精品解析：福建华安县第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

华安一中2025-2026学年（下）期中考高二数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 A. B. C. D. 2. 已知向量，，满足，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 3. 如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知圆柱的轴截面为矩形，，P，Q分别为圆柱上、下底面圆周上一点，，，则异面直线PQ与AB所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 在的投影向量的坐标是 10. 给出下列命题，其中正确的有（    ） A. 两个不同的平面的法向量分别是，则 B. 若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 C. 若空间向量，，则与的夹角为钝角 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则或 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数不存在极值点 B. 当时，函数有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 若是函数的一条切线，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，，则__________. 13. 如图，平面，为垂足，，，与平面所成的角为，，则的长等于_____． 14. 已知函数， . （1）当时，函数的零点个数为____________； （2）若函数恰有2个不同的零点，则实数的取值范围为_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤.） 15. 已知函数．在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 16. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点． （1）求证：平面PBF； （2）若，求直线PC与平面PBF所成角的正弦值． 17. 已知函数在处取得极值2. （1）求a，b的值： （2）求函数在上的最值. 18. 如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，，，，． （1）求证：平面； （2）在线段（不包括端点）上是否存在点Q，使得直线与平面所成角为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 19. 已知函数． （1）若对任意恒成立，求的取值范围； （2）已知，且函数存在极值，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华安一中2025-2026学年（下）期中考高二数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据空间直角坐标系中点的对称性可得解. 【详解】依据空间直角坐标系中点的对称性可知： 点关于平面的对称点的坐标为， 故选：A 2. 已知向量，，满足，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用空间向量垂直的公式计算即可. 【详解】，， ， 解得 故选：A. 3. 如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量线性运算即可求解. 【详解】由题意可得 . 故选：A. 4. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由切线的几何意义得，将代入切线方程得，从而得解. 【详解】由切线方程，得， 将代入切线方程，得，所以， 则. 故选：C 5. 若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数给定区间上为增函数可得导函数在该区间上恒为非负数，利用参变分离法即可通过求相应函数的最值求得参数范围. 【详解】因为函数是上的增函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立．令，,则， 则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以． 故选：C． 6. 已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理得点M在平面ABC内，当平面ABC时，最小，利用勾股定理求解即可. 【详解】因为，， 所以，所以， 因为，不共线，所以，，共面，所以点M在平面ABC内， 所以当平面ABC时，最小，如图，取BC的中点D，连接AD， 则点M在AD上，且， 所以，即的最小值为. 故选：B 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给数的结构特征，设函数，利用导数判断其单调性，利用单调性比较大小，可得答案. 【详解】设函数，则， 当时，，当时，， 故在单调递增，在上单调递减， 又，，， 因为，故，即， 故选：B 【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小. 8. 如图，已知圆柱的轴截面为矩形，，P，Q分别为圆柱上、下底面圆周上一点，，，则异面直线PQ与AB所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，根据已知得出，，即可根据异面直线夹角的向量求法得出答案. 【详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系， 设，则，，结合， 可得，， 所以，， 所以异面直线PQ与AB所成角的余弦值为， 故选:C. 二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 在的投影向量的坐标是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标表示一一计算判定选项即可. 【详解】因为，，所以，即A正确； 因为，所以B错误； 因为，所以C错误； 在的投影向量为，即D正确. 故选：AD 10. 给出下列命题，其中正确的有（    ） A. 两个不同的平面的法向量分别是，则 B. 若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 C. 若空间向量，，则与的夹角为钝角 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则或 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，，得，故A正确； 对于B，由基底的性质知，空间基底是由非零且不共面的三个向量构成，且任意两个向量不共线，故B正确； 对于C，由，，得， ，即与的夹角为锐角，故C错误； 对于D：，，即或，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数不存在极值点 B. 当时，函数有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 若是函数的一条切线，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，当时，可知均在上单调递增， 则在上单调递增，所以不存在极值点，A正确； 对于B，当时，，求导得， 令得或，又当时， 当时，所以分别为极大和极小值点， 且，， ，所以只有两个零点，B错误； 对于C，因为， 所以点是曲线的对称中心，C正确； 对于D，设与的切点坐标为，因为， 所以在处的切线方程为， 即，依题意有，得，D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可得到结果. 【详解】， 故答案为： 13. 如图，平面，为垂足，，，与平面所成的角为，，则的长等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，利用数量积的运算律打开，结合已知条件能求出的长． 【详解】平面，为垂足，，， 与平面所成的角为，， ， ． 故答案为：． 14. 已知函数， . （1）当时，函数的零点个数为____________； （2）若函数恰有2个不同的零点，则实数的取值范围为_________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）在分段函数两段上分别求零点即可； （2）利用导数判断函数单调性，作出函数草图，结合图像即可求实数的取值范围. 【详解】（1）时，， 当时，，解得，有1个解； 当时，，解得或（舍），有1个解， 所以零点个数为2； （2），即， 当时，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，当时，， 故的图象如图所示： 由图可知：当有两个零点时，或， 即． 故答案为：2；. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤.） 15. 已知函数．在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1）1 （2）函数在，单调递增，在单调递减；极大值1，极小值 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可求得； （2）借助导数可讨论单调性，即可得极值. 【小问1详解】 由，可得，所以， 又因为在点处的切线与直线垂直， 所以，解得． 【小问2详解】 由（1）得，所以， 令，得，解得或， 令，得，解得， 所以函数在，单调递增，在单调递减， 所以极大值为，极小值. 16. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点． （1）求证：平面PBF； （2）若，求直线PC与平面PBF所成角的正弦值． 【答案】（1） 取PB的中点G，连接EG，GF，如图． 因为E，G是PA，PB的中点，所以，且. 因为，且， 所以，所以四边形EGFD为平行四边形， 所以， 又平面PBF，平面PBF， 所以平面PBF. （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则． 所以，，． 设平面PBF的法向量为， 则， 则| ， 所以直线PC与平面PBF所成角的正弦值为. 17. 已知函数在处取得极值2. （1）求a，b的值： （2）求函数在上的最值. 【答案】（1）的值为，的值为2； （2）最小值为2，最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用极值的定义列方程求解； （2）利用导数讨论函数在的单调性，结合极值和区间端点处的函数值即可求最值. 【小问1详解】 ，， 在处取得极值2， 且， 即，解得， 此时， 由，可得，在上单调递减， 由，可得， 在上单调递增， 所以在处取得极值，符合题意， 所以的值为，的值为2； 【小问2详解】 由（1）有，， 由，可得，在上单调递减， 由，可得， 在上单调递增， 时，在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取得极小值，即为最小值， ，，，， 在处取得最大值， 综上所述，在上的最小值为2，最大值为. 18. 如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，，，，． （1）求证：平面； （2）在线段（不包括端点）上是否存在点Q，使得直线与平面所成角为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 因为平面平面，平面平面， 又因为，平面，所以平面. （2）存在点Q，使得直线与平面所成角为，且 【解析】 【分析】（1）因为，由面面垂直的性质定理即可证明； （2）可证明两两垂直，建立空间直角坐标系，设，求得平面的一个法向量，利用向量法可得的方程，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在点Q，使得直线与平面所成角为，且.理由如下： 连接，由（1）知平面，平面， 所以，又因为，故两两垂直， 以为坐标原点，所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则，所以，所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 因为与平面所成角为， 所以， 所以，解得或（舍去）， 所以，所以， 所以存在点Q，使得直线与平面所成角为，且. 19. 已知函数． （1）若对任意恒成立，求的取值范围； （2）已知，且函数存在极值，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得对任意恒成立，进而构造函数，并分和两种情况讨论求解即可； （2）求导研究导函数的性质得，再分，，三种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 解：由题可知对任意恒成立， 因为，所以整理不等式得，即对任意恒成立， 令，求导， 当时，在上恒成立，即在上单调递增， 所以，即对任意恒成立，满足题意； 当时，时，，单调递减；时，，单调递增； 因为，所以，当时，即， 这与对任意恒成立矛盾； 综上，当时，对任意恒成立， 所以，的取值范围为 【小问2详解】 解：由题意知：， 令，求导， 令，解得. 所以，当时，，当时， ， 所以在上单调递减，上单调递增，即在上单调递减，上单调递增， 所以在处有最小值， 因为，， 所以，当时，， 此时，使得， 且时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增； 所以，分别为函数的极大值点与极小值点，函数存在极值， 当时，，即在上恒成立，函数在上单调递增，故函数不存在极值； 当，，即在上恒成立，函数在上单调递增，故函数不存在极值； 综上，若函数存在极值，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $