期中复习卷（第7-9章）2025-2026学年数学七年级下册青岛版

**基本信息** 青岛版七年级下册期中复习卷（第7-9章），聚焦统计、几何与方程组，融入全红婵跳水得分、祖冲之圆周率等真实情境，梯度设计兼顾基础与创新，突出数据意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|10|众数/对顶角/中位数|结合跳水裁判得分（第3题）考查统计概念| |填空|6|二元一次方程解/角度计算|以方程解（第11题）、角度关系（第12题）巩固基础| |解答|7|统计分析/方程组应用/几何动态|跳绳频数分布（第19题）培养数据意识，“一带一路”探照灯旋转（第23题）考查推理与应用能力|

2025-2026学年数学七年级下册青岛版期中复习卷（第7-9章） 一、单选题 1．数据的众数为（　　） A． B． C． D． 2．下列说法：（1）用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点之间线段最短；（2）射线与射线表示同一条射线；（3）若，则为线段的中点；（4）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．在跳水运动中，全红婵的“水花消失术”举世闻名．如下表所示的数据是年月日举行的跳水世界杯蒙特利尔站女子米台决赛中全红婵某轮的得分情况，这组得分的众数是（　　） 裁判 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 得分 10.0 10.0 10.0 9.5 9.7 10.0 10.0 A．9.5 B．9.7 C．9.9 D．10.0 4．下图中和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 5．祖冲之是中国数学史上伟大的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献.数学活动课上，同学们对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（　　） A．9，5 B．14，4.5 C．14，5 D．9，4. 6．将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，直角边与直尺的一边重合，点E在上，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．利用三角尺或量角器判断，图中的两点所成的直线能与直线垂直的是（　　） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 8．在一次数学测试中，小明的成绩为72分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（　　） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 9．规定”△”为有序实数对的运算，如果(a，b)△(c，d)＝(ac+bd，ad+bc)．如果对任意实数a，b都有(a，b)△(x，y)＝(a，b)，则(x，y)为(　　) A．(0，1) B．(1，0) C．(﹣1，0) D．(0，﹣1) 10．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题.用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只.问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（　　） A．87 B．84 C．81 D．78 二、填空题 11．若是二元一次方程的解，则的值为　 　． 12．如图，直线与相交于点O，已知，，则　 　． 13．一组数据1，1，x，2，4，5的平均数是3，则这组数据的中位数是　 　． 14．已知方程 是二元一次方程，则mn＝　 　； 15．若方程的解为，则方程组的解为　 　. 16． 某次考试以70分为合格分数线，全班的总平均分为76分，而所有成绩合格学生的平均分为81分，所有成绩不合格学生的平均分为66分，为了减少不合格的学生人数，老师给每位学生的成绩加上5分，加分之后，所有成绩合格学生的平均分变为85分，所有成绩不合格学生的平均分变为69分，已知该班学生人数在30到40人之间，则该班有学生　 　人． 三、解答题 17．已知方程组与方程组的解相等，试求、的值． 18．为迎接五一劳动节，某超市开展促销活动，决定对，两种商品进行打折出售．打折前，买件商品和件商品需要元，买件商品和件商品需要元．问：打折后，若买件商品和件商品仅需元，比打折前节省了多少元？ 19．为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用x表示，单位：次），将其分成以下五组：60≤x＜90，90≤x＜120，120≤x＜150，150≤x＜180，180≤x＜210，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下： 1分钟的跳绳次数在90≤x＜120中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119． 根据以上信息，解答下列问题： （1）1分钟的跳绳次数在90≤x＜120范围内的众数是　 　 次，中位数是　 　 次； （2）补全频数分布直方图； （3）请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数． 20．已知关于，的方程组 （1）请写出方程的所有正整数解； （2）若方程组的解满足，求的值； （3）无论实数取何值，方程总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？ （4）如果方程组有整数解，求整数的值． 21． 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它， 从而使问题得到简化， 这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面的问题： 若关于 的方程组 的解是 求 关于 的方程 组 的解． 22．已知直线，一块含角的直角三角板，顶点在直线上． （1）如图，若，求的度数； （2）如图，向上平移直线，使直线过点，，，若是的倍，求证：． 23．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图1所示，灯射出的光束从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，灯射出的光束从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒，，满足．假定主道路是平行的，即，且． （1）填空：______，_______，______； （2）若灯射出的光束先转动15秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前（即灯转动角度小于），灯转动多少秒时，两灯射出的光束互相平行？ （3）如图2，两灯同时开始转动，在灯射出的光束到达之前（即灯转动角度小于），若两灯射出的光束交于点，过作，交于点，在转动过程中，的度数保持不变，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】A 【解析】【解答】解：圆周率的小数点后100位数字中，9出现的次数最多，故众数为9， 第50个和第51个数字都是5，故中位数是5. 故答案为：A. 【分析】众数是出现次数最多的数字，中位数需将数据从小到大排列后找中间两个数的平均值. 6．【答案】A 7．【答案】C 【解析】【解答】解：A、作直线MN，直线MN与直线不垂直，不符合题意； B、作直线PQ，直线PQ与直线不垂直，不符合题意； C、作直线MQ，直线MQ与直线垂直，符合题意； D、作直线NP，直线NP与直线不垂直，不符合题意. 故答案为：C. 【分析】分别作直线MN、PQ、MQ、NP，再根据若两条直线互相垂直，则两条直线所成的夹角为90°，据此判断即可. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：中位数表示中等水平，众数表示出现次数最多的数据，平均数表示平均水平，方差表示数据的波动水平，由小明的成绩超过班级半数同学的成绩可知，所用的统计量是中位数。 故答案为：A. 【分析】根据统计量的区别：中位数表示有一半的同学达到这个成绩，众数表示出现次数最多的数据，平均数表示平均水平，方差表示数据的波动水平，得出结果。 9．【答案】B 10．【答案】A 【解析】【解答】解：设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得： 有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解. 令②×3－①得：7x+4y=100； 所以 令 =t， (t为整数)所以x=4t 把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t 易得z=75+3t 所以：x=4t，y=25-7t，z=75+3t A.当z=87时，t=4，则x=16，y=﹣3，不符合实际； B.当z=84时，t=3，则x=12，y=4，符合实际； C.当z=81时，t=2，则x=8，y=11，符合实际； D.当z=78时，t=1，则x=4，y=18，符合实际； 故答案为：A. 【分析】根据题意列出三元一次方程组，根据方程组的解再结合实际题意一一验证即可. 11．【答案】2 【解析】【解答】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：2． 【分析】 根据二元一次方程的解的定义把代入，进行求解即可． 12．【答案】 13．【答案】3 【解析】【解答】解：∵数据1，1，x，2，4，5的平均数是3， ∴ ＝3， 解得x＝5， 所以这组数据为1，1，2，4，5，5， 则这组数据的中位数为 ＝3， 故答案为：3． 【分析】先根据算术平均数的概念得出关于x的方程，解之求出x的值，即可得出这组数据，继而由中位数的定义求解即可． 14．【答案】-2 【解析】【解答】解：∵方程 是二元一次方程， ∴ 且m-2≠0，n=1， ∴m=-2，n=1， ∴mn＝-2. 故答案为：-2. 【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，列出方程组求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 15．【答案】 【解析】【解答】解：令x+1=m，y-1=n， ∴， 由于方程的解为， ∴∴的解为， ∴的的解为 故答案为：. 【分析】根据方程组的解的定义可得x+1=-2，y-1=3，求出x、y即可. 16．【答案】 【解析】【解答】解：设成绩合格学生有x人，成绩不合格学生有y人，给不合格的学生加上5分成为合格学生有n人， 由题意可得：81x+66y=76(x+y)， 解得：x=2y， 加分后可得：（76+5）（x+y）=85(x+n)+69(y-n)， 整理得：x+4n-3y=0， 把x=2y代入得：y=4n， 全班人数为：x+y=3y=12n， ∵该班学生人数在30到40人之间， ∴30≤12n≤40，解得：， ∵n为整数， ∴n=3， ∴全班人数为：x+y=3y=12n=12×3=36. 故答案为：36. 【分析】设成绩合格学生有x人，成绩不合格学生有y人，给不合格的学生加上5分成为合格学生有n人，分别根据加分前、后的全班人数不变可列方程：81x+66y=76(x+y)，（76+5）（x+y）=85(x+n)+69(y-n)，解之可将x、y用含n的代数式表示出来，根据全班人数的范围可得关于n的不等式组，解之求出n的值，根据n为整数可求解. 17．【答案】 18．【答案】解：设打折前购买一件商品价格为元，购买一件商品价格为元， 依题意，得：， 解得：， 元． 答：比打折前节省了元． 【解析】【分析】 设打折前购买一件A商品价格为x元，购买一件B商品价格为y元， 根据买6件A商品和3件B商品需要108元，买3件A商品和4件B商品需要94元列出方程组，解得x、y的值，最后计算出买5件A商品和4件B商品打折前的价格减去86即可求得答案. 19．【答案】（1）105；110 （2）解：1分钟的跳绳次数在120≤x＜150中的人数为50﹣5﹣15﹣8﹣2＝20， 补全频数分布直方图如下： （3）解：800480（人）， 答：估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数为480人 【解析】【解答】解：（1）1分钟的跳绳次数在90≤x＜120范围内的众数是105次，中位数是110次； 故答案为：105，110； 【分析】（1）根据众数、中位数的概念即可得出答案； （2）求出1分钟的跳绳次数在120≤x＜150中的人数即可补全频数分布直方图； （3）利用样本估计总体即可得出答案. 20．【答案】解：（1）由已知方程x+2y=5，移项得x=5-2y， ∵x，y都是正整数，则有x=5-2y＞0，又∵x＞0， ∴0＜y＜2.5， 又∵y为正整数，根据以上条件可知，合适的y值只能是y=1、2， 代入方程得相应x=3、1， ∴方程2x+y=5的正整数解为； (2) ∵x+y=0 ∴x+2y=5变为y=5 ∴x=-5 将代入得. (3) ∵由题意得二元一次方程总有一个公共解 ∴方程变为(m+1)x-2y+9=0 ∵这个解和m无关， ∴x=0，y= (4) 将方程组两个方程相加得 ∴ ∵方程组有整数解且m为整数 ∴，， ①m+2=1，计算得：（不符合题意） ②m+2=-1，计算得：（不符合题意） ③m+2=2，计算得：（不符合题意） ④m+2=-2，计算得：（不符合题意） ⑤m+2=4，计算得：（符合题意）∴m=2 ⑥ m+2=-4，计算得：（符合题意）∴m=-6 【解析】【分析】（1）由题意求方程的解且要使x，y都是正整数，将方程移项，再把x和y互相表示出来，在由题意要求x＞0，y＞0，根据以上两个条件可夹出合适的x值，从而代入方程得到相应的y值； （2）由方程组求得x，y的值，代入方程即可求得m的值； （3）方程整理后，根据无论m如何变化，二元一次方程总有一个固定的解，列出方程组，求出方程组的解即可． （4）先把m当作已知求出x、y的值，再根据方程组有正整数解，进行判断，再找出符合条件的正整数m的值即可． 21．【答案】解：， 由题意知 解得 原方程组的解为 【解析】【分析】对原方程组进行变形可得根据关于 的方程组 的解是 可得 进而解得方程组的解为 22．【答案】（1）解：如图中，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：， =， ，是的倍， ， ， ， ， ． 【解析】【分析】（1）先求出，再结合，求出即可； （2）根据，是的倍，求出，再求出，可得，即可得到. 23．【答案】（1），， （2）或 （3）不变， 学科网（北京）股份有限公司 $