第2章 三角恒等变换 单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

湘教版高中数学必修第二册 第2章：三角恒等变换单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第2章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.sin40°cos20°+c0s40°cos70°=() A. B要 C.v3 D.1 2 2.已知sina=子a是第一象限角，且ma+m=1,则mB的值为（ A月 B.7 c D 3.已知cos9-V6 2=3,则cos(π+2)=（月 A司 B. c D.日 4.已知a是第四象限角，且sn+cosa-行则am号=（) A日 B C.1 D.2 5.已知如0m0:}1,则m0引() A. B.3 D. 3 C.2 3 2 6.已知u,B满起cs2a+sa=sm仔Bm（仔P小n,且aea.小，则a=(） A君 B.π 4 c. D.月 7.若a,B ,且ana=,cosB +smB,则下列结论正确的是() A.2a-B- B.2a+B=I C.2a-B=5 D.2a+B= π 2 2 cos2β A.a+月-号 B.a-p=I C.a+B=骨 D.a+28= 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. ).已知a,B为锐角，me+)-片uactan p-子则() A.cosa cosB= 2 5 B.cos(a-B)=1 C.tana+tan 3 D.cosasinB 10.已知函数f(x)=2sinr-cosx+2W3sin2x,则() A.f(x)的最小正周期为π 0 61 是曲线f(x)的一个对称中心 C.x=正是曲线f(e)的一条对称轴 D.f(x)在区间 π5π 上单调递增 12 6'12 1.已知cos(a+p)=-5 4 cos2a=- ,其中α，B为锐角，则以下命题正确的是() 3 A.sin 2a= 5 B.ma-=云5 C.cosacos=5 10 D.tanatan=3 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数f=5sin2x+cos2r,当x∈0，时，f(x)的值域为 L2 1.已知cos(a+)eosa+sin(a+B)sina=号，则cs2B= 14.给出下列命题： 3 ①存在实数x,使sinx+cosx= ②若a、B是第二象限的角，且sina>sinB,则cosu>cosB; ③若cos a cos B=1,则sin(a+B)=0; ④若a,Be2r π 且ana<cotB,则a+B<3r 2 其中正确的命题的序号是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(1B分)已知ae0引p经ama}casa-)- ①求sinsina+cosa的值： 2cos2 a-1 π (2)求cosa-4 的值： (3)求cosB的值. 16.(15分)已知a= 3sim-cosx ()-a6. (1)求f(x)的单调递减区间： ππ (2)当x∈-44] 时，求f(x)的最大值和最小值。 17.(15分)已知函数f(x)=2cos2x+ π 24 +cos2x- (1)求函数图象的对称轴方程： (2)求函数y=f(-x)的单调递减区间. 18.(17分)已知函数f(d)=cos2x+}+snx-c0s+26 inco. (I)求函数f(x)的单调递减区间. (2)若x∈0， 求(x)的最大值和最小值. (3)若fa)=号2a是第一象限角，求in2a的值 19.(17分)已知函数f(y)=V5sin(ox+)+2si㎡匹+工)-(o>0的两条相邻对称轴的 3 261 距离为 ‘ (1)求f(x)的解析式： (2)将函数f(x)的图象向右平移”个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横 6 坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象. ①)-号具6e0引 ,求cos2x的值： ②若关于x的方程g()=k在区间0， 上恰有两个不同的实数解，求实数k的取值范围.湘教版高中数学必修第二册 第2章：三角恒等变换单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第2章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.sin40cos20°+c0s40cos70°=() A.方 B.② 5 C. D.1 2 2 【答案】C 【分析】先应用诱导公式，再逆用两角和的正弦公式即可求值 【详解】sin40cos20°+cos40cos70°=sin40cos20°+cos40sin20°=sin(40+20)上 3 故选：C 2.已知sina= 亏a是第一象限角，且tan(a+)=l,则tamp的值为( 3 B D. 7 C.- 4 4 【答案】B 【分析】先根据平方关系及商数关系求出tana,再根据tamp=tam[(a+B)-a]利用两角差的 正切公式即可得解 3 4 3 【详解】因为血u=号a是第一象限角，所以cosa=-sin'a=5,所以ana= 1- 1 所以taB=tam[(a+B)-a]=4= 3 故选：B 1+ 3.己知cos VG ,则c0s(π+2a)=() 3 7 A·9 B. 5 C. 2 D. 2 9 9 9 【答案】A 【分析】根据二倍角的余弦公式和诱导公式可求出结果， 【详解】因为cos9=6 所以c0sa=2c0g2g-1=2 2 1 23 13 3 故coa+2a）=-o2a=1-2cosa=1-2x兮故选：A 1 =() 4,已知a是第四象限角，且sima+cosa=5,则tam2 1 1 A.- B. 3 C.1 D.2 2 【答案】B 【分析】根据sina+cosa.sma-cosC,smnaco的关系可得sima=,cos心4 5 ,即可根 据弦切互化以及二倍角公式求解 1 【详解】：sim+cosw=5a是第四象限角，cosa>0,sa<0, 平方得(sina+cosa)= 24 →2 sin a cos a=- 25 25 > cosa-sin a=(cosa+sina)-4cosasina= 5’sina= 4 5,cosa= 5 sin 2sina 解法一：.ta2 2 2 1-cos a 1 二1 2sin sing 3故选B 解法二：，是第四象限角， 元+2k远，2k元.keZ则？∈-元+m,c bk∈Z, 所以是第二、 四象限角， 2 Sin2 a 1-cosa 4 1- C 2 2 1-cos a 5 1 tan 1+cosa V 1 cos 4 了故逃B 2 2 5 5.已知s+sm9+1,则m(+(） 3 A. B.3 C.3 D. 2 3 2 【答案】B 【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式 的值 【详解】由题意可得：s咖0+m0+5。 os0=1, 2 2 则： 2sn+ cos8=1,5 sn0+os0=5,从而有：n6cos三+cos0si 1 π π3 2 2 3 6 63 即n9+=5故选：B 6 3 6.已知a,B满足cos2a 2cos a=sin A. 兀 B C. D. 6 4 2 【答案】C 【分析】借助两角和与差的正弦公式及同角三角函数基本关系、二倍角公式计算可得 2cos-1+cosa=手，即可解出cosa,结合a范围即可得解 3 2 2 3 sincosinB= 3 41 4 4 因此c0s2a+5c0sa= >3,即2cos2a-1+2 cosa=3■ 4 1 则(2cosa-cosa+40,解得co9u或cosa中 7 4 (舍去)， 又因为ae0,列，所以a-胥故遮：c 7.若,B∈ 兀 2 ,且tana-,cosB 1+sinp,则下列结论正确的是() A.2a-B=2 B.2a+6-日 C.2a-B=5 D.2a+B= 5兀 2 【答案】D 【分析】根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，以及结合角的范围，诱导公式，即可求 解 cos B 2 -sin B 2 1-tan B (π 【详解】tana= 1+sin B +sin B =ta42 2 2 2 2 1+tan B 因为a,B∈ ,0 所以&=兀+ πB ,得2a+B= 5兀 424' 2 故选：D 4 2 8.已知a∈ cos2B 1-sin28' 则() A.a+B= B.a-B= C.a+p= 4 D.a+20-号 【答案】B 【分析】结合二倍角公式和正切函数的性质化简即可得到答案 【详解】因为a∈ cos2B tana 2 1-sin2 B cos2B-sin2B (cosB-sin B)cosB+sin B) 所以tana= cos2B+sin2B-2sinB cos B (cosB-sin B) 因为cosB-sinB≠0，所以tanc=cos0十sn=十am片=iamn+P cosB-sin B 1-tan B 因为ae0写0=0引所以a子+P,即口B=其余选度无法痛定，故适：B 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 1 9.已知a,B为锐角，cos(a+B)=5,tan atan= 3则() A.cosacosB=2 5 B.cos(a-B)=1 C.tana+tan B= 2W6 3 D.cosasin= 5 【答案】BCD 【分析】利用三角函数的两角和差公式和同角三角函数的基本关系逐项计算即可. 【详解】对于A,ta1 atan B= sin asin B 2 cosa cos3:sin asin cosa cos B. 3 1 1 则cos(a+B)=coscos,B-=3 cosco,B=5,故B=-亏，故A错误： 对于B,cos(a&-B)=cosacos B+sin&sinB=,cosacosB=1,故B正确： 对于Cco(a+P)-3,版(a+p)=t26. 5 因为a,B为锐角，所以a+PEQ),故sim(a+A)=26 tan(a+B)=2v6=tana+tanp 1-tanatanB 所以tana+tanB=2v6x1--tan atan B 26故C正 确：对于D,由B知，cos(-)=1,故sin(a-)=0, 所以sn(a+0)-sin(a-月)=226故o=V 故D正确，故选：BCD 5 5 10.己知函数f(x)=2sinx·cosx+2√3sin2x,则() A.(x)的最小正周期为π B 6 ,0是曲线f(x)的一个对称中心 C.x=匹是曲线fw)的一条对称轴 D.f)在区间(。12， π5π 上单调递增 12 【答案】AD 【分析】先求出f(x)=2sin 2r- 引、5，结合正弦函数的图像与性质对四个选项一一验证 即可 【详解】f(x)=sin2x+V3(1-cos2x)=sin2x-Bcos2x+3 =22x引5，分，A对 (名同是曲线f()的-个对称中心，B错。 2号，沿+经e2,女=-1时、=5k=0时。 32 12 12 ·x=亚不是f)的一条对称轴，C错。 12 ≥32x-亚<π <2x< 5ππ 5π 3<2’6 6’12<x< 12 f(x)在 π5π 12'12 上单调递增，D对.故选：AD. 11.已知cos(a+B)= 5 cos 2a=- 5 其中“，B为锐角，则以下命题正确的是() 4 3 A.sin 2a= 5 B.cos(a-B)=-v C.cosc 1 D.tan atan B= 10 3 【答案】AC 【分析】根据同角的三角函数的基本关系式和两角和与差的余弦公式和积化和差公式即可求 解 【详解】因为cos(a+B)=- 5 5cos2a=-专(uB为能角) 放sn2a-看-cos2a},放A正确 因为sim(a+p)=25 所以cas(ae-P)=cos[2a-(a+P]=cos2oos(a+p)+sn2oin(a+月 55,故B cos(B)-coscosinsm5 c(posi 故cosacos= Lemu-roau-则-g5+ ,故C正确 tanatanB=3 故D错误故选：AC 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数f)=V3sin2x+c0s2x,当x∈0,2 时，f(x)的值域为 【答案】[-1,2] 【分析】先利用辅助角公式得f(x)=2sin 2x+ ,然后利用换元法结合正弦函数的性质得 6 6 【详解】f(w)=V3sin2x+cos2x=2sin2x+ 6 若xe[0引，则2x+[ 666则- ssin2x+ ≤1 6 所以-1≤2sin2x+号 s2,即f(x)的值域为[-1,2].故答案为：【1,2】 6 5,则cos2B= 13.已知cos(a+P)cosa+sin(a+B)sina 【俗案】子 【分析】逆用两角差的余弦公式求出cosB的值，再利用二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】：cosB=cos[a+P)a]=cose+Posa+me+B抽a=专 .c0s2B=2c0s2B-1=2× 4 7 了故答案为：25 14.给出下列命题： ①存在实数x,使sinx+cosx= 2: ②若a、B是第二象限的角，且sina&>sinB,则cosa>cosB: ③若cos a cos B=1,则sin(ax+B)=0: ④若&，B∈ 且tana<cotB,则a+p<3 其中正确的命题的序号是 【答案】②③④ 【分析】利用三角恒等变换，通过化简变形可判断各命题是否成立 【详解】对于①，imx+cosx=√2sin(x+)≤√5<3故O错误 对于②，若a、B是第二象限的角，则sina>0,sinB>0,cosa<0,cosB<0 又因为sina>sinB,利用不等式的性质，则sin2a>sin2B,即1-cos2a>1-cos2B整理得 cos2u<cos2B,所以可知 cos2a-cos2B=(cosa-cosB)(cosa+cosB)<(,因为cosa<0,cosB<0,则 (Cos+cos)<0所以cosa-cosB>0,即cosa>cosB.故②正确 对于③，若cos a cos阝=1，则cosa=cosB=1,或cosa=cosB=-1此时a=kπ，B=nm(其中 n,k均为整数)，所以a+B=nr+kπ=(n+k)π，因此sin(ax+)=0.故③正确 对于@，因为aB(行小所以csu<m6≥0同时a+A(x,2) 因为tana<cotB,所以 tan a-cot B= sina cosp sinasinB cosBcoscos() cosa sin B cos asin B cos asin B 所以cos(au+)<0,所以a+B∈ 云，2即a+0<3故④正确 3π 2 故答案为：②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1s.a分)E知u(0A(经ma=子o(a-p)-音 ☑)求血a(si血+cosa的值： 2cos2a-1 ②求cos&-4) 的值： (3)求cosB的值， 【答案】(1)3： 65 【分析】()由余弦二倍角公式及同角三角函数的商数关系，化简血a(sina+cs@得 2cos'a-1 tan2 a+tan a 3 将tan a=二代入即可求值： 1-tan'a 4 (2)根据同角三角函数关系，可求得sina= 3 5’©os:,结合余弦两角差公式，可得结 果 (3)通过凑角，可得B=-(-),结合同角三角函数关系及两角和差公式，可求得结 果。 【详】解6D因为血usg+cos四_ma+ico4_ag+amg,又na 3 2cos2a-1 cos a-sin'a 1-tan'a 4 323 sin a(sin a+cos a)tan2 a+tan a 所以 、44 3) 3: 2cos2a-1 1-tan2a 4 (2)因为a∈0， 3 3 ,tana=4,所以sima=亏cosa= 4 2 5 防maca音+maa号号是9得 101 c3)国为ae0到B径：所以a-ex0), 又cosa-p)名所以sm(a-)=吕又B=a-(a-0. 所以ewA-cm-u--uaua-月mama-川-名)-8 16.(15分)已知a= n2x8}6--33co2x》且e)-a6. (1)求∫(x)的单调递减区间： (2)当x [引时、求()的吊大准和最小做，。 (2)f(x)mm=-6:f(wms=3V3. 【分析】(1)结合数量积的坐标运算，利用辅助角公式化简函数，然后利用正弦函数的单调 性列不等式求解单调递减区间即可 (2)整体法换元结合正弦函数的图象性质确定函数的最值即可求解 【1-a6=-a-号ima看引-l哥-9x =6sim2x+亚=6sin2x- 63 6 令2≤2x石s元+2a,keZ,解得m≤xs 4hLkcZ 2 6 “四的单调道减区间为子 5π +kπ，k∈Z. 6 2e7 2x-e「2 63’3 当2x-名即x=时，f0m=6 6 石即x=时，f=6m 当2x-亚= =35 4 17(1s分》已知函数f网=2coe+》o2x- 5π (1)求函数图象的对称轴方程： (2)求函数y=f(-x)的单调递减区间. 【案10-冬合e0, 5+k(kEZ). 【分析】(1)利用倍角公式、辅助角公式化简，再结合正弦型函数的性质求对称轴即可： (2)求出解析式，结合正弦函数的性质求单调区间 【详解D-2+引+co2-）-om2x+1a2+径到 令2x+-m+,ke乙，解得x=+5，kZ, 3 212 故运数图象的对称轴方程为：=冬吕©乙。 ②y05m2》15m2引1， +2m≤2x号+2m,keZ, 32 解得音c π+k机，k∈Z, 12 故函数y=(-x)的单调递减区间是 + π+kmke, 12 18.(17分)已知函数x)=co2x+ +sin'x-cos2x+2v3sinxcosx 3 (1)求函数f(x)的单调递减区间. (2)若x∈0， 2 ,求f(x)的最大值和最小值. 6诺fa)=号2a是第一象限角，求sim2a的值. 【答案】(3 5π+m（k∈Z 1 2)f(四a4=2:f)层大=1. 356 14 【分】)化商：)m3x君司令经三2x名受2h2.解不等式即 62 可求解： (2)先求2x一。的范国，再利用整体法即可求出最大值和最小值： 8》由可药2a片，ma引- -6 , 利用sin2a= 结合 7 2a- 6 两角和的正弦公式求解即可。 【详解】1)fy 9em2x-cw2r5n2x9m2xoa2-s2:到 2c0s2.r- 2 6 令号22xg+2mke2, 6-2 解得雪+缸sxsa(keZ, 6 三fe的单调读区间是于bLg人：之。 a2 当2x即x=0时，fa= 6 当2x名受即号时，ea1 3)1@=m2如君引号江是第一象限角， 即2<2a号+2mke2.2m-g2a石+2a 6<3 7 .sin2a=sin sin平 6 6 6 6 1V34W5155 7 7214 19.(17分)己知函数f()=V5sim(ox+)+2sim)-〔w>9的两条相邻对称轴的 2 距腐为号 (1)求()的解析式： (2)将函数f(,)的图象向右平移汇个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横 6 坐标不变)，得到函数y=8(x)的图象. ①若8(x,)= 12 求cos2x的值； ②若关于x的方程g(y)=k在区间0引 上恰有两个不同的实数解，求实数k的取值范围. 【答案】)f(x)=2sim2x+ 6 2X045-3:@2,4） 10 【分析】(1)利用二倍角公式、辅助角公式对解析式进行化简，结合函数图象的对称性求出 ω的值，即得函数解析式： (2)根据三角函数图象的平移特缩变换得到)的解析式，①由匙求得m2君引-子 结合6三0号的范围，求得o2,专通过2，=（，君引名凑角后利用和角的正 3 弦公式求解即得：②先将问题转化为函数g(x)=4sn(2x-巧和函数y=k的图象在区间 上有且只有2个交点，通过数形结合即可求得参数范围」 2 【详解】(1)因fx)=V3sin(am++2sin'(ox+乃-1 26 i(+co =2sin(@x+3 6 +)=2sin(ar+), 6 由函数f()的相邻两条对称轴的距离为， 所以函数f(x)的周期T=2×及=元。 则-.=22x+ (2)将函数/(，的图象向右平移若个单位长度，得y=2sm画2(-牙+爱=2m2x孕. 6 再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到gx)=4sin(2x-爱 ,0, 3 =4x53x145-3 525210 ②由题知，方程g(9)=k在0,2 上恰有两个不同的实数解， 可转化为函数8()=4sin(2x-马和函数y=k的图象在区间0， 6 2 上有且只有2个交点. 作出函数h(t)=4sint在 π5 666 66元 上的图象如图： 当1=时，8=he0=4m引-2 当1=时，g()m=0=4sn5=4:当t-时，h码=4simn5匹=2 2 6 6 6 v=g(x) V-k 5π 6 由图可知：实数k的取值范围是[2,4) 湘教版高中数学必修第二册 第2章：三角恒等变换 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第2章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（   ） A． B． C． D．1 2．已知是第一象限角，且，则的值为（　 　） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知是第四象限角，且，则（  ）. A． B． C． D．2 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，满足，且，则（   ） A． B． C． D． 7．若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．是曲线的一个对称中心 C．是曲线的一条对称轴 D．在区间上单调递增 11．已知，，其中，为锐角，则以下命题正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，当时，的值域为______． 13．已知，则______. 14．给出下列命题： ①存在实数，使； ②若、是第二象限的角，且，则； ③若，则； ④若，且，则． 其中正确的命题的序号是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 16．（15分）已知，且． (1)求的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值． 17．（15分）已知函数． (1)求函数图象的对称轴方程； (2)求函数的单调递减区间． 18．（17分）已知函数． (1)求函数的单调递减区间． (2)若，求的最大值和最小值． (3)若是第一象限角，求的值． 19．（17分）已知函数的两条相邻对称轴的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． ①若，且，求的值； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学必修第二册 第2章：三角恒等变换 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第2章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先应用诱导公式，再逆用两角和的正弦公式即可求值. 【详解】. 故选：C. 2．已知是第一象限角，且，则的值为（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平方关系及商数关系求出，再根据利用两角差的正切公式即可得解. 【详解】因为是第一象限角，所以，所以， 所以.故选：B. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角的余弦公式和诱导公式可求出结果. 【详解】因为，所以， 故.故选：A． 4．已知是第四象限角，且，则（  ）. A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据的关系可得，，即可根据弦切互化以及二倍角公式求解. 【详解】∵，是第四象限角，, 平方得， ，∴，， 解法一：∴，故选B. 解法二：∵是第四象限角，,则， 所以是第二、四象限角， ，故选:B. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值. 【详解】由题意可得：， 则：，，从而有：， 即.故选：B. 6．已知，满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助两角和与差的正弦公式及同角三角函数基本关系、二倍角公式计算可得，即可解出，结合范围即可得解. 【详解】 ， 因此，即， 则，解得或（舍去）， 又因为，所以.故选：C. 7．若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，以及结合角的范围，诱导公式，即可求解. 【详解】， 因为，所以，所以，得.故选：D 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二倍角公式和正切函数的性质化简即可得到答案. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 因为所以，即，其余选项无法确定，故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角函数的两角和差公式和同角三角函数的基本关系逐项计算即可. 【详解】对于A，，故， 则，故故A错误； 对于B，故B正确； 对于C， ，故， 因为，为锐角，所以，故， 故所以故C正确；对于D，由B知，，故 所以故，故D正确.故选：BCD 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．是曲线的一个对称中心 C．是曲线的一条对称轴 D．在区间上单调递增 【答案】AD 【分析】先求出，结合正弦函数的图像与性质对四个选项一一验证即可. 【详解】 ，，A对． 是曲线的一个对称中心，B错． ，，，时，，时， ∴不是的一条对称轴，C错． ，，， ∴在上单调递增，D对．故选： AD. 11．已知，，其中，为锐角，则以下命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据同角的三角函数的基本关系式和两角和与差的余弦公式和积化和差公式即可求解. 【详解】因为 ( 为锐角), 故 , 故 正确; 因为 , 所以 , 故 B 错误; 由 , 故 , 故 C 正确; 且 , 所以 , 故 D 错误.故选: AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，当时，的值域为______． 【答案】 【分析】先利用辅助角公式得，然后利用换元法结合正弦函数的性质得，即可求解. 【详解】， 若，则，则， 所以，即的值域为．故答案为： 13．已知，则______. 【答案】 【分析】逆用两角差的余弦公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】∵， ∴.故答案为：. 14．给出下列命题： ①存在实数，使； ②若、是第二象限的角，且，则； ③若，则； ④若，且，则． 其中正确的命题的序号是______． 【答案】②③④ 【分析】利用三角恒等变换，通过化简变形可判断各命题是否成立 【详解】对于①，.故①错误 对于②，若、是第二象限的角，则, 又因为，利用不等式的性质，则，即整理得，所以可知 ,因为，则所以,即.故②正确 对于③，若,则,或此时（其中均为整数），所以因此.故③正确 对于④，因为,所以,同时， 因为，所以 所以,所以，即.故④正确 故答案为：②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)3； (2)； (3). 【分析】（1）由余弦二倍角公式及同角三角函数的商数关系，化简得，将代入即可求值； （2）根据同角三角函数关系，可求得，，结合余弦两角差公式，可得结果； （3）通过凑角，可得，结合同角三角函数关系及两角和差公式，可求得结果. 【详解】（1）因为，又， 所以； （2）因为，，所以，， 所以； （3）因为，，所以， 又，所以，又， 所以. 16．（15分）已知，且． (1)求的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)；． 【分析】（1）结合数量积的坐标运算，利用辅助角公式化简函数，然后利用正弦函数的单调性列不等式求解单调递减区间即可. （2）整体法换元结合正弦函数的图象性质确定函数的最值即可求解. 【详解】（1） 令，解得， ∴的单调递减区间为． （2）∵，∴． 当，即时，； 当，即时，． 17．（15分）已知函数． (1)求函数图象的对称轴方程； (2)求函数的单调递减区间． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式化简，再结合正弦型函数的性质求对称轴即可； （2）求出解析式，结合正弦函数的性质求单调区间. 【详解】（1） ． 令，，解得，， 故函数图象的对称轴方程为． （2）， 令，， 解得，， 故函数的单调递减区间是． 18．（17分）已知函数． (1)求函数的单调递减区间． (2)若，求的最大值和最小值． (3)若是第一象限角，求的值． 【答案】(1) (2)；． (3) 【分析】（1）化简，，令，解不等式即可求解； （2）先求的范围，再利用整体法即可求出最大值和最小值； （3）由题可得，，利用结合两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1） 令， 解得， 的单调减区间是． （2），， 当，即时，； 当，即时，． （3）是第一象限角， 即 ， 19．（17分）已知函数的两条相邻对称轴的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． ①若，且，求的值； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式对解析式进行化简，结合函数图象的对称性求出的值，即得函数解析式； （2）根据三角函数图象的平移伸缩变换得到的解析式，①由题求得，结合的范围，求得，通过凑角后利用和角的正弦公式求解即得；②先将问题转化为函数和函数的图象在区间上有且只有2个交点，通过数形结合即可求得参数范围. 【详解】（1）因 ， 由函数的相邻两条对称轴的距离为，所以函数的周期． 则．∴． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得． 再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到． ①∵，∴． ∵则，则， ∴ ． ②由题知，方程在上恰有两个不同的实数解， 可转化为函数和函数的图象在区间上有且只有2个交点． 由可得，作出函数在上的图象如图： 当时，； 当时， ；当时，.    由图可知：实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $