第二十二章 函数 单元卷 2025-2026学年人教八年级数学下册

第二十二章函数黄金卷2025-2026学年新人教八年级数学下册 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）在圆周长计算公式中，变量有（　　） A．L，π B．L，r C．L，π，r D．2π，r 2．（本题3分）电解水是一个重要的化学反应，可以生成氢气和氧气，且生成的氧气体积是氢气体积的函数，下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（    ） 氢气的体积 1 2 3 10 氧气的体积 0.5 1 1.5 5 A． B． C． D． 3．（本题3分）某学校举办“春风拂面，书香浸润校园——爱读书，读好书”的校园文化活动，倡议同学们每天坚持阅读．小志同学挑选了一本喜爱的书籍来阅读，该书籍共270页，小志同学每天阅读此书籍30页．如果设小志同学阅读了此书籍x天后，该书籍剩余y页未读，则函数y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）甲、乙两人沿相同的路线从地匀速行驶到地，已知，两地的路程为，他们行驶的路程与甲、乙出发的时间之间关系的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲的速度是 B．乙的速度是 C．乙比甲晚出发 D．甲比乙晚到地 5．（本题3分）关于两个变量y与x之间的关系的三种表述中，y是x的函数的有（    ） ①y：正方形的周长，x：正方形的边长；② ；③ A．①② B．②③ C．①③ D．只有① 6．（本题3分）一辆汽车从起步到停止，过程中的速度随时间变化如图所示，根据图象，下列结论正确的是（   ） A．在这个变化过程中自变量是速度，因变量是时间 B．点表示时的速度是 C．点表示时的速度是 D．从到汽车停止 7．（本题3分）如图，在矩形中，，，动点P从A出发，沿的方向在和上移动，设，点D到直线的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．设甲、乙两人间距离为，甲行驶的时间为，与之间的函数关系如图所示，有下列结论：①出发时，甲、乙在途中相遇；②出发时，乙比甲多行驶了；③出发时，甲、乙同时到达终点；④甲的速度是乙速度的一半．其中正确结论有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 9．（本题3分）甲、乙两辆汽车从城出发前往城，在整个行程中，两车离开城行驶的路程（千米）与甲车出发的时间（小时）的对应关系如图所示，则下列四个结论：①城与城相距360千米：②乙出发1.5小时后追上甲；③甲，乙两车相距50千米时，或；④当时，甲、乙两车之间相距的路程不变；其中正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 10．（本题3分）如图①，点P从菱形的边上的一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到点C停止．设点P运动的路程为x，点P到的距离为m，到的距离为n，且（当点P与点C重合时，），点P运动时，y随x的变化关系如图②所示，则菱形的面积为（   ） A． B． C．10 D．6 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）函数中，自变量x的取值范围是___________． 12．（本题3分）某款汽车行驶前油箱中装满汽油70升，行驶途中每行驶1百公里耗油6升，那么该款汽车油箱中的剩余油量y（升）与它所行驶的路程x（百公里）之间的函数关系式是______（不必写取值范围） 13．（本题3分）如图①，将一个底面积为的圆柱形水杯杯底固定在大圆柱形容器底面的中央．现用一个注水管沿大容器内壁匀速持续地注水，水杯内水面的高度h（）与注水时间t（）的图像如图②所示，则注水速度为________． 14．（本题3分）如图（1），点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图（2）是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是__________．    15．（本题3分）为了研究的性质，小明用描点法画它的图像． ．．． ．．． ．．． ．．． 下列五个结论：①函数经过点；②当时，该函数图像在轴上方；③图像有最高点；④若和是该函数上两点，则：⑤若将函数图像向右平移个单位长度，则平移后的函数图像解析式是．其中正确的结论是___________． 三、解答题（共75分） 16．（本题8分）汽车以的速度匀速行驶，行驶路程（）与时间（）的关系为．指出其中的变量与常量． 17．（本题9分）下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据： 时间（分） 0 1 2 3 4 5 6 温度（℃） 时间（分） 7 8 9 温度（℃） (1)时间是8分钟时，水的温度为________； (2)此表反映了变量________和________之间的关系，其中________是自变量，________是因变量； (3)在________时间内，温度随时间增加而增加；________时间内，水的温度不再变化． 18．（本题9分）如图，用长为的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．在其中一边开了一个宽的门． (1)设矩形的一边为，面积为，求y关于x的函数关系式； (2)当时，求出所围苗圃的面积是多少？ 19．（本题9分）如图，一个楼梯有m个台阶，每个台阶宽25厘米、高12厘米．设这个楼梯的竖直高度为a厘米，侧面宽度为b厘米． (1)写出b与m之间的关系式； (2)写出a与m之间的关系式； (3)写出a与b之间的关系式． 20．（本题9分）某型号无人潜水器在进行深海探测时的下潜深度（米）与操控潜水器的时间（分钟）之间的关系如图所示（潜水器只垂直下潜或上升）．已知潜水器下潜和上升的过程中速度相同． (1)在进行深海探测的过程中自变量是_____； (2)在下潜和上升过程中，潜水器的速度为_____米/分钟； (3)求潜水器在下潜深度为米处停留的时间． 21．（本题10分）如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点P作与的直角边相交于点D，延长至点Q，使得，以、为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为y，点P的运动时间为x秒（）． (1)当______时，点D与点C重合． (2)线段的长度表示为______（用含x的式子表示） (3)求y与x之间的函数关系式． 22．（本题10分）已知在中，． (1)如图1，若，，求长． (2)若点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止，图3是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，若，求图3中的值． (3)如图4，若点从点出发，沿射线以的速度匀速运动，运动时间为，，，若为等腰三角形，直接写出的值． 23．（本题11分）如图所示，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且． (1)直接写出点的坐标为______，点的坐标为_______； (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线方向运动，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，用含的式子表示（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当点在轴负半轴上时，且，在轴负半轴上有一点，过点作轴垂线，与射线交于点，若，连接，交于点，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章函数黄金卷2025-2026学年新人教八年级数学下册 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）在圆周长计算公式中，变量有（　　） A．L，π B．L，r C．L，π，r D．2π，r 【答案】B 【分析】常量是变化过程中保持不变的量，变量是变化过程中可以发生变化的量，根据概念判断即可． 【详解】解：∵在圆周长公式中，和都是常量，随半径的变化而变化， ∴变量为和，则B符合题意． 2．（本题3分）电解水是一个重要的化学反应，可以生成氢气和氧气，且生成的氧气体积是氢气体积的函数，下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（    ） 氢气的体积 1 2 3 10 氧气的体积 0.5 1 1.5 5 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据表格给出的对应数据，探究y与x的数量关系，即可确定函数关系式． 【详解】解：对表格中每组对应数据计算可得：，，，， ∴所有数据均满足，整理得． 3．（本题3分）某学校举办“春风拂面，书香浸润校园——爱读书，读好书”的校园文化活动，倡议同学们每天坚持阅读．小志同学挑选了一本喜爱的书籍来阅读，该书籍共270页，小志同学每天阅读此书籍30页．如果设小志同学阅读了此书籍x天后，该书籍剩余y页未读，则函数y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余页数等于总页数减去已读页数的关系，列式即可得到正确结果． 【详解】解：∵书籍总页数为页，每天阅读页，阅读天后，已读页数为页，剩余页未读， ∴根据剩余页数的等量关系可得． 4．（本题3分）甲、乙两人沿相同的路线从地匀速行驶到地，已知，两地的路程为，他们行驶的路程与甲、乙出发的时间之间关系的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲的速度是 B．乙的速度是 C．乙比甲晚出发 D．甲比乙晚到地 【答案】B 【详解】解：由图象可知，当时，甲行驶了， 甲的速度是，选项说法错误； 当时，乙行驶了， 乙的速度是，选项说法正确； 由图可知，甲乙同时出发，选项说法错误； 甲在时到达，乙在时到达， 则甲比乙晚到地，选项说法错误． 5．（本题3分）关于两个变量y与x之间的关系的三种表述中，y是x的函数的有（    ） ①y：正方形的周长，x：正方形的边长；② ；③ A．①② B．②③ C．①③ D．只有① 【答案】C 【分析】根据函数的定义逐项分析即可得出结果． 【详解】解：①由正方形的周长公式可得，对每一个的值，都有唯一的值与它对应，故y是x的函数； ②由图象可得，对每一个的值，不是都有唯一的值与它对应，故y不是x的函数； ③由图象可得，对每一个的值，都有唯一的值与它对应，故y是x的函数； 综上所述，y是x的函数的有①③． 6．（本题3分）一辆汽车从起步到停止，过程中的速度随时间变化如图所示，根据图象，下列结论正确的是（   ） A．在这个变化过程中自变量是速度，因变量是时间 B．点表示时的速度是 C．点表示时的速度是 D．从到汽车停止 【答案】C 【分析】根据函数图象，结合速度随着时间的变化而变化逐一判断即可． 【详解】解：A、由题意得，在这个变化过程中自变量是时间，因变量是速度，原说法错误，不符合题意； B、由函数图象可知，点表示时的速度是，原说法错误，不符合题意； C、由函数图象可知，点表示时的速度是，原说法正确，符合题意； D、从到汽车匀速运动，且速度为，，原说法错误，不符合题意； 7．（本题3分）如图，在矩形中，，，动点P从A出发，沿的方向在和上移动，设，点D到直线的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论：①点P在上时，点D到的距离为的长度，②点P在上时，根据同角的余角相等求出，再利用相似三角形的性质列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解． 【详解】解：连接，如图 在矩形中，，，， ∴， ∴， ①点P在上时，，点D到的距离为的长度，是定值4； ②点P在上时，，过点D作于点E，如图 ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 只有B选项图形符合． 8．（本题3分）甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．设甲、乙两人间距离为，甲行驶的时间为，与之间的函数关系如图所示，有下列结论：①出发时，甲、乙在途中相遇；②出发时，乙比甲多行驶了；③出发时，甲、乙同时到达终点；④甲的速度是乙速度的一半．其中正确结论有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】出发时，甲、乙两人的距离为0，据此可判断①；根据题意可得乙的速度大于甲的速度，则根据函数图象可知，A、B两地的距离为，且甲出发到达B地，据此求出甲、乙的速度，进而可判断②③④． 【详解】解：由函数图象可知，出发时，甲、乙两人的距离为0，则出发时，甲、乙在途中相遇，故①说法正确； ∵甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地， ∴乙的速度大于甲的速度； 由函数图象可知，A、B两地的距离为，且甲出发到达B地， ∴甲的速度为， ∴乙的速度为， ∴甲的速度是乙速度的一半，故④正确； 出发时，甲的路程为，乙的路程为， ∴出发时，乙比甲多行驶了，此时乙到达终点，故②正确， ∴出发时，甲到达终点，但是乙在出发到达终点，故③错误． 9．（本题3分）甲、乙两辆汽车从城出发前往城，在整个行程中，两车离开城行驶的路程（千米）与甲车出发的时间（小时）的对应关系如图所示，则下列四个结论：①城与城相距360千米：②乙出发1.5小时后追上甲；③甲，乙两车相距50千米时，或；④当时，甲、乙两车之间相距的路程不变；其中正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据函数图像获取甲、乙两车的行驶路程、时间信息，分别计算两车在不同时间段的速度，求出函数解析式，进而对四个结论逐一进行判断即可． 【详解】解：由图像可知，、两城相距千米，故①正确； 甲车在小时的速度为（千米/小时）， 在小时停止行驶， 在小时的速度为（千米/小时）； 乙车在小时的速度为（千米/小时）； 对于②， 乙出发小时， 即时， 甲车行驶路程为千米（因为，甲车停止）， 乙车行驶路程为千米， 此时两车路程相等， 即乙追上甲，故②正确； 对于③， 当时， 乙未出发，甲行驶千米， 令， 解得； 当时， 甲行驶千米，乙行驶千米， 令， 即， 解得或（舍去）； 当时， 甲停在千米处，乙行驶千米， 此时乙的路程范围是， 两车距离， 当时相遇距离为0， 最大距离在端点处为， 不可能为； 当时，甲、乙速度均为千米/小时， 距离保持千米不变； 当时， 乙到达终点，甲继续行驶， 距离从减小到， 不可能为； 综上，或，故③正确； 对于④， 当时， 甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时， 两车速度相同，且都在行驶， 两车之间相距的路程不变（始终为千米），故④正确； 综上所述，正确的结论有①②③④，共个． 故选D． 10．（本题3分）如图①，点P从菱形的边上的一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到点C停止．设点P运动的路程为x，点P到的距离为m，到的距离为n，且（当点P与点C重合时，），点P运动时，y随x的变化关系如图②所示，则菱形的面积为（   ） A． B． C．10 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，动点问题的函数图象，连接，交于点，连接，当时，y的值恒等于1，点的运动路径是的中位线，则可得到，再根据当时，，求出，由菱形的性质求出，的长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接． 由题意，得当时，y的值恒等于1， ∴． ∴点的运动路径是的中位线，且． ∵当时，， ∴． 由菱形的性质可得 ，，， ∴， ∴． ∴． ∴． 故选：B． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）函数中，自变量x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵函数中， ∴， ∴， ∴自变量x的取值范围是． 12．（本题3分）某款汽车行驶前油箱中装满汽油70升，行驶途中每行驶1百公里耗油6升，那么该款汽车油箱中的剩余油量y（升）与它所行驶的路程x（百公里）之间的函数关系式是______（不必写取值范围） 【答案】 【分析】先根据行驶路程和单位耗油量表示出总耗油量，再利用剩余油量等于原有油量减去总耗油量，即可推导出所求函数关系式． 【详解】解：由题意可得，该汽车行驶百公里的总耗油量为升，油箱原有油量为升，根据题意，得， 整理得． 13．（本题3分）如图①，将一个底面积为的圆柱形水杯杯底固定在大圆柱形容器底面的中央．现用一个注水管沿大容器内壁匀速持续地注水，水杯内水面的高度h（）与注水时间t（）的图像如图②所示，则注水速度为________． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图像，一元一次方程的应用，从函数图像中准确获取信息是解题的关键．根据图象可得水杯的高为，水杯满水杯的时间为，设匀速注水的速度为，依据注水的体积就是圆柱形水杯的容积建立方程，即可解答． 【详解】解：根据图象可得水杯的高为，水杯满水杯的时间为（）， 设匀速注水的速度为， ， 解得， 即匀速注水的速度为． 故答案为：． 14．（本题3分）如图（1），点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图（2）是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是__________．    【答案】12 【分析】由图象可知是等腰三角形，当点运动到上，时，最小为3，且此时点在的中点处，勾股定理求出的长，进而得到的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意观察图象可得，则是等腰三角形， 点P在上运动时，时，有最小值， 观察图象可得，的最小值为3，即：时，， 此时，， ∵是等腰三角形， ∴， 的面积． 15．（本题3分）为了研究的性质，小明用描点法画它的图像． ．．． ．．． ．．． ．．． 下列五个结论：①函数经过点；②当时，该函数图像在轴上方；③图像有最高点；④若和是该函数上两点，则：⑤若将函数图像向右平移个单位长度，则平移后的函数图像解析式是．其中正确的结论是___________． 【答案】①②⑤ 【分析】根据函数解析式、函数图像上点的坐标特征、函数图像及函数图像的平移规律（左加右减，上加下减）逐一判断各结论即可． 【详解】解：如图， ①∵当时，， ∴函数经过点，故结论①正确； ②当时，分子，分母， ∴， ∴该函数图像在轴上方，故结论②正确； ③，其中的取值范围为， 当且趋近于时， 如图，越来越大，但没有最大值，不存在最高点，故结论③错误； ④由的图像可知，该函数图像由两个分支组成，当和时，每个分支中，随的增大而增大， 举例：当时，，；，； 此时，故结论④错误； ⑤∵将函数的图像向右平移个单位长度， ∴平移后的函数图像解析式是，即，结论⑤正确； 综上所述，正确的结论是①②⑤． 三、解答题（共75分） 16．（本题8分）汽车以的速度匀速行驶，行驶路程（）与时间（）的关系为．指出其中的变量与常量． 【答案】变量是和，常量是 【详解】解：根据，可知变量是和，常量是． 17．（本题9分）下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据： 时间（分） 0 1 2 3 4 5 6 温度（℃） 时间（分） 7 8 9 温度（℃） (1)时间是8分钟时，水的温度为________； (2)此表反映了变量________和________之间的关系，其中________是自变量，________是因变量； (3)在________时间内，温度随时间增加而增加；________时间内，水的温度不再变化． 【答案】(1) (2)温度，时间，时间，温度 (3)0至8分钟，8至分钟 【分析】本题考查了函数的概念，函数的增减性，解题关键是理解函数的概念和函数的增减性． 根据表中数据，结合函数的概念及函数的增减性求解． 【详解】（1）解：时间是8分钟时，水的温度为， 故答案为：． （2）此表反映了变量温度和时间之间的关系，其中时间是自变量，温度是因变量, 故答案为：温度，时间，时间，温度； （3）在0至8分钟时间内，温度随时间增加而增加；8至12分钟时间内，水的温度不再变化， 故答案为：0至8分钟，8至12分钟． 18．（本题9分）如图，用长为的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．在其中一边开了一个宽的门． (1)设矩形的一边为，面积为，求y关于x的函数关系式； (2)当时，求出所围苗圃的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出解析式即可； （2）代数求值即可． 【详解】（1）解：设矩形的一边为，则另一边长为 y关于x的函数关系式为； （2）解：将代入得， ， ∴所围苗圃的面积是． 19．（本题9分）如图，一个楼梯有m个台阶，每个台阶宽25厘米、高12厘米．设这个楼梯的竖直高度为a厘米，侧面宽度为b厘米． (1)写出b与m之间的关系式； (2)写出a与m之间的关系式； (3)写出a与b之间的关系式． 【答案】(1) (2) (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查函数关系式的应用，根据已知条件列出关系式是解题的关键． （1）一个楼梯有m个台阶，每个台阶宽25厘米，根据整个楼梯的宽度等于每个台阶的宽度与台阶数的乘积，列出关系式即可； （2）根据整个楼梯的高度等于每个台阶的高度与台阶数的乘积，列出关系式即可； （3）由（1）和（2）中的关系式，消去，得到a与b之间的关系式即可． 【详解】（1）解：根据题意得，一个楼梯有m个台阶，每个台阶宽25厘米， 则这个楼梯侧面宽度为， 答：b与m之间的关系式为：； （2）解；根据题意得，一个楼梯有m个台阶，每个台阶高12厘米， 则这个楼梯竖直高度为， 答：a与m之间的关系式为：； （3）解：由（1）和（2）可知，、， 则，即， 答：a与b之间的关系式为． 20．（本题9分）某型号无人潜水器在进行深海探测时的下潜深度（米）与操控潜水器的时间（分钟）之间的关系如图所示（潜水器只垂直下潜或上升）．已知潜水器下潜和上升的过程中速度相同． (1)在进行深海探测的过程中自变量是_____； (2)在下潜和上升过程中，潜水器的速度为_____米/分钟； (3)求潜水器在下潜深度为米处停留的时间． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据函数定义，由下潜深度随时间变化，判断自变量为时间； （）利用上升阶段的路程和用时，结合下潜与上升速度相同，计算出潜水器的速度； （）先算出从米下潜到米的用时，确定到达米的时间，再用分钟减去该时间，得到在米处的停留时间． 【详解】（1）解：∵根据函数定义：下潜深度随时间的变化而变化， ∴自变量是时间 （2）解：由图可知，上升过程总路程为米，用时分钟， 题目说明下潜、上升速度相同，因此速度为米/分钟； （3）解：从深度米下潜到米的路程为米， 所需时间为分钟， 因此到达米深度的时间为分钟， 由图可知分钟开始上升返回， 因此停留时间为分钟． 答：潜水器在米处停留的时间为分钟． 21．（本题10分）如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点P作与的直角边相交于点D，延长至点Q，使得，以、为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为y，点P的运动时间为x秒（）． (1)当______时，点D与点C重合． (2)线段的长度表示为______（用含x的式子表示） (3)求y与x之间的函数关系式． 【答案】(1)2 (2)当时，；当时， (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）由题意知，结合运动速度，即可解答． （2）分类讨论：当与当时，作出正确的图形，利用等腰三角形的性质逐项分析，即可解答； （3）分类讨论：当时，利用等腰三角形的性质求解；当时，利用等腰三角形的性质和矩形的性质；当时，利用等腰三角形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：当点D与点C重合时，， ∵，，， ∴， ∵动点P从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动， ∴； （2）解：①当时，如图 ∵，， ∴， 在矩形中，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴； ②当时，如图 ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 综上所述，当时，；当时，． （3）解：∵，，， ∴， ①当时，矩形与重叠部分图形为，如图 ； ②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图 ； ③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图 则，， 同理，，， ∴ ， ， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 22．（本题10分）已知在中，． (1)如图1，若，，求长． (2)若点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止，图3是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，若，求图3中的值． (3)如图4，若点从点出发，沿射线以的速度匀速运动，运动时间为，，，若为等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或5或8 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得到的长，再利用勾股定理可求出的长； （2）根据函数图象可得，利用勾股定理建立方程求出的长，再求出的面积即可得到答案； （3）分三种情况：，，，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴； （2）解：由函数图象可知， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止， ∴当点P与点A重合时，的面积有最大值， ∴由函数图象可知a的值即为的面积得到最大值，即； （3）解：由题意得，， 当时，此时点P在边上，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得； 当时，在中，由勾股定理得， ∴； 当时， ∵，即， ∴， ∴； 综上所述，t的值为或5或8． 23．（本题11分）如图所示，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且． (1)直接写出点的坐标为______，点的坐标为_______； (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线方向运动，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，用含的式子表示（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当点在轴负半轴上时，且，在轴负半轴上有一点，过点作轴垂线，与射线交于点，若，连接，交于点，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)当点P在线段上时，，当点P在线段延长线上时， (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可求得的值，进而求得的坐标； （2）分点在线段上时和点在线段延长线上时，两种情形讨论，根据（1）的结论，利用三角形面积公式计算即可； （3）过点作延长线于点，证明，得，过点作延长线于点，根据，求得，根据进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：由题意，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上， ∵． ∴，， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为． （2）解：当点P在线段上时，， ∴， 当点P在线段延长线上时，， ； ∴当点P在线段上时，，当点P在线段延长线上时，． （3）解：由（2）得：，解得， ， ， ， 如图，过点作延长线于点，作延长线于点， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形， 四边形， ， ， ， ， ， ， 梯形 ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了非负数的性质，列函数关系式，三角形全等的性质与判定，平面直角坐标系中图形与坐标，正确的作出辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $