等变换与三角函数性质综合 三角函数图像与三角函数性质综合 图像变换与三角函数性质综合 考点一 三角恒等变换与三角函数性质综合 例1．（25-26高三上·江苏苏州·月考）已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（   ） A．1或2 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简函数，结合正弦函数的对称性和单调性即可求解. 【详解】， 因为，且在区间上单调递减， 所以的图象关于点对称，所以， 又点在减区间内，所以，得， 由题知，周期，所以， 又，所以时，. 例2．（2026·重庆渝中·二模）若，将的图象纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，得到的图象，则在区间的最大值是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】 ，故，当， ，根据三角函数图象可知，的最大值为1. 例3．（25-26高三下·四川遂宁·开学考试·多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 B．直线是的图象的一条对称轴 C．在区间上单调 D．在区间上有6个零点 【答案】ABD 【分析】对A：将原函数化为正弦型函数后，利用平移定义即可得；对B、C：结合正弦函数性质，借助整体代入法计算即可得；对D：画出函数与在上的图象后即可得. 【详解】； 对A：将的图象向右平移个单位长度可得： ，故A正确； 对B：时，， 由直线是函数的一条对称轴， 故直线是的图象的一条对称轴，故B正确； 对C：时，， 由函数在上不单调， 故在区间上不单调，故C错误； 对D：令，即， 则的零点个数即为与交点个数， 作出与在上图象如下图： 由图可得，两函数图象在上共有6个零点， 即在区间上有6个零点，故D正确. 例4．（25-26高三上·江苏无锡·月考·多选）函数，则下列说法正确的有（　　） A． B．的最大值为2 C．是函数图像的一条对称轴 D．是偶函数 【答案】ABD 【分析】利用诱导公式和辅助角公式化简，可判断AB；根据代入验证法可判断C；利用诱导公式化简可判断D. 【详解】 . 对A，的最小正周期，所以，正确； 对B，当时，取得最大值2，正确； 对C，因为， 所以不是函数图像的一条对称轴，错误； 对D，，显然为偶函数，正确. 故选：ABD 例5．（2026·四川·二模）已知函数在区间上的最小值为3，则_____________． 【答案】4 【详解】 因为，所以，即， 因此的最小值满足：. 例6．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】应用辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的单调性及已知列不等式求参数范围. 【详解】，且，则， ，所以，则， 由且， 所以或，故或. 变式1．（2026·江苏·模拟预测）已知函数是奇函数，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据奇函数性质求出，然后利用和差公式化简即可得解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得或， 因为，即，所以，可得， 则， 显然为奇函数，满足题意， 当时，取得最大值. 变式2．（25-26高一下·江苏南通·月考）函数的最小正周期为（   ） A．4π B．2π C．π D． 【答案】C 【分析】使用二倍角公式化简即可. 【详解】，所以. 变式3．（2026·甘肃张掖·模拟预测·多选）已知函数（其中）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．若在区间上的值域为，则 D．若在上有且仅有3个零点，则 【答案】BCD 【分析】A选项，由三角恒等变换化简函数，结合对称轴得到方程，求出；B选项，根据函数奇偶性定义作出判断；CD选项，由函数值域和零点个数得到右端点的范围，求出答案； 【详解】对于A选项，， 因为函数的图象关于直线对称，所以， 解得， 又，故只有当时，满足要求，故，A错误； 对于B选项，由选项A知，， 故， 由于， 故为奇函数，B正确； 对于C选项，， 因为，，所以，， 由于在区间上的值域为， 故，解得，C正确； 对于D选项，， 因为，，所以， 因为在上有且仅有3个零点， 所以，解得，D正确. 变式4．（2026·河南·模拟预测·多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．在区间上单调递增 D．当时， 【答案】ACD 【分析】利用三角恒等变换得到，再根据正弦函数性质逐项判断. 【详解】， 所以最小正周期，A正确； 的最大值为，B错误； 令， 所以函数的单调递增区间， 当时，单调递增区间是 所以在区间上单调递增，C正确； 当时，即，则， 所以， 则，D正确. 变式5．（2026·陕西榆林·一模）函数的最大值为_______． 【答案】 【分析】由辅助角公式结合三角函数的图像性质即可求解. 【详解】 ， 其中，故的最大值为． 变式6．（2025·广西·模拟预测）已知函数，若函数为偶函数，则的最大负值是______. 【答案】 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，根据偶函数的性质以及正弦函数的对称性，可得答案. 【详解】由，则， 由函数为偶函数，则轴为该函数图象的对称轴， 即，，化简可得，， 当时，取得最大负值为. 故答案为： 考点二 三角函数图像与三角函数性质综合 例1．（25-26高三下·四川成都·月考·多选）已知函数（，，）的部分图象如图，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是函数的图象的一个对称中心 D．函数的对称轴方程为， 【答案】BCD 【详解】对于A，根据函数的图象知，， 周期，所以，故A错误； 对于B，由，， 有，即， 所以，，则，， 因为，所以，即， 由， ，故B正确； 对于C，因为的对称中心为，， 令，，则，， 当时，，故C正确； 对于D，由的对称轴方程为，， 令，，所以，， 所以函数的对称轴方程为，，故D正确． 例2．（2026·河北衡水·二模·多选）2026年3月3日是第27个全国“爱耳日”.活动的主题是“全民科学爱耳，共护听力健康——安全用耳、健康成长”.新科技产品智能降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的单调递减区间为 D．若，且，则 【答案】ABD 【分析】利用图象结合正弦型函数性质分析可得B；利用振幅与相位定义计算可得A；利用正弦型函数单调性计算可得C；利用正弦型函数对称性计算可得D. 【详解】对B：由图可得，则， ，解得，又，则， ，则，故； 对A：由题意可得， 即，故A正确； 对C：令， 解得， 即的单调递减区间为，故C错误； 对D：当时，则， 由，则， 则，即， 故，故D正确. 例3．（2026·河北保定·二模·多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象与函数的图象只有2个交点 C．函数在区间上有6个零点 D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 【答案】ABD 【分析】选项A，结合图像和最小正周期公式求解；选项B，求出的表达式，在同一直角坐标系中画出和的图像，结合图像得解；选项C，求出在区间上的零点个数即可得解；选项D，利用平移知识求解即可得到结论. 【详解】选项A，，，，，， 故选项A正确； 选项B，过点，且该点是单调递增范围内的点， ，， ，，， 作出与函数的图象，如图所示， 当时，又，则，即， 通过图像可知函数和的图像只有2个交点，故选项B正确； 选项C，，， ，， ，，， ，，由5个值， 故函数在区间上有5个零点，故选项C错误； 选项D，的图象向右平移个单位长度得到 ，此函数的表达式与相同，故选项D正确. 变式1．（2026·河北沧州·模拟预测·多选）若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B． C．的图象关于直线对称 D．若方程在上有且只有3个根，则 【答案】AC 【详解】由图象可知，函数的最大值为，故，该函数过点，， 代入可得，而点在上升曲线段中， 所以，，因为， 所以，而在下降曲线段中，所以，得， ， 由图象可知，，所以，所以，所以， 所以,可知选项A正确，选项B错误； 可得函数，当时，， 所以，故选项C正确； 设，即，根据图象分析可得， 计算可得，故选项D错误. 变式2．（25-26高三下·陕西咸阳·月考·多选）函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．关于的不等式的解集为 【答案】ABC 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答. 【详解】由图象得，，即，而，则， ，又，则， 解得，函数的最小正周期，由图象知， 则，，， 对于A，图象向左平移个单位得到的图象，A正确； 对于B，当时，，因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，B正确； 对于C，，的图象关于直线对称，C正确； 对于D，由，得，则， 解得，所以解集为，D错误. 变式3．（2026·四川资阳·模拟预测·多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的最小正周期为 B． C． D．若将的图象向右平移个单位，则所得函数是偶函数 【答案】ACD 【分析】根据函数的图象，求函数的解析式，再根据函数的性质判断选项. 【详解】由图象可知，，得，函数的最小正周期为， 时，，得，，且， 所以，所以，C正确； 函数的最小正周期，A正确；，B错误； 将的图象向右平移个单位，得到函数，为偶函数，故D正确. 考点三 图像变换与三角函数性质综合 例1．（25-26高三上·湖北黄石·月考）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，所得函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】首先分析函数图象变换过程： 1.横坐标伸长：将的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)， 根据横坐标伸缩变换规则)，得到函数. 2.向左平移：将上述函数向左平移个单位(左移个单位时)， 得：. 接下来求正切函数的对称中心： 正切函数的对称中心满足， 对于满足：； 解此方程得：. 因此，所得函数图象的对称中心为. 例2．（25-26高三上·安徽安庆·月考）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换求解即可. 【详解】将的图象先向左平移个单位长度，得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的4倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为． 例3．（25-26高一下·上海·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是______ 【答案】 【详解】函数的图象向左平移个单位后， 得到的函数， 因为曲线关于直线对称， 所以，， 解得：，， 因为，令，得，所以的最小值是. 例4．（25-26高二下·广西南宁·月考）已知函数，将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，求实数t的取值范围为______． 【答案】 【分析】化简函数，利用三角函数的图象变换，得到，再由，得到，结合正弦型函数的性质，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，可得， 再将所得的图象向右平移个单位，可得， 因为，可得， 又因为函数有且仅有5个零点，则满足，解得， 所以实数的取值范围是. 变式1．（25-26高三上·江西南昌·月考）已知函数（）的图象关于点对称，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定函数的解析式，再利用正弦函数单调性求解即可. 【详解】由题可得，令， 整理得，结合，得时，. 此时. ， 令，解得， 当时，的一个单调递增区间为. 变式2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的一个可能取值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出平移后的函数解析式，进而根据函数性质求得，再依次讨论值即可. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度后， 对应的函数解析式为， 因为的图象关于轴对称， 则，即. 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的一个可能取值为. 变式3．（25-26高三下·河北雄安·开学考试）已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象，且是偶函数，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】由相邻对称轴的距离确定周期，求得，再结合平移法则及三角函数中奇偶性的判断，即可求解. 【详解】函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以函数的最小正周期为， 所以，结合，可得， 所以， 又因为将函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象， 所以， 因为为偶函数，所以，即， 易知当时，得. 变式4．（25-26高一上·广东深圳·期末）将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图象，若不存在使得，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用图象的平移变换得，结合条件得在区间上没有对称轴，从而得，即可求解. 【详解】由题意知， 由，得，由题意知在区间上没有对称轴， 则，即， 解得，由，得，又， 当时，；当时，；当时无解， 综上所述，. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $