第2章 三角恒等变换（高效培优单元测试卷）高一数学湘教版必修第二册

学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 高一下学期第2章三角恒等变换 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名」 班级 考号」 注意事项： 1.本试卷分第「卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填 写在答题卡上。 2.回答第〡卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1.(23-24高一下-江苏南京期末)已知cosa=,a∈(-乏，0，tanB=子则tan(a-B)的值为) A.-号 C.一n 2 D.-2 225-26高一上·福建莆田-月考)已知a为任意角，则"c0s2a=,是sima=的） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2425高-下-湖北咸宁期末)已知cosa=子a∈(2m,则cos=() A.22 3 B.- C. D.、22 3 4.(2025高三，全国.专题练习)sin70°cos20°-sin10°sin50°的值为) A B号 c.月 5.(25-26高一上全国课前预习)已知角α是第二象限角，且终边经过点(-3,4)，则tan;=() A.-2 B.2 c.-或 D.-2或2 6.(24-25高-下江苏南京，期中)已知c0sm+V3sina=专，则cos(2a+)的值是() B.一25 17 c. 第1页共5页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(24-25高一下湖南怀化：期末)已知a-B-?tana-tanB=2,则cos(a+B)的值是() A B.3+1 C.3+1 D.3-1 2 4 4 8.(24-25高二下.甘肃张掖期末)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=B+2C,b+c=2, 则a的最小值为) A.昌 B. C.42 5 0. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(25-26高一上江苏南通·月考)以下结果正确的有() A.log:3+2lg4+g+es2 2 B.若a2-a2=1,则a2+a2=11 C.6730'=8 D.sin70°-sin50°-sin10°=0 10.(25-26高一上·全国·课前预习)sin112.5°+sin67.5°=() A.-V2 B.0 C.v 2 D.√2+V2 11(25-26高三上，广东江门-月考)已知△ABC的面积为，若cos2A+c0s2B+2sinC=2,c0 sAcosBsinC=子 则) A.sinC sin2A+sin2B B.AB=3 C.snA+sB-号 D.AC2+BC2=2 第Ⅱ卷（非选择题共92分）》 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12(25:26商一上江苏南通月考)尼知锐角a,B满足α+B-号则+m的最小值为 13.(23-24高一上·新疆克拉玛依·期末)已知f(@)=cos2α+cos3,且aw1,a2是f()在(0，m)内的两个零点，则 01+C2= ;C0S1+C0S2= 14.(2025四川绵阳·模拟预测)已知2cosa+√3cosB=3,则cos(a+)的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)(25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末)计算与求值 第2页共5页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)已知0<a<乏-<B<0,cos(任+a=号cos(任-月=名，求cos(a+)的值 (2)已知cos(a+B)=,sin(a-B)=,且<u+B<2,<a-B<t,求2B的值： 16.(15分)(25-26高一上广东广州-月考)已知-元<x<0,six+c0sx=号 (1)求sin2x与sinx-cosx的值；(2)求tanx+tan,的值. 17.(15分)(23-24高一下·贵州遵义月考)两角和与差的正、余弦公式是进行三角恒等变换的基本公式，它还 有其他的一些变形公式能有效地帮助我们进行三角函数式的化简，例如： 己知：cos(a+β)=cosacos/β-sinasin/β，①：cos(a-β)=cosacosβ+sinasinB(② 由①+②可得cos(a+)+cos(a-β)=2 cosacos/β，对比形式即可得和差化积公式. cosx+cosy=2cosy 2c0s2 (1)求c0s15°+cos75°的值；(2)请证明： (i)cosx-cosy=-2sinsin;(i)cos2x-cos2y=-sin(x+y)sin(x-y) B)已知在△A8C中，角A8,C是△ABC的内角，且满足A+B=2C,若点+点-一忌求c0sA-) 第3页共5页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.(17分)25-26高一上湖北随州-月考N1已知f0=血2+9tc会。=2，求sn20+sin0cos9-cos0 cos(--0)+sin(0) 的值： (2)已知函数f()=V3sin(x+0)+cos(x+),日∈[0，川的图象关于y轴对称，又角a∈(2，)，f(a网=号， 锐角B满足cos(u+B)=-号，求sinB的值. 第4页共5页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 19.(17分)(25-26高一上·福建厦门月考)某校数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： c0s0°+c0s120°+c0s240°=0；c0s30°+c0s150°+c0s270°=0；c0s45°+c0s165°+c0s285°=0： 据此规律提出猜想：c0s6+c0s(0+120)+cos(0+240)=0, 并证明如下：cos0+c0s(0+120)+cos(0+240)=c0s0+(-c0s0-号sin0）+(-c0s0+号sim0)=0. 同理可得，sin0+sin(0+120)+sin(0+240)=0,由于0，(0+120)，(0+240)这三个角三等分了圆周， 类似于电风扇的三个叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“电风扇恒等式”. 同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“电风扇”，这样的“电风扇恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)解关于0的方程：si(0+40)+sin(220°-θ)+sin(0-80)=0,其中6∈[0,2m]; (2)猜想cos;+cos的值，并证明你的猜想： 3)i证明：cos9+cos(9+)+cos(g+9)+…+cos(g+9）=0,其中neN,n≥2. 第5页共5页学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 高一下学期第2章三角恒等变换 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1.本试卷分第「卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填 写在答题卡上。 2.回答第〡卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 123-24高-下江苏南京-期末已知cosa=专，ae(-艺，0)tamB=2则tan(a-B)的值为) A号 B.一1 10 2 C.一五 D.-2 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】先根据c的范围确定tana,然后使用正切差公式. 【详解】由ae（-,0),知sina<0,故sina=-V1-cos2a= 4 ，从而tana-==- cosa 31 所以tan(a-B)=i+tanctanp tana-tanB 42 =-2 故选：D. 2(25-26高一上：福建莆田月考)已知α为任意角，则“cos2a=,是sina=的(） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、二倍角的余弦公式 【分析】根据必要不充分条件的定义，即可得到答案： 【详解】~cos2a-言1-2sim2a=号→sina=士9 3 3 cos2a=推不出sina=点， 3 第1页共13页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 反之，sma=9→cos2a=号 3 cos2a=是"sina=的必要不充分条件， 3 故选：B. 3.(24-25高一下-湖北咸宁期末)已知cosa=7a∈（匹2D,则cos=() A. B.- C. D.-22 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】半角公式、给值求值型问题 【分析】利用半角公式，结合角的范围进行求解，得到答案 【详解】aE(c2m,故e(（传，可，故cos受<0， 所以cos兰 1+cosa 19 2W2 2 2 3 故选：D 4.(2025高三·全国.专题练习)sin70°cos20°-sin10°sin50°的值为() A月 V3 B.2 C. D.9 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】积化和差公式 【分析】两次利用积化和差公式即可求解 【详解】sin70'cos20°-sinm10'sin50°=(sin90°+sin50)+2(cos60°-cos40) -+sin50+片cos40'-+3sin50°-in50- 故选：A 5.(25-26高一上全国课前预习)已知角α是第二象限角，且终边经过点(-3,4)，则tan;=() A.-2 B.2 C. D.-2或2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知角或角的范围确定三角函数式的符号、半角公式 【分析】根据己知及三角函数的定义得cosa=一子tam吃>0，再由半角公式求值 【详解】由题得cosa=-3,ae(2m+,2kπ+，kez, 所以∈(kr+kr+习，k∈Z属于第一象限或第三象限，则tan三>0， 故tan -cosa =2 1+cosa 第2页共13页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：B 6.(24-25高一下.江苏南京·期中)已知cosa+V3sima=专，则cos(2au+)的值是() A-器 B.一25 17 c 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】根据给定条件，利用辅助公式及二倍角的余弦公式计算得解 【详解】依题意，钅=cosa+V3sina=2(cosa+号sina)=2sim(c+3),解得sin(亿+8)-号 所以cos(2a+)=1-2sin2(a+君)=1-2×云=云 ，417 故选：C 7.(24-25高一下-湖南怀化：期末)已知a-B=行tanu-tan8=2,则cos(a+B)的值是() A.3-1 2 B.3+1 C.3+1 2 D.3-1 4 4 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由tana-tanB=2将切化弦，再通分，结合两角差的正弦公式求出cosacosB,再由两角差的余弦 公式求出sinasinB,即可得解 【详解】因为tana-tanB=2,a-B=号 所以c-sE= sinccosB-singcosc sin(a-B) cosa cosB cosacosB cosacosB cosacosB =2,所以cosacosB=5 又cos(a-)=cosacosB+sinasin8所以sincsinB=:g 所以cos(a+)=cosos-sinasinB=9-(（任-9)=9-月 故选：A 8.(24-25高二下.甘肃张掖期末)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=B+2C,b+c=2, 则a的最小值为) A.昌 B. C.4v2 5 【答案】A 【难度】0.15 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形 【分析】根据角的关系，求出三个角的范围，根据边的关系和正弦定理，用三角函数表示出边长，换元法 构造函数，求出函数的最小值，判断结果， 【详解】因为A=B+2C,A+B+C=m所以B=,A=5,且0<C<号 第3页共13页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由正弦定理得 b b+c sinA sinB imc所以a sinA sinB+sinc 因为b+c=2,所以 2 2sinA 2sin 所以a= 2cos sinA sinB+sinc' sinB+sinc si+snc cos+sinc 因为cos3C 7■C3s03÷s03=2 Is uIs-Js03亏s00=(巾+5900-JE。 2 2 sinc=2 2sin cos5cos∈(（停，1） 2cos 2 2 所以a= cos cosC-2sinco+2ain.con cosC-2sin2in14i+2in 令t=sin5则te(0,月) a-a而号当组仅当t卡即m.等号度立， 2 2 所以a的最小值为号 故选：A 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(25-26高一上江苏南通·月考)以下结果正确的有() A.l0g:3+2lg4+g+e32- B.若a2-a2=1,则a2+a2=11 2 C.6730'=π D.sin70°-sin50°-sin10°=0 【答案】ACD【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算、弧度化为角度、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】运用对数的运算法则计算即可判断A:根据指数幂的运算法则结合完全平方公式计算即可判断B: 通过角度制与弧度制的互化可判断C；利用两角和差的正弦公式以及诱导公式计算可判断D. 【详解】对于A选项，l1og3+2lg4+lg后+e3z=log23+lg42+lg后+eh2 =-+g(16x)+8=-+1+8= ,故A正确： 对于B选项，因为a2-a言=1，两边平方，得a+a1-2=1, 解得a+a1=3,两边平方，得a2+a-2+2=9, 所以a2+a2=7,故B错误： 对于C选项，6730'=67.5°=675×品=m,故C正确， 对于D选项，sin70°-sin50°-sin10°=sin(90°-20)-sin(30°+20)-sin(30°-20) =c0s20°-sim30c0s20°-c0s30°sin20°-sin30cos20°+c0s30°sin20° =c0s20°-c0s20°-2c0s20=0,故D正确. 故选：ACD, 10.(25-26高一上全国·课前预习)sin112.5°+sin67.5°=() A.-V2 B.0 c.9 D.√2+√2 第4页共13页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】半角公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据诱导公式得出sin112.5°=sin(90°+22.5)=cos22.5°，sin67.5°=sin(90°-22.5)=cos22.5°， 根据半角公式c0s22.5° 1+c0s45 2 求出cos2.5°=2亚，从而得出sin112.5+sin67.5的值 【详解】因为sin112.5°=sin(90°+22.5)=c0s22.5°，sin67.5°=sim(90°-22.5)=cos22.5°， 所以sinm112.5°+sin67.5°=2c0s22.5. 根据半角公式cos22.5 1+c0s45 √2+2 2 2 2 所以sin112.5°+sin67.5°=2cos22.5°=√2+√2. 故选：D 11.(25-26高三上，广东江门月考)已知△ABC的面积为好，若c0s2A+c0s2B+2sinC=2,c0sAc0 sBsinc=子 则() A.sinC sin2A+sin2B B.AB=3 C.sinA+sinB=6 D.AC2+BC2=2 4 【答案】AD 【难度】0.15 【知识点】二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、反证法、三角函数与解三角形综合 【分析】对于A,由二倍角公式结合题设可判断选项正误；对于C,由A分析可得sin2A+sinB≥sinC, 结合余弦定理可得C∈(o,,然后利用反证法可得C=乏sin2A=sin2B=子据此可判断选项正误：对于 B0,由C分析可得BC=(2+V同4C,然后由S△c-河得AC=兰，BC=生，据此可判断选项正误。 21 【详解】对于A,由二倍角公式， cos2A cos2B 2sinC =1-2sin2A+1-2sin2B+2sinC, 则1-2sin2A+1-2sin2B+2sinC=2→sin2A+sin2B=sinC,故A正确： 对于C,由A分析可得sinm2A+sin2B=sinC,下证C=艺 因C∈(0，m),则sinC∈(0,1] 则1≥sinC,sin2A+sin2B=sinC=sinC×1≥sin2C. 从而sn2A+sim2B≥sin2C,由正弦定理边角互化可得a2+b2≥c2→cosC=4≥0→Ce(0,引 2ab 若C∈(O,),则A+B> 注意到cosAcosBsinc=>0,sinC>0,则cosAcosB>0, 又三角形中至多1个钝角，则cosA,c0sB>0,A,B,乏-B均为锐角。 第5页共13页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又A+B>艺→A>:B,正弦函数在(0，)上单调递增， sinA sin(-B)=cosB >0,sin2A>cos2B. 从而sinC=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1,这与sinC≤1矛盾. 故C=2从而A+B=2sinA=cosB,sinB=cosA,sinC=1, cosAcosBsinc=cosAsinA-cosBsinB 则sim2A=sin2B=之易得A≠B,不妨设A>B,则A=晋，B=是 从而smA+sinB=2sin些cos号=2snc0sg兰故C错误。 2C0s4 2 对于B0,因c=受则taM=茫=tan(假)=tan(（低+月=2+V3. 从而BC=(2+V3AC,则S△ABc=BC,ACsinc=(2+V3)AC2=} 则AC2=a可3AC=-,Bc=2+V同Ac=型 1 1 2 从而AB2=AC2+BC2=2→AB=√2，故B错误，D正确 故选：AD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 1225-26高-上江苏南通月考)已知锐角a,B满足a+B一营则m+的最小值为 【答案】得3 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】计算出+oiB=号再将代数式号(os+）)与代数式，e+o 相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值 【详解】解：“a+B=子sin(a+B)=sinccosB+cosasing=sin5=号， 2 (sinacosB+cosasinB)=1, 3 a,B均为锐角，则sinacosB>0,cosasinβ>0， 1 1 1一+1 sinacos8 cosasing (sinacosB +cosasinB) 3 AsinacosB cosasinB 25(2++os 12 cosasing sinacosB 3 cosasinB 3 当且仅当osa=aeos时，即当cosasing=sinccos时，故tana=tanB,&=B时等号成立. sinacosp cosasing 因此， 1 sinacosB 的最小值为 cosasing 故答案为： 3 第6页共13页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 13.(23-24高一上·新疆克拉玛依·期末)已知f(a)=cos2a+cos3a,且1,2是f(a)在(0，D内的两个零点，则 1+2= ;c0S1+C0S2= 【答案】 0.5 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】根据诱导公式、余弦函数的性质，结合两角和与差的余弦公式、正弦的二倍角公式进行求解即可 【详解】f(a)=cos2a+cos3a=0→cos2a=-cos3a→cos2a=cos(π-3a) →2a=2kπ±(m-3a)(k∈Z), 若2a=2kπ-(m-3a)(k∈Z)→&=-2kπ+π(k∈Z), 因为a∈(0，D,所以方程a=-2kπ+π(k∈Z)无解： 若2a=2km+T-3a(ke)→r=2+D严(ke), 5 因为a∈(0，D,所以k=0,1, 不妨设a1=营a=号所以a1+a2=智 c0sa1+c0sa2=cos+cos号=os(停-)+cos(停+) 2，2m.π，2πt .2.元 -cos 5cos+sin-5 sin+cos 5cos-sin-5 sin sin 故答案为：舒 14.(2025四川绵阳·模拟预测)已知2cosa+√3cos3=3,则cos(a+β)的最小值为 【答案】号 【难度】0.15 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题 【分析】由题意分析出cosa,cosB∈(0,1]，且不同时取最大值1，设2sina-√3sinB=m,将此式平方与 已知条件进行平方后相如，可得c0©（口+仍=器>后-怎再进行验证即可。 【详解】因为cosa,cosβ的最大值均为1，且2cosa+V3cosB=3,① 所以cosa,cosB∈(0,1]，且不同时取最大值1， 设2sina-V3sinB=m,②： 由①2+②2，得4+4W3(cosacosβ-sinasinB)+3=9+m2, 即4W3cosa+)=m2+2.所以cos(a+)-号≥后-号当m=0时，等号成立 当m=0时，2sina-V5sinB=0,所以2sina=V3simB,4sin2a=3sin2B, 所以4(1-cos2a)=3(1-c0s2B),即4c0s2a=1+3c0s2β， 由2cosa+V3cosB=3,可得2cosa=3-V3cosβ，平方得，4cos2a=3cos2B-6W3c0sβ+9， 第7页共13页 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以3c0s2B-63cosf+9=1+3cos2B,解得cosB=9,所以c08a=名 综上，当cosa=名cosB-时，cos(a+)取最小值，为号 9 故答案为：号 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)(25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末)计算与求值 已知0<a<2-<B<0,cos(任+a)=行cos(任-)=，求cos(a+)的值 2)已知cos(a+)=手sim(a-B)=是且要<a+B<2m,<a-B<m求2B的值： 【答案】ag(2m 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】(1)由同角的三角函数关系结合两角差的余弦公式计算可得： (2)由同角的三角函数关系结合两角差的余弦公式计算后再利用特殊角的余弦值可得. 【详解】(1)因为0<a<乏所以好<u+< 所以sim(任+a）=J1-)-9 …3分 因为-B<0,所以<号-<京所以sm(任9-1-(（图-9 所以cos(a+9=cosl[(+a）-(任- =cos(+a）os(任-9+sin(任+a）sin(任-) 9 …6分 2因为cosa+)=专sim(a-)=是且g<a+B<2,<a-B<π 所以sim(a+B)=-V-cos2(a+历=-是cos(a-B)=-V1-sim2(a-D=- cos2B cos[(a+B)-(a-B)]=cos(a+B)cos(a-B)+sin(a+B)sin(a-B) =号×(）+号×(）=-1，…10分 <a-B<,即-π<B-a<-受<a+B<2m 2 所以两式相加可得<2B<受 第8页共13页 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以2邛=兀…13分 16.（(15分)(25-26高一上广东广州月考已知-r<x<0six+c0sx=号 (1)求sin2x与simx-cosx的值：(2)求tanx+tan的值， 【答案】（四sin2x=一若：smx-cosx=-子(a创anx+am生-是 7 212 【难度】0.85 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、万能公式、二倍角的正弦公式 【分析】()利用six+cosx=极sin2x+cos2x=1求出sinx和cosx的值，进而求解： 2)根据1)中的结果，利用商数关系及tan=mx计算求解 2 cosx+1 【详解】()若-<x<0,six+cosx=号 则sinx<0,cosx= -sinx, 因为sin2x+cos2x=1,代入可得sin2x+( -sinx） =1 所以six=-或six=不符合题意舍去)： 5 …4分 代入计算可得cosx= 所以sm2x=2 sinxcosx=2×()×等-若 347 sinx-cosx = 575 5 …7分 2)(1可得anx=二=-子 cosx 因为tan子= sin 2sincos sinx …12分 2cos2号 cosx+1 +1 所以tar+am-是--是 …………15分 17.(15分)(23-24高一下·贵州遵义·月考)两角和与差的正、余弦公式是进行三角恒等变换的基本公式，它还 有其他的一些变形公式能有效地帮助我们进行三角函数式的化简，例如： 己知：cos(a+B)=cosacosB-sinasinB,①；cos(a-B)=cosacosB+sinasinB② 由①+②可得cos(a+B)+cos(a-B)=2 cosacosB,对比形式即可得和差化积公式. C0sx+cosy2 cosx cos一y 2 (1)求c0s15°+c0s75°的值；(2)请证明： 0cosx-cosy=-2sin岁sin号：(()cos2x-cos2y=-sin(x+y)sin(x-) (3)已知在△ABC中，角A,B,C是△ABC的内角，且满足A+B=2C,若点+ cosc ,求cos(A-B) 【答案】 :(2)证明见解析：(3)0. 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、积化和差公式、和差化积公式 【分析】(1)利用余弦的和差化积公式即可求值： 第9页共13页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 20利用拆角x=空+号，y=雪-号，再用两角和差的余弦公式即可证明：间可将等式右边利用正弦 两角和差公式展开，再利用平方差公式及同角三角函数基本关系式s血x+cos2x=1进行证明即可： B)用和差化积与积化和差公式，把等式转化为一会二二 =一22，再利用余弦二倍角公式来求解即可. 【详解】(1)根据公式cosx+cosy=2cos少cos可得： 2 2 15°+75°15°-75° c0s15°+c0s75°=2c0s- —C0S■ 2 2 =2c0s45°c0s(-30°) √23 =2X 2×2 6 2 …4分 20证明：cosx-c0y=cos(停+）-c0s(停-学） -wnom学-n x+y.x-y 2c0s2 X十y。一十3111一S1门 （cos2c0s2 2 x+y.x-y -2sin 2 sin- 2 即cosx-cosy=-2sin岁sin号得证： 2 …7分 (i)证明：-sin(x+y)sin(x-y)=-(sinxcosy+cosxsiny)·(sinxcosy-cosxsiny) =-(sin2xcos2y-cos2xsin2y)=-(1-cos2x)cos2y cos2x(1-cos2y) =-cos2y cos2xcos2y +cos2x-cos2xcos2y cos2x-cos2y 即cos2x-cos2y=-sin(x+y)sin(x-y)得证： …10分 B)因为A+B=2C,又A+B+C=,所以C=号 由题干cos(a+B)+cos(a-)=2 cosc可知：cosAc0sB=2cos(A+B)+cos(A-B], 所以1+ 1 =CosA+cosB 2c 2coscos cosA cosB cosAcosB G[cos(A+B)+cos(A-B)] cos+eos(A-B】 2o42 +cosA-时 =-2yZ,…12分 去分母得：cos4号=号-V2os(4-B)=受-V(2os24-1)月 22 令cos4-B=t,则t=2-V2(2t2-1)→4W2t2+2t-3V2=0, 2 2 解得t-或t=-9<-1舍去劫，则cos号=9 2 放cos(A-B)=20s24号-1=2×(9 -1=0.……15分 18.(17分)(25-26高一上·湖北随州月考1)已知f(0)= sin(2π+8)+cos(0) cos(--0)+sin(0) =2,sin20+sinecose-cos20 的值： 第10页共13页 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 高一下学期 第2章 三角恒等变换 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名_________ 班级_______ 考号_______________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(23-24高一下·江苏南京·期末)已知，，，则的值为(    ) A． B． C． D． 2.(25-26高一上·福建莆田·月考)已知为任意角，则“”，是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.(24-25高一下·湖北咸宁·期末)已知，，则(   ) A． B． C． D． 4.(2025高三·全国·专题练习)的值为(    ) A． B． C． D． 5.(25-26高一上·全国·课前预习)已知角是第二象限角，且终边经过点，则(   ) A． B．2 C．或 D．或2 6.(24-25高一下·江苏南京·期中)已知，则的值是( ) A． B． C． D． 7.(24-25高一下·湖南怀化·期末)已知，，则的值是(   ) A． B． C． D． 8.(24-25高二下·甘肃张掖·期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则a的最小值为(    ) A． B． C． D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(25-26高一上·江苏南通·月考)以下结果正确的有(   ) A． B．若，则 C．′ D． 10.(25-26高一上·全国·课前预习)(   ) A． B．0 C． D． 11.(25-26高三上·广东江门·月考)已知的面积为，若，，则(    ) A． B． C． D． 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(25-26高一上·江苏南通·月考)已知锐角，满足， 则的最小值为 ． 13.(23-24高一上·新疆克拉玛依·期末)已知，且，是在内的两个零点，则 ； . 14.(2025·四川绵阳·模拟预测)已知， 则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末)计算与求值 (1)已知，，，， 求的值. (2)已知，，且，，求的值； 16.(15分)(25-26高一上·广东广州·月考)已知 . (1)求与的值；(2)求的值. 17．(15分)(23-24高一下·贵州遵义·月考)两角和与差的正､余弦公式是进行三角恒等变换的基本公式，它还有其他的一些变形公式能有效地帮助我们进行三角函数式的化简，例如： 已知：，①； ② 由①+②可得， 对比形式即可得和差化积公式. (1)求的值； (2)请证明：(i)； (ii) (3)已知在中，角是的内角，且满足， 若，求 18．(17分)(26高一·湖北随州·月考)(1)已知 ，求的值； (2)函数，的图象关于轴对称，又角，，锐角满足，求的值. 19．(17分)(25-26高一上·福建厦门·月考)某校数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： ；； ； 据此规律提出猜想：， 并证明如下： . 同理可得，， 由于这三个角三等分了圆周，类似于电风扇的三个叶片之间的关系，因此该兴趣小组称这个恒等式为“电风扇恒等式”． 同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“电风扇”，这样的“电风扇恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)解关于的方程：，其中； (2)猜想的值，并证明你的猜想： (3)证明：，其中. 数学 第4页(共6页) 数学 第5页(共6页) 数学 第6页(共6页) 数学 第1页(共6页) 数学 第2页(共6页) 数学 第3页(共6页) 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期 第2章 三角恒等变换 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(23-24高一下·江苏南京·期末)已知，，，则的值为(    ) A． B． C． D． 2.(25-26高一上·福建莆田·月考)已知为任意角，则“”，是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.(24-25高一下·湖北咸宁·期末)已知，，则(   ) A． B． C． D． 4.(2025高三·全国·专题练习)的值为(    ) A． B． C． D． 5.(25-26高一上·全国·课前预习)已知角是第二象限角，且终边经过点，则(   ) A． B．2 C．或 D．或2 6.(24-25高一下·江苏南京·期中)已知，则的值是( ) A． B． C． D． 7.(24-25高一下·湖南怀化·期末)已知，，则的值是(   ) A． B． C． D． 8.(24-25高二下·甘肃张掖·期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则a的最小值为(    ) A． B． C． D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(25-26高一上·江苏南通·月考)以下结果正确的有(   ) A． B．若，则 C． D． 10.(25-26高一上·全国·课前预习)(   ) A． B．0 C． D． 11.(25-26高三上·广东江门·月考)已知的面积为，若，，则(    ) A． B． C． D． 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(25-26高一上·江苏南通·月考)已知锐角，满足，则的最小值为 ． 13.(23-24高一上·新疆克拉玛依·期末)已知，且，是在内的两个零点，则 ； . 14.(2025·四川绵阳·模拟预测)已知，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末)计算与求值 (1)已知，，，，求的值. (2)已知，，且，，求的值； 16.(15分)(25-26高一上·广东广州·月考)已知. (1)求与的值；(2)求的值. 17．(15分)(23-24高一下·贵州遵义·月考)两角和与差的正､余弦公式是进行三角恒等变换的基本公式，它还有其他的一些变形公式能有效地帮助我们进行三角函数式的化简，例如： 已知：，①；② 由①+②可得，对比形式即可得和差化积公式. (1)求的值；(2)请证明： (i)；(ii) (3)已知在中，角是的内角，且满足，若，求 18．(17分)(25-26高一上·湖北随州·月考)(1)已知 ，求的值； (2)已知函数，的图象关于轴对称，又角，，锐角满足，求的值. 19．(17分)(25-26高一上·福建厦门·月考)某校数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： ；；； 据此规律提出猜想：， 并证明如下：.同理可得，，由于这三个角三等分了圆周，类似于电风扇的三个叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“电风扇恒等式”． 同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“电风扇”，这样的“电风扇恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)解关于的方程：，其中； (2)猜想的值，并证明你的猜想： (3)证明：，其中. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $高一下学期第2章三角恒等变换 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1.本试卷分第「卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生 务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 月 2.回答第丨卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。 典 写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的， 1.(23-24高一下-江苏南京期末)已知cosa=善a∈(，0），tan8=2 则tan(a-B)的值为) 效南 N A. B.-9c-品 D.-2 2.(25-26高一上福建莆田月考)已知a为任意角，则“c0s2a=}”,是 "sina 8的() 3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 帝 7 3.(24-25高一下-湖北减宁·期末)已知cosa=,a∈(，2m),则cos=) 潮 A.22 B.-3 c.D.-29 3 4.(2025高三.全国.专题练习)sin70°cos20°-sin10°sin50°的值为() A. c. D.3 烂 5.(25-26高一上全国课前预习)已知角α是第二象限角，且终边经过点 (-3,9),则tan=) A.-2 B.2 C.或 D.-2或2 数学第1页（共6页） 6.(24-25高一下江苏南京期中)已知cosa+V3sina=专，则cos(2a+) 的值是( A.- 25 B.-号 7.(2425高一下-湖南怀化期末)已知a-B=tana-tanB=2,则 cos(a+B)的值是() A.3-1 B.3+1 C.3+1 D.5-1 2 2 4 4 8.(24-25高二下·甘肃张掖·期末)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别 为a,b,c.若A=B+2C,b+c=2,则a的最小值为() A.号B.C.g 5 D.9 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出 的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分， 9.(25-26高一上·江苏南通·月考)以下结果正确的有() A.1bg3+2lg4+lg后+e32=号B.若2-a方=1，则a2+a2=11 2 C.6730'=8m D.sin70°-sin50°-sin10°=0 10.(25-26高一上·全国·课前预习)sin112.5°+sin67.5°=() A.-V2 B.0 c.号 D.√2+V2 11.(25-26高三上·广东江门月考)已知△ABC的面积为若c0s2A+ cos2B+2sinC=2,cosAcosBsinc=子则() A.sinC sin2A+sin2B B.AB=V3 C.sinA+sinB= D.AC2+BC2=2 4 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(25-26高一上江苏南通月考)已知锐角a,B满足α+B=罗 则no+oen的最小值为 13.(23-24高一上新疆克拉玛依·期末)已知f()=c0s2a+c0s3a,且1， 数学第2页（共6页） a2是f(a)在(0，D内的两个零点，则&1+a2= c0s1+C0S2=」 14.(2025四川绵阳·模拟预测)已知2cosa+V3cosβ=3， 则cos(a+B)的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 15.(13分)(25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末)计算与求值 (1已知0<a<受-2<B<0,cos(保+=cos(任-)=号， 求cos(a+)的值. 2)已知cos(a+B)=善sin(a-B)=子且竖<a+B<2n,<a-B<m 求2β的值： 16.(15分)(25-26高一上广东广州·月考)已知-π<x<0, sinx+cosx=台 (1)求sim2x与sinx-cosx的值；(2)求tanx+tan的值. 数学第3页（共6页） 17.(15分)(23-24高一下·贵州遵义·月考)两角和与差的正、余弦公式是进 行三角恒等变换的基本公式，它还有其他的一些变形公式能有效地帮助 我们进行三角函数式的化简，例如： 己知：cos(a+B)=cosacosB-sinasinB,①： cos(a-B)=cosacosβ+sinasinB② 由①+②可得cos(a+B)+cos(a-)=2 cosacosβ， 对比形式即可得和差化积公式cosx+c0sy=2cos艺c0s号 (1)求c0s15°+c0s75°的值； 2)请证明：(0cosx-cosy=-2sin岁sin号， 2 (ii)cos2x-cos2y =-sin(x+y)sin(x-y) (3)己知在△ABC中，角A,B,C是△ABC的内角，且满足A+B=2C, 若过+品品求os(4-) 数学第4页（共6页） 18.(17分)(26高一湖北随州.月考)1)已知f(Θ)= in2x+0+cos号0）=2， c0s(--8)+sin受-0) 求sin20+sin0cos0-cos20的值： (2)函数f(x)=V3sin(x+)+cos(x+),6∈[0，m的图象关于y轴对称， 又角a∈（三引）f)=锐角B满足cos(a+)=吕求simB的值. 19.(17分)(25-26高一上·福建厦门·月考)某校数学兴趣小组，在学习三 角函数的过程中发现一个规律： c0s0°+c0s120°+c0s240°=0；c0s30°+c0s150°+c0s270°=0； c0s45°+c0s165°+c0s285°=0； 据此规律提出猜想：c0s0+cos(0+120)+c0s(0+240)=0, 并证明如下：cos0+cos(0+120°)+c0s(0+240) cos0+(-cos-simne)+-cos+sine)=0. 同理可得，sin6+sim(0+120)+sin(0+240)=0, 由于0，(0+120°)，(0+240)这三个角三等分了圆周，类似于电风扇的三 个叶片之间的关系，因此该兴趣小组称这个恒等式为“电风扇恒等式”. 同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“电风扇”，这样的“电风 扇恒等式”的结论能否得到推广呢？ 数学第5页（共6页） 根据以上信息，回答下列问题： (1)解关于0的方程：sin(0+40)+sin(220°-0)+sin(0-80)=0,其 中0∈[0,2m: (2)猜想c0s5+c0s的值，并证明你的猜想： 3)证明：cos0+c0s(0+9）+c0s(g+9)+…+cos(9+2a”9）=0, 其中neN*,n≥2. 数学第6页（共6页） 高一下学期 第2章 三角恒等变换 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(23-24高一下·江苏南京·期末)已知，，，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】先根据的范围确定，然后使用正切差公式. 【详解】由，知，故，从而. 所以. 故选：D. 2.(25-26高一上·福建莆田·月考)已知为任意角，则“”，是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、二倍角的余弦公式 【分析】根据必要不充分条件的定义，即可得到答案； 【详解】 ， 推不出， 反之， ， “”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3.(24-25高一下·湖北咸宁·期末)已知，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】半角公式、给值求值型问题 【分析】利用半角公式，结合角的范围进行求解，得到答案. 【详解】，故，故， 所以. 故选：D 4.(2025高三·全国·专题练习)的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】积化和差公式 【分析】两次利用积化和差公式即可求解. 【详解】 . 故选：A. 5.(25-26高一上·全国·课前预习)已知角是第二象限角，且终边经过点，则(   ) A． B．2 C．或 D．或2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知角或角的范围确定三角函数式的符号、半角公式 【分析】根据已知及三角函数的定义得、，再由半角公式求值. 【详解】由题得，， 所以属于第一象限或第三象限，则， 故. 故选：B 6.(24-25高一下·江苏南京·期中)已知，则的值是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】根据给定条件，利用辅助公式及二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】依题意，，解得， 所以． 故选：C 7.(24-25高一下·湖南怀化·期末)已知，，则的值是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由将切化弦，再通分，结合两角差的正弦公式求出，再由两角差的余弦公式求出，即可得解. 【详解】因为，， 所以，所以， 又，所以， 所以. 故选：A 8.(24-25高二下·甘肃张掖·期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则a的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.15 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形 【分析】根据角的关系，求出三个角的范围，根据边的关系和正弦定理，用三角函数表示出边长，换元法构造函数，求出函数的最小值，判断结果. 【详解】因为，，所以，，且. 由正弦定理得，所以. 因为，所以，所以. 因为， ，， 所以. 令，则，，当且仅当，即时，等号成立， 所以a的最小值为， 故选：A. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(25-26高一上·江苏南通·月考)以下结果正确的有(   ) A． B．若，则 C． D． 【答案】ACD【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算、弧度化为角度、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】运用对数的运算法则计算即可判断A；根据指数幂的运算法则结合完全平方公式计算即可判断B；通过角度制与弧度制的互化可判断C；利用两角和差的正弦公式以及诱导公式计算可判断D. 【详解】对于A选项， ，故A正确； 对于B选项，因为，两边平方，得， 解得，两边平方，得， 所以，故B错误； 对于C选项，，故C正确. 对于D选项， ，故D正确. 故选：ACD. 10.(25-26高一上·全国·课前预习)(   ) A． B．0 C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】半角公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据诱导公式得出，，根据半角公式求出，从而得出的值. 【详解】因为，， 所以. 根据半角公式， 所以. 故选：D. 11.(25-26高三上·广东江门·月考)已知的面积为，若，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.15 【知识点】二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、反证法、三角函数与解三角形综合 【分析】对于A，由二倍角公式结合题设可判断选项正误；对于C，由A分析可得，结合余弦定理可得，然后利用反证法可得，，据此可判断选项正误；对于BD，由C分析可得，然后由可得，，据此可判断选项正误． 【详解】对于A，由二倍角公式， ， 则 ，故A正确； 对于C，由A分析可得，下证. 因，则. 则，. 从而，由正弦定理边角互化可得. 若，则. 注意到，，则， 又三角形中至多1个钝角，则，均为锐角. 又，正弦函数在上单调递增， 则，. 从而，这与矛盾. 故.从而，,,， . 则，易得，不妨设，则. 从而，故C错误. 对于BD，因，则， 从而，则， 则 ，. 从而，故B错误，D正确. 故选：AD 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(25-26高一上·江苏南通·月考)已知锐角，满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】计算出，再将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值． 【详解】解：，， 即， ，均为锐角，则，， ， 当且仅当时，即当时，故，时等号成立. 因此，的最小值为． 故答案为：． 13.(23-24高一上·新疆克拉玛依·期末)已知，且，是在内的两个零点，则 ； . 【答案】 / / 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】根据诱导公式、余弦函数的性质，结合两角和与差的余弦公式、正弦的二倍角公式进行求解即可. 【详解】 ， 若， 因为，所以方程无解； 若， 因为，所以， 不妨设，，所以， . 故答案为：； 14.(2025·四川绵阳·模拟预测)已知，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题 【分析】由题意分析出，，且不同时取最大值1，设，将此式平方与已知条件进行平方后相加，可得，再进行验证即可. 【详解】因为，的最大值均为1，且，① 所以，，且不同时取最大值1， 设，②； 由①2+②2,得， 即，所以，当时，等号成立; 当时，，所以，， 所以，即， 由，可得，平方得，， 所以，解得，所以， 综上，当，时，取最小值，为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末)计算与求值 (1)已知，，，，求的值. (2)已知，，且，，求的值； 【答案】(1)；(2) 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正(余)弦求余(正)弦 【分析】(1)由同角的三角函数关系结合两角差的余弦公式计算可得； (2)由同角的三角函数关系结合两角差的余弦公式计算后再利用特殊角的余弦值可得. 【详解】(1)因为，所以， 所以，……………………………………………………………………………3分 因为，所以，所以， 所以 .…………………………………………………………………………………………6分 (2)因为，，且，， 所以，， 所以 ，…………………………………………………………………………………10分 又，即，， 所以两式相加可得， 所以.……………………………………………………………………………………………………13分 16.(15分)(25-26高一上·广东广州·月考)已知. (1)求与的值；(2)求的值. 【答案】(1)；；(2) 【难度】0.85 【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、已知弦(切)求切(弦)、万能公式、二倍角的正弦公式 【分析】(1)利用及求出和的值，进而求解； (2)根据(1)中的结果，利用商数关系及计算求解. 【详解】(1)若，则，， 因为，代入可得， 所以或(不符合题意舍去)；…………………………………………………………………4分 代入计算可得， 所以， .………………………………………………………………………………………7分 (2)由(1)可得， 因为，………………………………………………………………12分 所以.………………………………………………………………………………15分 17．(15分)(23-24高一下·贵州遵义·月考)两角和与差的正､余弦公式是进行三角恒等变换的基本公式，它还有其他的一些变形公式能有效地帮助我们进行三角函数式的化简，例如： 已知：，①；② 由①+②可得，对比形式即可得和差化积公式. (1)求的值；(2)请证明： (i)；(ii) (3)已知在中，角是的内角，且满足，若，求 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3). 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、积化和差公式、和差化积公式 【分析】(1)利用余弦的和差化积公式即可求值； (2)(i)利用拆角，再用两角和差的余弦公式即可证明；(ii)可将等式右边利用正弦两角和差公式展开，再利用平方差公式及同角三角函数基本关系式进行证明即可； (3)用和差化积与积化和差公式，把等式转化为，再利用余弦二倍角公式来求解即可. 【详解】(1)根据公式可得： ；………………………………………………………………………………………………………………4分 (2)(i)证明： 即得证；………………………………………………………………………7分 (ii)证明： 即得证；……………………………………………………………10分 (3)因为，又，所以， 由题干可知：， 所以 ，………………………………………………………………………12分 去分母得：， 令，则， 解得或(舍去)，则， 故.…………………………………………………………15分 18．(17分)(25-26高一上·湖北随州·月考)(1)已知 ，求的值； (2)已知函数，的图象关于轴对称，又角，，锐角满足，求的值. 【答案】(1)；(2). 【难度】0.4 【知识点】辅助角公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算 【分析】(1)根据诱导公式对进行化简，得，根据同角三角关系式，构造关于的齐次分式，化简可得； (2)利用辅助角公式，可得.由函数的图象关于轴对称，求得，从而得到.根据同角三角函数关系式求出，再根据两角差的正弦公式求得的值. 【详解】(1)依题意， 解得.…………………………………………………………………………………………………3分 所以 .………………………………………………………………………………………………………7分 (2)因为 . 因为的图象关于轴对称，所以，所以， 因为，所以，所以…………………………10分， 因为，所以， 因为，若，则，所以，不合题意. 故，则， 所以， .…………………………………………………………………………14分 所以 .……………………………………………………………………………17分 19．(17分)(25-26高一上·福建厦门·月考)某校数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： ；；； 据此规律提出猜想：， 并证明如下：.同理可得，，由于这三个角三等分了圆周，类似于电风扇的三个叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“电风扇恒等式”． 同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“电风扇”，这样的“电风扇恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)解关于的方程：，其中； (2)猜想的值，并证明你的猜想： (3)证明：，其中. 【答案】(1)或;(2)；证明见解析；(3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、积化和差公式 【分析】(1)利用换元法结合给定恒等式得到，进而结合正弦函数的性质分类讨论求解即可. (2)先正常猜想结论，再利用诱导公式并结合二倍角公式与三倍角公式得到，进而求出，最后再代入求值即可. (3)对原式合理变形，再利用积化和差公式并结合题意求值即可. 【详解】(1)令，则，得到， 因， 原方程可化为， 由题意得， 可得，即， 则，或， ① 当时，解得， 因，当时，；当时，.……………………………………………………………………………………………………2分 ② 当时，此时被消去，不合题意. 综上可得，方程的解为或.…………………………………………………………………………4分 (2)猜想：，……………………………………………………………………………………5分 先证明三倍角公式， 由题意得 ， 则得(*)，………………………………………………………………………………7分 证明：由诱导公式可得， 设，可得，则，可得， 将(*)代入可得， 整理得， 因为，所以， 可得，解得(负根舍去)，即， 则， 故.…………………………………………………………10分 (3)设， 则，……………………………………………12分 由积化和差公式变形可得： ， 则 ， 则，……………………………………………………………15分 因为，所以，此时， 故，即原命题得证. ……………………………………………………………………………………17分 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $