精品解析：广西玉林市陆川县2026年春季期期中阶段性练习九年级数学试题

2026年春季期期中阶段性练习 九年级数学 （全卷共三大题，共4页，满分120分，完成时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．请将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项标号涂黑． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图，再用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑． 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，将正确答案涂在答题卡相应的位置上． 1. 有理数的绝对值为（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可计算得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 2. 在以下绿色食品、低碳、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意， B．不是轴对称图形，不符合题意， C．不是轴对称图形，不符合题意， D．不是轴对称图形，不符合题意， 故选A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 3. 在2026年央视春晚武术节目《武·BOT》中，26台人形机器人实现全自主运行，其集群控制同步误差低于秒，关节扭矩可达360牛·米，相关表演片段在海外平台的播放量超5800万次．将5800万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的规则（其中， 为整数）确定和 的值即可得到答案． 【详解】解：将5800万用科学记数法表示为． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用幂的乘方、积的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法、单项式乘法法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，即选项A错误，不符合题意； B．，即选项B错误，不符合题意； C． ，即选项C错误，不符合题意； D． ，即选项D正确，符合题意． 5. 如图，已知直线，三角板的直角顶点C放在直线b上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，利用对顶角的性质和三角形内角和定理可求出，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6. 不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组．根据题意将不等式分别解出并在数轴上画出即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴解不等式得， ∴解不等式得：， ∴， ∴将解集表示在数轴上为：， 故选：C． 7. 如图，某校实践小组为了让旗杆垂直于地面，采取以下的操作方法：从旗杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到旗杆脚E的距离相等，且B，E，C三点在同一直线上时，旗杆．这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合即可求解，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键，根据等腰三角形“三线合一”性质得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即，（等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合）， 即得出旗杆的依据是等腰三角形“三线合一”． 故选：D． 8. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角，自动扶梯的长度米．则该自动扶梯的高度等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是理解题意，掌握正弦的定义． 根据题意得，，即可得． 【详解】解：根据题意得，， （米）， 故选：A． 9. 如图，为的直径，弦于点H．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，根据垂径定理由得到，再根据勾股定理计算出． 【详解】解：， ， 直径， ， 在中，， 故选：B． 10. 如图，四边形是平行四边形，，若，则四边形的面积是（　　） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 先根据平行四边形的性质得到，，再推出，利用三角形面积公式得到，所以，然后根据平行四边形的性质得到，最后计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． ， ， ， 四边形的面积． 故选：D． 11. 广西是全国最大的甘蔗产区，蔗糖产量连续多个榨季位居全国第一，某甘蔗种植户计划砍收360亩甘蔗地，因天气影响加快了砍收速度，实际每天砍收面积是原来的1.2倍，结果提前3天完成砍收任务，设原计划每天砍收x亩，由题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别表示出原计划与实际完成任务的天数，根据“实际比原计划提前3天完成”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵原计划每天砍收 亩，总砍收面积为360亩， ∴原计划完成任务的天数为， ∵实际每天砍收面积是原来的1.2倍， ∴实际每天砍收亩，实际完成任务的天数为， ∵实际提前3天完成任务，即原计划天数比实际天数多3， ∴可得方程． 12. 如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，则的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，掌握求解的方法是关键； 如图，设与y轴交于点D，连接，根据轴可得，再结合反比例函数的系数k的几何意义即可求解. 【详解】解：如图，设与y轴交于点D，连接， ∵轴， ∴， ∵点A在上，点B在上， ∴， ∴； 故选：A. 二、填空题：本大题4小题，每小题3分，共12分，请将正确答案填入答题卡相应位置上． 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 14. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 15. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 13 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若两个实数根为，则满足，.利用该关系得到与的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】∵m，n是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得：，， ∴． 16. 如图，在等腰直角中，已知，是上一点，．若，则点到的距离为______． 【答案】5 【解析】 【分析】过点C作，交射线于点F，过点B作于点D，的延长线交 于点E，根据，得，得，得，得，可得，即得． 【详解】解：过点C作，交射线于点F，过点B作于点D，的延长线交 于点E， 则， ∵在等腰直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题：本大题共7小题，满分共72分，将解答过程写在答题卡的相应位置上，作图或添辅助线先用铅笔画完，再用水性笔描黑． 17. （1）计算：． （2）解方程组：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方，再运算乘除，最后运算加法，即可作答． （2）运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）， ，得， 即， 把代入②得，， 即， 故方程组的解为 18. 如图所示，中，． （1）尺规作图：作 边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（ ）所作的图中，延长至点，使，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 如图所示，线段为所求； （2） 证明：∵点是 的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（ ）作 的垂直平分线，垂足为点，连接，则线段即为所求； （）由对角线互相平分的四边形可得四边形是平行四边形，进而由 即可求证； 本题考查了线段垂直平分线的作法，平行四边形的判定，矩形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 体重管理年是国家卫生健康委会同教育部、体育总局等16个部门于2025年启动的健康促进活动，旨在应对居民超重肥胖引发的慢性病问题，实施为期三年的全民体重管理专项行动．某中学响应号召，每天组织全校学生开展系列体育活动．为了解学生对各项球类运动的喜好程度，学校从喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 结合调查信息，回答下列问题： （1）统计表中，________，________； （2）统计图中，足球所对应扇形的圆心角的度数为________，估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数为________人； （3）该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从2名喜欢乒乓球，1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的四名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动．请用列表法或画树状图的方法，求被抽到的2名同学恰好都喜欢乒乓球的概率． 【答案】（1）30，24 （2），150 （3） 【解析】 【分析】（1）首先用喜欢排球的人数除以其所占的百分比即可求得样本容量；再用样本容量乘以乒乓球所占的百分比即可求得a，用样本容量减去其他求得b值； （2）根据足球的占比乘以得到足球所对应扇形的圆心角的度数。用总人数乘以喜欢羽毛球的人所占的百分比即可； （3）设2名喜欢乒乓球分别为、1名喜欢羽毛球为，1名喜欢篮球的为，通过列树状图即可求出被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率． 【小问1详解】 解：∵喜欢排球的有12人，占样本的10%， ∴样本容量为； ∴（人）， （人）； 【小问2详解】 解：足球所对应扇形的圆心角的度数为 （人）； 【小问3详解】 设2名喜欢乒乓球分别为、1名喜欢羽毛球为，1名喜欢篮球的为， 从四名学生中随机抽取2人，列树状图如下： 则从四名学生中随机抽取2人共有种，其中2名同学都是喜欢乒乓球有2种， 所以被抽到的2名同学恰好都喜欢乒乓球的概率为． 20. 某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】（1）单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 （2）小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购小区预备支出不超过25000元列出不等式求解并取最小整数解即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可列方程， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （元/个）． 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个． 【小问2详解】 解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元． ∵此次加购小区预备支出不超过25000元， ，解得， 的最小值为8， ∴小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个． 21. 如图， 为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结 、、，． （1）求证：为 的切线； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵直径垂直于弦， ∴，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴为 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）先由垂径定理得到，则，再导角证明，则，即可证明； （2）可证明四边形是平行四边形，则，，然后解求出，连接，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 连接，如图： 设，则 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 22. 【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． （1）【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． （2）【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． （3）【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 【答案】（1）1.55米 （2）以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： （3）3.5米 【解析】 【分析】（1）过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为()，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米)，即可作答． 【小问1详解】 解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴（米）． 【小问2详解】 解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为()， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米)， ∵涉及安全问题， ∴（米）． 23. 小聪同学用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系，下面是他的思考过程． （1）操作判断 如图1，正方形的边长为a，则． 如图2，菱形的边长为a，则_________（请用含a的代数式表示）． （2）性质探究 ①如图3，在矩形中，，，则_________（请用含a，b的代数式表示）． ②如图4，在中，，．猜想与a、b的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在如图4的中，，，．将点D绕点O旋转，点D的对应点为，在旋转的过程中，当∥时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）①；②；理由见解答过程 （3）或 【解析】 【分析】（1）由菱形可知，利用勾股定理即可得解； （2）①分别利用勾股定理分别表示出和，从而得解； ②矩形倾斜会成为平行四边形，所以我们可以把平行四边形构造成矩形，过点A作于点E，过点D作交BC的延长线于点F，易证≌ ，所以，，再分别用a、b、BE表示出和，消去BE即可得解； （3）由前述结论易推出，从而得到，再分类讨论点在平行四边形上方和下方，画出图形求解即可． 【小问1详解】 解：四边形ABCD是菱形， ，，， ， 在中，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ①四边形ABCD是矩形， ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：； ②；理由如下： 如图，过点A作于点E，过点D作交BC的延长线于点F， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ≌， ，， 在中，， 即， 在中， 在中， ， ； 【小问3详解】 的长为或，理由如下： 在中，，，． ，， 由（2）知， 解得：， ， ， 在中，，，， ， 是直角三角形，， 当时， ， 分两种情况： ①如图，过点作的延长线于点M，则， ， 四边形是矩形， ，，， ， 在中，； ②如图，过点作的延长线于点N， 同理可得四边形是矩形， ，，， ， 在中，， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，正确运用类比探究思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季期期中阶段性练习 九年级数学 （全卷共三大题，共4页，满分120分，完成时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．请将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项标号涂黑． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图，再用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑． 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，将正确答案涂在答题卡相应的位置上． 1. 有理数的绝对值为（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 在以下绿色食品、低碳、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在2026年央视春晚武术节目《武·BOT》中，26台人形机器人实现全自主运行，其集群控制同步误差低于秒，关节扭矩可达360牛·米，相关表演片段在海外平台的播放量超5800万次．将5800万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知直线，三角板的直角顶点C放在直线b上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某校实践小组为了让旗杆垂直于地面，采取以下的操作方法：从旗杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到旗杆脚E的距离相等，且B，E，C三点在同一直线上时，旗杆．这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 8. 如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角，自动扶梯的长度米．则该自动扶梯的高度等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 如图，为的直径，弦于点H．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，四边形是平行四边形，，若，则四边形的面积是（　　） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 11. 广西是全国最大的甘蔗产区，蔗糖产量连续多个榨季位居全国第一，某甘蔗种植户计划砍收360亩甘蔗地，因天气影响加快了砍收速度，实际每天砍收面积是原来的1.2倍，结果提前3天完成砍收任务，设原计划每天砍收x亩，由题意可得方程（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，则 的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 二、填空题：本大题4小题，每小题3分，共12分，请将正确答案填入答题卡相应位置上． 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 14. 分解因式：x2－9＝______． 15. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 16. 如图，在等腰直角 中，已知，是上一点，．若，则点到的距离为______． 三、解答题：本大题共7小题，满分共72分，将解答过程写在答题卡的相应位置上，作图或添辅助线先用铅笔画完，再用水性笔描黑． 17. （1）计算：． （2）解方程组：． 18. 如图所示，中，． （1）尺规作图：作 边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（ ）所作的图中，延长至点，使，连接，求证：四边形是矩形． 19. 体重管理年是国家卫生健康委会同教育部、体育总局等16个部门于2025年启动的健康促进活动，旨在应对居民超重肥胖引发的慢性病问题，实施为期三年的全民体重管理专项行动．某中学响应号召，每天组织全校学生开展系列体育活动．为了解学生对各项球类运动的喜好程度，学校从喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 结合调查信息，回答下列问题： （1）统计表中，________，________； （2）统计图中，足球所对应扇形的圆心角的度数为________，估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数为________人； （3）该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从2名喜欢乒乓球，1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的四名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动．请用列表法或画树状图的方法，求被抽到的2名同学恰好都喜欢乒乓球的概率． 20. 某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 21. 如图， 为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结 、、，． （1）求证：为 的切线； （2）若，，，求的长． 22. 【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． （1）【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． （2）【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． （3）【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 23. 小聪同学用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系，下面是他的思考过程． （1）操作判断 如图1，正方形的边长为a，则． 如图2，菱形的边长为a，则_________（请用含a的代数式表示）． （2）性质探究 ①如图3，在矩形中，，，则_________（请用含a，b的代数式表示）． ②如图4，在中，，．猜想与a、b的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在如图4的中，，，．将点D绕点O旋转，点D的对应点为，在旋转的过程中，当∥时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $