精品解析：重庆市长寿区 川维中学教育集团2025-2026学年度下学期九年级数学半期学情调研

2025-2026学年度下期川维中学教育集团九年级数学半期学情调研 （全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列四种物理仪器的示意图中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 当前部分地区受战乱影响，相关救援组织需开展物资与人员情况调查．下列调查中，最适合采用普查（全面调查）方式的是（ ） A. 调查战乱地区所有居民的健康状况 B. 调查一批运往战乱地区救灾帐篷的抗风性能 C. 调查某临时避难所内受灾群众的人数及年龄分布 D. 调查战乱地区农田的受损面积 4. 如图，是四边形的外接圆，连接，若，则 的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 年新春，重庆两江四岸上演了一场震撼全城的主题灯光秀，设计师以围棋为灵感，设计了一组递进式的光影图案，其中第组光影造型有颗围棋子，第组光影造型有颗围棋子，第组光影造型有颗围棋子，第组光影造型有颗围棋子，，当灯光秀推进到第组造型时，围棋子的颗数是（ ） A. B. C. D. 6. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（ ） A. 8 B. C. D. 7. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了万．将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 8. 长寿湖 年接待游客30万人次，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年接待游客达到万人次，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点M在上，，，沿折叠，设点A的对应点为N，延长交的延长线于点P．则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 3.5 10. 已知整式，其中为自然数，，，，，为整数，且．下列说法： ①若，且，则满足条件的的值有5个； ②若，且，其中，则满足条件的整式有5个； ③若，，且关于的方程无解，则或． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 因式分解：___________． 12. 家住重庆的小高得知2026年春晚有四个分会场（黑龙江哈尔滨、浙江义乌、安徽合肥、四川宜宾）后，打算随机选择一个前往，则他恰好选到离家最近的分会场的概率是__________． 13. 如图，直线，直线c与直线a、b分别相交于A、B两点，于点A，交直线b于点C．如果，那么 ______°． 14. 若实数x、y同时满足，，则_____． 15. 如图，在中， ，以为直径的圆交边于点D，点E为的中点，连接．过点C作圆O的切线，切点为F．连接．点H为圆O上一点，且弧等于弧，连接，交于点G．若，则圆的半径为_______， _______． 16. 已知各位数字均不为零的四位自然数，若满足那么称这个四位数为“和九数”．例如：四位数，因为且，所以是“和九数”；按照这个规定，则最小的“和九数”是___________；若是“和九数”，记，且为整数，则满足条件的的最大值为___________． 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并写出它所有的整数解； 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分 ，交于点E． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形 为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形， ， ， ∴①___________， 平分，平分 ， ，， ∴②___________， 又， ③___________， ， ∴④__________， ∴四边形 为平行四边形． 四、解答题：（本大题共7小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 当前，电信网络诈骗犯罪形势严峻，川维中学组织了关于防诈安全知识的专题讲座，并进行了防诈安全知识竞赛．现从八、九年级中各随机抽取a名同学的竞赛成绩进行收集、整理、分析，过程如下：（调查数据用整数x表示，共分为四个等级：A等：、B等：、C等：、D等： ．其中A等级为优秀，单位：分）八年级抽取的A等学生人数是C等学生人数的． 九年级抽取的B等学生成绩为：88，88，88，88，86，84，84，83，81 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 85 82 86 九年级 85 b 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______，并补全条形统计图； （2）根据以上数据分析，你认为川维中学八、九年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若川维中学八年级有1080人，九年级有1200人，估计两个年级的竞赛成绩被评为优秀的学生总人数是多少？ 20. 先化简，再求值： ，其中． 21. 端午节是我国的传统节日．粽子是端午节的美食之一，粽子寓意着丰收和平安．某商店在端午节来临之前，去当地的批发市场订购赤豆粽和肉丁粽两种进行试销．已知肉丁粽的单价是赤豆粽单价的2倍，用1600元购进肉丁粽的数量比用700元购进赤豆粽的数量多50个． （1）赤豆粽和肉丁粽的单价分别是多少？ （2）若该商店把肉丁粽以6元/个销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把肉丁粽的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能既让利于顾客，又使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元？ 22. 当前国际形势紧张，频发战乱，为强化南海海域巡航执法能力，锤炼海警船应急处置与快速机动水平，我国海警船甲、乙在南海某海域开展巡航执法实战化训练．A、B、C、D为我国南海主权范围内的四座岛礁，其中：A岛礁位于B岛礁正西方向，是我海警部队的前沿观测哨点；D岛礁位于B岛礁北偏西方向，两岛礁直线距离为60海里，是我海警船的重要补给节点；C岛礁位于B岛礁正北方向，是我海警部队的前沿执勤基地；D岛礁同时位于A岛礁北偏西方向，是我海警船巡航航线的关键转向点． （1）求岛礁A、D间的直线距离（结果精确到1海里） （2）甲、乙两海警船同时从C岛礁执勤基地出发，前往B岛礁执行维权执法任务：甲海警船沿直航航线执行快速驰援任务；乙海警船沿航线执行巡航执法任务，途中对D岛礁周边海域开展常态化巡查；已知甲、乙两海警船的航行速度之比为，且两船同时到达B岛礁，求岛礁B、C间的直线距离（ ，，结果保留整数）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线下方抛物线上的一动点，连接与直线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点D在点E的上方），且 ，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线平移个单位长度得到新抛物线，点G为点A的对应点，连接，，．点M为新抛物线上的动点．若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 24. 在中，，，点D在的内部，连接，，点M为线段的中点，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，将绕点M逆时针旋转至，连接 ，求证： ； （3）如图3，延长交于点N，点P为延长线上一点，连接，将 沿翻折至所在平面内得到，直线与交于点G，连接 ．若 ，当最小时，请直接写出 的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期川维中学教育集团九年级数学半期学情调研 （全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的概念计算即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 故的倒数为． 2. 下列四种物理仪器的示意图中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此可得答案． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 3. 当前部分地区受战乱影响，相关救援组织需开展物资与人员情况调查．下列调查中，最适合采用普查（全面调查）方式的是（ ） A. 调查战乱地区所有居民的健康状况 B. 调查一批运往战乱地区救灾帐篷的抗风性能 C. 调查某临时避难所内受灾群众的人数及年龄分布 D. 调查战乱地区农田的受损面积 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查普查与抽样调查的选择，当调查范围小，调查不具有破坏性，且可完成全面统计时适合采用普查，若调查范围大，调查具有破坏性，工作量过大时适合采用抽样调查，据此判断各选项即可． 【详解】解：对于A，战乱地区所有居民范围过大，普查工作量极大，不适合普查； 对于B，调查救灾帐篷的抗风性能具有破坏性，不能进行普查，适合抽样调查； 对于C，临时避难所内受灾群众范围小，人数有限，可完成全面调查，最适合采用普查； 对于D，战乱地区农田范围广，普查工作量大，不适合普查， 4. 如图，是四边形的外接圆，连接，若，则 的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：四边形内接于，， ， 由圆周角定理得，， 故选：D． 5. 年新春，重庆两江四岸上演了一场震撼全城的主题灯光秀，设计师以围棋为灵感，设计了一组递进式的光影图案，其中第组光影造型有颗围棋子，第组光影造型有颗围棋子，第组光影造型有颗围棋子，第组光影造型有颗围棋子，，当灯光秀推进到第组造型时，围棋子的颗数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察图形中棋子数量的变化规律，发现后一个图形比前一个图形多颗棋子，归纳出第组图形的棋子数通项公式，将代入计算即可． 【详解】解：由题意及图形可知： 第组有颗，即； 第组有颗，即； 第组有颗，即； 第组有颗，即； ； ∴第组造型有颗围棋子； 当时，， ∴第组造型时，围棋子的颗数是 颗． 6. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据轴，可得与的面积相等，可推出，解得：，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得，从而得到答案． 【详解】解：连接， 轴， 与的面积相等． 即． ， ∵反比例函数的图象在第二象限， ． 7. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了万．将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：∵ 万，将原数化为形式时，满足，小数点向左移动了位， ∴ 万． 8. 长寿湖 年接待游客30万人次，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年接待游客达到万人次，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，利用该景区年接待游客人次该景区 年接待游客人次 该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为． 9. 如图，在正方形中，点M在上，，，沿折叠，设点A的对应点为N，延长交的延长线于点P．则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 3.5 【答案】A 【解析】 【分析】记与相交于点，连接，根据折叠得到，证明，设，根据勾股定理求出，，证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：记与相交于点，连接， 正方形， ， 由折叠的性质得到， ， 在与 中， ， ， ， 设， ，， 在 中，， 即， 解得， ，， 正方形， ， ， ，即， 解得． 10. 已知整式，其中为自然数，，，，，为整数，且．下列说法： ①若，且，则满足条件的的值有5个； ②若，且，其中，则满足条件的整式有5个； ③若，，且关于的方程无解，则或． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的定义以及的约束条件，结合题干中的具体条件逐个分析组合解答即可；本题主要考查多项式的系数规律问题，理解题意并列出不等式是解题的关键． 【详解】解：①∵，且， ∴， 又∵为整数，且， ∴，共4个值，①错误； ②∵，且， ∴， 又∵，且， ∴整数解有或或或或5种情况，对应5个整式，②正确； ③∵，， ∴， ∴无解， ∴， 当或时，方程无解， 即当或或时，方程无解，③错误； ∴正确个数为1． 故选：B． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式．直接提公因式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 家住重庆的小高得知2026年春晚有四个分会场（黑龙江哈尔滨、浙江义乌、安徽合肥、四川宜宾）后，打算随机选择一个前往，则他恰好选到离家最近的分会场的概率是__________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由题意知，共有4种等可能的结果，其中他恰好选到离家最近的分会场的结果有1种，利用概率公式可得答案． 【详解】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中小高恰好选到离家最近的分会场的结果有1种， ∴小高恰好选到离家最近的分会场的概率为． 13. 如图，直线，直线c与直线a、b分别相交于A、B两点，于点A，交直线b于点C．如果，那么 ______°． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质和垂直的定义进行解答即可． 【详解】解：如图， ∵于点A， ∴， ∵直线，， ∴ ∴ 14. 若实数x、y同时满足，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据绝对值非负性确定的正负，再联立方程消去，再分情况讨论的正负，求出，，代数进行计算即可． 【详解】解：，， ， ， 即， 当 时，无解； 当时，， 解得， ， 故． 15. 如图，在中， ，以为直径的圆交边于点D，点E为的中点，连接．过点C作圆O的切线，切点为F．连接．点H为圆O上一点，且弧等于弧，连接，交于点G．若，则圆的半径为_______， _______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】连接，连接，连接交于，由互余关系得到 ，则，则，由直角三角形斜边中线得到，则 ，，故的半径2，可证明，则，，由互余关系得到，而，则，设，则，则，在 中，有勾股定理得，则， 由垂径定理得到 ， ，而，可求，则． 【详解】解：连接，连接，连接交于， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴的半径2， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∴在 中，， ∴， ∵弧等于弧，是直径， ∴ ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2， ． 【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及圆周角定理，圆的切线的性质，解直角三角形，勾股定理，垂径定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 16. 已知各位数字均不为零的四位自然数，若满足那么称这个四位数为“和九数”．例如：四位数，因为且，所以是“和九数”；按照这个规定，则最小的“和九数”是___________；若是“和九数”，记，且为整数，则满足条件的的最大值为___________． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查新定义，理解阅读材料是解题的关键． 最小的“和九数”需满足千位数字最小，且各位数字非零，因此，得． 先求出和，根据为整数，推出，进而推出能被13整除．解得可能的值，即可求解． 【详解】最小的“和九数”需满足千位数字最小，且各位数字非零， ，得． 由“和九数”定义，，且， 故， ， ， 为整数， 能被13整除． 当时，能被13整除，． 当时，能被13整除，． 当时，能被13整除，． 的最大值为． 故填：和． 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并写出它所有的整数解； 【答案】不等式组的解集为，整数解为，，0，1，2 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得： 解不等式②，得： 不等式组的解集为 整数解为，，0，1，2 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分 ，交于点E． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形 为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形， ， ， ∴①___________， 平分，平分 ， ，， ∴②___________， 又， ③___________， ， ∴④__________， ∴四边形 为平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）① ；②；③；④ 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）结合角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质填空即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 证明：四边形为平行四边形， ， ， ， 平分，平分 ， ，， ， 又， ， ， 四边形 为平行四边形． 四、解答题：（本大题共7小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 当前，电信网络诈骗犯罪形势严峻，川维中学组织了关于防诈安全知识的专题讲座，并进行了防诈安全知识竞赛．现从八、九年级中各随机抽取a名同学的竞赛成绩进行收集、整理、分析，过程如下：（调查数据用整数x表示，共分为四个等级：A等：、B等：、C等：、D等： ．其中A等级为优秀，单位：分）八年级抽取的A等学生人数是C等学生人数的． 九年级抽取的B等学生成绩为：88，88，88，88，86，84，84，83，81 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 85 82 86 九年级 85 b 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______，并补全条形统计图； （2）根据以上数据分析，你认为川维中学八、九年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若川维中学八年级有1080人，九年级有1200人，估计两个年级的竞赛成绩被评为优秀的学生总人数是多少？ 【答案】（1）20， ，补全图形见解析 （2）九年级学生的成绩更好，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据九年级B等的人数和其人数占比可求出a的值，根据中位数的定义可求出b的值，再求出八年级 两个等级的人数即可补全图形； （2）根据两个年级中位数、众数的大小关系可得答案； （3）求出样本中八年级、九年级优秀所占的百分比，进而估计总体中优秀所占的百分比，进而求出相应的人数． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴九年级A等的人数为名， 把九年级20名学生的成绩按照从高到低的顺序排列，中位数为第10个数据和第11个数据的平均数， ∵， ∴； 八年级抽取的等和等的学生人数之和为名， 又∵八年级抽取的A等的学生人数是C等的学生人数的, ∴八年级抽取的A等学生人数为2人，C等学生人数为6人， 补全图形如下： 【小问2详解】 解：九年级学生的成绩更好，理由如下： 因为九年级学生竞赛成绩的中位数高于八年级学生竞赛成绩的中位数，且九年级学生竞赛成绩的众数高于八年级学生竞赛成绩的众数， ∴九年级学生的成绩更好． 【小问3详解】 解：由题意得：人， 答：两个年级的竞赛成绩被评为优秀的学生总人数为人． 20. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟悉多项式的混合运算．根据题意化简得，再计算的值，最后代入计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 21. 端午节是我国的传统节日．粽子是端午节的美食之一，粽子寓意着丰收和平安．某商店在端午节来临之前，去当地的批发市场订购赤豆粽和肉丁粽两种进行试销．已知肉丁粽的单价是赤豆粽单价的2倍，用1600元购进肉丁粽的数量比用700元购进赤豆粽的数量多50个． （1）赤豆粽和肉丁粽的单价分别是多少？ （2）若该商店把肉丁粽以6元/个销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把肉丁粽的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能既让利于顾客，又使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元？ 【答案】（1）赤豆粽的单价是2元，肉丁粽的单价是4元 （2）7元 【解析】 【分析】（1）设赤豆粽的单价是x元，则肉丁粽的单价是 元，根据用1600元购进肉丁粽的数量比用700元购进赤豆粽的数量多50个，列出分式方程，解方程即可； （2）设肉丁粽的售价为m元，则销量为个，根据使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【小问1详解】 解：设赤豆粽的单价是x元，则肉丁粽的单价是 元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， ， 答：赤豆粽的单价是2元，肉丁粽的单价是4元； 【小问2详解】 解：设肉丁粽的售价为m元，则半个月的销量为个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：将售价定为7元时，才能既让利于顾客，又使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元． 22. 当前国际形势紧张，频发战乱，为强化南海海域巡航执法能力，锤炼海警船应急处置与快速机动水平，我国海警船甲、乙在南海某海域开展巡航执法实战化训练．A、B、C、D为我国南海主权范围内的四座岛礁，其中：A岛礁位于B岛礁正西方向，是我海警部队的前沿观测哨点；D岛礁位于B岛礁北偏西方向，两岛礁直线距离为60海里，是我海警船的重要补给节点；C岛礁位于B岛礁正北方向，是我海警部队的前沿执勤基地；D岛礁同时位于A岛礁北偏西方向，是我海警船巡航航线的关键转向点． （1）求岛礁A、D间的直线距离（结果精确到1海里） （2）甲、乙两海警船同时从C岛礁执勤基地出发，前往B岛礁执行维权执法任务：甲海警船沿直航航线执行快速驰援任务；乙海警船沿航线执行巡航执法任务，途中对D岛礁周边海域开展常态化巡查；已知甲、乙两海警船的航行速度之比为，且两船同时到达B岛礁，求岛礁B、C间的直线距离（ ，，结果保留整数）． 【答案】（1）31海里 （2）129海里 【解析】 【分析】（1）过点A作 于点E，根据题意可得 ，，海里，则 ；设海里，解直角三角形得到海里，海里，海里，根据海里，得到，解方程即可得到答案； （2）过点D作 于点F，解直角三角形得到海里，海里；根据题意可得甲、乙两海警船的航行路程之比为，则，设海里，海里，则海里，海里，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作 于点E， 由题意得，，，海里， ∴； ∵ ， ∴； 设海里， 在中，海里， 海里， 在 中，海里， ∵海里， ∴， 解得海里， ∴海里， 答：岛礁A、D间的直线距离约为31海里； 【小问2详解】 解：如图所示，过点D作 于点F， 则， 在中，海里， ∴海里，海里； ∵甲、乙两海警船的航行速度之比为，两船同时从C岛礁出发，且同时到达B岛礁， ∴甲、乙两海警船的航行路程之比为， ∴， 设海里，海里， ∴海里，海里， 在 中，由勾股定理得， ∴， 解得或， ∴海里， 答：岛礁B、C间的直线距离约为129海里． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线下方抛物线上的一动点，连接与直线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点D在点E的上方），且 ，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线平移个单位长度得到新抛物线，点G为点A的对应点，连接，，．点M为新抛物线上的动点．若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据对称性求出点坐标，写出两点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，作 轴交于点，证明，得到，得到当最大时，最大，求出点坐标，连接，对称性得到，将点向上平移2个单位得到点，连接，进而得到，推出，得到当三点共线时的值最小，为的长，进而得到的值最小，进行求解即可； （3）易得，进而得到抛物线沿着射线方向移动个单位长度，等同于抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到新的抛物线，进而求出新的抛物线的解析式，推出，以点为顶点，为直角边在的上方和下方构造等腰直角三角形，确定第三个顶点的坐标，进而求出点与第三个顶点所形成的直线的解析式，联立直线解析式和新的抛物线的解析式，求出点的坐标即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线的解析式可列为， 把，代入，得，解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴设直线的解析式为，把，代入，得， 解得， ∴， 作 轴交于点，则， 设，则， ∴， ∴当时，的值最大，此时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 故当时，最大， 连接，将点向上平移2个单位得到点，连接，则，， ∵在对称轴上，且 ， ∴轴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， ∵， ∴当三点共线时的值最小，为的长， ∴的最小值为， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵将抛物线沿射线平移个单位长度得到新抛物线， ∴将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到新的抛物线， ∵， ∴， ∵点为点的对应点， ∴，即， ∵，， ∴轴，，， ∴， ∴， 作，则轴，， ∴， ∴， 以点为顶点，为直角边在的上方构造等腰直角三角形，过点作轴，于点，于点，则 ，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入，得， 解得， ∴， ∵， ∴点为直线与抛物线的交点， 联立，解得或（舍去）； ∴； 当以点为顶点，为直角边在的下方构造等腰直角三角形时， 同理可得，直线的解析式为 ， 联立，解得或（舍去）； ∴； 综上：或． 24. 在中，，，点D在的内部，连接，，点M为线段的中点，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，将绕点M逆时针旋转至，连接 ，求证： ； （3）如图3，延长交于点N，点P为延长线上一点，连接，将 沿翻折至所在平面内得到，直线与交于点G，连接 ．若 ，当最小时，请直接写出 的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图，延长至点F，使得 ，连接 ， ∵将绕点M逆时针旋转至， ∴ ， ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∴ 为等腰直角三角形， ， ∵， ∴ ， 在 和 中， ， ∴， ∴ ， ， 在 和 中， ， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 为等腰直角三角形， ， ∴ ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意设 ，则 ，利用勾股定理表示出，从而得到a的值，进而求得，然后利用证明 ，即可解答； （2）延长至点F，使得 ，连接 ，得到，求得 ，证明，得到 ， ，然后证明，得到 ， ，进而得到 ，即可根据等腰直角三角形的性质即可证的结论； （3）过点B作 ，过点C作 于点Q，以点Q为圆心， 为半径画圆，当点D在劣弧上时， ，得到点D的轨迹，然后取 的中点O，连接，，得到，从而得到点N的轨迹，可知当且仅当 三点共线时，取得最小值，接着过点M作 于点H，过点D作 于点K，利用勾股定理和，求得 ，再利用相似三角形和全等三角形求得 和，即可解答 【小问1详解】 解：∵，， ∴设 ，则 ， ∴， ∴， ∵点M为线段的中点， ∴ ， 在中， ， ∴， 如图1， ∵，， ∴ ， ， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点B作 ，过点C作 于点Q， 则 ， ∴四边形 为矩形， 又∵， ∴四边形 为正方形， ∴， 以点Q为圆心， 为半径画圆，当点D在劣弧上时， 此时 ， ∴点D在以Q为圆心， 为半径的圆的劣弧上运动， 如上图所示，取 的中点O，连接，， 则， ∵点M为上的中点， ∴为 的中位线， ∴， ∴点M的轨迹为以 的中点O为圆心，为半径的一段弧， 当且仅当 三点共线时，取得最小值， 如下图所示，过点M作 于点H，过点D作 于点K， 此时， ∵，， ∴ ， ∴， 在 中，，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵将 沿翻折至所在平面内得到，直线与交于点G， ∴， ， ， 又∵四边形 为正方形， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了轴对称的性质，旋转的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等，正确地作出辅助线，得到点N的轨迹是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $