精品解析：黑龙江佳木斯市桦南县第一中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

2025-2026学年度第二学期第一次月考试卷 高二数学学科 第I卷（选择题） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 若，则n的值为（　　） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数公式运算求解 【详解】由组合数计算公式，解得或（舍去）. 故选：D. 2. 小米汽车首款车型小米SU7于2024年3月28日正式发布，该款车型有9种外观颜色，4种内搭颜色可供选择．若车主自由选择车的外观和内搭颜色，共有（ ）种情况 A. 4 B. 9 C. 13 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】先选颜色，再选内搭，根据分步乘法计数原理运算求解. 【详解】第一步：选外观颜色，有9种选择； 第二步：选内搭，有4种选择； 所以共有种情况． 故选：D. 3. 已知函数的导函数图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在处取得极大值 C. 在上单调递增 D. 在处取得最小值 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数图象的符号，确定函数的单调性，根据单调性可逐项判断. 【详解】由图可知，当时，，单调递减，故A错误； 当时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以在处取得极大值，故B正确；C错误； 时，，单调递增， 所以和处取得极小值，最小值不能确定，故D错误； 故选：B. 4. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由题意可得：， 令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以， 所以. 5. 某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为时，每小时电力消耗费用为40元，其他费用每小时需200元，火车最高速度为，要使从相距甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出电力消耗费用与速度的关系，再列出总费用与速度的函数关系，通过导函数分析单调性，求出最小值求解. 【详解】设火车每小时电力消耗费用，将代入可得， 设火车从甲城开往乙城的速度为， 则总费用，（）， 则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 即当时，总费用最低，故A正确． 6. 将6名志愿者随机分配到四个社区，且每个社区至少分到一名志愿者，则不同的分法有（ ） A. 1 080种 B. 1 560种 C. 2 640种 D. 3 960种 【答案】B 【解析】 【分析】先将6名志愿者分成4组，然后再分配到不同的社区即可. 【详解】若志愿者人数依次为3、1、1、1，考虑到部分非均匀分组，则不同的安排方法有种, 若志愿者人数依次为2、2、1、1，则不同的安排方法有种， 种. 故选：B. 7. 若，有成立，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简已知不等式得出在上单调递减，再应用导函数结合恒成立转化为最值得出参数范围. 【详解】由题得， ∴在上单调递减， 恒成立，即恒成立， 又，所以． 故选：B. 8. 已知数列满足：，若，则数列的最大项为第（ ）项. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】将题目所给递推式变形为，利用累加法和裂项相消法求出，进而求出，最后利用不等式组法求出数列的最大项. 【详解】由可得，当时， ， 当时，，，也满足，所以，，， 由， 即， 解得， 又因为，所以，则数列的最大项为第8项. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下结论正确的是（ ） A. 4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 B. 从5名员工中选出经理、副经理各1名，共有10种不同的选法 C. 某学校需要从4名男生和6名女生中选取5名志愿者，则志愿者中至少有3名男生的不同选法有66种 D. 用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有24个 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两个计数原理和排列组合数公式，根据选项条件逐一列式计算即可. 【详解】对于A，4个人分别从3个景点中选择一处游览，每个人有3种选择，故共有种选法，故A正确； 对于 B，从5名员工中选出经理、副经理各1名，共有种方法，故B错误； 对于C，要从4名男生和6名女生中选取5名志愿者，志愿者中至少有3名男生包括3名男生或4名男生两种情况， 故共有选法数为种，故C正确； 对于D，先确定千位数字，有3种方法，再考虑其它三个数位，有种方法， 故没有重复数字的四位数共有个，故D错误. 故选：AC. 10. 关于的展开式，下列判断正确的是（ ） A. 展开式共有项 B. 展开式的各二项式系数的和为 C. 展开式中的系数为 D. 展开式中二项式系数最大的项是第项 【答案】BD 【解析】 【分析】利用展开式项数与指数的关系可判断A选项；利用展开式二项式系数和可判断B选项；利用二项展开式通项可判断C选项；利用二项式系数的最值可判断D选项. 【详解】对于A选项，的展开式共有项，A错； 对于B选项，展开式的各二项式系数的和为，B对； 对于C选项，展开式通项为， 所以展开式中的系数为，C错； 对于D选项，展开式中二项式系数最大的项是第项，D对. 故选：BD. 11. 已知函数，，则下列说法正确的（ ） A. 函数与函数有相同的极小值 B. 若方程有唯一实根，则的取值范围为 C. 若方程有两个不同的实根，则 D. 当时，若，则成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数分别求出两个函数极小值判断A；根据条件求出的范围判断B；利用方程根的意义，变形构造函数，利用导数借助单调性推理判断C；利用同构方法进行转化求解判断D. 【详解】对于A，函数定义域，求导得，当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值； 函数定义域，求导得，当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，A正确； 对于B，由选项A知，，则当时，也有唯一实根，B错误； 对于C，因为当趋近于0时，趋近于0， 所以，由方程有两个不同的实根，得，不妨令， 由，得，则， 消去得，则，令， 于是，， 令，求导得，令， 求导得，函数在上单调递减，， 函数在上单调递增，，因此，即，C正确； 对于D，，由，得， 所以，则， ，于是，而函数在上单调递增，则， 因此成立，D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为______（用数字作答）. 【答案】112 【解析】 【分析】由二项式定理展开即可求出的系数. 【详解】因为的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为112. 故答案为：112. 13. 函数的单调减区间是___________ 【答案】 【解析】 【详解】， ， 当，即， 结合定义域， 解得：， 所以函数的单调减区间是：． 14. 已知数列满足，数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法求出，从而得到，利用裂项相消法求出，再分为偶数和奇数两种情况，参变分离法分别求出的取值范围. 【详解】因为①， 当时，则； 当时，则②. ①②得，即. 又也满足，所以. 所以， 则， 因为对任意恒成立， 即对任意恒成立， 当为偶数时，恒成立，所以， 因为在上单调递增，且， 所以； 当为奇数时，恒成立，即恒成立，则， 因为在上单调递减，且， 所以； 综上可得，即实数的取值范围为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，. （1）求的通项公式； （2）若，求前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可. （2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 因为是等差数列，设其公差为， 由题知，解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由题知， 所以. 16. 已知的内角的对边分别为，，且的面积为． （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理及三角形的面积公式求解． （2）由（1）知，，而， ，得为等边三角形，即可求解． 【小问1详解】 由余弦定理得， 因为，所以. 由三角形面积公式得， 又因为，所以， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，得， 而，得，又， 得为等边三角形，得， 故. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形.侧面底面是的中点. （1）证明：平面平面. （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质得平面，进而得到，结合三角形性质得，从而证得平面，得出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出面的法向量，通过法向量夹角的余弦值求解. 【小问1详解】 已知底面是正方形，所以， 又因为平面平面，且平面底面， 底面，所以平面， 因为平面，所以. 又因为是正三角形，是的中点， 所以. 因为，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 已知底面边长为,是正三角形， 所以， 因为是的中点，故， 所以， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，即， 又因为平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则， 又因为所成二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为，且椭圆C的短轴长为. （1）求椭圆C的方程； （2）如图，若直线与x轴、椭圆C顺次交于点P，Q，R（点P在椭圆左顶点的左侧），且，求的面积. 【答案】（1）+=1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据短轴长和离心率求解； （2）将直线与椭圆联立，利用斜率条件和韦达定理求出，进而求出三角形的面积. 【小问1详解】 因为，所以.，解得， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 设，，由（1）知，， 因为，所以，所以. 由得， 所以 所以，，，， 所以， 所以，所以， 所以直线的方程为，所以. 所以 19. 已知函数，其中． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若R，对任意的恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导得出斜率并用点斜式即可求解； （2）可以利用反证法把存在性问题转化为恒成立问题分离参数再取补集即可求答案； （3）利用（2）判断导函数零点所在区间从而判断原函数单调性 【小问1详解】 当时，，函数定义域为 故， 又，所以切线方程为. 【小问2详解】 由题意得 若不存在单调增区间，则恒成立，即恒成立， 令， 当时，当时 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以即 因此所求实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知 所以在单调递减，又，， 所以必存在正数，使得，即 由（2）知当时，即，当时，即， 当时，即， 由上可知在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即， 令 因为 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以， 所以的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期第一次月考试卷 高二数学学科 第I卷（选择题） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 若，则n的值为（　　） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 2. 小米汽车首款车型小米SU7于2024年3月28日正式发布，该款车型有9种外观颜色，4种内搭颜色可供选择．若车主自由选择车的外观和内搭颜色，共有（ ）种情况 A. 4 B. 9 C. 13 D. 36 3. 已知函数的导函数图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在处取得极大值 C. 在上单调递增 D. 在处取得最小值 4. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. C. 10 D. 12 5. 某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为时，每小时电力消耗费用为40元，其他费用每小时需200元，火车最高速度为，要使从相距甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为（ ） A. B. C. D. 6. 将6名志愿者随机分配到四个社区，且每个社区至少分到一名志愿者，则不同的分法有（ ） A. 1 080种 B. 1 560种 C. 2 640种 D. 3 960种 7. 若，有成立，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足：，若，则数列的最大项为第（ ）项. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二､多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下结论正确的是（ ） A. 4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 B. 从5名员工中选出经理、副经理各1名，共有10种不同的选法 C. 某学校需要从4名男生和6名女生中选取5名志愿者，则志愿者中至少有3名男生的不同选法有66种 D. 用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有24个 10. 关于的展开式，下列判断正确的是（ ） A. 展开式共有项 B. 展开式的各二项式系数的和为 C. 展开式中的系数为 D. 展开式中二项式系数最大的项是第项 11. 已知函数，，则下列说法正确的（ ） A. 函数与函数有相同的极小值 B. 若方程有唯一实根，则的取值范围为 C. 若方程有两个不同的实根，则 D. 当时，若，则成立 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为______（用数字作答）. 13. 函数的单调减区间是___________ 14. 已知数列满足，数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，. （1）求的通项公式； （2）若，求前n项和. 16. 已知的内角的对边分别为，，且的面积为． （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的值． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形.侧面底面是的中点. （1）证明：平面平面. （2）求二面角的余弦值. 18. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为，且椭圆C的短轴长为. （1）求椭圆C的方程； （2）如图，若直线与x轴、椭圆C顺次交于点P，Q，R（点P在椭圆左顶点的左侧），且，求的面积. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若R，对任意的恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $